09 第九节 常系数线性微分方程组

分布图示

★ 微分方程组的解法

★ 例1

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★ 例3

内容要点

前面讨论的微分方程所含的未知函数及方程的个数都只有一个，但在实际问题中， 会遇到由几个微分方程联立起来共同确定几个具有同一自变量的函数的情形. 这些联立的微分方程称为微分方程组. 如果微分方程组中的每一个方程都是常系数线性微分方程，则称这种微分方程组为常系数线性微分方程组.

本节只讨论常系数线性微分方程组，所用到的求解方法是：利用代数的方法消去微分方程组中的一些未知函数及其各阶导数，将所给方程组的求解问题转化为只含有一个未知函数的高阶常系数线性微分方程求解问题. 下面我们通过实例来说明.

例题选讲

dxdy2xy0例1（E01）求解微分方程组 dydtdt5x3y0dt(1) (2)解 由(2)得

1d2y3dy1dy3dx, (3) xy,dt5dt25dt5dt5d2y把(3)代入(1),得2y0.这是一个二阶常系数线性微分方程,易求出它的通解为

dtyC1costC2sint. (4)

将上式代入(3),得

11x(C13C2)sint(3C1C2)cost. (5)

55联立(4),(5)即得所求方程组的通解.

dxdyty,2例2（E02）求方程组 dxdtdydtxy2tdtdt(1)的通解. (2)解 为消去变量y,先消去即有ydydx.为此作运算(1)-(2),得x2yt0, dtdt1dxxt.将其代入方程(2),得 2dtdx1ddxdt2dtdtxtx12dxdtxt2t0, 即d2xdt2dx2dtx3t1.这是一个二阶常系数线性非齐次方程,解得

xCt1eCt2te3t7. (4)

将上式代入(3)式,得

yCt11eC22tett5, (5)

联立(4),(5)即得所求方程组的通解.

d2xdyxet例3（E03）解微分方程组 2dtdt,d2y

dt2dxdty0.解 记Dddt,则方程组可写成 2t(D1)xDye(1)Dx(D21)y0(2) 设法消去变量x,为此作如下运算: (1)(2)D得xD3yet (3)

(1)(2)D得(D4D21)yDet，即(D4D21)yet (4)

方程(4)对应的齐次方程的特征方程为r4r210 特征根为

r1,2152,r153,4i2 又易求得方程(4)一个特解为y*et,故方程(1)的通解为

yC1etC2etC3costC4sintet 将其代入方程(3),可得

x3C31etC2et3C3cost3C4sint2et 联立(5),(6)即得所求方程组的通解.

课堂练习

(5)

(6)

dy3y2zdx1．求解微分方程组 dz2yzdx(1). (2)