绵竹市第一中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

一、选择题

1． 已知a＞0，实数x，y满足：A．2

B．1

C．

D．

，若z=2x+y的最小值为1，则a=（ ）

2． 如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，P是侧面BB1C1C内一动点，若P到直线BC与直线C1D1的距离相等，则动点P的轨迹所在的曲线是（ ）

D1 C1 A1 B1 P D C A B

A.直线 B.圆 C.双曲线 D.抛物线

【命题意图】本题考查立体几何中的动态问题等基础知识知识，意在考查空间想象能力. 3． 若椭圆

和圆

为椭圆的半焦距），有四个不同的交点，则

椭圆的离心率e的取值范围是（ ） A．

B．

C．

D．

，则（ ）

4． 设D为△ABC所在平面内一点，A．C．

B．D．

5． 一个多面体的直观图和三视图如图所示，点M是边AB上的动点，记四面体EFMC的体

V1（ ）1111] V2111A． B． C． D．不是定值，随点M的变化而变化

324积为V1，多面体ADFBCE的体积为V2，则

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6． 已知平面向量=（1，2），=（﹣2，m），且∥，则A．（﹣5，﹣10）

7． 下列哪组中的两个函数是相等函数（ ） A．fx=x，gx44=（ ）

B．（﹣4，﹣8） C．（﹣3，﹣6） D．（﹣2，﹣4）

x44x24,gxx2 B．fx=x21,x033C．fx1,gx D．fx=x，gxx 1,x08． 若函数f（x）=﹣2x3+ax2+1存在唯一的零点，则实数a的取值范围为（ ） A．[0，+∞） B．[0，3]

C．（﹣3，0]

D．（﹣3，+∞）

9． 已知z113i，z23i，其中i是虚数单位，则A．1 B．

z1的虚部为（ ） z244 C．i D．i 55【命题意图】本题考查复数及共轭复数的概念，复数除法的运算法则，主要突出对知识的基础性考查，属于容易题.

10．“互联网”时代，倡导读书称为一种生活方式，调查机构为了解某小区老、中、青三个年龄阶 段的阅读情况，拟采用分层抽样的方法从该小区三个年龄阶段的人群中抽取一个容量为50的样本进行调 查，已知该小区有老年人600人，中年人600人，青年人800人，则应从青年人抽取的人数为（ ） A．10 B．20 C．30 D．40 11．已知函数f（x）=m（x﹣）﹣2lnx（m∈R），g（x）=﹣，若至少存在一个x0∈[1，e]，使得f（x0）＜g（x0）成立，则实数m的范围是（ ） A．（﹣∞，]

12．函数f（x）=ax2+bx与f（x）=log

x（ab≠0，|a|≠|b|）在同一直角坐标系中的图象可能是（ ）

B．（﹣∞，） C．（﹣∞，0]

D．（﹣∞，0）

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A． B． C．

D．

二、填空题

13．已知函数f（x）=x3﹣ax2+3x在x∈[1，+∞）上是增函数，求实数a的取值范围 ． 14．等比数列{an}的公比q=﹣，a6=1，则S6= ． 15．不等式 ．

16．在正方形ABCD中，ABAD2,M,N分别是边BC,CD上的动点，当AMAN4时，则MN 的取值范围为 ．

【命题意图】本题考查平面向量数量积、点到直线距离公式等基础知识，意在考查坐标法思想、数形结合思想和基本运算能力． 17．若函数y=ln（

﹣2x）为奇函数，则a= ．

，则z=

的最小值为 ．

的解集为R，则实数m的范围是

18．已知实数x，y满足约束条

三、解答题

19．PD⊥平面ABCD，BC=PD=2，E为PC的中点，如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，求证：PC⊥BC；

（Ⅱ）求三棱锥C﹣DEG的体积；

（Ⅲ）AD边上是否存在一点M，使得PA∥平面MEG．若存在，求AM的长；否则，说明理由．

．

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20．已知矩阵M坐标．

21．已知全集U={1，2，3，4，5，6，7}，A={2，4，5}，B={1，3，5，7}． （1）求A∪B；

（2）求（∁UA）∩B； （3）求∁U（A∩B）．

所对应的线性变换把点A（x，y）变成点A′（13，5），试求M的逆矩阵及点A的

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22．巳知二次函数f（x）=ax2+bx+c和g（x）=ax2+bx+c•lnx（abc≠0）．

（Ⅰ）证明：当a＜0时，无论b为何值，函数g（x）在定义域内不可能总为增函数；

（Ⅱ）在同一函数图象上取任意两个不同的点A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB的中点C（x0，y0），记fx）fx）=ax2+bx+c与g=ax2+bx+c•lnx′x0）直线AB的斜率为k若（满足k=f（，则称其为“K函数”．判断函数（（x）是否为“K函数”？并证明你的结论．

23．已知曲线C的极坐标方程为4ρ2cos2θ+9ρ2sin2θ=36，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系； （Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程；

（Ⅱ）若P（x，y）是曲线C上的一个动点，求3x+4y的最大值．

24．一个几何体的三视图如图所示，已知正（主）视图是底边长为1的平行四边形，侧（左）视图 是一个长为3，宽为1的矩形，俯视图为两个边长为1的正方形拼成的矩形．

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（1）求该几何体的体积V；111] （2）求该几何体的表面积S．

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绵竹市第一中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案） 一、选择题

1． 【答案】 C

【解析】解：作出不等式对应的平面区域，（阴影部分） 由z=2x+y，得y=﹣2x+z，

平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点C时，直线y=﹣2x+z的截距最小，此时z最小． 即2x+y=1， 由

即C（1，﹣1），

∵点C也在直线y=a（x﹣3）上， ∴﹣1=﹣2a， 解得a=

．

，解得

，

故选：C．

【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．

2． 【答案】D.

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第Ⅱ卷（共110分）

3． 【答案】 A

∵椭圆【解析】解：且它们有四个交点， ∴圆的半径

，

和圆

为椭圆的半焦距）的中心都在原点，

由22，得2c＞b，再平方，4c＞b，

2222

在椭圆中，a=b+c＜5c，

∴由

；

，得b+2c＜2a，

222

再平方，b+4c+4bc＜4a， 22∴3c+4bc＜3a， 2

∴4bc＜3b，

∴4c＜3b，

22

∴16c＜9b， 222

∴16c＜9a﹣9c， 22∴9a＞25c，

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∴∴

．

，

综上所述，故选A．

4． 【答案】A

=

．

=

；

【解析】解：由已知得到如图 由故选：A．

=

【点评】本题考查了向量的三角形法则的运用；关键是想法将向量

5． 【答案】B 【

解

表示为

析

．

】

考

点：棱柱、棱锥、棱台的体积． 6． 【答案】B

【解析】解：排除法：横坐标为2+（﹣6）=﹣4， 故选B．

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7． 【答案】D111] 【解析】

考

点：相等函数的概念. 8． 【答案】 D

32

【解析】解：令f（x）=﹣2x+ax+1=0，

易知当x=0时上式不成立； 故a=

=2x﹣

，

=2

，

令g（x）=2x﹣，则g′（x）=2+

故g（x）在（﹣∞，﹣1）上是增函数，

在（﹣1，0）上是减函数，在（0，+∞）上是增函数； 故作g（x）=2x﹣

的图象如下，

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，

g（﹣1）=﹣2﹣1=﹣3， 故结合图象可知，a＞﹣3时， 方程a=2x﹣

有且只有一个解，

32

即函数f（x）=﹣2x+ax+1存在唯一的零点，

故选：D．

9． 【答案】B

【解析】由复数的除法运算法则得，10．【答案】B 【解析】

试题分析：设从青年人抽取的人数为x,考点：分层抽样． 11．【答案】 B

【解析】解：由题意，不等式f（x）＜g（x）在[1，e]上有解， ∴mx＜2lnx，即＜

在[1，e]上有解，

4zz113i(13i)(3i)68i34i，所以1的虚部为.

5z23i(3i)(3i)1055z2x800,x20，故选B． 50600600800第 11 页，共 18 页

令h（x）=，则h′（x）=，

∵1≤x≤e，∴h′（x）≥0， ∴h（x）max=h（e）=， ∴＜h（e）=， ∴m＜．

∴m的取值范围是（﹣∞，）． 故选：B．

【点评】本题主要考查极值的概念、利用导数研究函数的单调性等基础知识，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．

12．【答案】 D

＞0，则

，不符合对数的底数范围，B不正确； ，则

，所以f（x）=log ，则

，所以f（x）=log

x在定义

，不符合对数的底数范围，A不正确；

2

【解析】解：A、由图得f（x）=ax+bx的对称轴x=﹣

＞0，则，由图得

，由图得

B、由图得f（x）=ax2+bx的对称轴x=﹣C、由f（x）=ax2+bx=0得：x=0或x=函数，C不正确；

x在定义域上是增

D、由f（x）=ax2+bx=0得：x=0或x=域上是减函数，D正确．

【点评】本题考查二次函数的图象和对数函数的图象，考查试图能力．

二、填空题

13．【答案】 （﹣∞，3] ．

2

【解析】解：f′（x）=3x﹣2ax+3， ∵f（x）在[1，+∞）上是增函数， ∴f′（x）在[1，+∞）上恒有f′（x）≥0，

2

即3x﹣2ax+3≥0在[1，+∞）上恒成立．

则必有≤1且f′（1）=﹣2a+6≥0， ∴a≤3；

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实数a的取值范围是（﹣∞，3]．

14．【答案】 ﹣21 ．

【解析】解：∵等比数列{an}的公比q=﹣，a6=1，

5

∴a1（﹣）=1，解得a1=﹣32，

∴S6=

故答案为：﹣21

15．【答案】

【解析】解：不等式x2﹣8x+20＞0恒成立

=﹣21

．

，

2

可得知：mx+2（m+1）x+9x+4＜0在x∈R上恒成立．

显然m＜0时只需△=4（m+1）﹣4m（9m+4）＜0，

2

解得：m＜﹣或m＞ 所以m＜﹣ 故答案为：

16．【答案】[2,2]

（0＃x2，0＃y2）上的点(x,y)到定点(2,2)的距离，其最小值为2，最大值为2，故MN的取值

范围为[2,2]．

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yD2NCMA17．【答案】 4 ．

【解析】解：函数y=ln（

B2x

﹣2x）为奇函数， ﹣2x）．

）=ln（

）．

可得f（﹣x）=﹣f（x）， ln（ln（

+2x）=﹣ln（+2x）=ln（

22

可得1+ax﹣4x=1，

解得a=4． 故答案为：4．

18．【答案】

．

【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）． 由z=

=32x+y，

设t=2x+y， 则y=﹣2x+t， 平移直线y=﹣2x+t，

由图象可知当直线y=﹣2x+t经过点B时，直线y=﹣2x+t的截距最小， 此时t最小． 由

，解得

，即B（﹣3，3），

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代入t=2x+y得t=2×（﹣3）+3=﹣3． ∴t最小为﹣3，z有最小值为z=故答案为：

．

=3﹣3=

．

【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．

三、解答题

19．【答案】

【解析】解：（I）证明：∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥BC， 又∵ABCD是正方形，∴BC⊥CD，∵PDICE=D， ∴BC⊥平面PCD，又∵PC⊂面PBC，∴PC⊥BC． （II）解：∵BC⊥平面PCD， ∴GC是三棱锥G﹣DEC的高． ∵E是PC的中点，∴∴

．

．

（III）连接AC，取AC中点O，连接EO、GO，延长GO交AD于点M，则PA∥平面MEG． 下面证明之：

∵E为PC的中点，O是AC的中点，∴EO∥平面PA， 又∵EO⊂平面MEG，PA⊄平面MEG，∴PA∥平面MEG，

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在正方形ABCD中，∵O是AC中点，∴△OCG≌△OAM， ∴

，∴所求AM的长为．

【点评】本题主要考查线面平行与垂直关系、多面体体积计算等基础知识，考查空间想象能、逻辑思维能力、运算求解能力和探究能力、考查数形结合思想、化归与转化思想．

20．【答案】

【解析】解：依题意，由M=从而由

=

得

═

1

得|M|=1，故M﹣=

=

故A（2，﹣3）为所求．

【点评】此题考查学生会求矩阵的逆矩阵及掌握矩阵的线性变换，考查学生的计算能力，比较基础．

21．【答案】

【解析】解：全集U={1，2，3，4，5，6，7}，A={2，4，5}，B={1，3，5，7}． （1）A∪B={1，2，3，4，5，7} （2）（∁UA）={1，3，6，7} ∴（∁UA）∩B={1，3，7} （3）∵A∩B={5}

∁U（A∩B）={1，2，3，4，6，7}．

【点评】本题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握交、并、补集的定义是解本题的关键．

22．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）证明：如果g（x）是定义域（0，+∞）上的增函数， 则有g′（x）=2ax+b+=

＞0；

2

从而有2ax+bx+c＞0对任意x∈（0，+∞）恒成立；

2

又∵a＜0，则结合二次函数的图象可得，2ax+bx+c＞0对任意x∈（0，+∞）恒成立不可能，

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故当a＜0时，无论b为何值，函数g（x）在定义域内不可能总为增函数；

22

（Ⅱ）函数f（x）=ax+bx+c是“K函数”，g（x）=ax+bx+c•lnx不是“K函数”， 2

事实上，对于二次函数f（x）=ax+bx+c，

k=

又f′（x0）=2ax0+b， 故k=f′（x0）；

=a（x1+x2）+b=2ax0+b；

2

故函数f（x）=ax+bx+c是“K函数”； 2

对于函数g（x）=ax+bx+c•lnx，

不妨设0＜x1＜x2，则k=

=2ax0+b+；

而g′（x0）=2ax0+b+

；

故=，化简可得，

=；

设t=，则0＜t＜1，lnt=；

；则s′（t）=

＞0；

设s（t）=lnt﹣则s（t）=lnt﹣故s（t）＜s（1）=0； 则lnt≠

；

是（0，1）上的增函数，

2

故g（x）=ax+bx+c•lnx不是“K函数”．

【点评】本题考查了导数的综合应用及学生对新定义的接受能力，属于中档题．

23．【答案】

222222

【解析】解：（Ⅰ）由4ρcosθ+9ρsinθ=36得4x+9y=36，

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化为；

，

．

（Ⅱ）设P（3cosθ，2sinθ）， 则3x+4y=

∵θ∈R，∴当sin（θ+φ）=1时，3x+4y的最大值为

【点评】本题考查了椭圆的极坐标方程、三角函数的单调性与值域，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

24．【答案】（1）3；（2）623． 【解析】

（2）由三视图可知，

该平行六面体中A1D平面ABCD，CD平面BCC1B1， ∴AA12，侧面ABB1A1，CDD1C1均为矩形，

S2(111312)623．1

考点：几何体的三视图；几何体的表面积与体积．

【方法点晴】本题主要考查了空间几何体的三视图、解题的表面积与体积的计算，其中解答中涉及到几何体的表面积和体积公式的应用，着重考查了推理和运算能力及空间想象能力，属于中档试题，解答此类问题的关键是根据三视图的规则“长对正、宽相等、高平齐”的原则，还原出原几何体的形状是解答的关键．

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