2004年高考理综测试第25题的多种解法

高考理综测试题的多种解法

韩叙虹

题目(2004年理科综合能力测试第25题)一小圆盘静止在桌布上，位于一方桌的水平桌面的中央．桌布的一边与桌的AB边重合，如图1所示．已知盘与桌布间的动摩擦因数为μ1，盘与桌面间的动摩擦因数为μ2．现突然以恒定加速度ａ将桌布抽离桌面，加速度的方向是水平的且垂直于AB边．若圆盘最后未从桌面掉下，则加速度ａ满足的条件是什么?(以ｇ表示重力加速度)

图1

分析圆盘的运动可以分为两个阶段：由于桌布以恒定加速度ａ做加速运动，圆盘在桌布的带动下(受桌布提供的滑动摩擦力的作用)也做加速运动，要使两者之间发生相对运动，显然有ａ＞μ1ｇ(圆盘的加速度)；当圆盘离开桌布后，圆盘已获得了一定的初速度，在桌面上做匀减速运动，直至停止，根据圆盘未从桌面掉下的临界条件的分析，其临界状态是盘子最后刚好停在桌边，恰好不掉离桌面．此题有两个物理过程：盘先在桌布上做初速为零的匀加速运动，滑动摩擦力μ1ｍｇ为动力，后在桌面上做匀减速运动直至停止，滑动摩擦力μ2ｍｇ为阻力．

解此题的关键是要能正确地理解、分析两个临界状态，一个是桌布何时与圆盘分离，另一个是盘恰好不掉离桌面的临界条件；有较多的考生对盘布分离状态分析错误，以为桌布运动到桌边时盘布才分离，若果真如此，此刻圆盘也该运动到桌边，且具有向前的速度，那势必会掉离桌面，错解反映出学生在把实际问题转化为物理问题的能力欠缺，无法建立正确的物理图景，分析综合能力有待提高，下面笔者就两个临界状态的求解介绍几种典型解法． １．确定桌布与圆盘分离的时间ｔ1

解法一（在惯性系中求解）设圆盘的质量为ｍ，桌长为ｌ，圆盘在桌布上做加速运动的加速度为ａ1，则 ｆ1＝μ1ｍｇ＝ｍａ1，

桌布抽出后，圆盘在桌面上做匀减速运动，以ａ2表示圆盘的加速度的大小，有ｆ2＝μ2ｍｇ＝ｍａ2．

以地面为参考系，设桌布从盘下抽出所经历的时间为ｔ1，在这段时间内桌布移动的位移为ｘ，圆盘移动的位移为ｓ1，有

ｘ＝(1/2)ａｔ1，ｓ1＝(1/2)ａ1ｔ1．

由题意分析可知，当桌布比圆盘多运动了(ｌ/2)的位移时，盘布分离，即 ｘ－ｓ1＝(ｌ/2)，

2

2

联立以上各式，可以解得

解法二（在非惯性系中求解）以圆盘为参考系，桌布相对圆盘的加速度为Δａ，桌布相对圆盘的位移为Δｓ，由相对运动知识可知

Δａ＝ａ－ａ1，Δｓ＝(ｌ/2)， 又Δｓ＝(1/2)Δａｔ1，

2

也可解出

２．确定圆盘恰好没有从桌面上掉下的条件

解法一（动力学原理求解）设圆盘刚离开桌布时的速度大小为ｖ，离开桌布后在桌面上再运动距离ｓ2时停止，有

ｖ＝２ａ1ｓ1，ｖ＝２ａ2ｓ2，

盘没有从桌面上掉下的条件是 ｓ2≤(ｌ/2)－ｓ1， 由以上各式解得

ａ≥[(μ1＋２μ2)/μ2]μ1ｇ．

解法二（动量定理求解）以圆盘为研究对象，对加速过程分析，圆盘受摩擦力冲量而获得动量，由动量定理得 ｍｖ－０＝μ1ｍｇｔ1，

设圆盘离开桌布后在桌面上做匀减速运动的时间为ｔ2，有 ｓ2＝ｖｔ2－(1/2)ａ2ｔ2＝(1/2)ｖｔ2≤(ｌ/2)－ｓ1，

从全过程看，使圆盘没有从桌面掉落是由于圆盘受到桌布对它的冲量等于桌面对它相反方向的冲量，即 μ1ｍｇｔ

1

2

22

＝μ2ｍｇｔ2，

联立解得ａ≥[(μ1＋２μ2)/μ2]μ1ｇ．

解法三（功能关系或动能定理求解）由功能关系或动能定理可知，圆盘之所以没有从桌面掉落，是由于桌布对圆盘所做的（正）功W1等于桌面对圆盘所做的（负）功W2，即 Ｗ1＝Ｗ2， 又Ｗ1＝ｆ1ｓ1， Ｗ2＝ｆ2ｓ2≤μ2ｍｇ（ｌ/2－ｓ1）， 解得ａ≥[(μ1＋２μ2)/μ2]μ1ｇ．

解法四（ｖ-ｔ图象法求解)由题意作ｖ-ｔ图如图2所示，根据图象可知，OA直线表示桌布在从圆盘下抽出前的速度随时间ｔ的变化关系，OB直线表示圆盘加速的情形，BD直线则表示圆盘减速时的情形，ｖ曲线与ｔ轴之间的面积大小在数值上等于相应时间内的物体的位移大小，故有

图2

ｓ△OAB＝(1/2)（ａｔ1－μ1ｇｔ1）ｔ1＝(ｌ/2)， 解得

ｓ△OBD＝(1/2)（ｔ1＋ｔ2）μ1ｇｔ1≤(ｌ/2)， 又ｖ＝μ1ｇｔ1＝μ2ｇｔ2， 解得ａ≥[(μ1＋２μ2)/μ2]μ1ｇ．

这是一道源自生活实际的问题，解决该类问题需要学生有一定的知识迁移能力和创新意识，能将实际问题转化成物理模型．通过以上一个步骤多解，一题多解，在解法上各有特点，对于牛顿力学，由于学生更为熟悉，也容易理解，故考生大多数用动力学的观点求解；而动能定理和动量定理的方法是高中物理的基本解题思路，因其突出始末状态、忽略中间过程而备受青睐；图象法能直观地描述物理过程，清晰地表示出各物理量间的关系，形象地表达物理规律，使问题变得简单明了，使过程简化、优化，令人耳目一新．究竟采用何种方法求解，应该根据每个考生对不同的物理规律掌握的熟悉程度而定；另一方面，通过一题多解，一题多变，可以促使学生多角度分析、解决问题，拓宽解题思路，开阔视野，启迪思维，开发智力，培养能力，达到学以致用的目的