1. 和分别作为的近似数具有（ ）和（ ）位有效数字. A．4和3 B．3和2 C．3和4 D．4和4 2. 已知求积公式，则＝（ ）
A． B． C． D． 3. 通过点的拉格朗日插值基函数满足（ ） A．＝0， B． ＝0， C．＝1， D． ＝1，
4. 设求方程的根的牛顿法收敛，则它具有（ ）敛速。
A．超线性 B．平方 C．线性 D．三次
5. 用列主元消元法解线性方程组 作第一次消元后得到的第3个方程（ ）. A． B． C． D．
单项选择题答案
得 评卷分 人
二、填空题（每小题3分，共15分）
1. 设, 则 ， .
2. 一阶均差 3. 已知时，科茨系数，那么
4. 因为方程在区间上满足 ，所以在区间内有根。 5. 取步长，用欧拉法解初值问题的计算公
式 .
填空题答案
1. 9和 2. 3. 4. 5. 得 评卷分 人 三、计算题（每题15分，共60分）
1. 已知函数的一组数据： 求分段线性插值函数，并计算的近似值.
计算题1.答案
1. 解 ，
，
所以分段线性插值函数为
2. 已知线性方程组
（1） 写出雅可比迭代公式、高斯－塞德尔迭代公式；
（2） 对于初始值，应用雅可比迭代公式、高斯－塞德尔迭代公式分
别计算（保留小数点后五位数字）.
计算题2.答案
1.解 原方程组同解变形为
雅可比迭代公式为
高斯－塞德尔迭代法公式
用雅可比迭代公式得
用高斯－塞德尔迭代公式得
3. 用牛顿法求方程在之间的近似根
（1）请指出为什么初值应取2？ （2）请用牛顿法求出近似根，精确到.
计算题3.答案
3. 解 ，，
，，，故取作初始值 迭代公式为 ， ，，
，
方程的根
4. 写出梯形公式和辛卜生公式，并用来分别计算积分.
计算题4.答案
4 解 梯形公式 应用梯形公式得 辛卜生公式为 应用辛卜生公式得 得 评卷分 人 四、证明题（本题10分）
确定下列求积公式中的待定系数，并证明确定后的求积公式具有3次代数精确度
证明题答案
证明：求积公式中含有三个待定系数，即，将分别代入求积公式，并令其左右相等，得
得，。所求公式至少有两次代数精确度。 又由于
故具有三次代数精确度。
一、 填空（共20分，每题2分）
1. 设 ，取5位有效数字，则所得的近似值x= . 2.设一阶差商 ，
则二阶差商
3. 设, 则 ， 。
4．求方程 的近似根，用迭代公式 ，取初始值 ， 那么 5．解初始值问题 近似解的梯形公式是
6、 ，则A的谱半径 ＝ 。
7、设 ，
则 和 。
8、若线性代数方程组AX=b 的系数矩阵A为严格对角占优阵，则雅可比迭代和高斯-塞德尔迭代都 。
9、解常微分方程初值问题的欧拉（Euler）方法的局部截断误差为 。
10、为了使计算的乘除法运算次数尽量的少,应将表达式改写
成 。
填空题答案
1、
2、 3、6 和 4、 5、 6、
7、 8、 收敛 9、 10、
二、计算题 （共75 分，每题15分）
1．设
（1）试求 在 上的三次Hermite插值多项式使满足 以升幂形式给出。 （2）写出余项 的表达式
计算题1.答案
1、（1） （2）
2．已知 的 满足 ，试问如何利用 构造一个收敛的简单迭代函数 ，使 0，1…收敛？
计算题2.答案
2、由 ，可得 ，
3． 试确定常数A，B，C和 a，使得数值积分公式
有尽可能高的代数精度。试问所得的数值积分公式代数精度是多少？它是否为Gauss型的？
计算题3.答案
3、 ，该数值
求积公式具有5次代数精确度，它是Gauss型的 4． 推导常微分方程的初值问题 的数值解公式： （提示： 利用Simpson求积公式。）
计算题4.答案
4、 数值积分方法构造该数值解公式：对方程 在区间 上积分， 得，记步长为h,
对积分 用Simpson求积公式得
所以得数值解公式：
5． 利用矩阵的LU分解法解方程 组
计算题5.答案
5、解：
三、证明题 （5分）
1．设 ，证明解 的Newton迭代公式是线性收敛的。
证明题答案
1、
一、填空题（20分）
(1).设是真值的近似值，则
有 位有效数字。 (2). 对, 差商( )。 (3). 设, 则 。 (4).牛顿—柯特斯求积公式的系数
和 。
填空题答案
（1）3 （2）1 （3）7 （4）1
二、计算题
1).（15分）用二次拉格朗日插值多项式的值。
插值节点和相应的函数值是（0，0），（，），（，）。
计算题1.答案
1）
2).（15分）用二分法求方程区间内的一个根，误差限。
计算题2.答案
2)
3).（15分）用高斯-塞德尔方法解方程组 ，取，迭代三次(要求按五位有效数字计算).。
计算题3.答案
3）迭代公式
4).（15分）求系数 。
计算题4.答案
4）
5). (10分)对方程组
试建立一种收敛的Seidel迭代公式，说明理由
计算题5.答案
5) 解：调整方程组的位置，使系数矩阵严格对角占优
故对应的高斯—塞德尔迭代法收敛.迭代格式为
取,经7步迭代可得： .
三、简答题
1)（5分）在你学过的线性方程组的解法中, 你最喜欢那一种方法,为什么?
2)（5分）先叙述Gauss求积公式, 再阐述为什么要引入它。
一、填空题（20分）
1. 若a=是的近似值，则a有( )位有效数字. 2. 是以为插值节点的Lagrange插值基函数，则 ( ).
3. 设f (x)可微，则求方程的牛顿迭代格式是( ).
4. 迭代公式收敛的充要条件是 。
5. 解线性方程组Ax=b (其中A非奇异，b不为0) 的迭代格式中的B称为( ). 给定方程组，解此方程组的雅可比迭代格式为( )。
填空题答案
1．3 2. 3.
4.
5.迭代矩阵，
得 评卷分 人
二、判断题（共10分）
1. 若，则在内一定有根。 ( )
2. 区间[a,b]上的三次样条函数是一个次数不超过三次的多项式。 ( )
3. 若方阵A的谱半径，则解方程组Ax=b 的Jacobi迭代法收敛。 ( )
4. 若f (x)与g (x) 都是n次多项式，且在n+1个互异点上，
则 。 ( )
5. 用近似表示产生舍入误
差。 ( )
判断题答案
1.× 2.× 3.× 4.√ 5.×
得 分 评卷人
三、计算题（70分）
1.
（10分）已知f (0)＝1，f (3)＝，f (4)＝，求过这三点的
二次插值基函数l1(x)=( )，=( ), 插值多项式
P2(x)=( ), 用三点式求得( ).
计算题1.答案
1．
2. （15分） 已知一元方程。
1）求方程的一个含正根的区间；
2）给出在有根区间收敛的简单迭代法公式(判断收敛性)； 3）给出在有根区间的Newton迭代法公式。
计算题2.答案
2.（1） （2） （3）
3. （15分）确定求积公式 的待定参数，使其代数精度尽量高，并确定其代数精度.
计算题3.答案
4. （15分）设初值问题 .
(1) 写出用Euler方法、步长h=解上述初值问题数值解的公式； (2) 写出用改进的Euler法（梯形法）、步长h=解上述初值问题数值
解的公式，并求解，保留两位小数。
计算题4.答案
4.
5. （15分）取节点，求函数在区间上的二次插值多项式，并估计误差。
计算题5.答案
5．
=1+2(
，
一、填空题( 每题4分，共20分)
1、数值计算中主要研究的误差
有 和 。 2、设是n次拉格朗日插值多项式的插值基函数，
则 ； 。 3、设是区间上的一组n次插值基函数。则插值型求积公式的代数精度为 ；插值型求积公式中求积系
数 ；且 。 4、辛普生求积公式具有 次代数精度，其余项表达式
为 。 5、则。
填空题答案
1.相对误差 绝对误差 2. 1
3. 至少是n b-a 4. 3 5. 1 0
二、计算题
1、已知函数的相关数据
由牛顿插值公式求三次插值多项式，并计算的近似值。
计算题1.答案
解：差商表 由牛顿插值公式：
2、（10分）利用尤拉公式求解初值问题，其中步长，。
计算题2.答案
解：
3、（15分）确定求积公式
。
中待定参数的值，使求积公式的代数精度尽量高；并指出此时求积公式的代数精度。
计算题3.答案
解：分别将，代入求积公式，可得。
令时求积公式成立，而时公式不成立，从而精度为3。
4、（15分）已知一组试验数据如下 ：
求它的拟合曲线（直线）。
计算题4.答案
解：设则可得 于是，即。
5、（15分）用二分法求方程在区间内的根时，若要求精确到小数点后二位，(1) 需要二分几次；(2)给出满足要求的近似根。
计算题5.答案
解：6次；。
6、（15分）用列主元消去法解线性方程组
计算题6.答案
解： 即
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