北京第二中学分校数学轴对称填空选择单元培优测试卷

北京第二中学分校数学轴对称填空选择单元培优测试卷

一、八年级数学全等三角形填空题（难）

01．如图,在△ABC中，∠C=90,点D在AB上，BC=BD,DE⊥AB交AC于点E，△ABC的周长

为12，△ADE的周长为6，则BC的长为_______

【答案】3 【解析】 【分析】

连接BE，由斜边直角边判定RtBDE RtBCE，从而DECE,再由△ABC的周长 △ADE的周长即可求得BC的长． 【详解】 如图：连接BE，

DE⊥AB，

BDE900，

在RtBDE和RtBCE中，

BEBE， BDBCRtBDE RtBCE，

DECE,

△ABC的周长=AB+BC+AC=2BC+AD+AE+DE=12，

△ADE的周长= AD+AE+DE =6，

BC=3，

故答案为3． 【点睛】

本题考查三角形全等的判定和性质以及和三角形有关的线段，连接BE构造全等三角形是解答此题的关键.

2．如图，在ABC中，点A的坐标为0,1，点B的坐标为0,4，点C的坐标为

4,3，点D在第二象限，且

ABD与ABC全等，点D的坐标是______．

【答案】(－4，2)或(－4，3) 【解析】 【分析】 【详解】

把点C向下平移1个单位得到点D（4，2），这时△ABD与△ABC全等，分别作点C，D关于y轴的对称点（-4，3）和（-4，2），所得到的△ABD与△ABC全等. 故答案为(－4，2)或(－4，3).

3．如图，ABC中，ACB90，AC8cm，BC15cm，点M从A点出发沿

ACB路径向终点运动，终点为B点，点N从B点出发沿BCA路径向终点运动，终点为A点，点M和N分别以每秒2cm和3cm的运动速度同时开始运动，两点都要到达相应的终点时才能停止运动，分别过M和N作MEl于E，NFl于F.设运动时间为t秒，要使以点M，E，C为顶点的三角形与以点N，F，C为顶点的三角形全等，则t的值为______.

【答案】

23或7或8 5【解析】 【分析】

易证∠MEC＝∠CFN，∠MCE＝∠CNF．只需MC＝NC，就可得到△MEC与△CFN全等，然后只需根据点M和点N不同位置进行分类讨论即可解决问题． 【详解】

①当0≤t＜4时，点M在AC上，点N在BC上，如图①，

此时有AM＝2t，BN＝3t，AC＝8，BC＝15． 当MC＝NC即8−2t＝15−3t时全等， 解得t＝7，不合题意舍去；

②当4≤t＜5时，点M在BC上，点N也在BC上，如图②，

若MC＝NC，则点M与点N重合，即2t−8＝15−3t， 解得t＝

23； 5当5≤t＜

23时，点M在BC上，点N在AC上，如图③， 3

当MC＝NC即2t−8＝3t−15时全等， 解得t＝7； ④当

2323≤t＜时，点N停在点A处，点M在BC上，如图④， 32

当MC＝NC即2t−8＝8， 解得t＝8； 综上所述：当t等于

23或7或8秒时，以点M，E，C为顶点的三角形与以点N，F，C为5

顶点的三角形全等． 故答案为：【点睛】

本题主要考查了全等三角形的判定以及分类讨论的思想，可能会因考虑不全面而出错，是一道易错题．

23或7或8． 5

4．如图，AB∥CD，O为∠BAC、∠ACD的平分线的交点，OE⊥AC于E，且OE=1，则AB与CD之间的距离等于____．

【答案】2 【解析】

过点O作OF⊥AB于F，作OG⊥CD于G，∵O为∠BAC、∠DCA的平分线的交点，OE⊥AC，∴OE=OF，OE=OG，∴OE=OF=OG=1，∵AB∥CD，∴∠BAC+∠ACD=180°，∴∠EOF+∠EOG=（180°﹣∠BAC）+（180°﹣∠ACD）=180°，∴E、O、G三点共线，∴AB与CD之间的距离=OF+OG=1+1=2．故答案为：2．

点睛：本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，平行线的性质，熟记性质是解题的关键，难点在于作出辅助线并证明E、O、G三点共线．

5．在数学活动课上，小明提出这样一个问题：∠B＝∠C＝90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC，∠CDE＝55°．如图，则∠EAB的度数为_________

【答案】35° 【解析】 【分析】

过点E作EF⊥AD于F，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得CE=EF，再根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上可得AE是∠BAD的平分线，然后求出∠AEB，再根

据直角三角形两锐角互余求解即可． 【详解】

过点E作EF⊥AD于F． ∵DE平分∠ADC，∴CE=EF．

∵E是BC的中点，∴CE=BE，∴BE=EF，∴AE是∠BAD的平分线，∴∠EAB=∠FAE． ∵∠B=∠C=90°，∴∠CDA+∠DAB=180°，∴2∠CDE+2∠EAB=180°，∴∠CDE+∠EAB=90°，∴∠EAB=90°－∠CDE=90°－55°=35°． 故答案为：35°．

【点睛】

本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，角平分线的判定，熟记性质并作辅助线是解题的关键．

6．如图，在四边形ABCD中，∠DAB=∠DCB=90°，CB=CD，AC=6，则四边形ABCD的面积是_________.

【答案】18． 【解析】 【分析】

根据已知线段关系，将△ACD绕点C逆时针旋转90°，CD与CB重合，得到△CBE，证明A、B、E三点共线，则△ACE是等腰直角三角形，四边形面积转化为△ACE面积． 【详解】

∵CD=CB，且∠DCB=90°，∴将△ACD绕点C逆时针旋转90°，CD与CB重合，得到△CBE，∴∠CBE=∠D，AC=EC，∠DCA=∠BCE．

根据四边形内角和360°，可得∠D+∠ABC=180°，∴∠CBE+∠ABC=180°，∴A、B、E三点共线，∴△ACE是等腰直角三角形，∴四边形ABCD面积=△ACE面积= AC2=18．

12

故答案为：18． 【点睛】

本题考查了旋转的性质以及转化思想，解决这类问题要结合已知线段间的数量关系和位置关系进行旋转，使不规则图形转化为规则图形．

7．已知：四边形ABCD中，AB=AD=CD，∠BAD=90°，三角形ABC的面积为1，则线段AC的长度是___________.

【答案】2 【解析】 【分析】

过B作BE⊥AC于E, 过D作DF⊥AC于F,构造利用等腰三角形三线合一的性质得出：AF=为1进行计算即可. 【详解】

过B作BE⊥AC于E, 过D作DF⊥AC于F,

可得BE=AF=

得出BE=AF

，利用三角形ABC的面积

∴∠BEA=∠AFD=90° ∴∠2+∠3=90° ∵∠BAD=90° ∴∠1+∠2=90° ∴∠1=∠3 ∵AB=AD ∴∴BE=AF ∵AD=CD，DF⊥AC

∴AF=∴BE=AF=∴∴AC=2

故答案为：2 【点睛】

本题考查了利用一线三等角构造全等三角形，以及利用三角形面积公式列方程求线段，熟练掌握辅助线做法构造全等是解题的关键.

8．如图，点E是等边△ABC内一点，且EA＝EB，△ABC外一点D满足BD＝AC，且BE平分∠DBC，则∠D＝__________.

【答案】30° 【解析】

试题解析：（1）连接CE，

∵△ABC是等边三角形， ∴AC=BC， 在△BCE与△ACE中，

AC＝BC{AE＝BE CE＝CE∴△BCE≌△ACE（SSS） ∴∠BCE=∠ACE=30° ∵BE平分∠DBC， ∴∠DBE=∠CBE， 在△BDE与△BCE中，

BD＝BC{DBE＝CBE BE＝BE∴△BDE≌△BCE（SAS）， ∴∠BDE=∠BCE=30°．

9．把两个三角板如图甲放置，其中ACBDEC90，A45，D30，斜边AB12，CD14，把三角板DCE绕着点C顺时针旋转15得到△D1CE1（如图乙），此时AB与CD1交于点O，则线段AD1的长度为_________．

【答案】10 【解析】

试题分析：如图所示，∠3=15°，∠E1=90°， ∴∠1=∠2=75°， 又∵∠B=45°， ∴∠OFE1=∠B+∠1=45°+75°=120° ∴∠D1FO=60° ∵∠CD1E1=30°， ∴∠5=∠4=90°， 又∵AC=BC，AB=12， ∴OA=OB=6 ∵∠ACB=90°， ∴CO=

1AB=6， 又∵CD1=CD=14， ∴OD1=CD1-OC=14-6=8， 2在Rt△AD1O中，AD1OA2OD12628210

点睛：本题主要考查的就是旋转的性质、三角形的外角性质、直角三角形的性质及判定以及勾股定理的应用.解决这个问题的关键就是首先根据三角形外角的性质以及旋转图形的性质得出△AOD1为直角三角形，然后根据直角三角形的性质得出AO和OD1的长度，最后根据直角三角形的勾股定理得出答案.

10．如图，△ABC与△DEF为等边三角形，其边长分别为a，b，则△AEF的周长为___________．

【答案】a+b 【解析】

先根据全等三角形的判定AAS判定△AEF≌△BFD，得出AE=BF，从而得出△AEF的周长=AF+AE+EF=AF+BF+EF=a+b． 故答案为：a+b

二、八年级数学全等三角形选择题（难）

11．如图所示，点A、B分别是∠NOP、∠MOP平分线上的点，AB⊥OP于点E，BC⊥MN于点C，AD⊥MN于点D，下列结论错误的是( )

A．AD＋BC＝AB C．∠AOB＝90° 【答案】B 【解析】 【分析】

B．与∠CBO互余的角有两个 D．点O是CD的中点

根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得AD=AE，BC=BE，利用角平分线的定义和平角的性质可得到∠AOB的度数，再利用“HL”证明Rt△AOD和Rt△AOE全等，根据全等三角形对应边相等可得OD=OE，同理可得OC=OE，然后求出∠AOB=90°，然后对各选项分析判断即可得解． 【详解】

∵点A，B分别是∠NOP，∠MOP平分线上的点，∴AD=AE，BC=BE． ∵AB=AE+BE，∴AB=AD+BC，故A选项结论正确；

与∠CBO互余的角有∠COB，∠EOB，∠OAD，∠OAE共4个，故B选项结论错误； ∵点A、B分别是∠NOP、∠MOP平分线上的点，∴∠AOE=∴∠AOB=

11∠EOD，∠BOC=∠MOE，2211=90°(∠EOD+∠MOE)=×180°，故C选项结论正确；

22AOAO在Rt△AOD和Rt△AOE中，，∴Rt△AOD≌Rt△AOE（HL），∴OD=OE，同理

ADAE可得OC=OE，∴OC=OD=OE，∴点O是CD的中点，故D选项结论正确．

故选B． 【点睛】

本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，余角的定义，熟记各性质并准确识图是解题的关键．

12．如图，在△ABC中，P、Q分别是BC、AC上的点，作PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分别为R、

S，若AQ=PQ，PR=PS，则下列四个结论：①PA平分∠BAC；②AS=AR；③QP∥AR；

④△BRP≌△CSP，其中结论正确的的序号为（ ）

A．①②③ 【答案】A 【解析】 【分析】

B．①②④ C．②③④ D．①②③④

根据角平分线性质即可推出②，根据勾股定理即可推出AR=AS，根据等腰三角形性质推出∠QAP=∠QPA，推出∠QPA=∠BAP，根据平行线判定推出QP∥AB即可；没有条件证明△BRP≌△QSP． 【详解】 试题分析：

解：∵PR⊥AB，PS⊥AC，PR=PS，

∴点P在∠A的平分线上，∠ARP=∠ASP=90°， ∴∠SAP=∠RAP，

在Rt△ARP和Rt△ASP中，由勾股定理得：AR=AP﹣PR，AS=AP﹣PS， ∵AP=AP，PR=PS， ∴AR=AS，∴②正确； ∵AQ=QP， ∴∠QAP=∠QPA， ∵∠QAP=∠BAP， ∴∠QPA=∠BAP， ∴QP∥AR，∴③正确； 没有条件可证明

△BRP≌△QSP，∴④错误； 连接RS，

2

2

2

2

2

2

∵PR=PS， ∵PR⊥AB，PS⊥AC，

∴点P在∠BAC的角平分线上， ∴PA平分∠BAC，∴①正确． 故答案为①②③． 故选A.

点睛：本题考查了等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，平行线的性质和判定，角平分线性质的应用，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．

13．如图，在△ABC和△DCB中，AB=DC，AC与BD相交于点E，若不再添加任何字母与辅助线，要使△ABC≌

△DCB，则还需增加的一个条件是（ ）

A．AC=BD 【答案】A 【解析】

B．AC=BC C．BE=CE D．AE=DE

由AB=DC，BC是公共边，即可得要证△ABC≌△DCB，可利用SSS，即再增加AC=DB即可. 故选A.

点睛：此题主要考查了全等三角形的判定，解题时利用全等三角形的判定：

SSS，SAS，ASA，AAS，HL，确定条件即可，此题为开放题，只要答案符合判定定理即可.

14．如图，点P、Q分别是边长为6cm的等边△ABC边AB、BC上的动点，点P从顶点 A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为1cm/s，下面四个结论：

①BQAM②△ABQ≌△CAP③CMQ的度数不变，始终等于60④当第 2秒或第4秒时，△PBQ为直角三角形，正确的有（ ）个．

A．1 【答案】C 【解析】

B．2 C．3 D．4

∵点P、Q速度相同， ∴APBQ．

在△ACP和△ABQ中，

APBQCAPABQ60， ACBA∴△ACP≌△BAQ，故②正确． 则AQCCPB．

即BBAQBAQAMP． ∴AMPB60．

则CMQAMP60，故③正确． ∵APM不一定等于60． ∴APAM．

∴BQAM．故①错误． 设时间为t，则AP=BQ=t，PB=4-t ①当∠PQB=90°时， ∵∠B=60°，

∴PB=2BQ，得6-t=2t，t=2 ； ②当∠BPQ=90°时， ∵∠B=60°，

∴BQ=2BP，得t=2（6-t），t=4；

∴当第2秒或第4秒时，△PBQ为直角三角形． ∴④正确. 故选C.

点睛：本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知识点，综合性强，难度较大．

15．在边长为1的正方形网格中标有A、B、C、D、E、F六个格点，根据图中标示的各点位置，与△ABC全等的是（ ）

A．△ACF

【答案】C 【解析】 【分析】

B．△ACE

D．△CEF

C．△ABD

利用勾股定理先分别求得△ABC的各边长以及各选项中三角形的各边长，再根据三角形全等的判定方法进行判定即可得. 【详解】

在△ABC中，AB=3212=10，BC=1212=2，AC=22，

A、在△ACF中，AF=2212=5≠10，5≠2，5≠22，则△ACF与△ABC不全等，故不符合题意；

B、在△ACE中，AE=3≠10，3≠2，3≠22，则△ACE与△ABC不全等，故不符合题意； C、在△ABD中，AB=AB，AD=2=BC，BD=22=AC，则由SSS可证明△ACE与△ABC全等，故符合题意；

D、在△CEF中，CF=3≠10，3≠2，3≠22，则△CEF与△ABC不全等，故不符合题意， 故选C.

【点睛】

本题考查了勾股定理以及全等三角形的判定，熟练掌握勾股定理以及全等三角形的判定方法是解题的关键.

16．如图，△ABC的两条外角平分线AP、CP相交于点P，PH⊥AC于H；如果∠ABC=60º，则下列结论：①∠ABP=30º；②∠APC=60º；③PB=2PH；④∠APH=∠BPC；其中正确的结论

个数是（ ）

A．1 【答案】B 【解析】 【分析】

B．2 C．3 D．4

作PM⊥BC于M，PN⊥BA于N．根据角平分线的性质定理可证得PN=PM，再根据角平分线的判定定理可得PB平分∠ABC，即可判定①；证明△PAN≌△PAH，△PCM≌△PCH，根据全等三角形的性质可得∠APN=∠APH，∠CPM=∠CPH，由此即可判定②；在Rt△PBN中，∠PBN=30°，根据30°角直角三角形的性质即可判定③；由∠BPN=∠CPA=60°即可判定④. 【详解】

如图，作PM⊥BC于M，PN⊥BA于N．

∵∠PAH=∠PAN，PN⊥AD，PH⊥AC， ∴PN=PH，同理PM=PH， ∴PN=PM， ∴PB平分∠ABC， ∴∠ABP=

1∠ABC=30°，故①正确， 2∵在Rt△PAH和Rt△PAN中，

PAPA， PNPH∴△PAN≌△PAH，同理可证，△PCM≌△PCH， ∴∠APN=∠APH，∠CPM=∠CPH， ∵∠MPN=180°-∠ABC=120°，

1∠MPN=60°，故②正确， 2在Rt△PBN中，∵∠PBN=30°，

∴∠APC=

∴PB=2PN=2PH，故③正确， ∵∠BPN=∠CPA=60°，

∴∠CPB=∠APN=∠APH，故④正确． 综上，正确的结论为①②③④. 故选D. 【点睛】

本题考查了角平分线的性质定理及判定定理、全等三角形的判定与性质及30°角直角三角形的性质，熟练运用相关知识是解决问题的关键.

17．如图，在▱ABCD中，AD=2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上，连接

EF、CF，则下列结论中①∠DCF=x13,x21∠BCD；②EF=CF；

③S△BEC=2S△CEF；④∠DFE=3∠AEF．一定成立的是（ ）

A．①② 【答案】D 【解析】

①∵F是AD的中点， ∴AF=FD，

B．①③④ C．①②③ D．①②④

∵在?ABCD中，AD=2AB， ∴AF=FD=CD， ∴∠DFC=∠DCF， ∵AD∥BC， ∴∠DFC=∠FCB， ∴∠DCF=∠BCF，

∴∠DCF=12∠BCD，故此选项正确； 延长EF，交CD延长线于M，

∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴∠A=∠MDF， ∵F为AD中点，

∴AF=FD，

在△AEF和△DFM中，

∠A＝∠FDMAF＝DF∠AFE＝∠DFM， ∴△AEF≌△DMF（ASA）， ∴FE=MF，∠AEF=∠M， ∵CE⊥AB， ∴∠AEC=90°， ∴∠AEC=∠ECD=90°， ∵FM=EF，

∴FC=FM，故②正确； ③∵EF=FM， ∴S△EFC=S△CFM， ∵MC＞BE， ∴S△BEC＜2S△EFC 故S△BEC=2S△CEF错误； ④设∠FEC=x，则∠FCE=x， ∴∠DCF=∠DFC=90°-x， ∴∠EFC=180°-2x，

∴∠EFD=90°-x+180°-2x=270°-3x， ∵∠AEF=90°-x，

∴∠DFE=3∠AEF，故此选项正确． 故正确的有：①②④． 故选D.

18．在△ABC与△DEF中，下列各组条件，不能判定这两个三角形全等的是（ ） A．AB＝DE，∠B＝∠E，∠C＝∠F B．AC＝DE，∠B＝∠E，∠A＝∠F C．AC＝DF，BC＝DE，∠C＝∠D D．AB＝EF，∠A＝∠E，∠B＝∠F 【答案】B

【解析】利用全等三角形的判定定理，分析可得：

A、AB=DE，∠B=∠E，∠C=∠F可利用AAS证明△ABC与△DEF全等； B、∠A=∠F，∠B=∠E，AC=DE，对应边不对应，不能证明△ABC与△DEF全等； C、AC=DF，BC=DE，∠C=∠D可利用ASA证明△ABC与△DEF全等； D、AB=EF，∠A=∠E∠B=∠F可利用SAS证明△ABC与△DEF全等； 故选：D．

点睛：本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．

19．如图，∠ABCACB，AD、BD、CD分别平分ABC的EAC、ABC、

ACF，以下结论：①AD∥BC；②ACB2ADB；③ADC90ABD；④BD分ADC；⑤3BDCBAC。其中误的结论有（ ）

A．1个 【答案】B 【解析】 【分析】

B．2个 C．3个 D．4个

根据角平分线定义得出∠ABC=2∠ABD=2∠DBC，∠EAC=2∠EAD，∠ACF=2∠DCF，根据三角形的内角和定理得出∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，根据三角形外角性质得出

∠ACF=∠ABC+∠BAC，∠EAC=∠ABC+∠ACB，根据已知结论逐步推理，即可判断各项． 【详解】

解：∵AD平分∠EAC， ∴∠EAC=2∠EAD，

∵∠EAC=∠ABC+∠ACB，∠ABC=∠ACB， ∴∠EAD=∠ABC， ∴AD∥BC，∴①正确； ∵AD∥BC， ∴∠ADB=∠DBC，

∵BD平分∠ABC，∠ABC=∠ACB， ∴∠ABC=∠ACB=2∠DBC， ∴∠ACB=2∠ADB，∴②正确；

在△ADC中，∠ADC+∠CAD+∠ACD=180°， ∵CD平分△ABC的外角∠ACF， ∴∠ACD=∠DCF， ∵AD∥BC，

∴∠ADC=∠DCF，∠ADB=∠DBC，∠CAD=∠ACB ∴∠ACD=∠ADC，∠CAD=∠ACB=∠ABC=2∠ABD，

∴∠ADC+∠CAD+∠ACD=∠ADC+2∠ABD+∠ADC=2∠ADC+2∠ABD=180°， ∴∠ADC+∠ABD=90°

∴∠ADC=90°-∠ABD，∴③正确； ∵BD平分∠ABC，

∴∠ABD=∠DBC，

1ABC， 2∴∠ADB不等于∠CDB，∴④错误；

∵∠ADB=∠DBC，ADC90∵∠ACF=2∠DCF，∠ACF=∠BAC+∠ABC，∠ABC=2∠DBC，∠DCF=∠DBC+∠BDC， ∴∠BAC=2∠BDC，∴⑤错误； 综上所述，错误的是④⑤ 即错误的有2个， 故选：B． 【点睛】

考查了三角形外角性质，角平分线定义，平行线的判定，三角形内角和定理的应用，主要考察学生的推理能力．

20．已知：如图，在长方形ABCD中，AB=4，AD=6．延长BC到点E，使CE=2，连接DE，动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC-CD-DA向终点A运动，设点P的运动时间为t秒，当t的值为_____秒时，△ABP和△DCE全等．

D．3或7

A．1 【答案】C 【解析】 【分析】

B．1或3 C．1或7

分两种情况进行讨论，根据题意得出BP=2t=2和AP=16-2t=2即可求得． 【详解】

解：因为AB=CD，若∠ABP=∠DCE=90°，BP=CE=2，根据SAS证得△ABP≌△DCE， 由题意得：BP=2t=2， 所以t=1，

因为AB=CD，若∠BAP=∠DCE=90°，AP=CE=2，根据SAS证得△BAP≌△DCE， 由题意得：AP=16-2t=2， 解得t=7．

所以，当t的值为1或7秒时．△ABP和△DCE全等． 故选C． 【点睛】

本题考查全等三角形的判定，判定方法有：ASA，SAS，AAS，SSS，HL．

21．如图，△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，与CD相交于点F，DH⊥BC于H，交BE于G．下列结论：

①BD=CD；②AD+CF=BD；③CE=

1BF；④AE=BG．其中正确的是 2

A．①② 【答案】C 【解析】 【分析】

B．①③ C．①②③ D．①②③④

根据∠ABC=45°，CD⊥AB可得出BD=CD，利用AAS判定Rt△DFB≌Rt△DAC，从而得出DF=AD，BF=AC．则CD=CF+AD，即AD+CF=BD；再利用AAS判定Rt△BEA≌Rt△BEC，得出CE=AE=

111AC，又因为BF=AC所以CE=AC=BF，连接CG．因为△BCD是等腰直角三角222形，即BD=CD．又因为DH⊥BC，那么DH垂直平分BC．即BG=CG．在Rt△CEG中，CG是斜边，CE是直角边，所以CE解：∵CD⊥AB,∠ABC=45°， ∴△BCD是等腰直角三角形. ∴BD=CD.故①正确； 在Rt△DFB和Rt△DAC中，

∵∠DBF=90°−∠BFD,∠DCA=90°−∠EFC，且∠BFD=∠EFC， ∴∠DBF=∠DCA.

又∵∠BDF=∠CDA=90°，BD=CD， ∴△DFB≌△DAC. ∴BF=AC；DF=AD. ∵CD=CF+DF，

∴AD+CF=BD；故②正确； 在Rt△BEA和Rt△BEC中. ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE=∠CBE.

又∵BE=BE,∠BEA=∠BEC=90°， ∴Rt△BEA≌Rt△BEC. ∴CE=AE=

1AC. 2又由(1)，知BF=AC， ∴CE=

11AC=BF；故③正确； 22

连接CG.

∵△BCD是等腰直角三角形， ∴BD=CD. 又DH⊥BC，

∴DH垂直平分BC.∴BG=CG. 在Rt△CEG中，

∵CG是斜边，CE是直角边， ∴CE本题考查了等腰直角三角形、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质.此类问题涉及知识点较多，需要对相关知识点有很高的熟悉度.

22．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，∠EAF＝

1∠BAD，若DF＝1，BE＝5，则线段EF的长为（ ） 2

A．3 【答案】B 【解析】 【分析】

B．4 C．5 D．6

在BE上截取BG＝DF，先证△ADF≌△ABG，再证△AEG≌△AEF即可解答． 【详解】

在BE上截取BG＝DF，

∵∠B+∠ADC＝180°，∠ADC+∠ADF＝180°， ∴∠B＝∠ADF， 在△ADF与△ABG中

ABADBADF， BGDF∴△ADF≌△ABG（SAS）， ∴AG＝AF，∠FAD＝∠GAB， ∵∠EAF＝

1∠BAD， 2∴∠FAE＝∠GAE， 在△AEG与△AEF中

AGAFFAEGAE， AEAE∴△AEG≌△AEF（SAS） ∴EF＝EG＝BE﹣BG＝BE﹣DF＝4． 故选：B． 【点睛】

考查了全等三角形的判定与性质，证明三角形全等是解决问题的关键．

23．如图，点B，F，C，E在同一条直线上，点A，D在直线BE的两侧，AB∥DE，BF＝CE，添加一个适当的条件后，仍不能使得△ABC≌△DEF（ ）

A．AC＝DF 【答案】A 【解析】 【分析】

B．AC∥DF C．∠A＝∠D D．AB＝DE

根据AB∥DE证得∠B＝∠E，又已知BF＝CE证得BC＝EF，即已具备两个条件：一边一角，再依次添加选项中的条件即可判断.

【详解】 ∵AB∥DE， ∴∠B＝∠E， ∵BF＝CE， ∴BF+FC＝CE+FC， ∴BC＝EF，

若添加AC＝DF，则不能判定△ABC≌△DEF，故选项A符合题意；

若添加AC∥DF，则∠ACB＝∠DFE，可以判断△ABC≌△DEF（ASA），故选项B不符合题意；

若添加∠A＝∠D，可以判断△ABC≌△DEF（AAS），故选项C不符合题意； 若添加AB＝DE，可以判断△ABC≌△DEF（SAS），故选项D不符合题意； 故选：A．

【点睛】

此题考查三角形全等的判定定理，熟练掌握定理，并能通过定理去判断条件是否符合全等是解决此题的关键.

24．如图，AOB的外角CAB,DBA的平分线AP,BP相交于点P，PEOC于E，

PFOD于F，下列结论：（1）PEPF；（2）点P在COD的平分线上；（3）APB90O，其中正确的有 （ ）

A．0个 【答案】C 【解析】 【分析】

B．1个 C．2个 D．3个

过点P作PG⊥AB，由角平分线的性质定理，得到PEPGPF，可判断（1）（2）正

11EPF，EPFO180，得到APB90O，可判断22（3）错误；即可得到答案． 【详解】

确；由APB

解：过点P作PG⊥AB，如图：

∵AP平分∠CAB，BP平分∠DBA，PEOC，PFOD，PG⊥AB， ∴PEPGPF；故（1）正确； ∴点P在COD的平分线上；故（2）正确； ∵APBAPGBPG又EPFO180，

1EPF， 211(180O)90O；故（3）错误； 22∴正确的选项有2个； 故选：C． 【点睛】

∴APB本题考查了角平分线的判定定理和性质定理，解题的关键是熟练掌握角平分线的判定和性质进行解题．

25．如图，△ABC是等边三角形，AQ=PQ，PR⊥AB于点R，PS⊥AC于点S，PR=PS.下列结论：①点P在∠A的角平分线上；②AS=AR；③QP∥AR；④△BRP≌△QSP．其中，正确的有（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D

【解析】∵△ABC是等边三角形，PR⊥AB，PS⊥AC，且PR=PS，∴P在∠A的平分线上，故①正确；

由①可知，PB=PC，∠B=∠C，PS=PR，∴△BPR≌△CPS，∴AS=AR，故②正确； ∵AQ=PQ，∴∠PQC=2∠PAC=60°=∠BAC，∴PQ∥AR，故③正确；

由③得，△PQC是等边三角形，∴△PQS≌△PCS，又由②可知，④△BRP≌△QSP，故④也正确，∵①②③④都正确，故选D．

点睛：本题考查了角平分线的性质与全等三角形的判定与性质，准确识图并熟练掌握全等三角形的判定方法与性质是解题的关键．

26．如图，在△ABC中，D、E分别是AC、AB上的点，BD与CE相交于点O，给出四个条件：①OB=OC；②∠EBO=∠DCO；③∠BEO=∠CDO；④BE=CD．上述四个条件中，选择两个可以判定△ABC是等腰三角形的方法有（ ）

A．2种 【答案】C 【解析】 【分析】

B．3种 C．4种 D．6种

①②：求出OBC=∠OCB，推出∠ACB=∠ABC即可的等腰三角形；①③：证△EBO≌△DCO，得出∠EBO=∠DCO，求出∠ACB=∠ABC即可；②④：证

△EBO≌△DCO，推出OB=OC，求出∠ABC=∠ACB即可；③④：证△EBO≌△DCO，推出∠EBO=∠DCO，OB=OC，求出∠OBC=∠OCB，推出∠ACB=∠ABC即可． 【详解】

解：有①②，①③，②④，③④，共4种， ①②，

理由是：∵OB=OC， ∴∠OBC=∠OCB， ∵∠EBO=∠DCO，

∴∠EBO+∠OBC=∠DCO+∠OCB， 即∠ABC=∠ACB， ∴AB=AC，

即△ABC是等腰三角形； ①③，

BEOCDO理由是：∵在△EBO和△DCO中EOBDOC ，

OBOC∴△EBO≌△DCO， ∴∠EBO=∠DCO， ∵∠OBC=∠OCB（已证）， ∴∠EBO+∠OBC=∠DCO+∠OCB， 即∠ABC=∠ACB， 即AB=AC，

∴△ABC是等腰三角形； ②④，

BEOCDO理由是：∵在△EBO和△DCO中EOBDOC，

BECD∴△EBO≌△DCO， ∴OB=OC， ∴∠OBC=∠OCB，

∴∠EBO+∠OBC=∠DCO+∠OCB， 即∠ABC=∠ACB， 即AB=AC，

∴△ABC是等腰三角形； ③④，

BEOCDO理由是：∵在△EBO和△DCO中EOBDOC，

BECD∴△EBO≌△DCO， ∴∠EBO=∠DCO，OB=OC， ∴∠OBC=∠OCB，

∴∠EBO+∠OBC=∠DCO+∠OCB， 即∠ABC=∠ACB， 即AB=AC，

∴△ABC是等腰三角形； 故选C．

27．如图，已知AB＝AC，AF＝AE，∠EAF＝∠BAC，点C、D、E、F共线．则下列结论，其中正确的是（ ）

①△AFB≌△AEC；②BF＝CE；③∠BFC＝∠EAF；④AB＝BC．

A．①②③ 【答案】A 【解析】 【分析】

B．①②④ C．①② D．①②③④

根据题意结合图形证明△AFB≌△AEC；利用四点共圆及全等三角形的性质问题即可解决． 【详解】 如图，

∵∠EAF=∠BAC， ∴∠BAF=∠CAE； 在△AFB与△AEC中，

AF＝AEBAF＝CAE， AB＝AC∴△AFB≌△AEC（SAS）， ∴BF=CE；∠ABF=∠ACE， ∴A、F、B、C四点共圆， ∴∠BFC=∠BAC=∠EAF； 故①、②、③正确，④错误． 故选A.． 【点睛】

本题主要考查了全等三角形的判定及其性质的应用问题；解题的关键是准确找出图形中隐含的全等三角形，灵活运用四点共圆等几何知识来分析、判断、推理或证明．

28．如图，在△ABC中，AB=AC，高BD，CE交于点O，AO交BC于点F，则图中共有全等三角形（ ）

A．8对 【答案】B 【解析】 【分析】

B．7对 C．6对 D．5对

易证△ABC是关于AF对称的图形，其中的小三角形也关于AF对称，共可找出7对三角形. 【详解】

全等的三角形有：①△AFB≌△AFC；②△CEB≌△BDC；③△AEO≌△ADO；④△EOB≌△DOC；⑤△OBF≌△OFC；⑥△AOB≌△AOC；⑦△AEC≌△ADB 证明①△AFB≌△AFC ∵AB=AC，CE⊥AB，BD⊥AC

又∵SABC11ABCEACBD 22∴CE=BD

∴在Rt△BCE和Rt△CBD中

BCBC CEBD∴△BCE≌△CBD ∴BE=CD，∴AE=AD 在Rt△AEO和Rt△ADO中

AEAD AOAO∴△AEO≌△ADO ∴∠EOD=∠DOA 在△BAF和△CAF中

ABACBAFCAF AFAF∴△BAF≌△CAF，得证 其余全等证明过程类似 故选：B 【点睛】

本题考查全等的证明，解题关键是利用等腰三角形的性质，推导出图形中边的关系，为证全等作准备

29．如图所示，OP平分AOB，PAOA，PBOB，垂足分别为A、B．下列结论中不一定成立的是（ ）．

A．PAPB C．OAOB 【答案】D 【解析】 【分析】

B．PO平分APB D．AB垂直平分OP

根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得出PA=PB，再利用“HL”证明△AOP和

△BOP全等，可得出APOBPO，OA=OB，即可得出答案． 【详解】

解：∵OP平分AOB，PAOA，PBOB ∴PAPB，选项A正确； 在△AOP和△BOP中，

POPO， PAPB∴AOPBOP

∴APOBPO，OA=OB，选项B，C正确；

由等腰三角形三线合一的性质，OP垂直平分AB，AB不一定垂直平分OP，选项D错误． 故选：D． 【点睛】

本题考查的知识点是角平分线的性质以及垂直平分线的性质，熟记性质定理是解此题的关键．

30．如图，在等腰△ABC中，ACB90，AC8，F是AB边上的中点，点D、E分别在AC、BC边上运动，且保持ADCE,连接DE、DF、EF在此运动变化的过程中，下列结论：(1)DEF是等腰直角三角形；(2)四边形CDFE不可能为正方形，（3）DE长度的最小值为4；（4）连接CF，CF恰好把四边形CDFE的面积分成1：2两部分，则CE1或314其中正确的结论个数是 3

A．1个 【答案】A 【解析】 【分析】

B．2个 C．3个 D．4个

连接CF，证明△ADF≌△CEF，根据全等三角形的性质判断①，根据正方形的判定定理判断②，根据勾股定理判断③，根据面积判断④． 【详解】

连接CF，

∵△ABC是等腰直角三角形， ∴∠FCB=∠A=45 ，CF=AF=FB； ∵AD=CE，

∴△ADF≌△CEF(SAS)； ∴EF=DF，∠CFE=∠AFD； ∵∠AFD+∠CFD=90∘， ∴∠CFE+∠CFD=∠EFD=90∘， 又∵EF=DF

∴△EDF是等腰直角三角形(故(1)正确).

当D. E分别为AC、BC中点时,四边形CDFE是正方形(故(2)错误). 由于△DEF是等腰直角三角形，因此当DE最小时，DF也最小； 即当DF⊥AC时,DE最小,此时DF∴DE2DF42 (故(3)错误). ∵△ADF≌△CEF， ∴S△CEF=S△ADF ∴S四边形CDFE=S△AFC,

∵CF恰好把四边形CDFE的面积分成1：2两部分 ∴S△CEF：S△CDF=1:2 或S△CEF：S△CDF=2:1 即S△ADF：S△CDF=1:2 或S△ADF：S△CDF=2:1 当S△ADF：S△CDF=1:2时，S△ADF=又∵S△ADF=∴2AD=

1BC4 . 211116S△ACF=84 33231AD42AD 216 3∴AD=(故(4)错误). 故选：A. 【点睛】

本题考查了全等三角形，等腰直角三角形，以及勾股定理，掌握全等三角形，等腰直角三角形，以及勾股定理是解题的关键.

83