一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）
1. 要使二次根式√2𝑥+3有意义，字母x的取值必须满足( )
A. 𝑥≥0
2. 若
𝑥+𝑦𝑦3
5
𝑥
B. 𝑥≥2
3
C. 𝑥≥−3
2
D. 𝑥≥−2
3
=3，则𝑦等于 ( )
A. 2
B. 3
8
C. 3
2
D. 8
5
3. 下列二次根式中，与√6是同类二次根式的是( )
A. √12 B. √18
C. √23
D. √30
4. 某快递公司，今年1月份与3月份完成投递的快递总件数分别为6.8万件和9万件，设该快递公
司这两个月投递总件数的月平均增长率为x，则下列方程正确的是( )
A. 6.8(1+2𝑥)=9
C. 6.8+6.8(1+𝑥)+6.8(1+𝑥)2=9
B. 6.8(1+𝑥)=9 D. 6.8(1+𝑥)2=9
5. 如图，△𝐴𝐵𝐶与△𝐷𝐸𝐹位似，点O为位似中心．已知OA：𝑂𝐷=1：2，则△𝐴𝐵𝐶与△𝐷𝐸𝐹的面
积比为( )
A. 1：2 B. 1：3 C. 1：4 D. 1：5
6. 用配方法解一元二次方程𝑥2−6𝑥+1=0时，可配方得( )
A. (𝑥−2)2=7 B. (𝑥−2)2=8 C. (𝑥−3)2=7 D. (𝑥 − 3)2=8
7. 某小组做“用频率估计概率”的试验时，绘出的某一结果出现的频率折线图如图，则符合这一
结果的试验可能是( )
A. 抛一枚硬币，出现正面朝上
B. 掷一个正六面体的骰子，出现3点朝上
C. 一副去掉大小王的扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃 D. 从一个装有2个红球1个黑球的袋子中任取一球，取到的是黑球
8. 西周时期，丞相周公旦设置过一种通过测定日影长度来确定时间的仪器，称为圭表．如图是一
个根据北京的地理位置设计的圭表，其中，立柱AC高为𝑎.已知，冬至时北京的正午日光入射角∠𝐴𝐵𝐶约为26.5°，则立柱根部与圭表的冬至线的距离(即BC的长)约为
A. 𝑎sin26.5
∘
B. tan26.5∘
𝑎
C. 𝑎cos26.5
∘
D. cos26.5∘
𝑎
9. 如图，在▱𝐴𝐵𝐶𝐷中，AC与BD相交于点O，E是OD的中点，连接
AE并延长交CD于点F，则𝐷𝐹:𝐹𝐶等于( )
A. 1:4
1:1
B. 1:3 C. 1:2 D.
10. 已知关于x的一元二次方程𝑥2+𝑚𝑥−8=0的一个实数根为2，则另一实数根及m的值分别为
( )
A. 4，−2 B. −4，−2 C. 4，2 D. −4，2
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
11. 计算：5√2−2√2+√3=___________________． 12. 一元二次方程𝑥2+4𝑥=0的两个根是______．
13. 如图，某水库堤坝横断面迎水坡AB的坡比是1：堤坝高𝐵𝐶=50𝑚，√3，
则迎水坡面AB的长度是：______． ∠𝐵𝐶𝐴=90°，14. 如图，在直角三角形ABC中，
D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，若𝐶𝐷=6𝑐𝑚，则EF的长为______．
15. 如图，边长为1的小正方形组成的网格中，△𝐴𝐵𝐶的三个顶点均在格
点上，tan∠𝐵𝐴𝐶=______．
16. 17.如图，在正方形ABCD外侧作直线AP，点B关于直线AP的对称点为
E，连接BE，DE，其中直线DE交直线AP于点F，若∠𝐴𝐷𝐸=25°，则∠𝐹𝐴𝐵=_____°．
三、计算题（本大题共1小题，共8.0分） 17. 计算：
(1)√8+√18√2 (2)(2√6+√3)(2√6−√3)−(3√3−√2)2
四、解答题（本大题共8小题，共78.0分）
18. 已知𝑥1、𝑥2是方程𝑥2−𝑥−3=0的两个根，求(1+𝑥1)(1+𝑥2)的值．
19. 如图，某小区有一块长为24米，宽为8米的矩形空地，计划在
其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为72米 2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道．求人行道的宽度．
20. 如果关于x的一元二次方程𝑘2𝑥2+2(𝑘−1)𝑥+1=0有两个不相等的实数根．
(1)求k的取值范围；
(2)若方程的一个实数根是1，求k的值．
21. 已知：如图，线段AB和射线BM交于点B．
(1)利用尺规完成以下作图，并保留作图痕迹(不写作法)． ①在射线BM上作一点C，使𝐴𝐶=𝐴𝐵；
②作∠𝐴𝐵𝑀的角平分线交AC于D点；
③在射线CM上作一点E，使𝐶𝐸=𝐶𝐷，连接DE．
(2)在(1)所作的图形中，猜想线段BD与DE的数量关系，并证明．
22. 将一副直角三角尺如图放置，
A，E，C在一条直线上，边AB与DE交于点F，已知∠𝐵=60°，∠𝐷=45°，𝐴𝐷=𝐴𝐶=
，求DF的长．
23. 为监控某条生产线上产品的质量，检测员每隔相同时间抽取一件产品，并测量其尺寸，在一天
的抽检结束后，检测员将测得的各数据按从小到大的顺序整理成如下表格： 编号 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨ ⑩ ⑪ ⑫ ⑬ ⑭ ⑮ 尺寸8.72 8.88 8.92 8.93 8.94 8.96 8.97 8.98 9.02 9.03 9.04 9.06 9.07 9.08 b (𝑐𝑚) 按照生产标准，产品等次规定如下：
尺寸(单位：𝑐𝑚) 8.97≤𝑥≤9.03 8.95≤𝑥≤9.05 8.90≤𝑥≤9.10 𝑥<8.90或𝑥>9.10 产品等次 特等品 优等品 合格品 非合格品 注：在统计优等品个数时，将特等品计算在内；在统计合格品个数时，将优等品(含特等品)计算在内．
(1)已知此次抽检的合格率为80%，请判断编号为⑮的产品是否为合格品，并说明理由． (2)将这些优等品分成两组，一组尺寸大于9cm，另一组尺寸不大于9cm，从这两组中各随机抽取1件进行复检，请用树状图或列表法求抽到的2件产品正好是一件特等品和优等品的概率．
24. 如图，在平面直角坐标系xOy中，直线𝐴𝐶︰𝑦=−𝑥+3与x轴交于点C，直线𝐴𝐷:𝑦=2𝑥+1交
于x轴于点B，交y轴于点D，若点E是直线AB上一动点(不与B点重合)，当△𝐵𝑂𝐷与△𝐵𝐶𝐸相
1
似时，求点E的坐标．
25. 已知，∠𝐴𝐵𝐶=90°，𝐴𝐵=𝐵𝐶，𝐴𝐷//𝐵𝐶，𝐴𝐸⊥𝐵𝐷于E点，连接CE
(1)如图1，过E点作𝐸𝐹⊥𝐸𝐶交AB于F点，求证：△𝐴𝐸𝐹∽△𝐵𝐸𝐶；
(2)如图2，过C点作𝐶𝐺⊥𝐵𝐷于G点．若CG是∠𝐵𝐶𝐸的角平分线，求𝐵𝐸的值； (3)在(1)中，若𝐴𝐵=3𝐴𝐷=6，连接CF，直接写出CF的长．
𝐷𝐸
-------- 答案与解析 --------
1.答案：D
解析：
此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数． 根据二次根式有意义的条件可得2𝑥+3≥0，再解不等式即可． 解：由题意得：2𝑥+3≥0， 解得：𝑥≥−2， 故选：D．
3
2.答案：C
解析：
本题考查比例的性质，根据比例的性质计算即可． 解：∵
𝑥
𝑥+𝑦𝑦
=3，
5
5
∴+1=， 𝑦3即𝑦=3． 故选C．
𝑥
2
3.答案：C
解析：
此题考查同类二次根式的知识，属于基础题，比较简单，注意细心将各选项分别化简后再作答.利用开根号的知识分别将各选项进行化简，然后即可得出答案． 解：A．√12=2√3，故本选项错误； B.√18=3√2，故本选项错误； C.√2=√6，故本选项正确；
3
3
D.√30已是最简二次根式，故本选项错误． 故选C．
4.答案：D
解析：解：设该快递公司这两个月投递总件数的月平均增长率为x， 根据题意得：6.8(1+𝑥)2=9． 故选D．
设该快递公司这两个月投递总件数的月平均增长率为x，根据1月份投递的快递总件数×1加增长率和的平方=3月份投递的快递总件数，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据1月份投递的快递总件数×1加增长率和的平方=3月份投递的快递总件数列出关于x的一元二次方程是解题的关键．
5.答案：C
解析：解：∵△𝐴𝐵𝐶与△𝐷𝐸𝐹是位似图形，OA：𝑂𝐷=1：2， ∴△𝐴𝐵𝐶与△𝐷𝐸𝐹的位似比是1：2． ∴△𝐴𝐵𝐶与△𝐷𝐸𝐹的相似比为1：2， ∴△𝐴𝐵𝐶与△𝐷𝐸𝐹的面积比为1：4， 故选：C．
根据位似图形的概念求出△𝐴𝐵𝐶与△𝐷𝐸𝐹的相似比，根据相似三角形的性质计算即可．
本题考查的是位似图形的概念、相似三角形的性质，掌握位似的两个三角形是相似三角形、相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
6.答案：D
解析：
此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要先把常数项移项、二次项系数化1，然后左右两边加上一次项系数一半的平方．配方法的一般步骤：(1)把常数项移到等号的右边；(2)把二次项的系数化为1；(3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数． 解：∵𝑥2−6𝑥+1=0， ∴𝑥2−6𝑥=−1， ∴𝑥2−6𝑥+9=−1+9，
∴(𝑥−3)2=8． 故选D．
7.答案：D
解析：[分析]
本题主要考查了用频率估计概率，解题的关键是熟练掌握频率和概率之间的关系．
根据折线图可知，这个事件的频率稳定在0.33附近，即概率为3左右，然后分别计算各个选项中事件的概率，即可做出判断． [详解]
解：从折线图可以看出频率稳定在0.33附近，故概率约为3．
1
1
1
A.抛一枚硬币，出现正面朝上的概率为，不符合题意; 2
B.掷一个正六面体的骰子，出现3点朝上的概率为6，不符合题意;
C.一副去掉大小王的扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃的概率为52=4，不符合题意; D.从一个装有2个红球1个黑球的袋子中任取一球，取到的是黑球概率为，符合题意．
3故选D．
113
1
1
8.答案：B
解析：
𝐴𝐶
本题考查的是解直角三角形的应用.根据tan∠𝐴𝐵𝐶=𝐵𝐶即可解答． 解：根据题意，得
𝐴𝐶𝑎
=
𝐵𝐶𝐵𝐶tan∠𝐴𝐵𝐶=
𝐵𝐶=
𝑎𝑎
=
tan∠𝐴𝐵𝐶𝑡𝑎𝑛26.5°故答案为B．
9.答案：C
解析：
本题考查了平行四边形的性质和相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的性质是关键． 先证明△𝐷𝐸𝐹∽△𝐵𝐸𝐴，得出𝐴𝐵=3，即可得出结论． 解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴𝐴𝐵//𝐶𝐷，𝐴𝐵=𝐶𝐷，𝑂𝐷=𝑂𝐵， ∴△𝐷𝐸𝐹∽△𝐵𝐸𝐴， ∴𝐵𝐴=𝐵𝐸， ∵𝐸为OD的中点， ∴𝐵𝐸=3𝐷𝐸， ∴𝐵𝐴=3， ∴𝐴𝐵=3𝐷𝐹， ∴𝐷𝐹:𝐶𝐷=1:3， ∴𝐷𝐹:𝐹𝐶=1:2． 故选C．
𝐷𝐹
1
𝐷𝐹
𝐷𝐸
𝐷𝐹
1
10.答案：D
解析：
本题考查一元二次方程解的概念.先将方程一个解代入原方程求出m值，再求出另一个解即可．
解：将𝑥=2代入原方程可得， 22+2𝑚−8=0，即𝑚=2， 将𝑚=2代入原方程，
𝑥2+2𝑥−8=0， 即(𝑥+1)2=9， 𝑥1=2，𝑥2=−4，
故另一个实数根为−4，m值为2． 故选D ．
11.答案：3√2+√3
解析：
本题考查的是二次根式的加减，熟知二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变是解答此题的关键．先把各根式化为最简二次根式，再合并同类项即可． 解：5√2−2√2+√3=3√2+√3． 故答案为3√2+√3．
12.答案：𝑥1=0，𝑥2=−4
解析：解：方程整理得：𝑥(𝑥+4)=0， 解得：𝑥1=0，𝑥2=−4． 故答案为：𝑥1=0，𝑥2=−4 方程利用因式分解法求出解即可．
此题考查了解一元二次方程−因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
13.答案：100m
解析：解：∵堤坝横断面迎水坡AB的坡比是1：√3， ∴𝐴𝐶=
𝐵𝐶
√3， 3
∵𝐵𝐶=50𝑚，
∴𝐴𝐶=50√3𝑚，
∴𝐴𝐵=√𝐴𝐶2+𝐶𝐵2=100𝑚， 故答案为：100m． 根据题意可得
𝐵𝐶𝐴𝐶
=
√3
，把𝐵𝐶3
=50𝑚，代入即可算出AC的长，再利用勾股定理算出AB的长即可
此题主要考查了解直角三角形的应用−坡度问题，关键是掌握坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比．
14.答案：6cm
解析：
解：∵∠𝐵𝐶𝐴=90°，D是AB的中点， ∴𝐴𝐵=2𝐶𝐷=12𝑐𝑚，
∵𝐸、F分别是AC、BC的中点， ∴𝐸𝐹=𝐴𝐵=6𝑐𝑚，
21
故答案为：6cm．
本题考查了直角三角形斜边上的中线、三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．根据直角三角形斜边上的中线的性质求出AB，根据三角形中位线定理计算即可．
15.答案：5
解析：解：过C作𝐶𝐹⊥𝐴𝐵于F， 则∠𝐶𝐹𝐵=90°，
3
由图中可知：𝐴𝐹=5，𝐶𝐹=3， 所以tan∠𝐵𝐴𝐶=𝐴𝐹=5， 故答案为：5．
过C作𝐶𝐹⊥𝐴𝐵于F，求出AF和CF的长，再解直角三角形求出即可．
3
𝐶𝐹
3
本题考查了锐角三角函数定义，能构造直角三角形是解此题的关键．
16.答案：20或110
解析：
首先依据题意画出图形，然后再证明△𝐴𝐸𝐵为等腰三角形，然后再依据三角形的内角和定理求解即可． 【详解】
解：如下图所示：连接AE．
∵点B与点E关于AP对称， ∴𝐴𝐸=𝐴𝐵，∠𝐸𝐴𝐹=∠𝐵𝐴𝐹． ∴𝐴𝐸=𝐴𝐷． ∵∠𝐴𝐷𝐸=25°， ∴∠𝐸𝐴𝐷=130°，
∴∠𝐸𝐴𝐵=130°−90°=40°． ∴∠𝐵𝐴𝐹=2∠𝐸𝐴𝐵=20°． 如下图所示：连接AE．
1
∵点B与点E关于AP对称， ∴𝐴𝐸=𝐴𝐵，∠𝐸𝐴𝑃=∠𝐵𝐴𝑃． ∴𝐴𝐸=𝐴𝐷． ∵∠𝐴𝐷𝐸=25°， ∴∠𝐸𝐴𝐷=130°，
∴∠𝐸𝐴𝐵=360°−130°−90°=140°
∴∠𝑃𝐴𝐵=∠𝐸𝐴𝐵=70°，
21
∴∠𝐵𝐴𝐹=180°−∠𝑃𝐴𝐵=180°−70°=110°． 综上所述，∠𝐵𝐴𝐹为20°或110°． 故答案为：20或110．
本题主要考查的是正方形的性质、等腰三角形的性质、翻折的性质，依据题意画出符合题意的图形是解题的关键．
18
17.答案：解：(1)原式=√8+√ 22
=2+3
=5；
(2)原式=24−3−(27−6√6+2)
=21−29+6√6 =6√6−8．
解析：(1)根据二次根式的除法法则运算； (2)利用平方差公式和完全平方公式计算．
本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化简为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
18.答案：解：根据题意得：𝑥1+𝑥2=1，𝑥1·𝑥2=−3，
(1+𝑥1)(1+𝑥2)=1+𝑥1+𝑥2+𝑥1·𝑥2， =1+1−3，
=−1．
解析：本题考查了一元二次方程𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐=0(𝑎≠0)根与系数的关系，根据一元二次方程𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐=0(𝑎≠0)根与系数的关系得到：𝑥1+𝑥2=1，𝑥1·𝑥2=−3，变形(1+𝑥1)(1+𝑥2)得到1+𝑥1+𝑥2+𝑥1·𝑥2，然后利用整体代入进行计算即可．
19.答案：解：设人行道的宽度是xm，则得(24−3𝑥)(8−2𝑥)=72，
解得𝑥=2或𝑥=10(不符合题意，舍去)， 答：人行道的宽度为2米．
解析：根据矩形的面积和为56平方米列出一元二次方程求解即可．
本题考查了一元二次方程的应用，利用两块矩形的面积之和为72𝑚2得出等式是解题关键．
20.答案：解：(1)∵方程有两个不相等的实数根，
∴𝛥=𝑏2−4𝑎𝑐=4(𝑘−1)2−4𝑘2>0，即4−8𝑘>0，
1
∴𝑘<
2
∵𝑘≠0， ∴𝑘<2且𝑘≠0；
(2)∵方程的一个实数根是1， ∴𝑘2+2(𝑘−1)+1=0， ∴𝑘2+2𝑘−1=0， ∴𝑘=−1±√2．
1
解析：本题考查了一元二次方程𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐=0(𝑎≠0)的根的判别式𝛥=𝑏2−4𝑎𝑐：当𝛥>0，方程有两个不相等的实数根；当𝛥=0，方程有两个相等的实数根；当𝛥<0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的解．
(1)根据方程由两个不相等的实数根，则有𝛥>0，可列出不等式，求出k的取值范围； (2)把𝑥=1代入方程，列出k的一元二次方程，求出k的值即可．
21.答案：解：(1)如图所示：
(2)𝐵𝐷=𝐷𝐸，
证明：∵𝐵𝐷平分∠𝐴𝐵𝐶， ∴∠1=∠𝐴𝐵𝐶．
21
∵𝐴𝐵=𝐴𝐶， ∴∠𝐴𝐵𝐶=∠4． ∴∠1=∠4．
2∵𝐶𝐸=𝐶𝐷， ∴∠2=∠3． ∵∠4=∠2+∠3， ∴∠3=∠4．
2∴∠1=∠3． ∴𝐵𝐷=𝐷𝐸．
11
解析：(1)①以A为圆心，AB长为半径画弧交BC于C；②根据角平分线的作法作∠𝐴𝐵𝑀的角平分线；③以C为圆心CD长为半径画弧交CM于E，再连接ED即可；
(2)根据角平分线的性质可得∠1=2∠𝐴𝐵𝐶，根据等边对等角可得∠𝐴𝐵𝐶=∠4，∠2=∠3，然后再证明∠1=∠3，根据等角对等边可得𝐵𝐷=𝐷𝐸．
此题主要考查了复杂作图，以及等腰三角形的性质，关键是正确画出图形，掌握等边对等角和等角对等边．
1
22.答案：解：在𝑅𝑡△𝐴𝐷𝐸中，
∵𝐴𝐷=√6，𝐴𝐸=𝐷𝐸，∠𝐴𝐸𝐷=90°， ∴𝐴𝐸=𝐷𝐸=√3， 在𝑅𝑡△𝐴𝐸𝐹中， ∵∠𝐸𝐴𝐹=30°，
∴𝐸𝐹=𝐴𝐸⋅𝑡𝑎𝑛30°=1， ∴𝐷𝐹=𝐷𝐸−𝐸𝐹=√3−1．
解析：本题考查勾股定理，解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．在𝑅𝑡△𝐴𝐸𝐷中，求出DE，在𝑅𝑡△𝐴𝐸𝐹中，求出EF即可解决问题．
23.答案：解：(1)不合格．
因为15×80%=12，不合格的有15−12=3个，给出的数据只有①②两个不合格， 所以编号为⑮的产品是不合格品．
(2)尺寸大于9cm的有⑨⑩⑪，尺寸不大于9cm的有⑥⑦⑧，其中特等品为⑦⑧⑨⑩ 画树状图为：
共有九种等可能的情况，其中抽到两种产品都是特等品的情况有4种． ∴抽到两种产品都是特等品的概率𝑃=9．
4
解析：本题考查的是利用树状图求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． (1)由15×80%=12，不合格的有15−12=3个，给出的数据只有①②两个不合格可得答案； (2)由特等品为⑦⑧⑨⑩，画树状图列出所有等可能结果，再根据概率公式求解可得．
24.答案：解：𝐴𝐷:𝑦=2𝑥+1，令𝑦=0，则𝑥=−2，
∴𝐵(−2,0)， 令𝑥=0，则𝑦=1， ∴𝐷(0,1)， 直线𝐴𝐶︰𝑦=−𝑥+3 令𝑦=0，则𝑥=3， ∴𝐶(3,0)，
∴𝐵𝐷=√22+12=√5
∵∠𝐷𝑂𝐵=90°，当△𝐵𝑂𝐷与△𝐵𝐶𝐸相似时，△𝐵𝐶𝐸一定有个角为90°，∠𝐶𝐵𝐸不等90°， ∴当∠𝐶𝐸𝐵=∠𝐷𝑂𝐵=90°，且𝐵𝐶=
𝐵𝐷
𝑂𝐷𝐶𝐸
1
=𝐵𝐸,△𝐵𝑂𝐷∽△𝐵𝐸𝐶，
𝐵𝑂
即√=
5
51𝐶𝐸
=
2𝐵𝐸
解得𝐶𝐸=√5，𝐵𝐸=2√5，
过E作𝐸𝐹⊥𝐵𝐶，根据三角形BEC的面积得
11
×2√5×√5=×5𝐸𝐹 22
𝐸𝐹=2，
∴𝐸(2,2);
当∠𝐸𝐶𝐵=∠𝐷𝑂𝐵=90°，且𝐵𝐶=即5=𝐶𝐸
解得𝐶𝐸=2,𝐶(3,2) ∴点E的坐标𝐸(2,2)或(3,2).
5
5
5
2
1
𝐵𝑂𝑂𝐷𝐶𝐸
,△𝐵𝑂𝐷∽△𝐵𝐶𝐸，
解析：本题考查了一次函数的应用，相似三角形的性质等，先确定B，C，D的坐标，求得BD，再分当∠𝐶𝐸𝐵=∠𝐷𝑂𝐵=90°和当∠𝐸𝐶𝐵=∠𝐷𝑂𝐵=90°，△𝐵𝑂𝐷∽△𝐵𝐶𝐸，根据对应边成比例，进一步求得点E的坐标．
25.答案：(1)证明：∵∠𝐴𝐸𝐹+∠𝐵𝐸𝐹=90°，∠𝐶𝐸𝐵+∠𝐵𝐸𝐹=90°，
∴∠𝐴𝐸𝐹=∠𝐶𝐸𝐵， ∵𝐴𝐷//𝐵𝐶，
∴∠𝐶𝐵𝐸=∠𝐷=∠𝐸𝐴𝐹， ∴△𝐴𝐸𝐹∽△𝐵𝐸𝐶；
∠𝐸𝐴𝐵=∠𝐺𝐵𝐶
(2)解：在△𝐴𝐵𝐸与△𝐵𝐶𝐺中，{∠𝐴𝐸𝐵=∠𝐶𝐺𝐵=90°，
𝐴𝐵=𝐵𝐶∴△𝐴𝐵𝐸≌△𝐵𝐶𝐺(𝐴𝐴𝑆)， ∴𝐴𝐸=𝐵𝐺，
∵𝐶𝐺是∠𝐵𝐶𝐸的角平分线， ∴𝐶𝐸=𝐶𝐵， ∴𝐵𝐺=𝐸𝐺， ∴𝐴𝐸=𝐵𝐺=𝐸𝐺， ∵𝐵𝐸=2𝐴𝐸，
∵∠𝐷𝐴𝐸+∠𝐸𝐴𝐵=∠𝐸𝐴𝐵+∠𝐴𝐵𝐸=90°， ∴∠𝐷𝐴𝐸=∠𝐴𝐵𝐸， ∴△𝐴𝐷𝐸∽△𝐵𝐴𝐸， ∴∴
(3)解：∵tan∠𝐴𝐵𝐷=𝐴𝐵=𝐵𝐸=3，且△𝐴𝐸𝐹∽△𝐵𝐸𝐶， ∴𝐵𝐶=𝐵𝐸=3， 又∵𝐴𝐵=𝐵𝐶， ∴
=， 𝐴𝐵3
𝐴𝐹
1
𝐴𝐹
𝐴𝐸
1
𝐴𝐷
𝐴𝐸
1
𝐴𝐸𝐷𝐸𝐷𝐸𝐵𝐸
=
𝐵𝐸𝐴𝐸1
=2，
=；
4
∵𝐴𝐵=𝐵𝐶=6， ∴𝐴𝐹=2， ∴𝐵𝐹=4，
∴𝐶𝐹=√𝐵𝐶2+𝐵𝐹2=2√13．
解析：(1)根据余角和平行线的性质得到∠𝐶𝐵𝐸=∠𝐷=∠𝐸𝐴𝐹，由相似三角形的判定即可得到结论； (2)根据全等三角形的性质得到𝐴𝐸=𝐵𝐺，根据角平分线的性质得到𝐶𝐸=𝐶𝐵，等量代换得到𝐴𝐸=𝐵𝐺=𝐸𝐺，由余角的性质得到∠𝐷𝐴𝐸=∠𝐴𝐵𝐸，根据相似三角形的性质即可得到结论；
(3)由三角函数的定义得到tan∠𝐴𝐵𝐷=𝐴𝐵=𝐵𝐸=3，根据相似三角形的性质得到𝐵𝐶=𝐵𝐸=3，等量代换得到𝐴𝐵=3，由勾股定理即可得到结论．
本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判断和性质，角平分线的性质，勾股定理，平行线的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
𝐴𝐹
1
𝐴𝐷
𝐴𝐸
1
𝐴𝐹
𝐴𝐸
1
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