椭圆重点知识点复习

★知识网络★

第1讲椭圆 ★知识梳理★ 1.椭圆定义：

（1） 第一定义：平面内与两个定点 Fl、F2的距离之和为常数2a

F

（2a |F

F

22

|）的动点P的轨迹叫椭圆，其中 两个定点

1

、F2叫椭圆的焦点.

当PF1 PF2 2a F^2时,P的轨迹为椭圆； 当PF1 PF2 2a F^2时，P的轨迹不存在；

当PF1 PF? 2a FT?时，p的轨迹为以F1、F2为端点的线段

；

（2） 椭圆的第二定义：平面内到定点F与定直线丨（定点F不在定直线I上）的距离之比是常数 e（0 e 1） 的点的轨迹为椭圆

（利用第二定义，可以实现椭圆上的动点到焦点的距离与到相应准线的距离相互转化）

2•椭圆的方程与几何性质 标准方程 x y -y — a b 2 2 1(a b 0) 二二 1(a b 0) a b y 2 2 x 参数关系 性 质 2 . 2 2 a b c (0,c),(0, c) (c,0),( c,0) 焦占 八 '、八\\、 焦距 2c 范围 顶点 对称性 离心率 准线 |x| a,| y| b (a,0),(a,0),(0, b),(0,b) 关于x轴、y轴和原点对称 | y| a,|x| b (0, a),(0,a),( b,0),(b,0) c e c (0,1) a 2 a x c c 2 a y x y 2 2 3.点P2 2 (x0,y°)与椭圆孑b 21(a b 0) 2 2 的位置关系： 2 2 1 当a2 b2 时,点P在椭圆外 4•直线与椭圆的位置关系 直线与椭圆相交 ★重难点突破★

0 x y 1 二 y_ 当 a2 b2 时,点P在椭圆内；当a2 b2 1 时,点P在椭圆上 ;直线与椭圆相切 0 ；直线与椭圆相离 0 重点:掌握椭圆的定义标准方程，会用定义法和待定系数法、坐标转移法、求椭圆的标准方程，能通过方程 研究椭圆的几何性质及其应用

难点:椭圆的几何元素与参数

a

，b，c的转换

a,b,c

重难点：运用数形结合，围绕“焦点三角形” ，用代数方法研究椭圆的性质，把握几何元素转换成参数

的关系

1•要有用定义的意识

x 问题1已知Fl、2为椭圆25

F

2

1

的两个焦

过Fi的直线交椭圆于

A、B两点若

F2A 12

则AB

［解析］ABF2的周长为4a 20， AB =8 2•求标准方程要注意焦点的定位

2

1 y_ 1

问题2木椭圆4 m 的离心率为 2，则m

x

2

4 m 1

［解析］当焦点在x轴上时，

2

2

m 3

m 4 1 16

~3

当焦点在y轴上时，m 2

综上 3或3

★热点考点题型探析★ 考点1椭圆定义及标准方程 题型1:椭圆定义的运用

［例1 ］(湖北部分重点中学2009届高三联考)椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭 圆反射m -

16

后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点 A、B是它的焦点，长轴长为2a,焦距为2c,静放在点 A的小球(小球的半径不计) 次回到，从点A沿直线出发，经椭圆壁反弹后第

点A时，小球经过的路程是 A . 4a B . 2(a— c) C. 2(a+c)

D .以上答案均有可能

［解析］按小球的运行路径分三种情况 ：

(1)A C A,此时小球经过的路程为 2(a— c);

⑵A B D B A,此时小球经过的路程为 2(a+c);

⑶A P B Q A此时小球经过的路程为 4a,故选D

【名师指弓I】考虑小球的运行路径要全面 题型2求椭圆的标准方程

［例2 ］设椭圆的中心在原点，坐标轴为对称轴，一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且此焦点与长轴上

【解题思路】将题中所给条件用关于参数

a

，b,c的式子“描述”出来

2

y b2

y 2

2 1(a b

0)

［解析］设椭圆的方程为

a

b c 4(、2

1)

.2 2

则,

b c

x 2

2

y_ x2 2

红1

解之得:

4 - 2 , b=c = 4•则所求的椭圆的方程为 32 16

或16 32

较近的端点距离为4、2 — 4,求此椭圆方程.

【名师指引】准确把握图形特征，正确转化出参数 a,b,c

的数量关系.

［警示］易漏焦点在 y轴上的情况. 考点2椭圆的几何性质

题型1:求椭圆的离心率(或范围) ［例3 ］在厶

ABC中，A 30°,| AB| 2, S ABC 3 .若以A B为焦点的椭圆经过点C ,则该椭圆的 离心率e

【解题思路】由条件知三角形可解，然后用定义即可求出离心率

1

S ABC — |AB| |AC|sinA 屈 ［解析］

|AC| 2j3 |BC| J|AB|2

2

| AC f 2|AB| |AC|cosA 2

2

| AB| |AC| |BC| 2、3 2

【名师指引】（1 ）离心率是刻画椭圆“圆扁”程度的量，决定了椭圆的形状；反之，形状确定，离心率也 随之确定 （2） 只要列出a、b、c的齐次关系式，就能求出离心率（或范围） （3） “焦点三角形”应给予足够关注

题型2:椭圆的其他几何性质的运用（范围、对称性等）

x2

y_ 2

［例4 ］已知实数x,y满足4

2

1 2 2

，求X y X的最大值与最小值

2 2

【解题思

把x y X看作X的函数

2

X 2 2

1

2

［解由 —4 y 1

析］

2 得 y 2 2

x 1

2

2 - X 0

2 2

X 2

2 X y

2

X 1 2 X 21 2

3

2 X

-(X 1)2

-,x

2

［ 2,2］ 3

2 2 — 2 2

当X 1时,x y x取得最小值2 ,当x 2时，x y x

取得最大值6 【名师指引】注意曲线的范围，才能在求最值时不出差错 考点3椭圆的最值问题

题型：动点在椭圆上运动时涉及的距离、面积的最值

X 2

1

［例5 ］椭圆

上的点到直线I：

y 9 0

的距离的最小值为

16

【解题思路】把动点到直线的距离表示为某个变量的函数

［解析］在椭圆上任取一点

P设P（4cos ,3sin

）.那么点P到直线l的距离为: 14cos 3sin

12|

1厂12

【名师指引】也可以直接设点 P

（x,y），用x表示y后，把动点到直线的距离表示为 x的函数，关键是要具有“函数思想” 考点4椭圆的综合应用

题型：椭圆与向量、解三角形的交汇问题

0 1

［例6］已知椭圆C的中心为坐标原点 。，一个长轴端点为 '，短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形, 直线I与y轴交于点P(0，m)，与椭圆C交于相异两点A、B,且AP 3PB .

(1) 求椭圆方程； (2) 求m的取值范围.

【解题思路】通过AP 3PB，沟通A、B两点的坐标关系, 的不等式

2 2

再利用判别式和根与系数关系得到一个关于

c/ 1(a b 0)

［解析］(1)由题意可知椭圆 C为焦点在

y

轴上的椭圆，可设

2 . 2 2

由条件知a 1且b c ,又有a b c，解得

x 1

2

c e — 故椭圆c的离心率为 a

2

，其标准方程为:

2

(2)设I与椭圆C交点为A

(x1 , y1), B (x2 , y2)

y = kx + m

得(k2 + 2) x2 + 2kmx +( m2 - 1 )= 0

2x2 + y2= 1

△=( 2km) 2- 4 ( k2 + 2) ( m2 - 1)= 4 ( k2 — 2m2+ 2) >0

—2km m2 — x1x2 = x1 + x2 = 1 k2 + 2

k2 + 2 x1 + x2 = — 2x2

(* )

T AP = 3 PB .•. — x1 = 3x2

x1x2 = — 3x2

,t ,口 — 2km m2 — 1 消去 x2，得 3 (x1 + x2) 2 + 4x1x2 = 0,. 3 ( ) 2+ 4 = 0

k2 + 2 k2 + 2 整理得 4k2m2 + 2m2 — k2 — 2 = 0 m2= 时，上式不成立； m^时，k2=

4 4 因入=3 . kz 0 . k2 =

1

1

2 — 2m2,

4m2 — 1

2— 2m2 1 ,、1

>0，. — 14m2 — 1 ' 2 2

容易验证k2>2m2 — 2成立，所以(* )成立 1 1

即所求m的取值范围为(一1,— 1)U( 1，1)

【名师指引】椭圆与向量、解三角形的交汇问题是高考热点之一，应充分重视向量的功能