利用复化梯形公式、复化simpson 公式计算积分

要求实验目的或 1、利用复化梯形公式、复化simpson 公式计算积分 2、比较计算误差与实际误差 取n=2,3,…,10分别利用复化梯形公式、复化simpson 公式计算积分Ix2dx，并与真值进行比较，并画出计算误差与实际误差之间的曲线。 01实验原理（算法流程图或者含注释的源代码） 利用复化梯形公式的程序代码如下： function f=fx(x) f=x.^2; ％首先建立被积函数，以便于计算真实值。 a=0; ％积分下线 b=1; ％积分上线 T=[]; ％用来装不同n值所计算出的结果 for n=2:10; h=(b-a)/n; ％步长 x=zeros(1,n+1); ％给节点定初值 for i=1:n+1 x(i)=a+(i-1)*h; ％给节点赋值 end y=x.^2; ％给相应节点处的函数值赋值 t=0; for i=1:n t=t+h/2*(y(i)+y(i+1)); ％利用复化梯形公式求值 end T=[T,t]; ％把不同n值所计算出的结果装入 T中 end R=ones(1,9)*(-(b-a)/12*h.^ 2*2); ％积分余项（计算误差） true=quad(@fx,0,1); ％积分的真实值 A=T-true; ％计算的值与真实值之差（实际误差） x=linspace(0,1,9); plot(x,A,'r',x,R,'*') ％将计算误差与实际误差用图像画出来 注：由于被积函数是x.^2，它的二阶倒数为2，所以积分余项为：(-(b-a)/12*h.^ 2*2) 实 验 原 理 （ 算 法 流 程 图 或 者 含 注 释 的 源 代 码 ） 利用复化simpson 公式的程序代码如下： 同样首先建立被积函数的函数文件： function f=fx1(x) f=x.^4; a=0; ％积分下线 b=1; ％积分上线 T=[]; ％用来装不同n值所计算出的结果 for n=2:10 h=(b-a)/(2*n); ％步长 x=zeros(1,2*n+1); ％给节点定初值 for i=1:2*n+1 x(i)=a+(i-1)*h; ％给节点赋值 end y=x.^4; ％给相应节点处的函数值赋值 t=0; for i=1:n t=t+h/3*(y(2*i-1)+4*y(2*i)+y(2*i+1)); ％利用复化simpson公式求值 end T=[T,t] ; ％把不同n值所计算出的结果装入 T中 end R=ones(1,9)*(-(b-a)/180*((b-a)/2).^4*24) ; ％积分余项（计算误差） true=quad(@fx1,0,1); ％积分的真实值 A=T-true; ％计算的值与真实值之差（实际误差） x=linspace(0,1,9); plot(x,A,'r',x,R,'*') 法二： a=0; b=1; T=[]; for n=2:10 h=(b-a)/(2*n); x=zeros(1,2*n+1); for i=1:2*n+1 x(i)=a+(i-1)*h; end y=x.^4; t=y(1)+y(2*n+1); for i=1:n t=t+4*y(2*i)+2*y(2*i-1); end T=[T,h/3*t]; end true=quad(@fx1,0,1); A=T-true; x=linspace(0,1,9); plot(x,A) 此法与第一种一样，只是所用的表达式不同。 注：由于被积函数是x.^4，它的四阶倒数是24，所以它的积分余项是：(-(b-a)/180*((b-a)/2).^4*24) 实 验 结 果 分 析 及 心 得 体 会 上图是利用复化梯形公式所画出的误差。其中：红线是计算误差，‘＊’号是实际误差。-0.0017是计算误差。0.0417、0.0185、0.0104、0.0067 0.0046、0.0034、0.0026、0.0021、0.0017是n值分别为2到10的实际误差。 上图是利用复化simpson公式所画出的误差。其中：红线是计算误差，‘＊’号是实际误差。 注：纵轴是0.0001。 0.5208、0.1029、0.0326、0.0133、0.0064、0.0035、0.0020、0.0013、0.0008是n值分别为2到10的实际误差，-0.0083是计算误差。 成 绩 评 定 教师签名： 年 月 日