数学思想方法在数列教学中的运用

教学・信息　课程教育研究　Ｃｏｕｒｓｅ　Ｅｄｕｃａｔｉｏｎ　Ｒｅｓｅａｒｃｈ　２０１３年１１月　上旬干　数学思想方法在数列教学中的运用　孙丰亮　娄树庆　（山东省沂源县第一中学　山东沂源２５６１００）　【摘要】数列与函数可以看作是特殊与一般的关系，正是二者之间的这种关系，使得函数思想方法成为了解决数列ｆ＊－Ｉ题的一种重　要思想方法　数列是高中数学的重点和难点，作为数学教师．应明确能够有效解决数列问题的数学思想方法，在教学过程中引导学生　采用适当的数学思想方法解决数列问题，让学生能够熟练运用数学思想方法解决数列问题。教学过程中应重视学生数学思想方法的　运用　本文对一些适用于数列的思想方法做了简要的分析和总结。　【关键词】数学思想方法数列教学　【中图分类号】Ｇ６３３．６　【文献标识码】Ａ　一、前言　数学思想是将知识与能力联系在一起的纽带，是解数学题　过程中所遵循的指导思想。数学思想运用的正确与否，决定了解　题过程的繁简程度。数列是高中数学的一个重点，与其相关的解　题过程蕴含着多种数学思想方法，正确的数学思想方法往往使得　一些数列难题迎刃而解。而且数列是高考数学的难点，阻碍着许　多学生的数学成绩进一步提升。所以．作为高中数学教师，要充分　的挖掘与数列相关的数学思想方法，并教授学生如何运用数学思　想方法解决数列难题，帮助学生提高解决数列问题的能力。笔者　结合多年数学教学经验，对适应数列教学的数学思想方法进行了　分析和总结．现简要概括如下：　二、数列教学中常用的数学思想方法　１．函数的思想方法　数列与函数可以看作是特殊与一般的关系，正是二者之间　的这种关系．使得函数思想方法成为了解决数列问题的一种重要　思想方法。在数列知识内容的讲授过程中，我们可以将数列作为　函数的一种特值．采用所熟悉的函数方法来处理数列问题。通过　运用相关的函数思想．可以研究等比数列和等差数列的性质关　系．也可以研究数列的最值和单调性问题。　例如：已知等差数列｛　｝，其首项为ａｌ（ａ。＞０），前ｎ项和ｓ　，满　足Ｓｘ＝Ｓ　（ｘ≠ｙ）。求Ｓ　，前几项和最大？　根据等差数列的性质我们可以将等差数列看作一次函数，　前ｎ项和看作是二次函数。即ａｎ＝ａｎ＋ｂ（ａ＝ｂ≠０）。Ｓ　：Ａｎ２＋Ｂｎ（ａ＝　ｂ≠Ｏ）。所以．根据题意中的Ｓ　＝Ｓ　，我们可以根据二次函数列出　Ａｘ２＋Ｂｘ＝Ａｙ２＋Ｂｙ，整理后即可得出：（ｘ—ｙ）【Ａ（Ｘ＋ｙ）＋Ｂ１＝０，所以Ａ　（ｘ＋ｙ）＋Ｂ＝０，所以ｓ川＝Ａ（ｘ＋ｙ）　＋Ｂ（ｘ＋ｙ）：（ｘ＋ｙ）［Ａ（Ｘ＋ｙ）＋Ｂ】＝Ｏ。在求　前几项和最大时，同样采用二次函数，列出函数Ｓ（Ｘ１＝Ａｘ２＋Ｂｘ（Ａ＜　０），由于ｓ（０）＝０，ｓ　ｆｏ，所以ｓ（Ｘ）是ｘ＝兰　以为对称轴的函数，所　以我们可以根据二次函数的图像性质得出当ｘ，ｖ为一奇一偶时，　－ｄｆｆｘ＋ｙ＋ｌ一、．ｘ＋ｙ　－１　和ｅ－大，当ｘ，ｙ为同奇或同偶时，前篓　项　．Ｚ　．和最大。　除上述函数思想方法以外．还可以通过函数的观点研究数　列的周期性．也可以研究数列之间的相互转化．教师应熟练把握　函数思想在解决数列问题上的应用．并帮助学生熟练运用函数思　想解决数列问题。　２．分类讨论的思想方法　分类讨论法主要使用于在整个论域内无法解决问题的题　型．这种情况下．往往按照解题要求将整个论域划分为几个小的　论域．然后在每个论域下分别解题。在数列的相关题型中，有一些　题型需要分类讨论解题，采用分类讨论的思想方法，可以简化一　些数列问题　例如：已知数列｛　｝的前ｎ项和为ｓ　３２一ｎ　，求数列｛Ｉａ　Ｉ｝的　前ｎ项和Ｆ　在这一题中，可知ａｌ＝ｓ　＝３１，所以当ｎ≥２时，可以根据公式　ａ．＝Ｓ．－Ｓｎ－１求出数列　的解析式，即ａｎ＝一２ｎ＋３３；然后根据数列的　解析式可以看出数列ｆ　是以３１为首项，一２为公差的等差数列，　所以其Ｓ　会随ｎ的逐渐增加会先增加后减少。所以要分开讨论，　讨论的依据就是数列ｆａｎ｝是否为正数。所以根据－２ｎ－３３≥０可得　出ｎ≤１６．５，所以当ｎ≤１６时，ａＩｌ为正数，所以当ｎ≥１６时，ａＴｌ为负　数，即ｎ＝１６确定为要讨论的点。然后就可以根据等差数列的前ｎ　・１５　６．　【文章编号】２０９５－３０８９（２０１３）１１－０１５６—０１　项和确定Ｆｎ。　３．类比推理的思想方法　在高中数学中，类比推理是解决数学问题的重要手段，一些　数列问题．采用类比方法也会得到比较显著的效果。所谓类比推　理．就是通过比较和分析，发现不同式子或概念之间的共有关系，　进而达到解题的目的。例如等比数列和等差数列之间的类比，可　以通过等比数列的性质：如果ｐ　ｑ＝ｍ＋ｎ，则ｂＤｂ。＝ｂｍｂ　，类比出等　差数列如果ｐ＋ｑ＝ｍ＋ｎ，则ｂｎ＋ｂ。＝ｂ巾＋ｂ　。因为通过类比不难发现，　将等比数列的公比ｑ换成等差数列的公差ｄ，并将“乘除”换成“加　减”．就可以根据等比数列的性质类比等差数列的性质。除此之　外，还可以根据等比数列和等差数列概念、定理进行相互类比。而　且．近几年的高考及各地的模拟试卷中出现了多次数列类比推理　问题，可见，类比推理已成为数列问题的考察重点。所以，作为数　学教师。在讲授与类比推理相关的问题时，应重视学生这一独特　思维方式的培养。锻炼学生采用类比推理思想解题的能力。　４．方程的思想方法　所谓方程的思想，就是分析问题的数量关系，然后使用数学　的特定格式，将问题的一些数量关系转化成数学模型，例如将函　数转化成方程．然后通过解方程来解决函数问题。在数列问题中，　由于数列可以看做特殊的函数，所以也可以将数列转化成方程来　解决问题　●　ａ　＿　例如，已知等差数列｛ａｎ｝，－ｇ－￣３＇］ｂ　＝（—　１）　，ｂｌｂ　３＝　１－，ｂｌ＋ｂ２＋　ｂ３＝￣ＳＬ，求ａｎ。　由等差数列的性质我们可以得出，ｂ１ｂ２ｂ　｝）　“＝（争）　＝　［（｝）　］　＝　１，我们可以得出ｂｚ　（争）　１。根据这一结论，我们就　可以将数列转化成方程，得到方程ｂ，ｂ３＝　ｔ，ｂｌ＋ｂ　＝　，通过解方　ｏ　程就可以得出ｂ１和ｂ３的值，进而求出ａｌ＝３，ｄ＝一２或ａ　＝一１，ｄ＝２，　就可以通过ａ】和ｄ求出ａｎ分别问ａ￣＝５－２ｎ或ａｔ　２ｎ一３。　方程的思想是一种学生从小学就开始培养的数学思想，学　生已经熟练掌握了对这种思想的运用，但在数列知识的教学过程　中．如何将数列与方程衔接是运用方程思想解决数列问题的关　键。因此．在讲解相关数列问题时，教师应引导学生寻找数列和方　程的衔接点，进而提高学生的解题能力。　兰、小结　数列是高中数学的重点和难点，作为数学教师，应明确能够　有效解决数列问题的数学思想方法。在教学过程中引导学生采用　适当的数学思想方法解决数列问题，让学生能够熟练运用数学思　想方法解决数列问题。提高数列教学的效果，对于提高学生的应　考能力都是一个大课题．作为老师要充分认识这部分内容的重要　性．采取恰当的教学方法，优化教学模式，引导学生掌握必要的解　题技巧和解题方法。　参考文献：　『１］宁江涛．运用类比的方法学习等比数列［Ｉ１．新课程学习　（基础教育）．２０１０（０２）　『２］赵一呜．某类递推公式通项的一种解法Ⅱ】．江苏广播电视　大学学报．１９９５（０１）　『３］徐涛．数列　．数学通讯．２００５（２４）