「精品」七年级数学下册课后补习班辅导三角形的内角和讲学案苏科版

三角形的内角和

【本讲教育信息】 一. 教学内容：

三角形的内角和

二. 教学目标：

1. 掌握三角形内角和定理及外角有关性质。 2. 掌握多边形内角和的计算公式及其应用。 3. 三角形外角和的规律及其简单应用。

三. 重、难点：

1. 三角形内角和与三角形外角的有关性质的应用。 2. 多边形内角和的计算公式及其应用。 3. 三角形外角和的特点及其应用。

四. 知识要点 1. 三角形的内角：

（1）三角形的三个内角的和等于180°。 （2）推论：直角三角形的两个锐角互余。 2. 三角形的外角：

（1）三角形的一边与另一边的延长线所组成的角，叫做三角形的外角。 图中的∠CBD称为△ABC的一个外角

注意：“外角”是三角形的外角，不是它相邻内角的外角。对三角形的外角,称某个角是某个三角形的外角,而不称三角形某个角的外角

（2）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。 三角形的外角和等于360°。

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3. 多边形的外角：

（1）多边形内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做这个多边形的外角，在每个顶点处取这个多边形的一个外角，它们的和叫做这个多边形的外角和。

（2）任意多边形的外角和等于360°。 4. 多边形的内角：

n边形的内角和等于（n－2）·180°

【典型例题】

例1. （1）已知四边形4个内角的度数比是1︰2︰3︰4，那么这个四边形中最大角的度数是 。

（2）一个五边形的三个内角是直角，另两个内角都是n°，则n＝ 。 （3）六角螺母的面是六边形，它的内角都相等，则这个六边形的每个内角是多少？ （4）在四边形ABCD中，∠A与∠C互补，那么∠B与∠D有什么关系呢？为什么？ 分析：本题考察的是多边形内角和为（n－2）·180°

解：（1）四边形的内角和为360°，所以四边形中最大角为3604144

1234（2）五边形的内角和为540°，所以3902n540，解得：n135，即n135 （3）六边形的内角和为720°，所以其每个内角都＝

720120 6（4）四边形的内角和为360°，因为∠A与∠C互补，所以∠A＋∠C＝180°， 所以∠B＋∠D＝360°－180°＝180°，即∠B与∠D互补。

例2. 如图，AD⊥BC，∠1＝∠2 ，∠C＝65°，求∠BAC的度数。

C

分析：由∠BAC＝∠2＋∠CAD知：我们只要分别求出∠2和∠CAD的度数即可。 解：∵AD⊥BC

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∴∠ADB＝∠ADC＝90°

∵∠1＝∠2 ∴∠2＝（180°－90°）÷2＝45° 又∵∠C＝65° ∴∠CAD＝180°－90°－65°＝25° ∴∠BAC＝∠2＋∠CAD＝45°＋25°＝70°

说明：在三角形中，知道其中的两个角就能求出第三个角：三角形内角和为180°。

例3. △ABC中，如图，∠B＝ ∠C＝30°,AD⊥AC于Ａ，求∠BAD的度数.

分析：由三角形的外角等于不相邻的两个内角和转化一下知：内角∠BAD＝外角∠1－内角∠B。因此我们只要能求出∠1即可。

解：∵△ABC是直角三角形

∴∠1＋∠C＝90°，（直角三角形的两个锐角互为余角） ∠1＝90°－∠C＝90°－ 30°＝60°

又∵ ∠1＝∠B＋∠BAD，（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和） ∴∠BAD＝∠1－∠B＝60°－30°＝30°

例4. 如图，AD是∠ABC的角平分线，E是BC延长线上一点，∠EAC＝∠B。 ∠ADE与∠DAE相等吗?为什么?

分析：∠ADE刚好为△ABD的外角，则∠ADE＝∠B＋∠BAD，而∠DAE＝∠EAC＋∠DAC。由角平分线的性质知：结论是成立的。

解：∵AD是∠ABC的角平分线 ∴∠BAD＝∠DAC，（角平分线的性质） 又∵∠EAC＝∠B

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∴∠BAD＋∠B ＝∠DAC＋∠EAC

而∠ADE＝∠B＋∠BAD，∠DAE＝∠EAC＋∠DAC。 ∴∠ADE＝∠DAE成立。

说明：此题利用了外角和与内角和分别表示出两个角，一般我们可以从结论入手去寻求解决方法。

例5. 把图中的五边形剪去一个角，将得到几边形？此时，多边形的内角和与外角和有什么变化？

答：把图中的五边形剪去一个角，将得到六边形或四边形，如图所示

若剪成六边形，多边形的内角和增加180°；若剪成四边形，多边形的内角和减少180°。外角和始终不变为360°。

说明：分类思想是数学思想中一种很重要的方法。培养严谨的思维对于掌握这种方法有着重要的作用。

例6. 如图五角星中：∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝ .

解：∵∠AMN是△MCE的外角

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∴∠AMN＝∠C＋∠E（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和） 同理可得：∠ANM＝∠B＋∠D ∴ ∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E ＝∠A＋（∠B＋∠D）＋（∠C＋∠E） ＝∠A＋∠AMN＋∠ANM ＝180 °

说明：转化是重要的数学思想。本题就是运用这一思想将∠A、∠B、∠C、∠D、∠E这五个角的和转化为一个三角形的内角和。

例7. 若∠C＝30°,求∠A＋∠B＋∠D＋∠E的值

解：∵∠APQ是△ABP的外角

∴∠APQ＝∠A＋∠B（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和） 同理可得：∠BQE＝∠D＋∠E

而∠QPC＋∠PQC＋∠C＝180°（三角形内角和等于180°） ∠QPC＋∠PQC=180°- ∠APQ +180°-∠BQE =360°-（∠A＋∠B＋∠D＋∠E） ∴∠A＋∠B＋∠D＋∠E ＝360°-（180°-∠C） ＝360°-180°+30° ＝210°

说明：此题类似于上题，但形式有所不同，关键在于灵活掌握。

例8. 已知两个多边形的内角和为1440°，且两个多边形的边数之比为1︰3，求它们的边数分别是多少？

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分析：n边形的内角和等于（n－2）·180°，所以我们可以从设出其中一个多边形的边数入手，这样我们就可以得到一个一元一次方程了。

解：由题意，设两个多边形的边数分别为n，3n，则 （n－2）·180°＋（3n－2）·180°＝1440° 解得：n＝3，则3n＝9 答：它们的边数分别是3和9。

说明：在题目中出现两个未知量的时候，我们可以根据它们的关系把其中一个设出来，从而达到构造一元一次方程的目的。

例9. 一个四边形的外角比为1：2：3：4，求对应的内角的比。

分析：任意多边形的外角和等于360°，则四边形外角和也为360°，利用比例关系可分别求出各个外角。而根据外角的定义可知相应的内角度数。

解：外角分别为：3601236，36072

1234123434360108，360144

12341234则对应内角分别为：

180°－36°＝144°，180°－72°＝108°， 180°－108°＝72°，180°－144°＝36° ∴对应的内角的比为： 4：3：2：1

说明：因为题目要求的是对应的内角的比，所以顺序不能颠倒。

例10. 已知多边形的一个内角的外角与其他各内角的和为600°，求边数及相应的外角的度数。 分析：多边形内角和应为180°的倍数，而一个三角形内角与外角的差的绝对值不会超过180°，则由600°这个度数可以分析出多边形的边数，再求角则水到渠成了。

解：∵540°<600°<720° ∴多边形的边数为n＝3或n＝4

当n＝3时，相应的外角－相应的内角＝600°－540°＝60° 而相应的外角＋相应的内角＝180° ∴相应的外角＝120°

当n＝4时，相应的内角－相应的外角＝720°－600°＝120°

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而相应的外角＋相应的内角＝180° ∴相应的外角＝30°

【模拟试题】（答题时间：40分钟）

1. 三角形的一个外角小于和它相邻的内角，则此三角形是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 不能确定 2. 下列说法正确的是（ ）

A. 三角形的三个外角之和为360° B. 三角形的一个外角大于它的任何一个内角 C. 三角形的外角必都大于60° D. 三角形的内角中没有大于120°的角 3. 一个三角形的三个外角中，钝角的个数最少为（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 4. 适合A11BC的△ABC是（ ） 23A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 不能确定 5. 一个n边形的内角和等于它外角和的5倍，则边数n等于（ ） A. 24 B. 12 C. 8 D. 6

6. 如果三角形的一个内角是其余两个内角的和，则这个三角形是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 钝角三角形

7. 一个多边形的内角和比它的外角和的2倍还大180°，这个多边形的边数为（ ） A. 7 B. 8 C. 9

D. 10

8. 一个四边形的四个内角度数之比为1：2：3：4，则最大的内角度数是__________，最小的内角度数是__________，最大的外角度数是__________。

9. 如果一个多边形的每个内角都相等，且每一个内角比它的相邻外角大100°，那么这个多边形是__________边形。

10. 如图BC⊥ED于点M，∠A＝27°，∠D＝20°，则∠B＝ °，∠ACB＝ °。

11. 如图，∠ABD与∠ACE是△ABC的两个外角，若∠A＝70°，则∠ABD＋∠ACE＝ 。

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12. 如图，是一块四边形钢板缺了一个角，根据图中所标出的测量结果，得所缺损的∠A的度数为 。

13. 已知如图，△ABC中，AB＞AC，AD是高，AE是角平分线，试说明EAD1(CB)。 2

14. 如果一个n边形的内角都相等，且它的每一个外角与内角的比为2∶3，求内角和。 15. 求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F的度数。

16. 如图，Ｄ是△ABC的边BC上一点，∠B＝∠BAD， ∠ADC＝80°，∠BAC＝70°。 求：（1）∠B的度数； （2）∠C的度数。

17. 一个多边形的所有内角与它的一个外角的和等于2000°，求这个外角的度数。 18. 若一个多边形的对角线有14条，则这个多边形的边数是（ ） A. 10 B. 7 C. 14 D. 6

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【试题答案】

1. C 2. A 3. C 4. B 5. B 6. B 7. A 8. 144°、36°、144° 9. 九 10. 43°，110° 11. 250° 12. 75°

13. 解：EADCAECAD12A(90C) 12(180BC)(90C) 90112B2C90C

1112C2B2(CB) 14. 解：设内角为2x，外角为3x

2x3x180

x362x72,3x108 360725∴内角和为1085540 15. 解：∵∠NMP= ∠AMF

∴∠A＋∠F=180 °—∠AMF=180 °—∠NMP 同理可得：∠B＋∠C=180 °—∠MNP ∠D＋∠E=180 °—∠MPN

∴∠A＋ ∠B＋ ∠C＋ ∠D＋ ∠E＋ ∠F ＝（∠A＋∠F）＋（∠B＋∠C）＋（∠D＋∠E）

＝（180 °—∠NMP）+（180 °—∠MNP）+（180 °—∠MPN） ＝540 °—（∠NMP+∠MNP +∠ MPN） =540 °—180 °=360 °

16. 解：（1）∵∠ADC＝∠B＋∠BAD＝80°，又∠B＝∠BAD ∴∠B＝80°÷2＝40°

（2）在△ABC中，∠B ＋∠BAC＋∠C＝180°

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∴∠C＝180°－∠B－∠BAC＝180°－40°－70°＝70° 17. 解：∵1980°<2000° ∴多边形的边数n＝13，

此时，相应的外角＝2000°－1980°＝20° 答：这个外角的度数为20°。 18. B

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