高教版中职教材—数学下册电子教案课程

高教版中职教材—数学(基础模块)下册电子教案课程(总

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【课题】 6．1 数列的概念

【教学目标】

知识目标：

（1）了解数列的有关概念；

（2）掌握数列的通项（一般项）和通项公式． 能力目标：

通过实例引出数列的定义,培养学生的观察能力和归纳能力． 【教学重点】

利用数列的通项公式写出数列中的任意一项并且能判断一个数是否为数列中的一项． 【教学难点】

根据数列的前若干项写出它的一个通项公式． 【教学设计】

通过几个实例讲解数列及其有关概念：项、首项、项数、有穷数列和无穷数列．讲解数列的通项（一般项）和通项公式．

从几个具体实例入手,引出数列的定义.数列是按照一定次序排成的一列数．学生往往不易理解什么是“一定次序”．实际上，不论能否表述出来，只要写出来，就等于给出了“次序”，比如我们随便写出的两列数：2，1，15，3，243，23与1，15，23，2，243，3，就都是按照“一定次序”排成的一列数，因此它们就都是数列，但它们的排列“次序”不一样，因此是不同的数列．

例1和例3是基本题目,前者是利用通项公式写出数列中的项；后者是利用通项公式判断一个数是否为数列中的项,是通项公式的逆向应用．

例2是巩固性题目,指导学生分析完成.要列出项数与该项的对应关系，不能泛泛而谈,采用对应表的方法比较直观,降低了难度,学生容易接受. 【教学备品】

教学课件． 【课时安排】

2课时．(90分钟)

【教学过程】

教 学 过 程 *揭示课题 6．1 数列的概念． *创设情境 兴趣导入 将正整数从小到大排成一列数为 1，2，3，4，5，…． (1 ) 将2的正整数指数幂从小到大排成一列数为 2,22,23,24,25,教师 学生 教学 时行为 行为 意图 间 0 5 介绍 了解 播放 观看 从实课件 课件 例出 发使． (2 ) 当n从小到大依次取正整数时，cosn的值排成一列数为 质疑 思考 学生 自我 自然的走向知-1，1，-1，1，…． (3 ) 取无理数的近似值（四舍五入法），依照有效数字的个数，排成一列数为 识点 3，，，，，…． (4) 引导 分析 分析 *动脑思考 探索新知 【新知识】 象上面的实例那样，按照一定的次序排成的一列飞机数叫做数列．数列中的每一个数叫做数列的项．从开1 飞机始的项起，按照自左至右的排序，各项按照其位置依火车2 1 火车次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，第3中国 2 火车项，…，第n项，…，其中反映各项在数列中位置的3 货船1 货船数字1，2，3，…，n，分别叫做对应的项的项数． 2 只有有限项的数列叫做有穷数列，有无限多项的数列叫做无穷数列． 总结 思考 带领 归纳 比利时 学生 分析 教 学 过 程 【小提示】 数列的“项”与这一项的“项数”是两个不同教师 学生 教学 时行为 行为 意图 间 的概念．如数列（2）中，第3项为23，这一项的项数为3. 【想一想】 上面的4个数列中，哪些是有穷数列,哪些是无穷 数列? 仔细 理解 【新知识】 由于从数列的第一项开始，各项的项数依次与正整数相对应，所以无穷数列的一般形式可以写作 a1,a2,a3,,an，．(nN) 分析 讲解 引导 简记作{an}．其中，下角码中的数为项数，a1表示第1项，a2表示第2项，…．当n由小至大依次取正整数值时，an依次可以表示数列中的各项，因此，通常把第n项an叫做数列{an}的通项或一般项． *运用知识 强化练习 1.说出生活中的一个数列实例． 2.数列“1，2，3，4，5”与数列“5 ，4， 3，2，1 ”是否为同一个数列 3.设数列{an}为“-5,-3,-1,1,3, 5，…” ，指出其中a3、a6各是什么数？ *创设情境 兴趣导入 【观察】 中的数列（1）中，各项是从小到大依次排列出式启 记忆 发学 关键 生得 词语 出结 果 10 及时 了解 学生 提问 思考 知识 巡视 口答 掌握 指导 得情 况 15 质疑 思考 教 学 过 程 的正整数． a11，a22，a33，…， 可以看到，每一项与这项的项数恰好相同．这个规律可以用 ann(nN) 表示．利用这个规律，可以方便地写出数列中的任意一项，如a1111，a2020． 中的数列（2）中，各项是从小到大顺次排列出的2的正整数指数幂． 23*教师 学生 教学 时行为 行为 意图 间 引导启发 引导 参与 学生 分析 分析 思考 25 a12，a22，a32，…， 可以看到，各项的底都是2，每一项的指数恰好是这 项的项数．这个规律可以用 an2n(nN*) 表示，利用这个规律，可以方便地写出数列中的任意一项，如a11211，a20220． *动脑思考 探索新知 【新知识】 一个数列的第n项an，如果能够用关于项数n1的一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式. 数列（1）的通项公式为ann，可以将数列（1）记为数列{n}；数列（2）的通项公式为an2n，可以将数列（2）记为数列{2n}.

总结 思考 带领 归纳 归纳 学生 总结 仔细 理解 分析 记忆 讲解 关键 35 教 学 过 程 教师 学生 教学 时行为 行为 意图 间 词语 *巩固知识 典型例题 例1 设数列{an}的通项公式为 1ann， 2 说明 观察 强调 写出数列的前5项． 分析 知道数列的通项公式，求数列中的某一项时，只需将通项公式中的n换成该项的项数，并计算出结果． 解 a1111111；；aa；231232482221111． a44；a55322162 例2 根据下列各无穷数列的前4项,写出数列的一个通项公式. (1)5,10,15,20，…； 引领 思考 主动 讲解 通过说明 求解 例题 进一 步领会 1111(2),,,,…； （3）−1，1，−1，2468引领 观察 分析 1，…． 分析 分别观察分析各项与其项数之间的关系，探求用式子表示这种关系． 解 （1）数列的前4项与其项数的关系如下表： 项数n 项an 关系 1 5 2 10 3 15 4 20 551 105215532054由此得到，该数列的一个通项公式为 an5n． （2）数列前4项与其项数的关系如下表： 教 学 过 程 序号 项an 1 1 211221教师 学生 教学 时行为 行为 意图 间 3 1 6116232 1 4114224 1 811824 注意 观察 学生 是否 理解 知识 点 关系 由此得到，该数列的一个通项公式为 an1． 2n（3）数列前4项与其项数的关系如下表： 序号 项an 关系 1 −1 (1)1 2 1 (1)2 3 −1 (1)3 4 1 (1)4 由此得到，该数列的一个通项公式为 an(1)n． 【注意】 由数列的有限项探求通项公式时，答案不一定是唯一的．例如，an(1)n与ancosn都是例2（3）中数列“−1，1，−1，1，…．”的通项公式． 【知识巩固】 例3 判断16和45是否为数列{3n+1}中的项,如果是,请指出是第几项. 分析 如果数a是数列中的第k项，那么k必须是正整数，并且a3k1. 解 数列的通项公式为an3n1. 将16代入数列的通项公式有 163n1， 强调 思考 含义 求解 反复 强调 说明 领会 教 学 过 程 解得 n5N*． 教师 学生 教学 时行为 行为 意图 间 思考 求解 50 所以，16是数列{3n1}中的第5项． 将45代入数列的通项公式有 453n1， 解得 n44N*， 3所以，45不是数列{3n1}中的项． *运用知识 强化练习 1. 根据下列各数列的通项公式，写出数列的前4项： （1）an3n2； （2）an(1)nn． 启发 思考 可以 引导 了解 交给 学生 提问 动手 自我 巡视 求解 发现 指导 归纳 65 2. 根据下列各无穷数列的前4项,写出数列的一个通项公式： （1）−1，1，3，5，…； (2) , , , 11357，…； (3) ,,,，…. 1224681316193. 判断12和56是否为数列{n2n}中的项，如果是，请指出是第几项． *理论升华 整体建构 教 学 过 程 思考并回答下面的问题： 数列、项、项数分别是如何定义的？ 结论： 按照一定的次序排成的一列数叫做数列．数列中的每一个数叫做数列的项．从开始的项起，按照自左至右排序，各项按照其位置依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，第3项，…，第n项，…，其中反映各项在数列中位置的数字1，2，3，…，n，分别叫做各项的项数． *归纳小结 强化思想 本次课学了哪些内容重点和难点各是什么 *自我反思 目标检测 本次课采用了怎样的学习方法你是如何进行学习的你的学习效果如何 判断22是否为数列{n2n20}中的项，如果是,请指出是第几项． *继续探索 活动探究 (1)读书部分：教材 (2)书面作业：教材习题6．1 A组（必做）；6．1 B组（选做） (3)实践调查：用发现的眼睛寻找生活中的数列实例

【教师教学后记】

项目 教师 学生 教学 时行为 行为 意图 间 及时 75 质疑 回答 了解 归纳强调 学生知识掌握情况 引导 回忆 检验 提问 反思 学生 学习 巡视 动手 效果 85 指导 求解 说明 记录 分层次要求 90 反思点 学生知识、技能的掌握情况 学生是否真正理解有关知识； 是否能利用知识、技能解决问题； 在知识、技能的掌握上存在哪些问题； 学生是否参与有关活动； 学生的情感态度 在数学活动中，是否认真、积极、自信； 遇到困难时，是否愿意通过自己的努力加以克服； 学生是否积极思考； 学生思维情况 思维是否有条理、灵活； 是否能提出新的想法； 是否自觉地进行反思； 学生是否善于与人合作； 学生合作交流的情况 在交流中，是否积极表达； 是否善于倾听别人的意见； 学生是否愿意开展实践； 学生实践的情况 能否根据问题合理地进行实践； 在实践中能否积极思考； 能否有意识的反思实践过程的方面．

【课题】 6．2 等差数列（一）

【教学目标】

知识目标：

（1）理解等差数列的定义； （2）理解等差数列通项公式． 能力目标：

通过学习等差数列的通项公式,培养学生处理数据的能力． 【教学重点】

等差数列的通项公式． 【教学难点】

等差数列通项公式的推导． 【教学设计】

本节的主要内容是等差数列的定义、等差数列的通项公式.重点是等差数列的定义、等差数列的通项公式；难点是通项公式的推导．等差数列的定义中,应特别强调“等差”的特点:an1and(常数).例1是基础题目,有助于学生进一步理解等差数列的定义.

教材中等差数列的通项公式的推导过程实际上是一个无限次迭代的过程,所用的归纳方法是不完全归纳法.因此,公式的正确性还应该用数学归纳法加以证明.例2是求等差数列的通项公式及其中任一项的巩固性题目,注意求公差的方法.等差数列的通项公式中含有四个量：a1,d,n,an,只要知道其中任意三个量，就可以求出另外的一个量． 【教学备品】

教学课件． 【课时安排】

2课时．(90分钟) 【教学过程】

教 学 过 程 *揭示课题 6．2 等差数列． *创设情境 兴趣导入 【观察】 将正整数中5的倍数从小到大列出，组成数列： 5，10，15，20，…． （1） 教师 学生 教学 时行为 行为 意图 间 从实例出 0 介绍 了解 播放 观看 发使课件 课件 学生 自然质疑 思考 的走将正奇数从小到大列出，组成数列： 向知 1，3，5，7， 识点 9，…． （2） 观察数列中相邻两项之间的关系， 引导 发现：从第2项开始，数列(1)中的每一项与它前 式启 一项的差都是5；数列（2）中的每一项与它前一项的引导 自我 教 学 过 程 差都是2．这两个数列的一个共同特点就是从第2项开始，数列中的每一项与它前一项的差都等于相同的常数． 教师 学生 教学 时行为 行为 意图 间 分析 分析 发学 生得 出结 5 果 *动脑思考 探索新知 如果一个数列从第2项开始，每一项与它前一项的差都等于同一个常数，那么，这个数列叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，一般用字母d表示． 由定义知，若数列an为等差数列，d为公差，则an1and,即 an1and （） 总结 思考 带领 学生 分析 仔细 理解 分析 讲解 记忆 关键 词语 10 归纳 45 *巩固知识 典型例题 例１ 已知等差数列的首项为12，公差为−5，试写出这个数列的第2项到第5项． 解 由于a112,d5，因此 a2a1d1257； a3a2d752； 说明 观察 通过强调 例题进一步领 a4a3d253； a5a4d358. 引领 思考 会等 差数 列通主动 讲解 项公说明 求解 式 *运用知识 强化练习 教 学 过 程 1. 已知an为等差数列，a58，公差d2，试写出这个数列的第8项a8． 2. 写出等差数列11,8,5,2,…的第10项. 教师 学生 教学 时行为 行为 意图 间 及时 了解 提问 动手 学生 巡视 求解 知识 指导 掌握 得情 况 25 从实 *创设情境 兴趣导入 你能很快地写出例1中数列的第101项吗? 显然，依照公式（）写出数列的第101项,是比较麻烦的，如果求出数列的通项公式，就可以方便地直接求出数列的第101项． 际事 质疑 思考 例使 学生 30 参与 自然 分析 的走 引导 向知 分析 识点 *动脑思考 探索新知 总结 思考 带领 设等差数列an 的公差为d ，则 归纳 归纳 学生 a1a1, 总结 a2a1d, 问题 a3a2da1dda12d, 仔细 理解 得到 a4a3da12dda13d, 分析 记忆 等差 ．．．．．讲解 数列 ． 关键 通项 依此类推,通过观察可以得到等差数列的通项公式 词语 公式 35 ana1n1d. 知道了等差数列an中的a1和d，利用公式 教 学 过 程 （），可以直接计算出数列的任意一项. 在例１的等差数列{an}中，a112，d5，所以数列的通项公式为 an12(n1)(5)175n， 数列的第101项为 a101175101488． 【想一想】 等差数列的通项公式中,共有四个量：an、a1、n和d，只要知道了其中的任意三个量，就可以求出教师 学生 教学 时行为 行为 意图 间 引导启发学生思考求解 45 另外的一个量. 针对不同情况，应该分别采用什么样的计算方法？ *巩固知识 典型例题 例2 求等差数列 1,5,11,17,．．． 说明 观察 通过强调 例题进一步领的第50项. 解 由于a11,da2a1516,所以引领 思考 会 通项公式为 ana1(n1)d1(n1)66n7, 讲解 主动 即 an6n7. 说明 求解 注意 故 观察 a506507293. 学生 1例3 在等差数列an中,a10048,公差d,求首项是否 3 理解 a1. 观察 引领 知识 1分析 解 由于公差d,故设等差数列的通项公式为 点 3 教 学 过 程 1ana1(n1) 3教师 学生 教学 时行为 行为 意图 间 强调 思考 含义 求解 由于a10048，故 148a1(1001)， 3反复 强调 50 解得 a115. 【小提示】 本题目初看是知道2个条件，实际上是3个条1件：n100，an48,d． 3说明 领会 思考 求解 例4 小明、小明的爸爸和小明的爷爷三个人在年龄恰好构成一个等差数列,他们三人的年龄之和为120岁,爷爷的年龄比小明年龄的4倍还多5岁,求他们祖孙三人的年龄. 分析 知道三个数构成等差数列，并且知道这三个数的和,可以将这三个数设为ad,a,ad,这样可以方便地求出a,从而解决问题. 解 设小明、爸爸和爷爷的年龄分别为ad,a,ad,其中d为公差 则 adaad120, 4ad5ad解得 a40,d25 从而 ad15,ad65. 答 小明、爸爸和爷爷的年龄分别为15岁、40岁和65岁. 教 学 过 程 【注意】 将构成等差数列的三个数设为ad,a,ad,教师 学生 教学 时行为 行为 意图 间 是经常使用的方法. *运用知识 强化练习 练习求等差数列,1, ,…的通项公式与第15项． 2.在等差数列an中，a50，a1010，求a1与公差d. 3.在等差数列an中，a53，a915，判断－48是否为数列中的项，如果是,请指出是第几项. 25 85 启发 思考 可以 引导 了解 交给 学生 提问 动手 自我 巡视 求解 发现 指导 归纳 60 *理论升华 整体建构 思考并回答下面的问题： 等差数列的通项公式是什么？ 结论： 等差数列的通项公式 ana1n1d. 及时 质疑 小组 了解讨论 学生 知识 回答 掌握 情况 归纳 强调 理解 以小组 讨论师 生共同强化 归纳的70 形式强 调重点 突破难点 *归纳小结 强化思想 本次课学了哪些内容重点和难点各是什么 引导 回忆 教 学 过 程 *自我反思 目标检测 本次课采用了怎样的学习方法你是如何进行学习的你的学习效果如何 写出等差数列 ，，1，，… 的通项公式，并求出数列的第11项． 153575教师 学生 教学 时行为 行为 意图 间 检验 学生 学习 效果 提问 反思 培养 学生 总结 巡视 动手 反思 指导 求解 学习 过程80 的能力 *继续探索 活动探究 (1)读书部分：教材 (2)书面作业：教材习题6．2（必做）；学习指导6．3（选做） (3)实践调查：寻找生活中等差数列的实例 90 说明 记录 分层次要求 【教师教学后记】

项目 学生知识、技能的掌握情况 反思点 学生是否真正理解有关知识； 是否能利用知识、技能解决问题； 在知识、技能的掌握上存在哪些问题； 学生是否参与有关活动； 学生的情感态度 在数学活动中，是否认真、积极、自信； 遇到困难时，是否愿意通过自己的努力加以克服； 学生是否积极思考； 学生思维情况 思维是否有条理、灵活； 是否能提出新的想法； 是否自觉地进行反思； 学生是否善于与人合作； 学生合作交流的情况 在交流中，是否积极表达； 是否善于倾听别人的意见； 学生是否愿意开展实践； 学生实践的情况 能否根据问题合理地进行实践； 在实践中能否积极思考； 能否有意识的反思实践过程的方面；

【课题】 6．3 等比数列（一）

【教学目标】

知识目标：

（1）理解等比数列的定义； （2）理解等比数列通项公式． 能力目标：

通过学习等比数列的通项公式,培养学生处理数据的能力． 【教学重点】

等比数列的通项公式． 【教学难点】

等比数列通项公式的推导． 【教学设计】

本节的主要内容是等比数列的定义,等比数列的通项公式.重点是等比数列的定义、等比数列的通项公式；难点是通项公式的推导．

等比数列与等差数列在内容上相类似，要让学生利用对比的方法去理解和记忆，并弄清楚二者之间的区别和联系.等比数列的定义是推导通项公式的基础，教学中要给以足够的重视.同时要强调“等比”的特点:

an1q(常数). an例1是基础题目,有助于学生进一步理解等比数列的定义.与等差数列一样，教材中等比数列的通项公式的归纳过程实际上也是不完全归纳法，公式的正确性也应该用数学归纳法加以证明，这一点不需要给学生讲.等比数列的通项公式中含有四个量：a1，q,n, an, 只有知道其中任意三个量，就可以求出另外的一个量.教材中例2、例３都是这类问题.注意:例3中通过两式相除求公比的方法是研究等比数列问题常用的方法.

a从例4可以看到,若三个数成等比数列,则将这三个数设成是,a,aq比较

q好,因为这样设了以后,这三个数的积正好等于a3,很容易将a求出. 【教学备品】

教学课件． 【课时安排】

2课时．(90分钟) 【教学过程】

教 学 过 程 *揭示课题 6．3 等比数列． *创设情境 兴趣导入 【观察】 某工厂今年的产值是1000万元，如果通过技术改教师 学生 教学 时行为 行为 意图 间 0 5 介绍 了解 从实 例出发使播放 观看 学生课件 课件 自然造，在今后的5年内，每年的产值都比上一年增加 的走10%，那么今年及以后5年的产值构成下面的一个数列质疑 思考 向知（单位：万元）： 2345识点 1000,10001.1,10001.1,10001.1,10001.1,10001.1. 不难发现，从第2项开始，数列中的各项都是其引导 自我 前一项的倍，即从第2项开始，每一项与它的前一项分析 分析 的比都等于． *动脑思考 探索新知 教 学 过 程 【新知识】 如果一个数列从第2项开始，每一项与它前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数教师 学生 教学 时行为 行为 意图 间 总结 思考 带领 归纳 学生 分析 列．这个常数叫做这个等比数列的公比，一般用字母 理解 仔细 q来表示． 分析 由定义知，若an为等比数列，q为公比，则a1 引导 讲解 an1 与q均不为零，且有q，即 记忆 式启 an关键 发学 词语 an1anq． 生得 出结 10 果 *巩固知识 典型例题 例１ 在等比数列{an}中，a15，q3，求a2、a3、a4、a5． 15 说明 观察 通过强调 例题进一步领解 a2a1q5315,a3a2q15345,a4a3q453135,a5a4q1353405. 【试一试】 *运用知识 强化练习 练习在等比数列an中，a36， q2，试写出a4、a6． 你能很快地写出这个数列的第９项吗？ 引领 思考 会 讲解 主动 说明 求解 及时 了解 提问 动手 学生 教 学 过 程 教师 学生 教学 时行为 行为 意图 间 2．写出等比数列3,6,12,24,……的第５项与第6巡视 求解 知识 指导 掌握 项． 得情 25 况 *创设情境 兴趣导入 如何写出一个等比数列的通项公式呢？ 质疑 思考 学生 自然 30 引导 参与 的走 分析 分析 向知 *动脑思考 探索新知 与等差数列相类似，我们通过观察等比数列各项之间的关系，分析、探求规律． 设等比数列an的公比为q，则 识点 总结 思考 带领 归纳 归纳 学生 总结 问题 仔细 理解 得到 分析 记忆 等差 讲解 数列 关键 通项 词语 公式 35 引导a2a1q, a3a2qa1qqa1q2,a4a3qa1qqa1q,23 …… 【说明】 a1a11a1q0 依此类推，得到等比数列的通项公式： （） 知道了等比数列an中的a1和q，利用公式（），可以直接计算出数列的任意一项. 【想一想】 等比数列的通项公式中,共有四个量：an、a1、n和q，只要知道了其中的任意三个量，就可以求出教 学 过 程 另外的一个量. 针对不同情况，应该分别采用什么样的计算方法？ *巩固知识 典型例题 例2求等比数列 111 1,,,, 248教师 学生 教学 时行为 行为 意图 间 启发学生思考求解 45 说明 观察 通过强调 例题进一步领的第10项． 1解 由于 a11，q， 2故，数列的通项公式为 ana1qn1引领 思考 会 讲解 主动 n112n11(1)n112n11(1)n1， 2说明 求解 注意 观察 所以 a10(1)10121011． 5121例3 在等比数列an中，a51，a８，求8a13． 1解 由a51,a8有 81a1q4， （1） 1a1q7， （2） 8引领 观察 分析 （2）式的两边分别除以(1)式的两边,得 1q3, 8由此得 强调 思考 是否 学生 教 学 过 程 q1． 2教师 学生 教学 时行为 行为 意图 间 含义 求解 理解 知识 点 说明 领会 反复 思考 强调 求解 引领 将q1代人（1），得 2a124, 所以，数列的通项公式为 1an24()n1． 2故 11． a13a1q1224282256【注意】 本例题求解过程中，通过两式相除求出公比的12方法是研究等比数列问题的常用方法． 【想一想】 在等比数列an中，a7， q．求a3时，1913你有没有比较简单的方法？ 【知识巩固】 例4 小明、小刚和小强进行钓鱼比赛，他们三人钓鱼的数量恰好组成一个等比数列．已知他们三人一共钓了14条鱼，而每个人钓鱼数量的积为64． 并且知道，小强钓的鱼最多，小明钓的鱼最少，问他们三人各钓了多少条鱼？ 分析 知道三个数构成等比数列，并且知道这三a个数的积,可以将这三个数设为,a,aq,这样可以方便q教 学 过 程 地求出a,从而解决问题. 解 设小明、小刚和小强钓鱼的数量分别为a,a,aq．则 q教师 学生 教学 时行为 行为 意图 间 分析 50 观察 强调 含义 aqaaq14,  aaaq64.q解得 a4,a4,1 或q.q2,2当q2时 a4 2,aq428, q2思考 求解 注意 观察 学生 是否 理解 知识 点 反复 强调 此时三个人钓鱼的条数分别为2、4、8. 当q1时 2a41 8,aq42, q122此时三个人钓鱼的条数分别为8、4、2. 由于小明钓的鱼最少，小强钓的鱼最多，故小明钓了2条鱼，小刚钓了4条鱼，小强钓了8条鱼． 【注意】 a将构成等比数列的三个数设为,a,aq，是经常使q用的方法． 说明 领会 思考 教 学 过 程 *运用知识 强化练习 21.求等比数列,2,6,.的通项公式与第7项． 3教师 学生 教学 时行为 行为 意图 间 启发 思考 可以 引导 了解 交给 1 2.在等比数列an中，a2,a55, 判断学生 25 提问 动手 自我 125是否为数列中的项，如果是，请指出是第几项. 巡视 求解 发现 60 指导 归纳 *理论升华 整体建构 思考并回答下面的问题： 等比数列的通项公式是什么 结论： ana1qn1 及时 质疑 归纳回答 了解 学生知识. 强调 理解 掌握70 情况 强化 *归纳小结 强化思想 本次课学了哪些内容重点和难点各是什么 *自我反思 目标检测 本次课采用了怎样的学习方法你是如何进行学习的你的学习效果如何 引导 回忆 1已知等比数列{an}中,a41,a7,求a11． 8解答1 由已知条件得 a1q3161 aq18提问 反思 检验 学生 学习 效果 解方程组得 a18q， 12教 学 过 程 因此 11． a118()102128教师 学生 教学 时行为 行为 意图 间 巡视 动手 培养指导 求解 学生 总结反思学习过程的能力 80 90 解答2 由1q3得q．所以 111． a11()()4821281812 *继续探索 活动探究 (1)读书部分：教材 (2)书面作业：教材习题6．3A组（必做）；教材习题6．3B组（选做） (3)实践调查：用等比数列的通项公式解决生活中的一个问题 【教师教学后记】

项目 学生知识、技能的掌握情况 说明 记录 分层次要求 反思点 学生是否真正理解有关知识； 是否能利用知识、技能解决问题； 在知识、技能的掌握上存在哪些问题； 学生是否参与有关活动； 学生的情感态度 在数学活动中，是否认真、积极、自信； 遇到困难时，是否愿意通过自己的努力加以克服； 学生是否积极思考； 学生思维情况 思维是否有条理、灵活； 是否能提出新的想法； 是否自觉地进行反思； 学生合作交流的情况 学生是否善于与人合作； 在交流中，是否积极表达； 是否善于倾听别人的意见； 学生是否愿意开展实践； 学生实践的情况 能否根据问题合理地进行实践； 在实践中能否积极思考； 能否有意识的反思实践过程的方面；

【课题】 平面向量的概念及线性运算

【教学目标】

知识目标：

（1）了解向量、向量的相等、共线向量等概念； （2）掌握向量、向量的相等、共线向量等概念． 能力目标：

通过这些内容的学习，培养学生的运算技能与熟悉思维能力． 【教学重点】

向量的线性运算． 【教学难点】

已知两个向量，求这两个向量的差向量以及非零向量平行的充要条件． 【教学设计】

从“不同方向的力作用于小车，产生运动的效果不同”的实际问题引入概念．

向量不同于数量，数量是只有大小的量，而向量既有大小、又有方向．教材中用有向线段来直观的表示向量，有向线段的长度叫做向量的模，有向线段的方向表示向量的方向．数量可以比较大小，而向量不能比较大小，记号“a＞

b”没有意义，而“︱a︱＞︱b︱”才是有意义的.

教材通过生活实例，借助于位移来引入向量的加法运算．向量的加法有三角形法则与平行四边形法则.

向量的减法是在负向量的基础上，通过向量的加法来定义的.即a-b=a+(-

b)，它可以通过几何作图的方法得到，即a-b可表示为从向量b 的终点指向向量a的终点的向量.作向量减法时，必须将两个向量平移至同一起点.

实数乘以非零向量a，是数乘运算，其结果记作a，它是一个向量，其方向与向量a相同，其模为a的倍．由此得到a∥bab．对向量共线的充要条件，要特别注意“非零向量a、b”与“0 ”等条件. 【教学备品】

教学课件． 【课时安排】

2课时．(90分钟) 【教学过程】

教 学 过 程 *揭示课题 平面向量的概念及线性运算 *创设情境 兴趣导入 如图7－1所示，用100N的力，按照不同的方向拉一辆车，效果一样吗？ ①教师 学生 教学 时行为 行为 意图 间 0 3 介绍 了解 播放 观看 从实课件 课件 例出 发使思考 学生 自然的走向知引导 图7－1 分析 自我 分析 *动脑思考 探索新知 【新知识】 在数学与物理学中，有两种量．只有大小，没有 识点 教 学 过 程 方向的量叫做数量（标量），例如质量、时间、温度、面积、密度等．既有大小，又有方向的量叫做向量（矢量），例如力、速度、位移等． 平面上带有指向的线段（有向线段）叫做平面向量，线段的指向就是向量的方向，线段的长度表示向量的大小．如图7-2所示，有向线段的起点叫做平面向量的起点，有向线段的终点叫做平面向量的终点．以A为起点，B为终点的向量记作AB．也可以使用小写英文字母，印刷用黑体表示，记作a；手写时应在字母上面加箭头，记作a． 教师 学生 教学 时行为 行为 意图 间 总结 思考 带领 归纳 仔细 分析 讲解 关键 词语 学生 分析 理解 引导 式启 发学 生得 出结 记忆 果 10 a AB 图7－2 向量的大小叫做向量的模．向量a, AB的模依次记作a，AB． 模为零的向量叫做零向量．记作0，零向量的方向是不确定的． 模为1的向量叫做单位向量． *巩固知识 典型例题 例1 一架飞机从A处向正南方向飞行200km，另一架飞机从A处朝北偏东45°方向飞行200km， 两架飞机的位移相同吗？分别用有向线段表示两架飞机的位移． 通过 观察 说明 强调 引领 教 学 过 程 解 位移是向量．虽然这两个向量的模相等，但是它们的方向不同，所以两架飞机的位移不相同．两架飞机位移的有向线段表示分别为图7-3中的有向线段a 与b． 图7-3 *运用知识 强化练习 说出下图中各向量的模，并指出其中的单位向量 (小方格为1)． 图7−4 教师 学生 教学 时行为 行为 意图 间 思考 例题 进一步领会 13 讲解 说明 主动 b A a 求解 强调 含义 N B M TK A H L Z Q C D F P K G E 及时 了解 提问 思考 学生 巡视 口答 知识 指导 掌握 得情 况 18 教 学 过 程 *创设情境 兴趣导入 观察图7−4中的向量AB与MN，它们所在的直线平行，两个向量的方向相同；向量CD与PQ所在的直线平行，两个向量的方向相反． 教师 学生 教学 时行为 行为 意图 间 从实 播放 观看 例出课件 课件 发使 自我 学生自然的走向知质疑 引导 分析 分析 *动脑思考 探索新知 【新知识】 方向相同或相反的两个非零向量叫做互相平行的向量．向量a与向量b平行记作a ABMNHGTKaaaABMNGHTK DADCABCBDABADCCDDCBAABDCABCDAB D O 识点 20 C A 图7－5 B 教 学 过 程 教师 学生 教学 时行为 行为 意图 间 EFADA D B E （练习题第1题图 F A B O E D C F C （图－8）第21题图 OCOCOC A 200m 500mCB B图7－6 ACABBCACABBC a b aA a+bb C ABBCACABBCAC 图7－7 教 学 过 程 ADBCABADABBCACD A 图7－9 教师 学生 教学 时行为 行为 意图 间 C ACABAD B ABACADADABAC22 D B 12252tanCAD1252F2 C F1 A CAD67236723F1F2F1F2F1F2k 解 利 图7－10 k 图7－11 说明 观察 强调 用平行四边形法则，可以得到 F1F22F1cosk，

教 学 过 程 所以 k2cos教师 学生 教学 时行为 行为 意图 间 ． F1【想一想】 思考 根据例题4的分析，判断在单杠上悬挂身体时引领 (如图7－12)，两臂成什么角度时，双臂受力最小？ 图7-12 主动 讲解 求解 说明 注意 观察 引领 学生 分析 观察 是否 思考 理解 求解 知识 点 领会 教 学 过 程 教师 学生 教学 时行为 行为 意图 间 讲解 说明 思考 反复 求解 强调 *运用知识 强化练习 1．练习如图，已知a，b，求a＋b． b b a （1） 第1题图 （图1－15） （2） 62 a 启发 思考 引导 了解 2．填空（向量如图所示）： （1）a＋b =_____________ , （2）b＋c =_____________ , （3）a＋b＋c =_____________ ． 3．计算： （1）AB＋BC＋CD； （2）OB＋BC＋CA． 可以 交给 学生 自我 发现 归纳 提问 动手 巡视 求解 65 指导 引导 66 质疑 思考 启发引导 参与 学生分析 分析 思考 *创设情境 兴趣导入 在进行数学运算的时候，减去一个数可以看作加上这个数的相反数． 教 学 过 程 *动脑思考 探索新知 与数的运算相类似，可以将向量a与向量b的负向量的和定义为向量a与向量b的差．即 教师 学生 教学 时行为 行为 意图 间 总结 归纳 a −b = a＋(−b)． 设a=OA，b OB，则 OAOBOA(OB)= OABOBOOABA． 思考 归纳 即 OAOB=BA （7．2） 观察图7－13可以得到：起点相同的两个向量a、 b，其差a－b仍然是一个向量，叫做a与b的差向量，其起点是减向量b的终点，终点是被减向量a的终点． B带领 ba-b aA O 图7－13 学生 仔细 总结 分析 理解 记忆 讲解 关键 68 词语 *巩固知识 典型例题 例5 已知如图7－14（1）所示向量a 、b ，请画出向量a－b． a b A图7－14a O （2） b B强调 思考 含义 求解 注意 （1） 解 如图7－14（2）所示，以平面上任一点O为起点，作OA=a，OB=b，连接BA，则向量BA为所求观察 学生 是否 理解 领会 知识 教 学 过 程 的差向量，即 BA= a－b ． 教师 学生 教学 时行为 行为 意图 间 说明 思考 求解 点 70 【想一想】 当a与 b共线时，如何画出a－b ． *运用知识 强化练习 1．填空：（1）ABAD=_______________， （2）BCBA=______________， （3）ODOA=______________． 2．如图，在平行四边形ABCD中，设AB= 启发 思考 可以 引导 了解 交给 学生 提问 动手 巡视 求解 自我 指导 发现 归纳 72 引导启发学生 a,AD= b，试用a, b表示向量AC、BD、DB． *创设情境 兴趣导入 观察图7－15可以看出，向量OC与向量a共线，并且 OC＝3a． 质疑 思考 a a O A a B 图7−15 a C 引导 参与 思考 分析 分析 74 *动脑思考 探索新知 一般地，实数与向量a的积是一个向量，记作教 学 过 程 a，它的模为 教师 学生 教学 时行为 行为 意图 间 |a||||a| （7．3） 若|a|0，则当＞0时，a的方向与a的方向 相同，当＜0时，a的方向与a的方向相反． 由上面定义可以得到，对于非零向量a、b，当总结 思考 带领 0时，有 a∥bab 归纳 归纳 学生 （7．4） 一般地，有 0a= 0, 0 = 0 ． 数与向量的乘法运算叫做向量的数乘运算，容易验证，对于任意向量a, b及任意实数、，向量数乘运算满足如下的法则： 1aa， 1　　1aa　； 分析 2　　aaa；理解 记忆 3　　aaa； ４　abab．【做一做】 请画出图形来，分别验证这些法则． 向量加法及数乘运算在形式上与实数的有关运算规律相类似，因此，实数运算中的去括号、移项、合并同类项等变形，可直接应用于向量的运算中．但是，要注意向量的运算与数的运算的意义是不同的． 仔细 理解 引导 分析 记忆 启发 讲解 学生 关键 得出 词语 结论 教 学 过 程 教师 学生 教学 时行为 行为 意图 间 78 *巩固知识 典型例题 例6 在平行四边形ABCD中，O为两对角线交点如 图7－16，AB＝a ，AD＝b，试用a, b表示向量 AO、OD． 分析 因为AOAC,ODBD，所以需要首先分别求出向量AC与BD. 解 图7－16 1212 强调 思考 含义 求解 注意 观察 AC＝a＋b,BD＝b 学生 −a， 是否 因为O分别为AC，BD的中点，所以 理解 1111 领会 AOAC（a＋b）＝a＋b， 知识 2222 说明 1111点 OD＝BD＝（b −a）＝−a+b． 2222 1111例6中，a＋b和−a+b都叫做向量a，b 2222 的线性组合，或者说，AO、OD可以用向量a，b线 思考 性表示． 求解 一般地，a＋b叫做a, b的一个线性组合（其 中,均为系数）．如果l ＝a＋ b，则称l可 以用a，b线性表示． 向量的加法、减法、数乘运算都叫做向量的线性运算． *运用知识 强化练习 81 教 学 过 程 1． 计算：（1）3（a −2 b）－2（2 a＋b）； （2）3 a −2（3 a −4 b）＋3（a −b）． 2．设a, b不共线，求作有向线段OA，使OA＝（a＋b）． *理论升华 整体建构 思考并回答下面的问题： 向量、向量的模、向量相等是如何定义的？ 结论： 当一种量既有大小，又有方向，例如力、速度、位移等，这种量叫做向量（矢量） 向量的大小叫做向量的模．向量a, AB的模依次记作a，AB． 12教师 学生 教学 时行为 行为 意图 间 启发 思考 可以 引导 了解 交给 学生 提问 动手 自我 巡视 求解 发现 指导 归纳 83 85 质疑 归纳回答 及时 了解学生知识掌握情况 强调 a与向量b的模相等并且方向相同时，称向量a与向量b相等，记作a = b ． *归纳小结 强化思想 本次课学了哪些内容重点和难点各是什么 *自我反思 目标检测 本次课采用了怎样的学习方法你是如何进行学习的你的学习效果如何 计算： （1）AB＋BC＋CD； （2）OB＋BC＋CA． 引导 回忆 检验 提问 反思 学生 学习 巡视 动手 效果 指导 求解 88 *继续探索 活动探究 教 学 过 程 (1)读书部分：教材 (2)书面作业：教材习题7．1 A组（必做）；7．1 B组（选做） (3)实践调查：试着用向量的观点解释生活中的一些问题 【教师教学后记】

项目 学生知识、技能的掌握情况 教师 学生 教学 时行为 行为 意图 间 说明 记录 分层次要求 90 反思点 学生是否真正理解有关知识； 是否能利用知识、技能解决问题； 在知识、技能的掌握上存在哪些问题； 学生是否参与有关活动； 学生的情感态度 在数学活动中，是否认真、积极、自信； 遇到困难时，是否愿意通过自己的努力加以克服； 学生是否积极思考； 学生思维情况 思维是否有条理、灵活； 是否能提出新的想法； 是否自觉地进行反思； 学生是否善于与人合作； 学生合作交流的情况 在交流中，是否积极表达； 是否善于倾听别人的意见； 学生是否愿意开展实践； 学生实践的情况 能否根据问题合理地进行实践； 在实践中能否积极思考； 能否有意识的反思实践过程的方面；

【课题】 平面向量的坐标表示

【教学目标】

知识目标：

（1）了解向量坐标的概念，了解向量加法、减法及数乘向量运算的坐标表示；

（2）了解两个向量平行的充要条件的坐标形式. 能力目标：

培养学生应用向量知识解决问题的能力. 【教学重点】

向量线性运算的坐标表示及运算法则. 【教学难点】

向量的坐标的概念.采用数形结合的方法进行教学是突破难点的关键. 【教学设计】

向量只有“模”与“方向”两个要素，为了研究方便，我们首先将向量的起点放置在坐标原点（一般称为位置向量）．设x轴的单位向量为i，轴的单位向量为j．如果点A的坐标为（x，y）,则

OAxiyj，

将有序实数对（x，y）叫做向量OA的坐标．记作OA=（x，y）．

例1是关于“向量坐标概念”的知识巩固性例题．要强调此时起点的位置．让学生认识到，当向量的起点为坐标原点时，其终点的坐标就是向量的坐标．例2是关于“向量线性运算的坐标表示”的知识巩固性例题．要强调与公式的对应．

在研究起点为坐标原点的向量的基础上，利用向量加法的三角形法则，介绍起点在任意位置的向量的坐标表示，向量的坐标等于原点到终点的向量的坐标减去原点到起点的向量的坐标，由此得到公式（）.数值上可以简单记为：终点的坐标减去起点的坐标．例3是关于“起点在任意位置的向量的坐标表示”的巩固性例题．要强调“终点的坐标减去起点的坐标”． 【教学备品】

教学课件．

【课时安排】

2课时．(90分钟) 【教学过程】

教 学 过 程 *揭示课题 平面向量的坐标表示 *创设情境 兴趣导入 【观察】 设平面直角坐标系中，x轴的单位向量为i, y轴的单位向量为j，OA为从原点出发的向量，点A的坐标为（2，3）(图7－17)．则 教师 学生 教学 时行为 行为 意图 间 0 5 *动脑思考 探索新知 介绍 了解 质疑 思考 从实 图7－17 OM2i，ON3j． 例出发使学生自然的走向知 由平行四边形法则知 OAOMON2i3j． 引导 分析 识点 【说明】 自我 分析 可以看到，从原点出发的向量，其坐标在数值上与向量终点的坐标是相同的． 教 学 过 程 【新知识】 设i, j分别为x轴、y轴的单位向量， （1）设点M(x,y)，则OMxi+yj（如图7－18(1)）； （2）设点A(x1,y1)，B(x2,y2)（如图7－18(2)），则 教师 学生 教学 时行为 行为 意图 间 思考 引导 式启 发学 理解 生得 出结 果 记忆 10 仔细 分析 讲解 关键 词语 y M(x,y) j O i x (1) y A j O i x (2) 图7－18 ABOBOA(x2i+y2j)(x1i+y1j)(x2x1)i(y2y1)j．B 由此看到，对任一个平面向量a，都存在着一对有序实数(x,y)， 使得 axiyj． 有序实数对(x,y)叫做向量a的坐标，记作 a(x,y)． 如图7－17所示，向量的坐标为OA(2,3)． 教 学 过 程 如图7－18（1）所示，起点为原点，终点为M(x,y)的向量的坐标为 OM(x,y)． 教师 学生 教学 时行为 行为 意图 间 如图7－18（2）所示，起点为A(x1,y1)，终点为B(x2,y2)的向量坐标为 AB(x2x1，y2y1)． （7．5） *巩固知识 典型例题 例1 如图7－19所示，用x轴与y轴上的单位向量i、j表示向量a、b, 并写出它们的坐标． 解 因为 通过例题进一 QP的坐标． 例2 已知点P(2,1)，Q(3,2)，求PQ，a＝OM＋MA ＝5i＋3j ， 所以 a(5,3)． 同理可得 b(4,3)． 【想一想】 观察图7－19，OA与OM的坐标之间存在什么关系？ 图7－19 说明 观察 强调 思考 步领引领 会 主动 讲解 求解 说明 解 PQ(3,2)(2,1)(1,3), 教 学 过 程 QP(2,1)(3,2)(1,3)． 教师 学生 教学 时行为 行为 意图 间 15 *运用知识 强化练习 1． 点A的坐标为（－2，3），写出向量OA的坐标，并用i与j的线性组合表示向量OA． 2． 设向量a3i4j,写出向量a的坐标． BA的坐标． 3． 已知A，B两点的坐标，求AB， 及时 (1) A(5,3),B(3,1); (2) A(1,2),B(2,1); (3) A(4,0),B(0,3)． *创设情境 兴趣导入 【观察】 观察图7－20，向量 OA(5,3),OP(3,0),OMOAOP(8,3)．可以看了解 提问 思考 学生 巡视 口答 知识 指导 掌握 得情 况 20 质疑 思考 到，两个向量和的坐标恰好是这两个向量对应坐标的和． 图7－20 引导 参与 引导分析 分析 启发 学生思考 教 学 过 程 教师 学生 教学 时行为 行为 意图 间 27 *动脑思考 探索新知 【新知识】 设平面直角坐标系中，a(x1,y1)，b(x2,y2)，则 ab(x1iy1j)(x2iy2j) (x1x2)i(y1y2)j． 所以 ab(x1x2,y1y2)． （7．6） 总结 思考 归纳 归纳 仔细 分析 讲解 关键 词语 类似可以得到 ab(x1x2,y1y2)． （7．7） 带领 a(x1,y1)． （7．8） 学生 总结 理解 记忆 35 *巩固知识 典型例题 例3 设a＝(1,−2), b＝(−2,3)，求下列向量的坐标： (1) a＋b ， (2) −3 a， (3) 3 a −2 说明 观察 通过强调 例题进一步领b ． 解 (1) a＋b＝(1, −2)＋(−2,3)＝(−1,1) (2) −3 a＝−3×(1, −2)＝(−3,6) (3) 3 a −2 b＝3×(1, −2) − 2×(−2,3)＝(3, −6) − (−4,6)＝(7, −12)． 引领 思考 会 讲解 主动 说明 求解 教 学 过 程 教师 学生 教学 时行为 行为 意图 间 45 *运用知识 强化练习 已知向量a, b的坐标，求a＋b、 a −b、−2 a＋3 启发 思考 及时 引导 了解 了解 b的坐标． 学生 （1） a＝(−2,3)， b＝(1,1)； 提问 动手 知识 （2） a＝(1,0)， b＝(−4, −3)； 巡视 求解 掌握 （3） a＝(−1,2)， b＝(3,0)． 指导 得情 况 55 *创设情境 兴趣导入 【问题】 前面我们学习了公式（），知道对于非零向量 引导启发学生思考 60 a、b，当0时，有 a∥bab 引导 思考 分析 如何用向量的坐标来判断两个向量是否共线呢？ 观察 参与 思考 分析 *动脑思考 探索新知 【新知识】 设a(x1,y1),b(x2,y2),由ab，有 x1x2,y1y2,于是x1y2x2y1，即 总结 思考 归纳 归纳 x1y2x2y10． 由此得到，对非零向量a、 b，设a(x1,y1),b(x2,y2),当0时，有 教 学 过 程 a∥bx1y2x2y10． （7．9） 教师 学生 教学 时行为 行为 意图 间 仔细 理解 带领 分析 记忆 学生 讲解 总结 67 通过例题 70 *巩固知识 典型例题 例4 设a(1,3),b(2,6)，判断向量a、 b是否共线． 解 由于 3×2−1×6＝0， 故由公式（7．9）知，a∥b，即向量a、 b共线． 说明 观察 强调 引领 思考 进一分析 主动 讲解 求解 说明 步领会 *运用知识 强化练习 判断下列各组向量是否共线： 启发 思考 及时 引导 了解 了解 学生 提问 动手 知识 巡视 求解 掌握 指导 得情 况 75 3（1） a＝(2,3)， b＝(1,)； 2（2） a＝(1, −1) ， b＝(−2,2)； （3） a＝(2, 1) ， b＝(−1,2)． *理论升华 整体建构 思考并回答下面的问题： 向量坐标的概念？ 任意起点的向量的坐标表示？ 教 学 过 程 共线向量的坐标表示？ 结论： 教师 学生 教学 时行为 行为 意图 间 80 质疑 回答 及时 了解学生知识掌握情况 一般地，设平面直角坐标系中，x轴的单位向量为 i, y轴的单位向量为j，则对于从原点出发的任意向 量a都有唯一一对实数x、y，使得axiyj．有序实归纳数对(x,y)叫做向量a的坐标，记作 强调 a(x,y)． 向量的坐标等于原点到终点的向量的坐标减去原点到起点的向量的坐标. 对非零向量a、 b，设a(x1,y1),b(x2,y2),当0时，有 a∥bx1y2x2y10． *归纳小结 强化思想 本次课学了哪些内容重点和难点各是什么 *自我反思 目标检测 本次课采用了怎样的学习方法你是如何进行学习的你的学习效果如何 引导 回忆 提问 反思 检验 学生 已知向量a, b的坐标，求a＋b、 a − b、−2 a＋巡视 动手 学习 指导 求解 效果 3 b的坐标． a＝(−2,3)， b=(1,1)； 85 *继续探索 活动探究 (1)读书部分：教材 (2)书面作业：教材习题 A组（必做）； B组（选做） 说明 记录 分层次要求 教 学 过 程 (3)实践调查：寻找生活中的向量坐标实例 教师 学生 教学 时行为 行为 意图 间 90 【教师教学后记】

项目 学生知识、技能的掌握情况 反思点 学生是否真正理解有关知识； 是否能利用知识、技能解决问题； 在知识、技能的掌握上存在哪些问题； 学生是否参与有关活动； 学生的情感态度 在数学活动中，是否认真、积极、自信； 遇到困难时，是否愿意通过自己的努力加以克服； 学生是否积极思考； 学生思维情况 思维是否有条理、灵活； 是否能提出新的想法； 是否自觉地进行反思； 学生是否善于与人合作； 学生合作交流的情况 在交流中，是否积极表达； 是否善于倾听别人的意见； 学生是否愿意开展实践； 学生实践的情况 能否根据问题合理地进行实践； 在实践中能否积极思考； 能否有意识的反思实践过程的方面；

【课题】 平面向量的内积

【教学目标】

知识目标：

（1）了解平面向量内积的概念及其几何意义.

（2）了解平面向量内积的计算公式.为利用向量的内积研究有关问题奠定基础.

能力目标：

通过实例引出向量内积的定义,培养学生观察和归纳的能力． 【教学重点】

平面向量数量积的概念及计算公式. 【教学难点】

数量积的概念及利用数量积来计算两个非零向量的夹角． 【教学设计】

教材从某人拉小车做功出发，引入两个向量内积的概念．需要强调力与位移都是向量，而功是数量．因此，向量的内积又叫做数量积．

在讲述向量内积时要注意：

（1）向量的数量积是一个数量，而不是向量，它的值为两向量的模与两向量的夹角余弦的乘积.其符号是由夹角决定；

（2）向量数量积的正确书写方法是用实心圆点连接两个向量. 教材中利用定义得到内积的性质后面的学习中会经常遇到，其中： （1）当＝0时，a·b＝|a||b|；当＝180时，a·b＝－|a||b|．可以记忆为：两个共线向量，方向相同时内积为这两个向量模的积；方向相反时内积为这两个向量模的积的相反数．

（2）|a|＝aa显示出向量与向量的模的关系，是得到利用向量的坐标计算向量模的公式的基础；

（3）cos＝的公式的基础；

（4）“a·b＝0ab”经常用来研究向量垂直问题，是推出两个向量内积坐标表示的重要基础． 【教学备品】

教学课件． 【课时安排】

ab，是得到利用两个向量的坐标计算两个向量所成角|a||b|2课时．(90分钟) 【教学过程】

教 学 过 程 *揭示课题 平面向量的内积 *创设情境 兴趣导入 F 教师 学生 教学 时行为 行为 意图 间 从实例出 0 5 介绍 了解 O 30s 质疑 思考 发使 学生自然的走向知 图7—21 如图7－21所示，水平地面上有一辆车，某人用100 N的力，朝着与水平线成30角的方向拉小车，使小车前进了100 m．那么，这个人做了多少功？ 识点 引导 自我 分析 分析 *动脑思考 探索新知 【新知识】 我们知道，这个人做功等于力与在力的方向上移动的距离的乘积．如图7－22所示，设水平方向的单位向量为i，垂直方向的单位向量为j，则 Fxi + y j Fsin30iFcos30j， 总结 思考 带领 归纳 学生 分析 即力F是水平方向的力与垂直方向的力的和，垂直方向上没有产生位移，没有做功，水平方向上产生的位移为s，即 3W＝｜F｜cos30·｜s｜＝100×·10＝25003 （J） 教 学 过 程 教师 学生 教学 时行为 行为 意图 间 y F(x,y) A 理解 j O i x 图7－22 这里，力F与位移s都是向量，而功W是一个数量，它等于由两个向量F，s的模及它们的夹角的余弦 的乘积，W叫做向量 F与向量s的内积,它是一个数量，又叫做数量积． 如图7－23，设有两个非零向量a, O 引导 a b 图7－23 B b，作OA＝a, OB＝b,由射线OA与OB所形成的角叫做向量a与向量b的夹角，记作． 两个向量a,b的模与它们的夹角的余弦之积叫做向量a与向量b的内积，记作a·b, 即 仔细 记忆 式启 分析 发学 讲解 生得 关键 出结 词语 果 15 a·b＝｜a||b|cos 上面的问题中，人所做的功可以记作W＝F·s. 由内积的定义可知 a·0＝0, 0·a＝0． 由内积的定义可以得到下面几个重要结果： （1） 当＝0时，a·b＝|a||b|；当＝ 180时，a·b＝−|a||b|. 教 学 过 程 （2） cos＝ab. |a||b|教师 学生 教学 时行为 行为 意图 间 思考 （3） 当b＝a时，有＝0，所以a·a＝|a||a|＝|a|2，即|a|＝aa. （4） 当a,b90时，ab，因此，a·b＝abcos900,因此对非零向量a，b，有 总结 归纳 带领 a·b＝0ab. 可以验证，向量的内积满足下面的运算律： （1） a·b＝b·a． （2） (a)·b＝(a·b)＝a·(b)． （3） (a＋b)·c＝a·c＋b·c． 注意：一般地，向量的内积不满足结合律，即 a·(b·c)≠（a·b）·c. 请结合实例进行验证. 学生 分析 理解 反复 仔细 强调 分析 30 记忆 讲解 关键 词语 *巩固知识 典型例题 例1 已知|a|＝3,|b|＝2, ＝60,求a·b． 解 a·b＝|a||b| cos ＝3×2×cos60＝3． 说明 思考 注意 强调 观察 学生 例2 已知|a|＝|b|＝2,a·b＝2,求． 是否 22ab 解 cos＝＝＝−. 引领 主动 理解 |a||b|222 求解 知识 由于 0≤≤180， 点 40 所以 ＝135． *运用知识 强化练习 1. 已知|a|＝7，|b|＝4，a和b的夹角为60， 及时 了解 教 学 过 程 求a·b． 2. 已知a·a＝9,求|a|． 3. 已知|a|＝2,|b|＝3, ＝30，求(2a＋教师 学生 教学 时行为 行为 意图 间 提问 思考 学生 巡视 口答 知识 指导 掌握 得情 况 45 b)·b． *动脑思考 探索新知 设平面向量a＝(x1,y1),b＝(x2,y2)，i，j分别为x 轴，y轴上的单位向量，由于i⊥j，故i·j ＝0，又 | i |＝|j|＝1，所以 a·b＝(x1 i＋y1j)· (x2 i＋y2j) ＝ x1 x2 i •i＋ x1 y2 i •j＋ x2 y1 i •j ＋ y1 y2 j •j ＝ x1 x2 |j|2＋ y1 y2 |j|2 ＝ x1 x2＋ y1 y2． 这就是说，两个向量的内积等于它们对应坐标乘积的和，即 总结 思考 归纳 归纳 a·b＝ x1 x2＋ y1 y2 利用公式(7．11)可以计算向量的模．设a＝(x,y)，则 aaa带领 学生 总结 x2y2，即 ax2y2 由平面向量内积的定义可以得到，当a、b是非零向量时， 仔细 理解 x1 x2 y1 y2ab＝. 2222|a||b|x1y1x2y2 cos＝分析 记忆 讲解 关键 利用公式可以方便地求出两个向量的夹角. 由于aba·b＝0，由公式可知 教 学 过 程 教师 学生 教学 时行为 行为 意图 间 词语 60 a·b＝0 x1 x2＋ y1 y2＝0． 因此 ab x1 x2＋ y1 y2＝0． 利用公式可以方便地利用向量的坐标来研究向量垂直的问题． *巩固知识 典型例题 例3 求下列向量的内积： （1） a＝ (2,−3), b＝(1,3)； （2） a＝ (2, −1), b＝(1,2)； （3） a＝ (4,2), b＝(−2, −3)． 解 (1) a·b＝2×1＋(−3)×3＝−7； (2) a·b＝2×1＋(−1)×2＝0； (3) a·b＝2×(−2)＋2×(−3)＝−14． 例4 已知a＝(−1,2),b＝(−3,1).求a·b, |a|,|b|, ． 解 a·b＝(−1)( −3)＋2×1＝5； |a|＝aa(1)2225； |b|＝bb(3)21210； cos＝52ab＝， 2|a||b|105 说明 观察 强调 讲解 所以 ＝45． 例5 判断下列各组向量是否互相垂直： (1) a＝(−2, 3), b＝(6, 4)； (2) a＝(0, −1), b＝(1, −2)． 解 (1) 因为a·b＝(−2)×6＋3×4＝0，所以说明 引领 思考 主动 讲解 求解 说明 注意 观察 学生 引领 观察 是否 分析 理解 知识 思考 点 求解 强调 含义 反复 领会 强调 ab． (2) 因为a·b＝0×1＋(−1)×（−2)＝2，所以a教 学 过 程 与b不垂直． 教师 学生 教学 时行为 行为 意图 间 说明 思考 求解 70 *运用知识 强化练习 1．已知a＝(5, −4)，b＝(2,3)，求a·b． 2．已知a＝(1,3)，b＝(0, 3)，求． 3．已知a＝(2, −3)，b＝(3,－4)，c＝(−1,3),求a·(b＋c)． 4. 判断下列各组向量是否互相垂直： (1) a＝(−2, −3)，b＝(3, −2)； (2) a＝(2,0)，b＝(0, −3)； (3) a＝(−2,1)，b＝(3,4)． 5. 求下列向量的模： (1) a＝(2, −3)， (2) b＝(8, 6 )． *理论升华 整体建构 思考并回答下面的问题： 平面向量内积的概念、几何意义? 结论： 两个向量a,b的模与它们的夹角的余弦之积叫做向量a与向量b的内积，记作a·b, 即 启发 思考 及时 引导 了解 了解 学生 知识 提问 动手 掌握 巡视 求解 得情 指导 况 80 及时 83 质疑 回答 了解 学生知识掌握情况 归纳 a·b＝｜a||b|cos 强调 a·b的几何意义就是向量a的模与向量b在向量 a上的投影的乘积． *归纳小结 强化思想 本次课学了哪些内容重点和难点各是什么 引导 回忆 教 学 过 程 *自我反思 目标检测 本次课采用了怎样的学习方法你是如何进行学习的你的学习效果如何 1.已知a＝(5, − 4),b＝(2,3),求a·b． 2.已知a＝(2, −3),b＝(3, −4),c＝(−1,3),求教师 学生 教学 时行为 行为 意图 间 提问 反思 检验 学生 巡视 动手 学习 指导 求解 效果 88 90 a·(b＋c)． *继续探索 活动探究 (1)读书部分：阅读教材 (2)书面作业：教材习题 A组（必做）； B组（选做） (3)实践调查：编写一道向量内积问题并解答． 说明 记录 分层次要求 【教师教学后记】

项目 学生知识、技能的掌握情况 反思点 学生是否真正理解有关知识； 是否能利用知识、技能解决问题； 在知识、技能的掌握上存在哪些问题； 学生是否参与有关活动； 学生的情感态度 在数学活动中，是否认真、积极、自信； 遇到困难时，是否愿意通过自己的努力加以克服； 学生是否积极思考； 学生思维情况 思维是否有条理、灵活； 是否能提出新的想法； 是否自觉地进行反思； 学生是否善于与人合作； 学生合作交流的情况 在交流中，是否积极表达； 是否善于倾听别人的意见； 学生是否愿意开展实践； 学生实践的情况 能否根据问题合理地进行实践； 在实践中能否积极思考； 能否有意识的反思实践过程的方面；

【课题】8．1 两点间的距离与线段中点的坐标

【教学目标】

知识目标：

掌握两点间的距离公式与中点坐标公式； 能力目标：

用“数形结合”的方法，介绍两个公式．培养学生解决问题的能力与计算能力． 【教学重点】

两点间的距离公式与线段中点的坐标公式的运用 【教学难点】

两点间的距离公式的理解 【教学设计】

两点间距离公式和中点坐标公式是解析几何的基本公式，教材采用“知识回顾”的方式给出这两个公式．讲授时可结合刚学过的向量的坐标和向量的模的定义讲解，但讲解的重点应放在公式的应用上．

例1是巩固性练习题．题目中，两个点的坐标既有正数，又有负数．讲授时，要强调两点间的距离公式的特点特别是坐标为负数的情况．

例2是中点公式的知识巩固题目．通过连续使用公式（），强化学生对公式的理解与运用．

例3是本节两个公式的综合性题目，是知识的简单综合应用．要突出 “解析法”，进行数学思维培养． 【教学备品】

教学课件．

【课时安排】

2课时．(90分钟) 【教学过程】

教 学 过 程 *揭示课题 8．1 两点间的距离与线段中点的坐标 教师 学生 教学 时行为 行为 意图 间 0 *创设情境 兴趣导入 【知识回顾】 平面直角坐标系中，设P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，则PP12(x2x1,y2y1)． 介绍 了解 质疑 思考 启发 学生思考 15 引导 分析 *动脑思考 探索新知 【新知识】 我们将向量PP1、P2之间的距离，记12的模，叫做点P作PP12，则 总结 思考 带领 归纳 学生 分析 记忆 25 22 |PP12|PP12PP12PP12(x2x1)(y2y1) （8．1） *巩固知识 典型例题 例1 求A（−3，1）、B（2，−5）两点间的距离． 说明 观察 强调 教 学 过 程 解 A、B两点间的距离为 |AB|(32)1(5)6122教师 学生 教学 时行为 行为 意图 间 通过例题 30 引领 思考 进一 步领 会 讲解 主动 说明 求解 第1题图 *运用知识 强化练习 1．请根据图形，写出M、N、P、Q、R各点的坐标． 2．在平面直角坐标系内，描出下列各点： A(1,1)、B(3,4)、C(5,7)．并计算每两点之间的距离． 提问 思考 反复 巡视 口答 强调 指导 38 引导启发学生 *创设情境 兴趣导入 【观察】 练习8．1．1第2题的计算结果显示， 质疑 思考 |AB||BC|1|AC|． 2这说明点B是线段AB的中点，而它们三个点的坐标之间恰好存在关系 31517， 4 22引导 参与 思考 分析 分析 43 *动脑思考 探索新知 【新知识】 设线段的两个端点分别为A(x1,y1)和B(x2,y2)，线段的教 学 过 程 中点为M(x0,y0)（如图8－1），则AM(x0x1,y0y1), 教师 学生 教学 时行为 行为 意图 间 总结 思考 带领 归纳 归纳 学生 MB(x2x0,y2y0),由于M为线段AB的中点，则 总结 AMMB,即(x0x1,y0y1)(x2x0,y2y0)，即 x0x1x2x0,x1x2y1y2 解得x0． ,y0 22 y0y1y2y0, 仔细 理解 y B(x2, 分析 记忆 y) M(x0, 讲解 y) A(x1, 关键 y) x O 词语 图8－1 一般地，设P1(x1,y1)、P2(x2,y2)为平面内任意两点，则线段P1P2中点P0(x0,y0)的坐标为 52 x0x1x2yy2,y01. （8．2） 22*巩固知识 典型例题 例2 已知点S（0，2）、点T（−6，−1），现将线段ST四等分，试求出各分点的坐标． 分析 如图8－2所示，首先求出线段ST的中点Q的坐标，然后再求SQ的中点P及QT的中点R的坐标． 解 设线段ST的中点Q的坐标为(xQ,yQ)， 则由点S（0，2）、点T（−6，−1）得 说明 0(6)2(1)1xQ3，yQ． 222强调 观察 通过例题引领 教 学 过 程 即线段ST的中点为 教师 学生 教学 时行为 行为 意图 间 思考 进一 步领会 65 1Q． （3,）2同理，求出线段SQ的讲解 35中点P ，线段QT（,）2491的中点R． （,）24说明 主动 图8－2 求解 注意 观察 351故所求的分点分别为P（,）、Q（3,）、24291． R（,）24C(0,3)，试求BC边上的中线AD的长度． 例3 已知ABC的三个顶点为A(1,0)、B(2,1)、 解 设BC的中点D的坐标为(xD,yD)，则由B(2,1)、C(0,3)得 xD(2)0131，yD2， 22故 |AD|(11)2(20)222, 即BC边上的中线AD的长度为22． 引领 观察 学生 分析 是否 理解 知识 说明 点 思考 求解 *运用知识 强化练习 1．已知点A(2,3)和点B(8,3)，求线段AB中点的坐标． 2．已知ABC的三个顶点为A(2,2)、B(4,6)、C(3,2)，求AB边上的中线CD的长度． 75 启发 思考 引导 了解 进一 步领提问 动手 会知3．已知点Q(4,n)是点P(m,2)和点R(3,8)连线的中点，求m与n的值． 巡视 求解 识点 指导 教 学 过 程 *理论升华 整体建构 思考并回答下面的问题： 两点间的距离公式、线段的中点坐标公式？ 结论： 设平面直角坐标系内任意两点P1(x1,y1)、P2(x2,y2)，则P1(x1,y1)、P2(x2,y2)的距离为（证明略） 22 |PP12|(x2x1)(y2y1)． 教师 学生 教学 时行为 行为 意图 间 80 质疑 回答 及时 归纳强调 了解学生知识掌握情况 设P1(x1,y1)、P2(x2,y2)为平面内任意两点，则线段P1P2中点P0(x0,y0)的坐标为 xxyy2x012,y01. 22*归纳小结 强化思想 本次课学了哪些内容重点和难点各是什么 *自我反思 目标检测 本次课采用了怎样的学习方法你是如何进行学习的你的学习效果如何 已知点M(0,2)，点N(2,2)，求线段MN的长度，并写出线段MN的中点P的坐标． 引导 回忆 提问 反思 检验 学生 巡视 动手 学习 指导 求解 效果 86 说明 记录 分层次要求 *继续探索 活动探究 (1)读书部分：教材 (2)书面作业：教材习题8．1 A组（必做）；教材习题8．1 B组（选做） 教 学 过 程 (3)实践调查：编写一道关于求中点坐标的问题并求解． 【教师教学后记】

项目 学生知识、技能的掌握情况 教师 学生 教学 时行为 行为 意图 间 90 反思点 学生是否真正理解有关知识； 是否能利用知识、技能解决问题； 在知识、技能的掌握上存在哪些问题； 学生是否参与有关活动； 学生的情感态度 在数学活动中，是否认真、积极、自信； 遇到困难时，是否愿意通过自己的努力加以克服； 学生是否积极思考； 学生思维情况 思维是否有条理、灵活； 是否能提出新的想法； 是否自觉地进行反思； 学生是否善于与人合作； 学生合作交流的情况 在交流中，是否积极表达； 是否善于倾听别人的意见； 学生是否愿意开展实践； 学生实践的情况 能否根据问题合理地进行实践； 在实践中能否积极思考； 能否有意识的反思实践过程的方面；

【课题】8．2 直线的方程（二）

【教学目标】

知识目标：

（1）了解直线与方程的关系；

（2）掌握直线的点斜式方程、斜截式方程，理解直线的一般式方程． 能力目标：

培养学生解决问题的能力与计算能力． 【教学重点】

直线方程的点斜式、斜截式方程． 【教学难点】

根据已知条件，选择直线方程的适当形式求直线方程． 【教学设计】

采用“问题——分析——联系方程”的步骤，从学生熟知的一次函数图像入手，分析图像上的坐标与函数解析式的关系，把函数的解析式看作方程，图像是具有某种特征的平面点集（轨迹）．很自然地建立直线和方程的关系，把函数的解析式看作方程是理解概念的关键．

导出直线的点斜式方程过程，是从直线与方程的关系中的两个方面进行的．首先是直线上的任意一点的坐标都是方程的解，然后是以方程的解为坐标的点一定在这条直线上．

直线的斜截式方程是直线的点斜式方程的特例．直线的斜截式方程与一次函数的解析式具有相同的形式．要强调公式中b的意义．

直线的一般式方程的介绍，分两个层次来处理也是唯一的．首先，以问题的形式提出前面介绍的两种直线方程都可以化成一般的二元一次方程的形式．然后按照二元一次方程AxByC0的系数的不同取值，进行讨论．对

yCC与x只是数形结合的进行说明．这种方式比较适合学生的认知特BA征．

【教学备品】

教学课件． 【课时安排】

2课时．(90分钟) 【教学过程】

教 学 过 程 教师 学生 教学 时行为 行为 意图 间 教 学 过 程 *揭示课题 8．2 直线的方程（二） 教师 学生 教学 时行为 行为 意图 间 0 介绍 了解 *创设情境 兴趣导入 【问题】 我们知道，方程xy10的图像是一条直线，那么方程的解与直线上的点之间存在着怎样的关系呢？ 质疑 思考 启发 学生思考 5 引导 分析 *动脑思考 探索新知 【新知识】 已知直线的倾角为45，并且经过点P0(0,1)，由此可以确定一条直线l．设点P(x,y)为直线l上不与点P0(0,1)重合的任意一点（图8－6）． 讲解 思考 说明 图8－6 带领 学生 y1 分析 ， ktan45x0 即 xy10． 理解 引领 这说明直线上任意一点的坐标都是方程xy10的 分析 解． (x,y)设点P的坐标为方程的解，即xy10 111 教 学 过 程 x1y110，则 教师 学生 教学 时行为 行为 意图 间 y11ktan45， x10 已知直线的倾角为45，并且经过点P0(0,1)，只可以确定一条直线l．这说明点P1(x1,y1)在经过点P0(0,1)且倾角为45的直线上． 一般地，如果直线（或曲线）L与方程F(x,y)0满足下列关系： ⑴ 直线（或曲线）L上的点的坐标都是二元方程F(x,y)0的解； ⑵ 以方程F(x,y)0的解为坐标的点都在直线（或曲线）L上． 那么，直线（或曲线）L叫做二元方程F(x,y)0的直线（或曲线），方程F(x,y)0叫做直线（或曲线）L的方程. 记作曲线L:F(x,y)0或者曲线F(x,y)0． 思考 例如，直线l的方程为xy10，可以记作直线仔细 l:xy10，也可以记作直线xy10． 分析 下面求经过点P0(x0,y0)，且斜率为k的直线l的方程讲解 关键 （如图8－7）． 词语 理解 教 学 过 程 图8－7 在直线l上任取点P(x,y)（不同于P0点），由斜率公式可得 k教师 学生 教学 时行为 行为 意图 间 yy0， xx0即 yy0k(xx0)． 显然，点P0(x0,y0)的坐标也满足上面的方程． 方程 yy0k(xx0)， （8．4） 叫做直线的点斜式方程．其中点P0(x0,y0)为直线上的点，k为直线的斜率． 【说明】 当直线经过点P0(x0,y0)且斜率不存在时，直线的倾引导 式启 发学 生得 出结 果 20 记忆 角为90°，此时直线与x轴垂直，直线上所有的点横坐标都是x0，因此其方程为xx0． *巩固知识 典型例题 教 学 过 程 例2 在下列各条件下，分别求出直线的方程： （1）直线经过点P0(1,2)，倾角为45； （2）直线经过点P1(3,2)，P2(1,1)． 解 （1）由于45，故斜率为 ktantan451， 教师 学生 教学 时行为 行为 意图 间 说明 观察 强调 通过例题 引领 思考 进一 步领会 又因为直线经过点P0(1,2)，所以直线方程为 y21(x1)， 即 xy10． （2）直线过点P1(3,2)，P2(1,1)，由斜率公式得 讲解 主动 说明 求解 123k． 134故直线的方程为 3y2(x3)， 4即 3x4y10． 【想一想】 引领 思考 注意 观察 学生 是否 理解 3例2（2）题中，如果利用点P2(1,1)和k写出的直说明 求解 4知识 线方程，结果是否一样，为什么？ 点 30 *动脑思考 探索新知 【新知识】 如图8－8所示，设直线l与x轴交于点A(a,0)，与y讲解 主动 教 学 过 程 轴交于点B(0,b)．则a叫做直线l在x轴上的截距（或横截距）；b叫做直线l在y轴上的截距（或纵截距）． 【想一想】 直线在x轴及y轴上的截距有 可能是负数吗？ 图8－8 【新知识】 设直线在y轴上的截距是b，即直线经过点B(0,b)，且斜率为k．则这条直线的方程为 教师 学生 教学 时行为 行为 意图 间 总结 思考 归纳 归纳 带领 学生 总结 40 ybk(x0)， 即 ykxb． 方程 ykxb （8．5） 叫做直线的斜截式方程．其中k为直线的斜率，b为直线在y轴的截距． 仔细 分析 讲解 理解 关键 记忆 词语 教 学 过 程 *巩固知识 典型例题 教师 学生 教学 时行为 行为 意图 间 50 例3 设直线l的倾角为60°，并且经过点P（2，3）． （1）写出直线l的方程； （2）求直线l在y轴的截距． 解 （1）由于直线l的倾角为60°，故其斜率为 ktan603． 引领 观察 通过又直线经过点P（2，3），由公式得知直线的方程为 y33(x2)． 分析 思考 例题进一步领会 （2）将上面的方程整理为 y3x233． 讲解 说明 主动 求解 这是直线的斜截式方程，由公式知直线l的在y轴的截距为323． 【想一想】 例3（2）中，求直线在y轴的截距还有其他的方法吗？ *运用知识 强化练习 1．作出y像中的点． 2．设点P(a,1)在直线3xy50上，求a的值． 3．根据下列各直线满足的条件，写出直线的方程： 1x的图像，并判断点P(2,3)、Q(4,2)是否为图2及时 提问 思考 了解 巡视 求解 学生 教 学 过 程 （1）过点(5,2)，斜率为3； （2）在y轴上的截距为5，斜率为4． 4．分别求出直线y85(x1)在x轴及y轴上的截距． 教师 学生 教学 时行为 行为 意图 间 指导 知识 掌握 得情 况 60 *创设情境 兴趣导入 【问题】 yy0k(xx0)可化为kxyy0kx00；质疑 思考 引导 启发ykxb可化为kxyb0，由此看到，直线的点斜式 学生方程与斜截式方程都可化为二元一次方程的一般形式引导 参与 思考 AxByC0． 分析 分析 那么，能不能说，一般形式的二元一次方程 AxByC0就是直线的方程呢？ 65 *动脑思考 探索新知 【新知识】 （1）当A0，B0时，二元一次方程AxByC0ACAC可化为yx．表示斜率为k，纵截距b的BBBB直线． C（2）当A0，B0时，方程为y，表示经过点BCP0,且平行于x轴的直线（如图8－9）． B总结 思考 归纳 归纳 C（3）当A0，B0时，方程为x，表示经过 A C仔细 点P,0且平行于y轴的直线（如图8－10）． A分析 带领 学生 理解 总结 记忆 教 学 过 程 所以，二元一次方程AxByC0（其中A、B不全为零）表示一条直线． 教师 学生 教学 时行为 行为 意图 间 讲解 关键 词语 72 图8－9 图8－10 方程 AxByC0（其中A、B不全为零） （） 叫做直线的一般式方程． *巩固知识 典型例题 说明 观察 1例4 将方程y2(x1)化为直线的一般式方程，并分2 强调 别求出该直线在x轴与y轴上的截距． 解 1由y2(x2)得 23x2y60． 引领 思考 通过例题 进一步领这就是直线的一般式方程．在方程中令y0，则x2，故直线在x轴上的截距为2；令x0，则y3，故直线在y轴上的截距为3． 【说明】 本教材中，如果不作特殊说明，作为结果，直线的方程都要求写成一般式方程． 讲解 主动 会 说明 求解 教 学 过 程 教师 学生 教学 时行为 行为 意图 间 74 *运用知识 强化练习 1．将下列直线方程化为一般方程： 启发 思考 可以 1（1）yx2； （2）引导 了解 交给 2 3 学生 y2(x1)． 4 自我 2．已知ABC的三个顶点分别为A(3,0)，B(2,1)，提问 动手 发现 巡视 求解 归纳 C(2,3)，求AC边上的中线所在直线的方程． 78 指导 *理论升华 整体建构 思考并回答下面的问题： 直线的点斜式方程、斜截式方程、一般式方程？ 结论： 方程 yy0k(xx0)， 叫做直线的点斜式方程．其中点P0(x0,y0)为直线上的点，k为直线的斜率． 方程 ykxb 叫做直线的斜截式方程．其中k为直线的斜率，b为直线在y轴上的截距． 方程AxByC0（其中A、B不全为零） 叫做直线的一般式方程． 82 质疑 回答 及时 归纳强调 了解学生知识掌握情况 *归纳小结 强化思想 本次课学了哪些内容重点和难点各是什么 引导 回忆 教 学 过 程 教师 学生 教学 时行为 行为 意图 间 85 *自我反思 目标检测 本次课采用了怎样的学习方法你是如何进行学习的你的学习效果如何 求直线x2y80在x轴、y轴上的截距及斜率． *继续探索 活动探究 (1)读书部分：教材 (2)书面作业：教材习题 A组（必做）； B组（选做） (3)实践调查：编写一道关于直线方程的问题并求解 【教师教学后记】

项目 学生知识、技能的掌握情况 提问 反思 检验 学生 巡视 动手 学习 指导 求解 效果 87 90 说明 记录 分层次要求 反思点 学生是否真正理解有关知识； 是否能利用知识、技能解决问题； 在知识、技能的掌握上存在哪些问题； 学生是否参与有关活动； 学生的情感态度 在数学活动中，是否认真、积极、自信； 遇到困难时，是否愿意通过自己的努力加以克服； 学生是否积极思考； 学生思维情况 思维是否有条理、灵活； 是否能提出新的想法； 是否自觉地进行反思； 学生合作交流的情况 学生是否善于与人合作； 在交流中，是否积极表达； 是否善于倾听别人的意见； 学生是否愿意开展实践； 学生实践的情况 能否根据问题合理地进行实践； 在实践中能否积极思考； 能否有意识的反思实践过程的方面；

【课题】8．3 两条直线的位置关系（二）

【教学目标】

知识目标：

（1）掌握两条直线平行的条件； （2）能应用点到直线的距离公式解题． 能力目标：

培养学生的数学思维及分析问题和解决问题的能力． 【教学重点】

两条直线的位置关系，点到直线的距离公式． 【教学难点】

两条直线的位置关系的判断及应用． 【教学设计】

与倾角的定义相类似，本教材将两条直线夹角的定义建立在任意角定义的基础上．两条直线相交所形成的最小正角叫做这两条直线的夹角．同时规定，两条直线平行或重合时两条直线的夹角为零角，这样两条直线的夹角的范围是

0,90． 教材采用“数形结合”、“看图说话”的方法，导入两条直线垂直的条件，过程简单易懂．两条直线垂直的实质就是这两条直线的夹角为90．运用垂直条件时，要注意斜率不存在的情况．

例4是巩固性题目．属于基础性题．首先将直线的方程化为斜截式方程，再根据斜率判断两条直线垂直是本套教材判断两条直线垂直的主要方法．

例5是利用垂直条件求直线的方程的题目，属于基础性题．首先利用垂直条件求出直线的斜率，然后写出直线的点斜式方程，最后将方程化为一般式方程．这一系列解题程序，蕴含着“解析法”的思想方法．

需要强调，点到直线的距离公式中的直线方程必须是一般式方程． 【教学备品】

教学课件． 【课时安排】

2课时．(90分钟) 【教学过程】

教 学 过 程 *揭示课题 8．3 两条直线的位置关系（二） *创设情境 兴趣导入 【问题】 平面内两条既不重合又不平行的直线肯定相交．如何求交点的坐标呢？ 教师 学生 教学 时行为 行为 意图 间 0 介绍 了解 质疑 思考 启发 学生思考 5 引导 分析 图8－12 *动脑思考 探索新知 如图8－12所示，两条相交直线的交点P0，既在l1上，又在l2上．所以P0的坐标(x0,y0)是两条直线的方程的公共 教 学 过 程 解．因此解两条直线的方程所组成的方程组，就可以得到两条直线交点的坐标． 观察图8－13，直线l1、l2相交于点P，如果不研究终边相同的角，共形成四个正角，分别为1、2、3、4，其中1与3，2与4为对顶角，而且1+21800． 教师 学生 教学 时行为 行为 意图 间 讲解 思考 带领 说明 讲解 说明 引领 分析 图8－13 我们把两条直线相交所成的最小正角叫做这两条直线的夹角，记作． 规定，当两条直线平行或重合时，两条直线的夹角为零角，因此，两条直线夹角的取值范围为[0,90]． 显然，在图8－13中，1（或3）是直线l1、l2的夹角，即1． 当直线l1与直线l2的夹角为直角时称直线l1与直线l2垂直，记做l1l2．观察图8－14，显然，平行于x轴的直线l1与平行于y轴的直线l2垂直，即斜率为零的直线与斜率不存在的直线垂直． 学生 分析 思考 带领 学生 分析 理解 教 学 过 程 图8－14 教师 学生 教学 时行为 行为 意图 间 仔细 思考 分析 讲解 关键 词语 理解 记忆 *创设情境 兴趣导入 【问题】 引导 式启 发学 生得 20 出结 果 带领 如果两条直线的斜率都存在且不为零，如何判断这两条直线垂直呢？ *动脑思考 探索新知 【新知识】 质疑 思考 学生 分析 25 设直线l1与直线l2的斜率分别为k1和k2（如图8－15），若l1l2，则 讲解 思考 带领 说明 学生 分析 教 学 过 程 教师 学生 教学 时行为 行为 意图 间 l2 l1 引领 理解 分析 8－15 k1tan1BC， ABAB． BC k2tan2tan(1803)tan3 仔细 记忆 引导 即 k1k21． 式启 分析 上面的过程可以逆推，即若k1k21，则l1l2． 发学 讲解 由此得到结论（两条直线垂直的条件）： 生得 关键 （1）如果直线l1与直线l2的斜率都存在且不等于出结 词语 0，那么 果 35 l1l2k1k21． （2）斜率不存在的直线与斜率为0的直线垂直． *巩固知识 典型例题 例3 求直线x2y10与直线yx2交点的坐标． x2y10,解 解方程组 xy20, 说明 观察 通过强调 例题进一步领会 得 x1, y1, 引领 思考 所以两条直线的交点坐标为(1,1)． 【试一试】 讲解 主动 教 学 过 程 已知直线3x4ya与直线2x5y10的交点在教师 学生 教学 时行为 行为 意图 间 说明 求解 x轴上，你是否能确定a的值，并求出交点的坐标？ 2例4 判断直线yx与直线6x4y10是否垂3直． 2解 设直线yx的斜率为k1，则 3k12． 3说明 强调 观察 通过 例题引领 思考 进一 步领会 直线6x4y10的斜率为k2．由6x4y10有 31yx， 24故 3k2． 2讲解 说明 主动 求解 注意 由于k1k21,所以l1与l2垂直． 【试一试】 请你判断，直线x2y10与直线xy1是否垂直？ 【知识巩固】 例5 已知直线l经过点M(2,1)，且垂直于直线2xy10，求直线l方程． 解 设直线2xy10的斜率为k1，则k12．设直线l的斜率为k．由于l1l2，故k1k1，即 引领 思考 2k1， 观察 教 学 过 程 由此得 1 k． 2教师 学生 教学 时行为 行为 意图 间 讲解 学生 又直线l过点M(2,1)，故其方程为 y1(x2)， 即 x – 2y – 4 = 0． 12说明 主动 是否 求解 理解 知识 点 45 *运用知识 强化练习 1．判断下列各对直线是否相交，若相交，求出交点坐标： （1）l1:x2y0，与 l2:2xy10； （2）l1:yx1，与l2:xy40； 及时 提问 思考 了解 4巡视 求解 学生 （3）l1:3x2y，与l2:yx1． 3 指导 知识 2. 已知直线l经过点M(2,2)，且垂直于直线掌握 xy20，求直线l方程． 得情 况 50 *创设情境 兴趣导入 【问题】 观察图8－16，过点P0作直线l的垂线，垂足为Q，称线段P0Q的长度为点P0到直线l的距离，记作d．如何求出一个已知点到一条已知直线的距离呢 55 质疑 启发 思考 学生思考 引导 分析 教 学 过 程 教师 学生 教学 时行为 行为 意图 间 *动脑思考 探索新知 【新知识】 图8－16 可以证明（证明略），点P0(x0,y0)到直线l：AxByC0的距离公式为 总结 理解 带领 归纳 记忆 学生 总结 58 d（8．7） 【注意】 Ax0By0CAB22 应用公式（）时，直线的方程必须是一般式方程． *巩固知识 典型例题 例6 求点P0(2,3)到直线yx的距离． 12 分析 求点到直线的距离时，首先要检查直线方程 是否为一般式方程，若不是，则应先将直线的方程化为一般式方程，然后利用公式（）进行计算． 1解 直线方程yx化成一般式方程为 2引领 思考 2x2y10． 由公式（）有 d222(3)1222232． 4讲解 主动 说明 求解 通过 例题进一教 学 过 程 例7 试求两条平行直线3x4y0与3x4y10之间的距离． 分析 由平面几何的知识知道，两条平行线间的距离，是其中一条直线上的任意一个点到另一条直线的距离．为运算方便，尽量选择坐标的数值比较简单的点． 解 点O(0,0)是直线3x4y0上的点，点O到直线3x4y10的距离为 1d, 324251教师 学生 教学 时行为 行为 意图 间 步领会 引领 思考 讲解 主动 说明 求解 1故这两条平行直线之间的距离为． 5说明 观察 B(0,1)、C(1,1)，求三角形的面积S． A(6,3)、 强调 分析 如图8－17所示，首先求出任意一条边的边 长及直线的方程，然后求出这条边上的高，再利用面 积公式进行计算． 思考 图8－17 解 由点A(6,3)、B(0,1)可得 AB(60)2(31)2213， *例8 设△ABC的顶点坐标为教 学 过 程 直线AB的斜率为 k132， 06323教师 学生 教学 时行为 行为 意图 间 引领 主动 分析 求解 直线AB的方程为 y(1)(x0)， 即 2x3y30， 又AB边上的高为点C到直线AB的距离 d2(1)3132322注意 观察 学生 是否 理解 知识 点 68 ． 813故三角形面积为 18S2138． 213 【试一试】 用其他的边求ABC的面积． *运用知识 强化练习 根据下列条件求点P0到直线l的距离： （1）P0(1,0)，直线4x3y10； （2）P0(2,1)，直线2x3y0； （3）P0(2,3)，直线 yx. 1232 及时 了解 提问 思考 学生 巡视 求解 知识 指导 掌握 得情 73 况 回答 及时了解学生知识 *理论升华 整体建构 思考并回答下面的问题： 两条直线垂直的条件点到直线的距离公式 结论： 质疑 两条直线垂直的条件： （1）如果直线l1与直线l2的斜率都存在且不等于教 学 过 程 0，那么 l1l2k1k21． （2）斜率不存在的直线与斜率为0的直线垂直． 教师 学生 教学 时行为 行为 意图 间 归纳 掌握 情况 78 点P0(x0,y0)到直线l：AxByC0的距离公式为 dAx0By0CA2B2强调 *归纳小结 强化思想 本次课学了哪些内容重点和难点各是什么 83 引导 回忆 *自我反思 目标检测 本次课采用了怎样的学习方法你是如何进行学习的你的学习效果如何 提问 反思 检验 学生 巡视 动手 学习 指导 求解 效果 88 90 *继续探索 活动探究 (1)读书部分：教材 (2)书面作业：教材习题 A组（必做）； B组（选做） (3)实践调查：编写一道两条平行直线的距离的问题并求解 【教师教学后记】

项目 学生知识、技能的掌握情况 学生的情感态度 说明 记录 分层次要求 反思点 学生是否真正理解有关知识； 是否能利用知识、技能解决问题； 在知识、技能的掌握上存在哪些问题； 学生是否参与有关活动； 在数学活动中，是否认真、积极、自信； 遇到困难时，是否愿意通过自己的努力加以克服； 学生是否积极思考； 学生思维情况 思维是否有条理、灵活； 是否能提出新的想法； 是否自觉地进行反思； 学生是否善于与人合作； 学生合作交流的情况 在交流中，是否积极表达； 是否善于倾听别人的意见； 学生是否愿意开展实践； 学生实践的情况 能否根据问题合理地进行实践； 在实践中能否积极思考； 能否有意识的反思实践过程的方面；

【课题】8．4 圆（一）

【教学目标】

知识目标：

（1）了解圆的定义；

（2）掌握圆的标准方程和一般方程． 能力目标：

培养学生解决问题的能力与计算能力． 【教学重点】

圆的标准方程和一般方程的理解与应用． 【教学难点】

对圆的标准方程和一般方程的正确认识． 【教学设计】

用“解析法”推导圆的标准方程的过程，学生比较容易掌握，可以引导学生自己完成．要强化对圆的标准方程xaybr2的认识，其中半径为

22r，圆心坐标为Oa,b．经常容易发生错误的地方是认为半径是r2，圆心坐标

为Oa,b．教学中应予以强调，反复强化．

例1和例2是圆的标准方程的知识巩固性题目，属于基础性题目．可以由学生自己完成．通过例题，进一步熟悉圆的标准方程．

再介绍圆的一般方程时，教材首先将圆的标准方程展开，分析系数特点，然后将方程配方成圆的标准方程．这一系列的过程，不但介绍圆的一般方程及其与标准方程的联系，还显示出用代数的方法研究几何问题的魅力．

例3是圆的方程巩固性题目．题中的两种解法，都是经常使用的方法．特别是解法1，通常采用配方法，将方程化为标准方程，求出圆心坐标与半径．这类题目的训练，有助于学生数学运算能力的提高．

求圆的方程，基本有两种基本方法．一种是根据已知条件求出圆心和半径，然后写出圆的标准方程，例4就是这种类型的基础性题目；另一种是，设出圆的方程，然后，利用待定系数法确定相应的常数，例5就是这种类型的基础性题目． 【教学备品】

教学课件． 【课时安排】

2课时．(90分钟) 【教学过程】

教 学 过 程 *揭示课题 8．4 圆（一） *创设情境 兴趣导入 【知识回顾】 圆是平面内到定点的距离为定长的点的轨迹，定点叫做圆心，定长叫做半径．如图8－18所示，将圆规的两只脚张开一定的角度后，把其中一只脚放在固定点O，另一只脚紧贴点所在平面上，然后转动圆规教师 学生 教学 时行为 行为 意图 间 0 介绍 了解 质疑 思考 教 学 过 程 一周（圆规的两只脚张开的角度不变），画出的图形就是圆． 教师 学生 教学 时行为 行为 意图 间 引导 分析 启发 学生思考 10 图8－18 【说明】 圆心和半径是圆的两个要素． *动脑思考 探索新知 【新知识】 下面我们在直角坐标系中研究圆的方程． 讲解 思考 说明 图8－19 设圆心的坐标为C(a,b)，半径为r，点M(x,y)为圆上的任意一点（如图8－19），则 MCr， 带领 学生 分析 引领 理解 记忆 分析 教 学 过 程 由公式（），得 (xa)2(yb)2r， 将上式两边平方，得 (xa)(yb)r （8．8） 这个方程叫做以点C(a,b)为圆心，以r为半径的圆的标准方程． 特别地，当圆心为坐标原点O(0,0)时，半径为r的圆的标准方程为 x2y2r2 （8．9） *巩固知识 典型例题 例1 求以点C(2,0)为圆心，r3为半径的圆的标准方程． 解 因为a2,b0,r3, 故所求圆的标准方程为 (x2)2y29． 222教师 学生 教学 时行为 行为 意图 间 25 通过例题 30 说明 观察 强调 例2 写出圆(x2)2(y1)25的圆心的坐标及半径． 解 方程 (x2)(y1)5 可化为 (x2)2y(1)2(5)2， 所以 a2,b1,r5， 故，圆心的坐标为C(2,1)，半径为r5． 22引领 思考 进一 步领会 讲解 主动 说明 求解 【说明】 使用公式（）求圆心的坐标时，要注意公式中两个括号内都是“－”号． 教 学 过 程 *运用知识 强化练习 1．根据下面条件，求出圆的标准方程，并画出图形． （1）圆心C(1,2)，半径r2； （2）圆心C(0,3)，半径r3． 2．根据下列圆的标准方程，分别求出圆心的坐标与半径，并画出图形． （1）(x1)2y24； （2）x2(y2)23． *创设情境 兴趣导入 【观察】 将圆的标准方程(xa)2(yb)2r2展开并整理，可得 x2y2(2a)x(2b)y(a2b2r2)0. 教师 学生 教学 时行为 行为 意图 间 及时 了解 学生 提问 思考 知识 巡视 求解 掌握 指导 得情 况 35 40 质疑 令D2a，E2b，Fa2b2r2，则x2y2DxEyF0． （1） 思考 启发 学生思考 这是一个二元二次方程．观察方程（1），可以发 现它具有下列特点： 引导 ⑴ 含x2项的系数与含y2项的系数都是1； 分析 ⑵ 方程不含xy项． 那么，具有这两个特点的二元二次方程一定是圆的方程吗？ *动脑思考 探索新知 将方程（1）配方整理得 x（2） DEDE4F, y2242222 讲解 思考 说明 引导 式启 教 学 过 程 当D2E24F0时，方程（2）为是圆的标准方D2E24FDE程，其圆心在(,)，半径为． 222教师 学生 教学 时行为 行为 意图 间 发学 方程 x2y2DxEyF0（其中D2E24F0） 引领 理解 生得 分析 出结 果 45 仔细 （ 分析 8记忆 讲解 ．关键 1词语 0） 叫做圆的一般方程．其中D、E、F均为常数． 【想一想】 为什么必须有D2E24F0的条件？ 通过例题进一*巩固知识 典型例题 例3 判断方程x2y24x6y30是否为圆的方程，如果是，求出圆心的坐标和半径． 解1 将原方程左边配方，有 x24x2222y26y323230， 说明 观察 强调 即 (x2)2(y3)242. 所以方程表示圆心为(2，3)，半径为4的一个圆． 解2 与圆的一般方程相比较，知D4,E6,F3．故 D2E24F16364(3)640， 引领 思考 步领 会 讲解 主动 教 学 过 程 所以方程为圆的一般方程，由 DED2E24F2,3,4 222教师 学生 教学 时行为 行为 意图 间 说明 求解 55 知，圆心的坐标为(2,3)，半径为4． 【说明】 给出方程求圆心和半径时，经常通过配方法将圆的一般方程化为圆的标准方程．解1是经常使用的方法． *运用知识 强化练习 1．判断方程x2y24x2y10是否表示圆．如 了解 提问 思考 学生 巡视 求解 知识 果是，指出圆心和半径． 指导 22掌握 2．已知圆的方程为xy4x0，求圆心的坐标 情况 和半径． 60 3．已知圆的方程为x2y26y0，求圆心的坐标和半径． *动脑思考 探索新知 观察圆的标准方程(xa)2(yb)2r2和圆的一般方程xyDxEyF0，可以发现：这两个方程22 介绍 了解 带领 学生 中分别含有三个字母系数a,b,r或D,E,F．确定了这讲解 思考 分析 三个字母系数，圆的方程也就确定了．因此，求圆的 说明 方程时，关键是确定字母系数a,b,r（或D,E,F）的65 值． *巩固知识 典型例题 例4 根据下面所给的条件，分别求出圆的方程： （1） 以点(2,5)为圆心，并且过点(3,7)； 教 学 过 程 教师 学生 教学 时行为 行为 意图 间 通过例题进一 （2） 设点A(4,3)、B(6,1)，以线段AB为直径； （3） 经过点P(2,4)和点Q(0,2)，并且圆心在直线xy0上． 分析 根据已知条件求出圆心的坐标和半径，从而确定字母系数a、b、r，得到圆的标准方程．这是求圆的方程的常用方法． 说明 观察 强调 22 解 ⑴ 由于点（−2，5）与点（3，−7）间的距离 就是半径，所以半径为 r(32)(75)13, 故所求方程为 (x2)2(y5)2169． （2） 设所求圆的圆心为C，则C为线段AB的中4631点，即C,．半径为线段AB的长度的一半，22引领 思考 步领 会 即 11r(46)2(31)2205, 22故所求圆的方程为 (x5)2(y1)25． 讲解 主动 说明 求解 （3） 由于圆心在直线xy0上，故设圆心为C(x0,x0)，于是有 CPCQ， 即 (x02)(x04)(x00)(x02)， 2222解得 x02． 因此，圆心为(－2，2)．半径为 r(20)2(22)22， 教 学 过 程 故所求方程为 (x2)2(y2)24． 教师 学生 教学 时行为 行为 意图 间 【想一想】 例4（3）是否还有其它解法？ 【知识巩固】 例5 求经过三点O(0,0)，A(1,1)，B(4,2)的圆的方程（图8-20）． 引领 思考 注意 观察 学生 是否 理解 知识 点 图8－20 解 设所求圆的一般方程为x2y2DxEyF0，将点Ｏ（0，0），A（1，讲解 主动 说明 求解 1），B（4，2）的坐标分别代入方程，得 00D0E0F0, 1212D1E1F0, 2242D4E2F0,22即 F0, DEF2, 4D2EF20,解得 D8，E6，F0． 故所求圆的一般方程为 x2y28x6y0． 教 学 过 程 【试一试】 例5的解法中，如果设圆的方程为(xa)2(yb)2r2是否可以比较一下哪种方法简单 教师 学生 教学 时行为 行为 意图 间 75 *运用知识 强化练习 1．求以点(4,1)为圆心，半径为1的圆的方程． 了解 提问 思考 学生 巡视 求解 知识 2．求经过直线x3y70与3x2y120的交 指导 掌握 点，圆心为C(1,1)的圆的方程． 得情 3．求经过三点O(0,0)，M(1,0)，N(0,2)的圆的方程． 况 *理论升华 整体建构 思考并回答下面的问题： 圆的标准方程及一般方程？ 结论 (xa)2(yb)2r2 80 85 回答 及时了解学生知识掌握情况 质疑 这个方程叫做以点C(a,b)为圆心，以r为半径的圆 的标准方程． 2222xyDxEyF0（其中DE4F0） 归纳 强调 叫做圆的一般方程．其中D、E、F均为常数． *归纳小结 强化思想 本次课学了哪些内容重点和难点各是什么 *自我反思 目标检测 本次课采用了怎样的学习方法你是如何进行学习的你的学习效果如何 判断方程x2y22x4y80是圆的方程吗为什 引导 回忆 提问 反思 检验 学生 巡视 动手 学习 教 学 过 程 么 教师 学生 教学 时行为 行为 意图 间 指导 求解 效果 88 *继续探索 活动探究 (1)读书部分：教材 (2)书面作业：教材习题 A组（必做）； B组（选做） (3)实践调查：对任意二元二次方程，判断是否是圆的方程 【教师教学后记】

项目 学生知识、技能的掌握情况 90 说明 记录 分层次要求 反思点 学生是否真正理解有关知识； 是否能利用知识、技能解决问题； 在知识、技能的掌握上存在哪些问题； 学生是否参与有关活动； 学生的情感态度 在数学活动中，是否认真、积极、自信； 遇到困难时，是否愿意通过自己的努力加以克服； 学生是否积极思考； 学生思维情况 思维是否有条理、灵活； 是否能提出新的想法； 是否自觉地进行反思； 学生是否善于与人合作； 学生合作交流的情况 在交流中，是否积极表达； 是否善于倾听别人的意见； 学生是否愿意开展实践； 学生实践的情况 能否根据问题合理地进行实践； 在实践中能否积极思考； 能否有意识的反思实践过程的方面；

【课题】 平面的基本性质

【教学目标】

知识目标：

（1）了解平面的概念、平面的基本性质； （2）掌握平面的表示法与画法． 能力目标：

培养学生的空间想象能力和数学思维能力． 【教学重点】

平面的表示法与画法． 【教学难点】

对平面的概念及平面的基本性质的理解． 【教学设计】

教材通过观察平静的湖面、窗户的玻璃面、黑板面等，引入平面的概念，并介绍了平面的表示法与画法．注意，平面是原始概念，原始概念是不能定义的，教材是用“光滑并且可以无限延展的图形”来描述平面．在教学中要着重指出，平面在空间是可以无限延展的．

在讲“通常用平行四边形表示平面”时要向学生指出：

(1) 所画的平行四边形表示它所在的整个平面，需要时可以把它延展出去；

(2) 有时根据需要也可用其他平面图形，如三角形、多边形、圆、椭圆等表示平面，故加上“通常”两字；

(3) 画表示水平平面的平行四边形时，通常把它的锐角画成 45 °，横边画成邻边的2倍．但在实际画图时，也不一定非按上述规定画不可；在画直立的平面时，要使平行四边形的一组对边画成铅垂线；在画其他位置的平面时，只要画成平行四边形就可以了；

(4) 画两个相交平面，一定要画出交线；

(5) 当用字母表示平面时，通常把表示平面的希腊字母写在平行四边形的锐角内，并且不被其他平面遮住的地方；

(6) 在立体几何中，被遮住部分的线段要画成虚线或不画．

“确定一个平面”包含两层意思，一是存在性，即“存在一个平面”；二是唯一性，即“只存在一个平面”．故“确定一个平面”也通常说成“有且只有一个平面”.

【教学备品】

教学课件． 【课时安排】

2课时．(90分钟) 【教学过程】

教 学 过 程 *揭示课题 平面的基本性质 *创设情境 兴趣导入 观察平静的湖面（图9−1 (1)）、窗户的玻璃面（图9−1 (2)）、黑板面、课桌面、墙面等，发现它们都有一个共同的特征：平坦、光滑，给我们以平面的形象，但是它们都是有限的． 教师 学生 教学 时行为 行为 意图 间 0 介绍 了解 质疑 思考 引导 分析 学生启发 思考 8 （1） (2) 图9−1 *动脑思考 探索新知 教 学 过 程 【新知识】 平面的概念就是从这些场景中抽象出来的．数学中的平面是指光滑并且可以无限延展的图形． 平静的湖面、窗户的玻璃面、黑板面、课桌面、墙面等，都是平面的一部分． 我们知道，直线是可以无限延伸的，通常画出直线的一部分来表示直线．同样，我们也可以画出平面的一部分来表示平面． 通常用平行四边形表示平面，并用小写的希腊字母、、、来表示不同的平面．如图9−2，记作平面教师 学生 教学 时行为 行为 意图 间 讲解 思考 说明 引领 理解 带领 、平面．也可以用平行四边形的四个顶点的字母或两分析 学生 个相对顶点的字母来命名，如图9−2（1）中的平面 分析 也可以记作平面ABCD，平面AC或平面BD． 【说明】 根据具体情况，有时也用其他的平面图形表示 平面，如圆、三角形等． 当平面水平放置的时候，通常把平行四边形的锐角画 成45°，横边画成邻边的2倍长（如图9−2 （1））．当平面正对我们竖直放置的时候，通常把平仔细 记忆 面画成矩形（如图9−2（2））． 分析 关键 D C  语句 B A （1） （2） 图9−2 20 *巩固知识 典型例题 教 学 过 程 例1 表示出正方体ABCDA1B1C1D1（如图9−3）的6个面3． 【说明】 如图9−3所示的正方体一般写作正方体教师 学生 教学 时行为 行为 意图 间 通过例题 27 32 说明 观察 强调 ABCDA1B1C1D1，也可以简记作正方体A1C . 引领 思考 进一 图9−3 解 这6个面可以分别表示为：平面AC、平面A1C1、平面AB1、平面BC1、平面CD1、平面DA1． 步领会 讲解 主动 说明 求解 【试一试】 请换一种方法表示这6个面． *运用知识 强化练习 1.举出生活中平面的实例． 2.画出一个平面，写出字母并表述出来． *创设情境 兴趣导入 【实验】 把一根铅笔平放在桌面上，发现铅笔的一边就 提问 思考 领会指导 口答 知识 质疑 启发

教 学 过 程 紧贴在桌面上．也就是铅笔紧贴桌面的一边上的所有的点都在桌面上（如图9−4）． 铅笔 图9−4 *动脑思考 探索新知 【新知识】 直线与平面都可以看做点的集合．点A、B在直线l上，记作Al、Bl；点A、B在平面α内，记作A、B．（如图9−5） 由上述实验和大量类似的事实中，归纳出平面的性质1：如果直线l上的两个点都在平面α内，那么直线l上的所有点都在平面α内． 此时称直线l在平面α内或平面α经过直线l．记作教师 学生 教学 时行为 行为 意图 间 引导 分析 桌子 思考 学生 思考 37 A B 讲解 思考 说明 带领 学生 分析 画直线l在平面α内的图形表示时，要将直线画在平行 四边形的内部（如图9−5）． 引领 理解 分析 图9−5 l． 42 教 学 过 程 *创设情境 兴趣导入 【观察】 观察教室里墙角上的一个点，它是相邻两个墙面的公共教师 学生 教学 时行为 行为 意图 间 带领 质疑 思考 学生 点，可以发现，除这个点外两个墙面还有其他的公共点，并 分析 且这些公共点的集合就是这两个墙面的交线． 45 *动脑思考 探索新知 【新知识】 由上述观察和大量类似的事实中，归纳出平面 的性质2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，并且所有公共点的集合是过这个点的一条直线（如图9−6）． 此时称这两个平面相交，并把所有公共点组成的直线讲解 思考 说明 l叫做两个平面的交线．平面与平面相交，交线为l，记作带领 学生 【说明】 分析 本章中的两个平面是指不重合的两个平面，两条直线是 理解 指不重合的两条直线． 引领 分析 图9−6 仔细 记忆 分析 讲解 关键 词语 引导 l. 教 学 过 程 教师 学生 教学 时行为 行为 意图 间 式启 发学 生得 出结 果 图9−7 55 画两个平面相交的图形时，一定要画出它们的交线.图形中被遮住部分的线段，要画成虚线（如图9−7（1）），或者不画（如图9−7（2））. 【试一试】 请画出两个相交的平面，并标注字母． *创设情境 兴趣导入 【实验】 在桌面上只放一颗或两颗尖朝上的图钉，是否能将一带领 质疑 思考 学生 块硬纸板架起如果在桌面上放置三颗尖朝上的图钉，那么结 分析 果会怎样 60 *动脑思考 探索新知 【新知识】 由上述实验和大量类似的事实中，归纳出平面的性质 3：不在同一条直线上的三个点，可以确定一个平面（如图9−8）． 【说明】 讲解 说明 思考 “确定一个平面”指的是“存在着一个平面，并且只存 在着一个平面”． 带领 学生 教 学 过 程 教师 学生 教学 时行为 行为 意图 间 分析 引领 分析 图9−8 理解 利用三角架可以将照相机放稳（图9−9），就是性质3的应用． 图9−9 根据上述性质，可以得出下面的三个结论． 1．直线与这条直线外的一点可以确定一个平面（如图9−10（1））. 2．两条相交直线可以确定一个平面（如图9−10（2））． 3．两条平行直线可以确定一个平面（如图9−10（3））.  (1) A  (2)  仔细 分析 记忆 讲解 关键 词语 引领 理解 分析 （3） 【试一试】 引导 式启 发学 生得 出结 教 学 过 程 请用平面的性质说明这三个结论． 工人常用两根平行的木条来固定一排物品（如图9−11（1））；营业员用彩带交叉捆扎礼品盒（如图9−11（2）），都是上述结论的应用． 教师 学生 教学 时行为 行为 意图 间 果 70 仔细 图9−11 【想一想】 如何用两根细绳来检查一把椅子的4条腿的下端是否 （1） （2） 分析 讲解 记忆 关键 词语 在同一个平面内？ *巩固知识 典型例题 例2 在长方体ABCDA1B1C1D1（如图9−12）中，画出由A、C、D1三点所确定的平面γ与长方体的表面的交线． 分析 画两个相交平面的交线，关键是找出这两个平面的两个公共点． 解 点A、D1为平面与平面ADD1A1的公共点，点A、C为平面与平面ABCD的公共点，点C、D1为平面与平面CC1D1D的公共点，分别将这三个点两两连接，得到直线AD1、AC、CD1就是为由A、C、D1三点所确定的平面γ与长方体的表面的交线（如图9−12（2））． 说明 观察 通过强调 思考 例题进一步领会 引领 教 学 过 程 教师 学生 教学 时行为 行为 意图 间  讲解 主动 说明 求解 思考 注意 观察 学生 是否 理解 知识 点 78 图9−12 【想一想】 为什么这三条连线都画成虚线？ *运用知识 强化练习 1．“平面与平面只有一个公共点”的说法正确吗？ 2．梯形是平面图形吗为什么 3．已知A、B、C是直线l上的三个点，D不是直线l上的点．判断直线AD、BD、CD是否在同一个平面内． *理论升华 整体建构 思考并回答下面的问题： 平面的基本性质？ 结论： 性质1：如果直线l上的两个点都在平面α内，那么直线l上的所有点都在平面α内． 了解 提问 思考 学生 巡视 求解 知识 指导 掌握 83 情况 回答 及时了解学生知识掌握情况 质疑 归纳性质2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，并且所有公共点的集合是过这个点的一条直线． 强调 教 学 过 程 性质3：不在同一条直线上的三个点，可以确定一个平面． 教师 学生 教学 时行为 行为 意图 间 86 *归纳小结 强化思想 本次课学了哪些内容重点和难点各是什么 *自我反思 目标检测 本次课采用了怎样的学习方法你是如何进行学习的你的学习效果如何 画出两个相交平面． 引导 回忆 提问 反思 检验 学生 巡视 动手 学习 指导 求解 效果 89 90 *继续探索 活动探究 (1)读书部分：教材 (2)书面作业：教材习题 A组（必做）； B组（选做） (3)实践调查：寻找生活中的实例，用平面的性质解释 【教师教学后记】

项目 学生知识、技能的掌握情况 说明 记录 分层次要求 反思点 学生是否真正理解有关知识； 是否能利用知识、技能解决问题； 在知识、技能的掌握上存在哪些问题； 学生是否参与有关活动； 学生的情感态度 在数学活动中，是否认真、积极、自信； 遇到困难时，是否愿意通过自己的努力加以克服； 学生是否积极思考； 学生思维情况 思维是否有条理、灵活； 是否能提出新的想法； 是否自觉地进行反思； 学生是否善于与人合作； 学生合作交流的情况 在交流中，是否积极表达； 是否善于倾听别人的意见； 学生是否愿意开展实践； 学生实践的情况 能否根据问题合理地进行实践； 在实践中能否积极思考； 能否有意识的反思实践过程的方面；

【课题】 直线与直线、直线与平面、平面与平面平行的判定与性质

【教学目标】

知识目标：

（1）了解两条直线的位置关系；

（2）掌握异面直线的概念与画法，直线与直线平行的判定与性质；直线与平面的位置关系，直线与平面平行的判定与性质；平面与平面的位置关系，平面与平面平行的判定与性质．

能力目标：

培养学生的空间想象能力和数学思维能力． 【教学重点】

直线与直线、直线与平面、平面与平面平行的判定与性质． 【教学难点】

异面直线的想象与理解． 【教学设计】

本节结合正方体模型，通过观察实验，发现两条直线的位置关系除了相交与平行外，在空间还有既不相交也不平行，不同在任何一个平面内的位置关

系．由此引出了异面直线的概念．通过画两条异面直线培养学生的画图、识图能力，逐步建立空间的立体观念．

空间两条直线的位置关系既是研究直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系的开始，又是学习后两种位置关系的基础．因此，要让学生树立考虑问题要着眼于空间，克服只在一个平面内考虑问题的习惯．

通过观察教室里面墙与墙的交线，引出平行直线的性质，在此基础上，提出问题“空间中，如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角的度数存在着什么关系？请通过演示进行说明．”这样安排知识的顺序，有利于学生理解和掌握所学知识．

要防止学生误认为“一条直线平行于一个平面，就平行于这个平面内的所有的直线”，教学时可通过观察正方体模型和课件的演示来纠正学生的这个错误认识．

平面与平面的位置关系是通过观察教室中的墙壁与地面、天花板与地面而引入的． 【教学备品】

教学课件． 【课时安排】

2课时．(90分钟) 【教学过程】

教 学 过 程 *揭示课题 直线与直线、直线与平面、平面与平面平行的判定与性质 *创设情境 兴趣导入 观察图9−13所示的正方体，可以发现：棱A1B1与教师 学生 教学 时行为 行为 意图 间 0 介绍 了解 AD所在的直线，既不相交又不平行，它们不同在任何一个平面内． 质疑 思考 图9−13 启发 学生思考 2 引导 分析 观察教室中的物体，你能否抽象出这种位置关系的两条直线？ *动脑思考 探索新知 在同一个平面内的直线，叫做共面直线，平行或相交的两条直线都是共面直线．不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线.图9－13所示的正方体中，直线A1B1与直线AD就是两条异面直线． 这样，空间两条直线就有三种位置关系：平行、相交、异面． 将两支铅笔平放到桌面上(如图9−14)，抬起一支铅笔的一端（如D端），发现此时两支铅笔所在的直线异面． 讲解 思考 说明 两支 铅笔 A D C B 桌子 图9 −14（请画出实物图） 受实验的启发，我们可以利用平面做衬托，画出表示两条异面直线的图形（如图9 −15）． 带领 (1) (2) 学生 引领 理解 分析 分析 图9−15 利用铅笔和书本，演示图9−15（2）的异面直 5 线位置关系． 仔细 记忆 分析 关键 语句 *创设情境 兴趣导入 我们知道，平面内平行于同一条直线的两条直线一定平行．那么空间中平行于同一条直线的两条直线是否一定平行呢？ 观察教室内相邻两面墙的交线（如图9−16）．发现：AA1∥BB1，CC1∥BB1，并且有AA1∥CC1． 7 质疑 引导 启发 思考 学生 思考 图9−16 分析 *动脑思考 探索新知 由上述观察及大量类似的事实中，归纳出平行线的性质：平行于同一条直线的两条直线平行． 我们经常利用这个性质来判断两条直线平行． 【想一想】 讲解 思考 说明 引领 带领 学生 空间中，如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个理解 分析 分析 角的度数存在着什么关系？请通过演示进行说明． 10 *创设情境 兴趣导入 将平面内的四边形ABCD的两条边AD与DC，沿着对角线AC向上折起，将点D折叠到D1的位置(如图9−17)．此时A、B、C、D1四个点不在同一个平面内． 图9−17 质疑 带领 思考 学生 分析 引领 分析 13 *动脑思考 探索新知 这时的四边形AB CD1叫做空间四边形． 【想一想】 折叠过程中，哪些量发生了变化，哪些量没有 带领 发生变化？ *巩固知识 典型例题 例1 已知空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点（如图9−18）．判断四边形讲解 理解 学生 说明 分析 15 通过例题进一 20 说明 观察 强调 EFGH是否为平行四边形？ 解 联结BD．因为E、H分别为AB、DA的中点，所以EH为ABD的中位线．于是 EH//BD且EH 1BD． 21BD． 2同理可得FG//BD且FG引领 思考 步领 会 图9−18 讲解 主动 说明 求解 因此 EH//FG且EHFG． 故四边形EFGH是平行四边形． *运用知识 强化练习 1．结合教室及室内的物品，举出空间两条直线平 行的例子. 2．把一张矩形的纸对折两次，然后打开（如第2提问 题图），说明为什么这些折痕是互相平行的？ 及时 了解 思考 学生 巡视 解答 知识 指导 掌握 情况 22 *创设情境 兴趣导入 引导 将铅笔放在桌面上，此时铅笔与桌面有无数多个公共点；抬起铅笔的一端，此时铅笔与桌面只有1个公共点；把铅笔放到文具盒(文具盒在桌面上)上面，铅笔与桌面就没有公共点了． *动脑思考 探索新知 在中，我们曾经介绍，直线l与平面有无穷多个公共点时，直线l在平面内，其图形如图9−19（1）所示． 如果一条直线与一个平面只有一个公共点，那么就称这条直线与这个平面相交， 画直线与平面相交的图形时，要把直线延伸到平行四边形外（如图9−19（2））. 质疑 思考 学生 分析 25 讲解 说明 如果一条直线与一个平面没有公共点，那么就称这条直 思考 线与这个平面平行. 直线l与平面平行，记作l∥.画直线与平面平行的图形时，要把直线画在平行四边形外，并与平行四边形的一边平行（如图9−19（3））． 带领  l l （1） （2） l  学生 分析 引领 分析 理解 引导 式启 （3） 这样，直线与平面的位置关系有三种：直线在平面内、 发学 生得 直线与平面相交、直线与平面平行．直线与平面相交及直线仔细 出结 与平面平行统称为直线在平面外． 分析 果 讲解 记忆 30 关键 词语 *创设情境 兴趣导入 在桌面上放一张白纸，在白纸上画出两条平行直线，沿着其中的一条直线将纸折起（如图9−20）．观察发现：在折起的各个位置上，另一条直线始终与桌面保持平行． 引导 质疑 思考 学生 分析 图9−20 32 *动脑思考 探索新知 带领 从大量实验中归纳出判定直线与平面平行的方法: 讲解 理解 学生 如果平面外的一条直线与平面内的一条直线平说明 记忆 分析 35 行，那么这条直线与这个平面平行. *巩固知识 典型例题 例2 如图9−21，长方体ABCDA1B1C1D1中,直线DD1平行于平面BCC1B1吗为什么 4

4

为了叙述简便起见，将线段DD1所在的直线，直接写作直线DD1，本章教材中都采用这种表述方法．

说明 观察 强调 图9−21 解 在长方体ABCDA1B1C1D1中，因为四边形DCC1D1边是长方形，所以DD1∥CC1，又因为CC1在平面 40 通过例题 引领 思考 进一 步领会 BCC1B1内，DD1在平面BCC1B1外，因此直线DD1平行于平面BCC1B1． 讲解 主动 识 说明 求解 点 *创设情境 兴趣导入 将铅笔放到与桌面平行的位置上， 用矩形硬纸片 的面紧贴铅笔，矩形硬纸片的一边紧贴桌面（如图质疑 9−22），观察铅笔及硬纸片与桌面的交线，发现它们 是平行的． 引导 分析 铅笔 启发 思考 学生 思考 42 图9−22（请画出实物图） *动脑思考 探索新知 从大量的实验与观察中，归纳出直线与平面平行的性质： 如果一条直线与一个平面平行，并且经过这条直线的一个平面和这个平面相交，那么这条直线与交线平行. 如图9−23所示，设直线l为平面与平面的交线，直线m在平面内且m∥，则m∥l． 讲解 思考 说明 带领 学生 分析 引领 理解 45 图9-23 *巩固知识 典型例题 例3 在如图9−24所示的一块木料中，已知BC∥平面A1B1C1D1，BC∥B1C1，要经过平面A1C1内的一点P与棱BC将木料锯开，应当怎样画线？ 分析 通过例题 48 及时 说明 观察 强调 分析 设点P和棱BC确定的平面，则EF是与平面A1B1C1D1的交线，由于BC∥平面A1B1C1D1，故EF∥BC，B1C1∥BC．所以EF∥B1C1． 引领 思考 进一 图9−24 步领会 解 画线的方法是：在平面A1B1C1D1内，过点P作直线B1C1的平行线EF，分别交讲解 主动 说明 求解 直线A1B1及直线D1C1与点E、F，连接EB和FC． *运用知识 强化练习 1．试举出一个直线和平面平行的例子． 2．请在黑板上画一条直线与地面平行，并说出所画的直线与地面平行的理由． 3．如果一条直线平行于一个平面，那么这条直线是不是和这个平面内所有的直线都平行？ 4．说明长方体的上底面各条边与下底面平行的理由． *创设情境 兴趣导入 教室中的墙壁与地面相交于一条直线，而天花板与地面，没有公共点． *动脑思考 探索新知 提问 思考 了解 巡视 求解 学生 指导 知识 掌握 得情 况 50 引导 学生 质疑 思考 分析 52 如果两个平面没有公共点，那么称这两个平面互相平行．平面与平面平行，记做∥．画两个互相平行平面的图形时，要使两个平行四边形的对应边分别平行（如图9−25）． 这样，空间两个平面就有两种位置关系：平行与相交． *创设情境 兴趣导入 进行乒乓球或台球比赛时，必需要保证台面与地面平行．技术人员利用水准器来进行检测．水准器内的玻璃管装有水，管内的水柱相当于一条直线，水准器内的水泡在中央，表示水准器所在的直线与地平面平行．把水准器在平板上交叉放置两次（如图9−26），如果两次检测，水准器内的水泡都在中央，就表示台面与地面平行，可以进行比赛，否则就需要进行调整． 讲解 思考 带领 说明 学生 分析 55  图9−25 引领 理解 分析 引导 质疑 思考 学生 分析 图9−26 57 *动脑思考 探索新知 实例中，技术人员使用的方法就是我们常用的 判定平面与平面平行的方法：如果一个平面内的两条相交直线都与另一个平面平行，那么这两个平面平思考 讲解 带领 行． 【想一想】 如果一个平面内的一条直线平行于另一个平面说明 理解 学生 分析 60 通过 65 内的一条直线 , 那么这两个平面是否一定平行 *巩固知识 典型例题 例4 设平面内的两条相交直线m，n分别平行于另一个平面内的两条直线k，l（如图9−27），试判断平面，是否平行 解 因为m在外、l在内，且m∥l，所以 直线m∥平面． 同理可得 直线n∥平面． 由于m、n是平面内两条相交直线，故可以判断A n l m k 说明 观察 强调 图思考 例题进一步领引领 讲解 主动 会 说明 求解 ∥． *创设情境 兴趣导入 将一本书放在与桌面平行的位置，用作业本靠紧书一边，绕着这条边移动作业本，观察作业本和书的放到不交线与作业本和桌面的交线之间的关系（如图同位置9−28）． 质疑 思考 引导 学生 分析 70 书 桌子 图9−28（请画出实物图） *动脑思考 探索新知 由大量的观察和实验得到两个平面平行的性质：如果一个平面与两个平行平面相交，那么它们的交线平行． 如图9−29所示，如果图 讲解 思考 说明 带领 ∥，平面与、都相交，交线分别为m、n，那么m∥n． 学生 引领 分析 75 分析 理解 *运用知识 强化练习 1．画出下列各图形： （1）两个水平放置的互相平行的平面． （2）两个竖直放置的互相平行的平面． （3）与两个平行的平面相交的平面． 2.如图所示，//，M在与同侧，过M作直及时 提问 思考 了解 线a与b，a分别与、相交于A、B，b分别与、巡视 求解 学生 相交于C、D． 指导 知识 ⑴ 判断直线AC与直线BD是否平行； 掌握 ⑵ 如果 MA4cm，AB5cm，MC3cm，求MD的得情 长. 况 M C A D B b a 第2题 80 *理论升华 整体建构 思考并回答下面的问题： 异面直线的定义？ 结论： 不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线. 及时了解 83 85 质疑 归纳强调 回答 学生 知识 掌握情况 *归纳小结 强化思想 本次课学了哪些内容重点和难点各是什么 *自我反思 目标检测 本次课采用了怎样的学习方法你是如何进行学习的你的学习效果如何 设空间中四条直线a、b、c、d，满足a

[0,180]

引导 回忆 BC1ADCBC1DAD1ABBC1ADCBC1 mmnnmnmnO n m n  o m n m m o 通过例题 BAB130AB1DCAB1CC1解 （1）因为 DC∥AB，所以BAB1为异面直线AB1与DC所成的角．即所求角 为30. （2）因为CC1∥BB1，所以AB1B为异面直线AB1与CC1所成的角． 在直角△ABB1中 ABB190，BAB130， 所以 AB1B903060， 说明 观察 强调 即所求的角为60. 引领 思考 进一 步领会 讲解 主动 说明 求解 D1 C1 B1 17 A1 D A 图9−32 C B *运用知识 强化练习 在如图所示的正方体中，求下列各对直线所成的角的度数： （1）DD1与BC； （2）AA1与BC1． 提问 思考 领会指导 解答 知识 题图 21 *创设情境 兴趣导入 正方体ABCDA1B1C1D1中（图9−33），直线BB1与直线AB、BC、CD、AD、AC所成的角各是多少？ 可以发现，这些角都是直角． 质疑 引导 启发 思考 学生 思考 分析 26 图9−33 *动脑思考 探索新知 如果直线l和平面内的任意一条直线都垂直，那么就称直线l与平面垂直，记作l．直线l叫做平面的垂线，垂线l与平面的交点叫做垂足. 讲解 思考 l画表示直线l和平面垂直的图形时，要把直线说明 画成与平行四边形的横边垂直（如图9−34所示）， 其中交点A是垂足． 带领 图9−34 学生 分析 引领 理解 30 分析 *创设情境 兴趣导入 将一根木棍PA直立在地面上，用细绳依次度带领 量点P与地面上的点A、B、C、D的距离（图9−35），发现短． PA最质疑 思考 学生 分析 32 图9−35 *动脑思考 探索新知 如图9−35所示，PA，线段PA叫做垂线段，垂足A叫做点P在平面内的射影． 直线PB与平面相交但不垂直，则称直线PB与平面斜交，直线PB叫做平面的斜线，斜线和平面的交点叫做斜足．点P与斜足B之间的线段叫做点P到这个平面的斜线段． 讲解 思考 说明 引领 带领 理解 学生 分析 分析 过垂足与斜足的直线叫做斜线在平面内的射影．如图 仔细 9−35中，直线AB是斜线PB在平面内的射影． 记忆 分析 40 从上面的实验中可以看到，从平面外一点向这个平面引 讲解 垂线段和斜线段，垂线段最短．因此，将从平面外一点P到 关键 平面的垂线段的长叫做点P到平面的距离． 词语 *创设情境 兴趣导入 如图9−36所示，炮兵在发射炮弹时，为了击中目标，需要调整好炮筒与地面的角度． 带领 质疑 思考 学生 分析 42 图9−36 *动脑思考 探索新知 斜线l与它在平面内的射影l的夹角，叫做直线l与平面所成的角．如图9−37所示，PBA就是直线PB与平面所成的角． 规定：当直线与平面垂直时，所成的角是直角；当直线与平面平行或直线在平面内时，所成的角是零角．显然，直线与平面所成角的取值范围是[0,90]． 【想一想】 讲解 思考 说明 带领 学生 如果两条直线与一个平面所成的角相等，那么这两条直 分析 线一定平行吗？ 引领 理解 分析 仔细 记忆 分析 图9−37 讲解 关键 47 词语 *巩固知识 典型例题 例2 如图9−38所示，等腰ABC的顶点A在平面外，底边BC在平面内，已知底边长BC=16，腰长AB=17，又知点A到平面的垂线段AD=10．求 （1）等腰ABC的高AE的长； （2）斜线AE和平面所成的角的大小（精确到1º）． 分析 三角形AEB是直角三角形，知道斜边和一条直角边，利用勾股定理可以求出AE的长；AED是AE和平面所成的角，三角形ADE是直角三角 观察 通过 例题进一步领会 说明 强调 图9−38 思考 形，求出AED的正弦值即可求出斜线AE和平面所成的角． 解 (1) 在等腰ABC中，AEBC，故由BC=16可得引领 BE=8. 在RtAEB中，∠AEB=90°，因此 AEAB2BE21728215. 主动 求解 （2）联结DE.因为AD是平面的垂线，AE是的斜线，所以DE是AE在内的射影.因此AED是AE和平面所成的角. 在RtADE中， AD102sinAED， AE153所以 讲解 说明 注意 AED42. 即斜线AE和平面所成的角约为42. 【想一想】 为什么这三条连线都画成虚线？ 观察 学生 是否 理解 知识 思考 点 55 *运用知识 强化练习 长方体ABCD −A1B1C1D1中，高DD1=4cm，底面是边长为3cm的正方形，求对角线D1B与底面ABCD所成角的大小（精确到1′）. 及时 练习图 了解 提问 思考 学生 巡视 求解 知识 指导 掌握 得情 况 60 *创设情境 兴趣导入 在建筑房屋时，有时为了美观和排除雨水的方便，需要考虑屋顶面与地面形成适当的角度（如图9−39（1））；在修筑河堤时，为使它经济且坚固耐 用，需要考虑河堤的斜坡与地面形成适当的角度（如图9−39（2））． 质疑 （1） 图9−39 （2） 引导 分析 启发 思考 思考 63 在白纸上画出一条线，沿着这条线将白纸对折，然后打开进行观察． *动脑思考 探索新知 平面内的一条直线把平面分成两部分，每一部分叫做一个半平面． 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面．以直线l（或CD）为棱，两个半平面分别为、的二面角，记作二面角l（或40）． CD）（如图9− 讲解 说明 思考 引领 带领 D C C l o N M D  图9−41 图9−40 过棱上的一点，分别在二面角的两个面内作与棱垂直的射线，以这两条射线为边的最小正角叫做二面角的平面角．如图9−41所示，在二面角−l−的棱l上任意选取一点O，以点O为垂足，在面与面内分别作OMl、ONl，则MON就是这个二面角的 理解 学生 分析 分析 仔细 分析 记忆 讲解 关键 词语 平面角． *创设情境 兴趣导入 用纸折成一个二面角，在棱上选择不同的点作 70 启发 出二面角的平面角，度量它们是否相等，想一想是什么原因． *动脑思考 探索新知 二面角的平面角的大小由、的相对位置所决定，与顶点在棱上的位置无关，当二面角给定后，它的平面角的大小也就随之确定．因此，二面角的大小用它的平面角来度量． 当二面角的两个半平面重合时，规定二面角为零角；当二面角的两个半平面合成一个平面时，规定二面角为平角．因此二面角取值范围是[0,180]． 平面角是直角的二面角叫做直二面角．例如教室的墙壁与地面就组成直二面角，此时称两个平面垂直．平面与平面垂直记作 *巩固知识 典型例题 例3 在正方体ABCDA1B1C1D1中（如图9−42），求二面角D1ADB的大小． 质疑 思考 思考 72 讲解 思考 说明 带领 学生 理解 分析 引领 分析 76 记忆 通过例题 说明 观察 强调 图9−42 解 AD为二面角的棱， AA1与AB是分别在二面角的两个面内并且与棱AD垂直的射线，所以A1AB为二面角D1ADB的平面角． 引领 思考 进一 步领会 因为在正方体ABCDA1B1C1D1中，A1AB是直角．所以二面角D1ADB为90°. 81 讲解 主动 说明 求解 *运用知识 强化练习 在正方体ABCDA1B1C1D1中，求二面角ADD1B的大小. 及时 练习题图 提问 思考 了解 巡视 求解 学生 指导 知识 掌握 得情 况 86 *理论升华 整体建构 思考并回答下面的问题： 异面直线所成的角、二面角的平面角的概念？ 结论： 回答 及时了解学生知识掌握情况 87 质疑 归纳经过空间任意一点分别作与两条异面直线平行的直线，这两条相交直线的夹角叫做两条异面直线所成的角． 过棱上的一点，分别在二面角的两个面内作与棱垂直的射线，以这两条射线为边的最小正角叫做二面角的平面角． 强调 *归纳小结 强化思想 本次课学了哪些内容重点和难点各是什么 *自我反思 目标检测 本次课采用了怎样的学习方法你是如何进行学习的你的学习效果如何 在正方体AC1中，求平面ABC1D1与平面ABCD所成的二面角的大小． 引导 回忆 提问 反思 检验 学生 巡视 动手 学习 指导 求解 效果 89 *继续探索 活动探究 (1)读书部分：教材 (2)书面作业：教材习题 A组（必做）； B组（选做） (3)实践调查：用发现的眼睛寻找生活中的异面直线实例 【教师教学后记】

项目 学生知识、技能的掌握情况 90 说明 记录 分层次要求 反思点 学生是否真正理解有关知识； 是否能利用知识、技能解决问题； 在知识、技能的掌握上存在哪些问题； 学生是否参与有关活动； 学生的情感态度 在数学活动中，是否认真、积极、自信； 遇到困难时，是否愿意通过自己的努力加以克服； 学生思维情况 学生是否积极思考； 思维是否有条理、灵活； 是否能提出新的想法； 是否自觉地进行反思； 学生是否善于与人合作； 学生合作交流的情况 在交流中，是否积极表达； 是否善于倾听别人的意见； 学生是否愿意开展实践； 学生实践的情况 能否根据问题合理地进行实践； 在实践中能否积极思考； 能否有意识的反思实践过程的方面；

【课题】 直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直的判定与性质

【教学目标】

知识目标：

（1）了解空间两条直线垂直的概念；

（2）掌握与平面垂直的判定方法与性质，平面与平面垂直的判定方法与性质．

能力目标：

培养学生的空间想象能力和数学思维能力． 【教学重点】

直线与平面、平面与平面垂直的判定方法与性质． 【教学难点】

判定空间直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直． 【教学设计】

在平面内，过一点可以作一条且只能作一条直线与已知直线垂直；在空间中，过一点作与已知直线垂直的直线，能作无数条.

例1是判断异面直线垂直的巩固性题目，根据异面直线垂直的定义，只要判断它们所成的角为90即可.

在判定直线与平面垂直时，要特别注意“平面内两条相交的直线”的条件．可举一些实例，以加深学生对条件的理解．

两个平面互相垂直是两个平面相交的特殊情况．在日常生活和工农业生产中，两个平面互相垂直的例子非常多，教学时可以多结合一些实例，以引起学生的兴趣．

例4是判断平面与平面垂直的巩固性题目，关键是在平面B1AC内找到一条直线AC与平面B1BDD1垂直．例5是巩固平面与平面垂直的性质的题目. 【教学备品】

教学课件． 【课时安排】

2课时．(90分钟) 【教学过程】

教 学 过 程 *揭示课题 直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直的判定与性质 *创设情境 兴趣导入 【知识回顾】 如果空间两条直线所成的角是90º，那么称这两条直线互相垂直，直线a和b互相垂直，记作a⊥b． 【想一想】 演示并画出两条相交直线垂直与两条异面直线垂直的位置关系，并回答问题：经过空间任意一点作与已知直线垂直的直线，能作几条？ *巩固知识 典型例题 【知识巩固】 教师 学生 教学 时行为 行为 意图 间 0 介绍 了解 质疑 启发 思考 5 思考 学生 引导 分析 教 学 过 程 例1 如图9-43，长方体ABCD-A1B1C1D1中，判断直线AB和DD1是否垂直． 解 AB和DD1是异面直线，而BB1∥DD1，AB⊥BB1，根据异面直线所成的角的定义， 可知AB与DD1成直角．因此ABDD1. 教师 学生 教学 时行为 行为 意图 间 通过例题进一 10 了解 说明 观察 强调 图9-43 引领 思考 步领 会 讲解 主动 说明 求解 *运用知识 强化练习 1．垂直于同一条直线的两条直线是否平行？ 提问 思考 知识 指导 解答 掌握 2．在图9−43所示的正方体中，找出与直线AB垂情况 14 直的棱，并指出它们与直线AA1的位置关系． *创设情境 兴趣导入 【问题】 前面我们学过直线与平面 图9−44 垂直的概念.根据定义判断直线与平面垂直，需要判定直线与平面内的任意一条直线都垂直，这是质疑 带领 比较困难的．那么，如何判定直线和平面垂直呢？ 【观察】 我们来看看实践中工人师傅是如何做的． 思考 学生 分析 教 学 过 程 如图9−44所示，检验一根圆木柱和板面是否垂直．工人师傅的做法是，把直角尺的一条直角边放在板面上，看曲尺的另一条直角边是否和圆木柱吻合，然后把直角尺换个位置，照样再检查一次（应当注意，直角尺与板面的交线，在两次检查中不能为同一条直线）．如果两次检查，圆木柱都能和直角尺的直角边完全吻合，就判定圆木柱和板面垂直． *动脑思考 探索新知 【新知识】 从大量的实践与观察中，归纳出直线与平面垂直的判定方法：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线与这个平面垂直． 教师 学生 教学 时行为 行为 意图 间 引导 分析 17 带领 讲解 学生 说明 理解 分析 20 通过例题 *巩固知识 典型例题 【知识巩固】 例2 长方体ABCD-A1B1C1D1中（如图9−45），直线AA1与平面ABCD垂直吗为什么 说明 观察 强调 图9−45 解 因为长方体ABCD-A1B1C1D1中，侧面ABB1A1、 引领 思考 进一 步领会 AA1D1D都是长方形，所以AA1⊥AB，AA1⊥AD．且AB和AD是平面ABCD内的两条相交直线．由直线与平面垂直的判定定理知，直线AA1⊥平面ABCD． 讲解 主动 教 学 过 程 教师 学生 教学 时行为 行为 意图 间 说明 求解 25 图9−46 [小提示] 在实际生活中，我们采用如图9−46所示的“合页型折纸”检验直线与平面垂直，就是直线与平面垂直方法的应用． 【做一做】 如果只给一个卷尺，你能否判断操场中立的旗杆与底面垂直吗？ *创设情境 兴趣导入 【观察】 观察道路边的电线杆可以发现它们都垂直于地面，并且这些电线杆是平行的．这一事实启发我们得出直线与平面垂直的性质． 28 质疑 引导 分析 启发 思考 学生 思考 *动脑思考 探索新知 【新知识】 由大量的实验与观察，归纳出直线和平面垂直的性质：垂直于同一个平面的两条直线互相平行． 如图9−47所示，设m，n，则 m∥n． 讲解 思考 说明 教 学 过 程 教师 学生 教学 时行为 行为 意图 间 m 图[想一想] n 带领 如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面吗为什么 学生 分析 引领 理解 分析 32 *巩固知识 典型例题 【知识巩固】 例3 如图9−48，AB和CD都是平面的垂线，垂足分别为B、D，A、C分别在平面的两侧，AB＝4 cm，观察 通过 例题进一步领会 注意 CD＝8 cm，BD＝5 cm，求AC的长． 说明 强调 思考 图9−48 解 因为AB⊥，CD⊥，所以 AB∥CD．因为引领 BD在平面内，AB⊥BD，CD⊥BD．设AB与CD确定平面，在平面内，过点A作AE∥BD，直线AE与CD交于点E． 在直角三角形ACE中，因为AE＝BD＝5 cm， 观察 学生 是否 理解 知识 讲解 主动 说明 求解 CE＝CD＋DE＝CD＋AB＝8 + 4 =12（cm）， 所以 AC＝ AE2CE2 ＝ 52122 ＝13（cm）． 教 学 过 程 教师 学生 教学 时行为 行为 意图 间 点 37 *运用知识 强化练习 1．一根旗杆AB高8 m，它的顶端A挂两条10 m的绳子，拉紧绳子并把它们的两个下端固定在地面上的C、D两 点，并使点C、D与旗杆脚B不共线，如果C、D与B的距离 都是6 m，那么是否可以判定旗杆AB与地面垂直，为什么？ 及时 提问 思考 了解 巡视 解答 学生 2．如图所示，ABC在平面内，BAC90，且指导 知识 PA于A，那么AC与PB是否垂直为什么 掌握 情况 *创设情境 兴趣导入 【知识回顾】 两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，那么称这两个平面互相垂直．平面与平面垂直，记作． 画表示两个互相垂直平面的图形时，一般将两个平行四边形的一组对边画成垂直的位置，可以把直立的平面画成矩形（图9−49（1）），也可以把直立的平面画成平行四边形（图9−49（2））． 42 质疑 观察 带领 学生 教 学 过 程 教师 学生 教学 时行为 行为 意图 间 （2） 分析 48 图9−49 【做一做】 请动手画出图9−50中的两个图形． 引导 思考 分析 [实例] 建筑工人在砌墙时，把线的一端系一个铅锤，另一端用砖压在墙壁面上（图9−50），观察系有铅锤的线与墙面是否紧贴（在铅锤处应有一空隙），即判断所砌墙面是否经过地面的垂线，以此保证所砌的墙面与地面垂直． 图 9−50 *动脑思考 探索新知 【新知识】 这种做法的依据是平面与平面垂直的判定方法：一个平面经过另一个平面的垂线则两个平面垂直． 如图9−51所示，如果AB，AB在内，那么． 讲解 理解 说明 带领 学生 分析 引领 分析 教 学 过 程 教师 学生 教学 时行为 行为 意图 间 52 57 图9−51 *巩固知识 典型例题 【知识巩固】 例4 在正方体ABCD-A1B1C1D1（如图9−52）中，判断平面B1AC与平面B1BDD1是否垂直． 说明 观察 强调 图9−52 解 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，B1B⊥平面ABCD，所以BB1⊥AC，在底面正方形ABCD中，BD⊥AC，因此AC⊥平面BB1D1D， 因为AC在平面B1AC内，所以平面B1AC与平面B1BDD1垂直． 引领 思考 通过 例题进一步领会 讲解 主动 说明 求解 *创设情境 兴趣导入 【实验】 如图9−53所示，在正方体A1C的侧面A1ABB1中，作EE1AB，观察EE1与底面ABCD的关系． 质疑 带领 教 学 过 程 D1A1C1教师 学生 教学 时行为 行为 意图 间 引导 思考 学生 分析 E1 D B1C分析 AE 图9−53 B 60 *动脑思考 探索新知 【新知识】 可以看到，由于EE1AB，故EE1∥BB1，又BB1BC，因此EE1BC．这样，EE1就与底面ABCD 讲解 理解 说明 带领 中的两条相交直线AB、BC都垂直，所以EE1与底面ABCD垂直． 由大量的观察与实践，归纳出平面与平面垂直的性质：如果两个平面垂直，那么一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直． 学生 分析 引领 记忆 分析 64 *巩固知识 典型例题 【知识巩固】 例5 如图9−54所示，平面α⊥平面β， AC在平面α内，且AC⊥AB，BD在平面β内，且BD⊥AB，AC＝12 cm，AB＝3 cm，BD＝4 cm．求CD的长． 观察 通过 例题进一说明 教 学 过 程 教师 学生 教学 时行为 行为 意图 间 强调 步领会 69 图9−54 解 在平面内，连结AD．又由于BD⊥AB，所以在直角三角形ABD中， AD2AB2BD2324225， 思考 引领 注意 观察 学生 故 AD＝5（cm）． 因为，AC在平面内，且AC⊥AB，AB为平面与的交线，所以AC⊥． 讲解 因此CA⊥AD． 在直角三角形ACD中， CD2AC2AD212252169， 说明 主动 是否 求解 理解 知识 点 故 CD＝13（cm）． *运用知识 强化练习 1．如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，与平 面AB1垂直的平面有 个，与平面AB1垂直的棱有 条． 提问 巡视 D 指导 C A 及时 D A 第1题图 B C B 第2题图 了解 思考 学生 求解 知识 掌握 得情 况 教 学 过 程 2．如图所示，检查工件相邻的两个面是否垂直时，只要用曲尺的一边卡在工件的一个面上，另一边在工件的另一个面上转动一下，观察尺边是否和这个面密合就可以了，为什么？ *理论升华 整体建构 思考并回答下面的问题： 直线与平面垂直的判定与性质？ 平面与平面垂直的判断与性质？ 结论： 教师 学生 教学 时行为 行为 意图 间 78 回答 及时了解学生知识掌握情况 82 质疑 直线与平面垂直的判定方法：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线与这个平面垂直． 直线和平面垂直的性质：垂直于同一个平面的两条直线互相平行． 平面与平面垂直的判定方法：一个平面经过另一个平面的垂线则两个平面垂直． 平面与平面垂直的性质：如果两个平面垂直，那么一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直． *归纳小结 强化思想 本次课学了哪些内容重点和难点各是什么 *自我反思 目标检测 本次课采用了怎样的学习方法你是如何进行学习 归纳强调 引导 回忆 提问 反思 检验 教 学 过 程 的你的学习效果如何 教师 学生 教学 时行为 行为 意图 间 学生 学习 紧绳子并把它们的两个下端固定在地面上的C、D两点，并使巡视 动手 效果 点C、D与旗杆脚B不共线，如果C、D与B的距离都是6 m，指导 求解 88 那么是否可以判定旗杆AB与地面垂直，为什么？ *继续探索 活动探究 (1)读书部分：教材 (2)书面作业：教材习题 A组（必做）； B组（选做） (3)实践调查：用发现的眼睛寻找生活中的两个平面垂直的实例 【教师教学后记】

项目 学生知识、技能的掌握情况 反思点 学生是否真正理解有关知识； 是否能利用知识、技能解决问题； 在知识、技能的掌握上存在哪些问题； 学生是否参与有关活动； 学生的情感态度 在数学活动中，是否认真、积极、自信； 遇到困难时，是否愿意通过自己的努力加以克服； 学生是否积极思考； 学生思维情况 思维是否有条理、灵活； 是否能提出新的想法； 是否自觉地进行反思； 学生是否善于与人合作； 学生合作交流的情况 在交流中，是否积极表达； 是否善于倾听别人的意见； 学生实践的情况 学生是否愿意开展实践； 90 一根旗杆AB高8 m，它的顶端A挂两条10 m的绳子，拉 说明 记录 分层次要求 能否根据问题合理地进行实践； 在实践中能否积极思考； 能否有意识的反思实践过程的方面；

【课题】 柱、锥、球及其简单组合体(一)

【教学目标】

知识目标：

（1）了解棱柱、棱锥的结构特征； （2）掌握棱柱、棱锥面积和体积计算. 能力目标：

培养学生的观察能力，数值计算能力及计算工具使用技能. 【教学重点】

正棱柱、正棱锥的结构特征及相关的计算． 【教学难点】

正棱柱、正棱锥的相关计算． 【教学设计】

教材首先介绍了多面体、旋转体的概念．然后通过观察模型，说明棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球的结构特征及其面积、体积的计算公式．正棱柱的侧面积、全面积、体积的计算公式经常使用，不要把侧面积、全面积计算公式记混了．

侧面都是全等的矩形的直四棱柱不一定是正四棱柱．底面是正方形的四棱柱不一定是正四棱柱．四棱锥P-ABCD中，如果棱锥的侧棱长相等，那么它一定是正四棱锥．如果棱锥的底面是正方形，那么它不一定是正四棱锥．

例1是求正三棱柱的侧面积和体积的题目，例2是求正三棱锥的侧面积和体积的题目，要记住边长为a的正三角形的面积为S【教学备品】

32a． 4教学课件． 【课时安排】

2课时．(90分钟) 【教学过程】

教 学 过 程 *揭示课题 柱、锥、球及其简单组合体 【知识回顾】 在九年制义务教育阶段，我们学习过直棱柱、圆柱、圆锥、球等几何体． 教师 学生 教学 时行为 行为 意图 间 0 介绍 了解 质疑 思考 （1） （2） （3） （4） 图9−55 象直棱柱（图9−55（1））那样，由若干个平面多边形围成的封闭的几何体叫做多面体，围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的交点叫做多面体的顶点，不在同一个面上的两个顶点的连线叫做多面体的对角线. 像圆柱（图9−55（2））、圆锥（图9−55（3））、球（图9−55（4））那样的封闭几何体叫做旋转体． 启发 学生思考 讲解 说明 *创设情境 兴趣导入 【观察】 思考 引导 引导 学生 分析 分析 图9−56 教 学 过 程 观察图9−56所示的多面体，可以发现它们具如下特征： （1）有两个面互相平行，其余各面都是四边形； （2）每相邻两个四边形的公共边互相平行． 教师 学生 教学 时行为 行为 意图 间 10 *动脑思考 探索新知 【新知识】 有两个面互相平行，其余每相邻两个面的交线都互相平行的多面体叫做棱柱,互相平行的两个面，叫做 棱柱的底面，其余各面叫做棱柱的侧面．相邻两个侧 面的公共边叫做棱柱的侧棱．两个底面间的距离，叫 做棱柱的高． 讲解 图9−56所示的四个多面体都是棱柱． 说明 表示棱柱时，通常分别顺次写出两个底面各个顶 点的字母，中间用一条短横线隔开，例如，图9−56(2) 所示的棱柱，可以记作棱柱ABCDA1B1C1D1，或简记作棱柱AC1． 经常以棱柱底面多边形的边数来命名棱柱，如图9−56所示的棱柱依次为三棱柱、四棱柱、五棱柱． 侧棱与底面斜交的棱柱叫做斜棱柱,如图9−56（2）；侧棱与底面垂直的棱柱叫做直棱柱，如图9−56（1）；底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱，如图9−56（3）和（4），分别为正四棱柱和正五棱柱． 正棱柱有下列性质： （１）侧棱垂直于底面，各侧棱长都相等，并且等于正棱柱的高； 思考 引领 分析 理解 教 学 过 程 （２）两个底面中心的连线是正棱柱的高． [想一想] 如果直四棱柱的侧面都是全等的矩形，它是不是正四棱柱如果四棱柱的底面是正方形，它是不是正四棱柱 【新知识】 教师 学生 教学 时行为 行为 意图 间 带领 学生 分析 图9−57 （） （） 仔细 分析 关键 记忆 语句 正棱柱所有侧面的面积之和，叫做正棱柱的侧面积．正棱柱的侧面积与两个底面面积之和，叫做正棱柱的全面积． 观察正棱柱的表面展开图（图9−57），可以得到正棱柱的侧面积、全面积计算公式分别为 S正棱柱侧ch S正棱柱全ch2S底 25 其中，c表示正棱柱底面的周长,h表示正棱柱的高,S底表示正棱柱底面的面积. 可以得到正棱柱的体积计算公式为（公式推导略） V正棱柱S底h （） 其中, S底表示正棱锥的底面的面积，h是正棱锥的高. *巩固知识 典型例题 【知识巩固】 教 学 过 程 例 1 已知一个正三棱柱的底面边长为4 cm，高为5 cm，求这个正三棱柱的侧面积和体积． 解 正三棱锥的侧面积为 S侧＝ch＝3×4×5 ＝ 60（cm）． 由于边长为4 cm的正三角形面积为 所以正三棱柱的体积为 VS底h435=2032教师 学生 教学 时行为 行为 意图 间 通过例题 说明 观察 强调 32443（cm2）， 4引领 思考 进一 步领会 （cm）． 【小提示】 3 边长为a的正三角形的面积为Sa2． 43讲解 主动 说明 求解 【软件连接】 利用几何画板可以方便地作出棱柱的直观图形．方法是：首先选中所以绘制棱柱的名称（图9−58），然后选择合适的位置，点击并拖动，即可得到棱柱的直观图形（图9−59），最后再标注字母． 讲解 思考 带领说明 理解 学生 思考 教 学 过 程 教师 学生 教学 时行为 行为 意图 间 图9−58 35 图9−59 *创设情境 兴趣导入 观察图9−60所示的多面体，可以发现它们具如下特征：有一个面是多边形，其余各面都是三角形，并且这些三角形有一个公共顶点． 质疑 引导 启发 思考 学生 思考 教 学 过 程 教师 学生 教学 时行为 行为 意图 间 分析 (3) 40 图9−60 *动脑思考 探索新知 【新知识】 具备上述特征的多面体叫做棱锥．多边形叫做 棱锥的底面（简称底），有公共顶点的三角形面叫做棱锥的侧面，各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点，顶点到底面的距离叫做棱锥的高．底面是三角形、四边形、……的棱锥分别叫做三棱锥、四棱锥、……．通常用表示底面各顶点的字母来表示棱锥．例如，图9−60（2）中的棱锥记作：棱锥SABCD． 底面是正多边形，其余各面是全等的等腰三角形矩形的讲解 带领 说明 思考 学生 棱锥叫做正棱锥．图9−60中（1）、（2）分别表示正三棱 分析 锥、正四棱锥． 正棱锥有下列性质： （1）各侧棱的长相等； （2）各侧面都是全等的等腰三角形．各等腰三角形底边上的高都叫做正棱锥的斜高； 引领 （3）顶点到底面中心的连线垂直与底面，是正棱分析 理解 锥的高； （4）正棱锥的高、斜高与斜高在底面的射影组成 一个直角三角形； 教 学 过 程 教师 学生 教学 时行为 行为 意图 间 （5）正棱锥的高、侧棱与侧棱在底面的射影也组 成一个直角三角形． 【想一想】 四棱锥P-ABCD中，如果棱锥的侧棱长相等，那么它是不是正四棱锥如果棱锥的底面是正方形，那么它是不是正四棱锥 【新知识】 讲解 思考 说明 图9−61 带领 学生 分析 52 引领 记忆 分析 观察正棱锥的表面展开图（图9−61），可以得到正棱锥的侧面积、全面积（表面积）计算公式分别为 S正棱锥侧 S正棱锥全1ch （） 21chS底. （） 2其中,c表示正棱锥底面的周长,h是正棱锥的斜高,S底表示正棱锥的底面的面积，h是正棱锥的高. *创设情境 兴趣导入 【实验】 准备好同底等高的正三棱锥与正三棱柱形容器，将正 带领 质疑 思考 学生 三棱锥容器中装满沙子，然后倒入正三棱柱形状的容器中， 分析 发现：连续倒三次正好将正三棱柱容器装满． 57 教 学 过 程 *动脑思考 探索新知 【新知识】 实验表明，对于同底等高的棱锥与棱柱，棱锥的体积是棱柱体积的三分之一．即 教师 学生 教学 时行为 行为 意图 间 讲解 理解 带领 说明 学生 分析 记忆 62 V正棱锥1S底h. （） 3其中, S底表示正棱锥的底面的面积，h是正棱锥的高. *巩固知识 典型例题 【知识巩固】 例 2 如图9−62，正三棱锥P-ABC中，点O是底面中心，PO＝12 cm，斜高PD＝13 cm．求它的侧面积、体积（面积精确到cm，体积精确到1cm）． 23 通过 说明 观察 强调 图9−62 解 在正三棱锥P-ABC（图9−62）中，高PO＝12 cm，斜高PD＝13 cm． 在直角三角形POD中， 引领 思考 例题 进一步领会 OD＝PD2PO2＝132122 ＝5（cm）． 在底面正三角形ABC中， CD＝3OD＝15（cm）． 所以底面边长为 讲解 主动 AC＝103 cm． 说明 求解 教 学 过 程 所以侧面积与体积分别约为 11S侧ch310313 ≈（cm2）． 22教师 学生 教学 时行为 行为 意图 间 72 111V正棱锥S底h(103)2sin6012≈520332（cm）． 3*运用知识 强化练习 及时 了解 1. 设正三棱柱的高为6，底面边长为4，求它的侧面提问 思考 学生 积、全面积及体积. 巡视 解答 知识 2. 正四棱锥的高是a，底面的边长是2a，求它的全 指导 掌握 面积与体积. 情况 80 *理论升华 整体建构 思考并回答下面的问题： 正棱柱的侧面积、全面积、体积公式，正棱锥的侧面积、全面积、体积公式？ 结论： S正棱柱侧ch； S正棱柱全ch2S底； V正棱柱S底h； 及时 质疑 归纳回答 了解 学生知识掌握情况 11 S正棱锥侧ch； S正棱锥全chS底； 强调 22 1V正棱锥S底h． 3教 学 过 程 教师 学生 教学 时行为 行为 意图 间 83 *归纳小结 强化思想 本次课学了哪些内容重点和难点各是什么 *自我反思 目标检测 本次课采用了怎样的学习方法你是如何进行学习的你的学习效果如何 引导 回忆 提问 反思 检验 学生 设正三棱柱的高为6，底面边长为4，求它的侧面巡视 动手 学习 积、全面积及体积． 指导 求解 效果 89 *继续探索 活动探究 (1)读书部分：教材 (2)书面作业：教材习题 A组（必做）； B组（选做） (3)实践调查：用发现的眼睛寻找生活中的正棱柱实例 【教师教学后记】

项目 学生知识、技能的掌握情况 反思点 学生是否真正理解有关知识； 是否能利用知识、技能解决问题； 在知识、技能的掌握上存在哪些问题； 学生是否参与有关活动； 学生的情感态度 在数学活动中，是否认真、积极、自信； 遇到困难时，是否愿意通过自己的努力加以克服； 学生是否积极思考； 学生思维情况 思维是否有条理、灵活； 是否能提出新的想法； 90 说明 记录 分层次要求 是否自觉地进行反思； 学生是否善于与人合作； 学生合作交流的情况 在交流中，是否积极表达； 是否善于倾听别人的意见； 学生是否愿意开展实践； 学生实践的情况 能否根据问题合理地进行实践； 在实践中能否积极思考； 能否有意识的反思实践过程的方面；

【课题】10．1 计数原理

【教学目标】

知识目标：

掌握分类计数原理和分步计数原理． 能力目标：

培养学生的观察、分析能力． 【教学重点】

掌握分类计数原理和分步计数原理． 【教学难点】

区别与运用分类计数原理和分步计数原理． 【教学设计】

分类计数原理的特点：各类办法间相互独立，各类办法中的每种办法都能独立完成这件事（一步到位）．分步计数原理的特点：一步不能完成，依次完成各步才能完成这件事（一步不到位）．确定适用分类计数原理还是分步计数原理的关键是判断能否一次完成．

例1、例2及例3是巩固性练习，主要是让学生巩固所学的分类计数原理、分步计数原理．

“想一想”中的问题：如果第一步选团支部书记，第二步选班长，计算出的结果与上面的结果相同吗？答案是相同．因为第一步选团支部书记是从3个人中选出1个人，共有3种结果，对第一步的每种结果，第二步选班长都有2种结果．因此共有326种结果．

“试一试”中的问题：你能说出分类计数原理和分步计数原理的区别吗？答案是：确定适用分类计数原理还是分步计数原理的关键是看能否一次完成；能一次完成，适用分类计数原理；不能一次完成，适用分步计数原理．

【教学备品】

教学课件． 【课时安排】

2课时．(90分钟) 【教学过程】

教 学 过 程 *揭示课题 10．1 计数原理 *创设情境 兴趣导入 【实例】 由太原去北京可以乘火车，也可乘汽车，还可以乘飞机．如果一天之内火车有4个班次，汽车有17个班次，飞机有6个班次，那么，每天由太原去北京有多少种不同的方法？ 解决这个问题需要分类进行研究．由太原去北京共有三类方案．第一类是乘火车，有4种方法；第二教师 学生 教学 时行为 行为 意图 间 0 介绍 了解 质疑 思考 启发 学生 思考 10 讲解 说明 类是乘汽车，有17种方法；第三类是乘飞机，有6种 方法．并且，每一种方法都能够完成这件事（从太原去北京）．所以每天从太原去北京的方法共有 417627（种）． 教 学 过 程 *动脑思考 探索新知 【新知识】 一般地，完成一件事，有n类方式．第1类方式有k1种方法，第2类方式有k2种方法，……，第n类方式有kn种方法，那么完成这件事的方法共有 Nk1k2kn教师 学生 教学 时行为 行为 意图 间 讲解 理解 说明 带领 （种）． （） 上面的计数原理叫做分类计数原理1． 学生 分析 引领 记忆 分析 20 *巩固知识 典型例题 【知识巩固】 例1 三个袋子里分别装有9个红色球2，8个蓝色球和10个白色球．任取出一个球，共有多少种取法？ 解 取出一个球，可能是红色球、蓝色球或白色球． 第一类：取红色球，从9个红色球中任意取出一个，有k19种方法； 第二类：取蓝色球，从8个蓝色球中任意取出一个，有k28种方法； 第三类：取白色球，从10个白色球中任意取出一个，有k210种方法． 由分类计数原理知，不同的取法共有 通过例题 说明 观察 强调 引领 思考 进一 步领会 讲解 说明 主动 12

分类计数原理有些教科书上写作加法原则．

本章中，袋子中的球除了颜色不同外，外形、重量等完全相同。每个球都有编号，任意两个同色球都是不同的球。

教 学 过 程 N981027（种）． *运用知识 强化练习 教师 学生 教学 时行为 行为 意图 间 求解 30 了解 1．书架上有7本数学书，6本语文书，4本英语书．如果从书架上任取一本，共有多少种不同取法？ 2．某职业学校电子一班的同学分为三个小组，甲组有10人，乙组有11人，丙组有9人．现要选派1人参加学校的技能活动，有多少种不同的方法？ *创设情境 兴趣导入 【问题】 从唐华、张凤、薛贵3个候选人中，选出2个人分别担任班长和团支部书记，会有多少种选举结果呢？ 解决这个问题需要分步骤进行研究．第一步选出班长，第二步选出团支部书记．每一步并不能完成选举工作，只有各步骤都完成，才能完成选举这件事． 如图10－1所示，第一步从3个人中选出1个人，共有3种结果，对第一步的每种结果，第二步都有2种结果．因此共有326种结果． 提问 思考 学生 巡视 解答 知识 指导 掌握 情况 40 质疑 引导 分析 启发 学生思考 思考 教 学 过 程 第一步选班长 第二步选团支部书记 张凤 唐华 薛贵 唐华 张凤 薛贵 唐华 薛贵 图10－1 【想一想】 如果第一步选团支部书记，第二步选班长，计张凤 教师 学生 教学 时行为 行为 意图 间 50 算出的结果与上面的结果相同吗？ *动脑思考 探索新知 【新知识】 一般地，如果完成一件事，需要分成n个步骤，完成第1个步骤有k1种方法，完成第2个步骤有k2种方法，……，完成第n个步骤有kn种方法，并且只有这n个步骤都完成后，这件事才能完成，那么完成这件事的方法共有 Nk1•k2••kn 讲解 思考 说明 （种）． （） 上面的计数原理叫做分步计数原理1． *巩固知识 典型例题 【知识巩固】 1

引领 理解 带领 学生 分析 分析 60 分布计数原理有些教科书上写作乘法原则．

教 学 过 程 例2 某校电子八班有男生26人，女生20人，若要选男、女生各1人作为学生代表参加学校伙食管理委员会，共有多少种选法？ 解 这件事可以分成两个步骤完成： 第一步：从26名男生中选出1人，有k126种选法； 第二步：从20名女生中选出1人，有k220种选法． 由分步计数原理有 N2620520（种）． 教师 学生 教学 时行为 行为 意图 间 说明 观察 强调 通过例题 70 引领 思考 进一 步领会 即共有520种选法． 例3 邮政大厅有4个邮筒，现将三封信逐一投讲解 主动 说明 求解 入邮筒，共有多少种投法？ 解 分成三个步骤，每个步骤投一封信，分别均有4种方法．应用分步计数原理，投法共有 44464（种）． 【试一试】 你能说出分类计数原理和分步计数原理的区别吗？ *运用知识 强化练习 了解 1. 两个袋子中分别装有10个红色球和6个白色球．从中取出一个红色球和一个白色球，共有多少种方法？ 2. 北京市电话号码为八位数字，问8461支局共有多少个电话号码？ *理论升华 整体建构 提问 思考 学生 巡视 解答 知识 指导 掌握 情况 80 教 学 过 程 思考并回答下面的问题： 说出分类计数原理和分步计数原理的区别？ 结论： 分类计数原理的特点：各类办法间相互独立，各类办法中的每种办法都能独立完成这件事（一步到位）． 分步计数原理的特点：一步不能完成，依次完成各步才能完成这件事（一步不到位）． 确定适用分类计数原理还是分步计数原理的关键是判断能否一次完成． 教师 学生 教学 时行为 行为 意图 间 及时 85 质疑 归纳强调 回答 了解 学生知识掌握情况 *归纳小结 强化思想 本次课学了哪些内容重点和难点各是什么 *自我反思 目标检测 本次课采用了怎样的学习方法你是如何进行学习的你的学习效果如何 两个袋子中分别装有3个红色球和3个白色球．从中取出一个红色球和一个白色球，共有多少种方法？ *继续探索 活动探究 (1)读书部分：教材 (2)书面作业：教材习题 A组（必做）； B组（选做） (3)实践调查：用发现的眼睛寻找生活中的分步计数原理实例 【教师教学后记】

引导 回忆 提问 反思 检验 学生 巡视 动手 学习 指导 求解 效果 89 90 说明 记录 分层次要求 项目 学生知识、技能的掌握情况 反思点 学生是否真正理解有关知识； 是否能利用知识、技能解决问题； 在知识、技能的掌握上存在哪些问题； 学生是否参与有关活动； 学生的情感态度 在数学活动中，是否认真、积极、自信； 遇到困难时，是否愿意通过自己的努力加以克服； 学生是否积极思考； 学生思维情况 思维是否有条理、灵活； 是否能提出新的想法； 是否自觉地进行反思； 学生是否善于与人合作； 学生合作交流的情况 在交流中，是否积极表达； 是否善于倾听别人的意见； 学生是否愿意开展实践； 学生实践的情况 能否根据问题合理地进行实践； 在实践中能否积极思考； 能否有意识的反思实践过程的方面；

【课题】10．2 概率（一）

【教学目标】

知识目标：

（1） 理解必然事件、不可能事件、随机事件的意义． （2） 理解事件的频率与概率的意义以及二者的区别与联系． 能力目标：

培养学生的观察、分析能力．

【教学重点】

事件A的概率的定义． 【教学难点】

概率的计算． 【教学设计】

教材通过学生较为熟悉的六种现象，引出随机现象与必然现象、随机试验、随机事件、基本事件、必然事件以及不可能事件的概念及意义．在教学中要紧密结合这6个例子，讲清楚这些概念的意义，随机现象与必然现象的区别，随机事件与确定性事件的区别与联系，随机事件、必然事件、不可能事件的区别与联系．

例1是巩固性例题，目的是让学生进一步认识随机事件、必然事件和不可能事件的区别．

在讲解频率与概率时，要结合教材中的实验和引例讲清楚频率与概率的定义以及频率与概率的区别与联系．如果在相同的条件下，事件A在n次重复试验中出现了m次，那么比值

A发生的频率

m叫做事件A的频率．当试验次数充分大时，事件nm总在某个常数附近摆动，这时就把这个常数叫做事件A发生的n概率，记作PA．这个定义叫做概率的统计定义． 【教学备品】

教学课件． 【课时安排】

2课时．(90分钟) 【教学过程】

教 学 过 程 *揭示课题 10．2 概率（一） *创设情境 兴趣导入 【观察】 教师 学生 教学 时行为 行为 意图 间 0 介绍 了解 质疑 教 学 过 程 观察下列各种现象： 教师 学生 教学 时行为 行为 意图 间 （1）掷一颗骰子5(图10－2)，出现的点数是4． （2）掷一枚硬币，正面向上． 讲解 （3）在一天中的某一时刻，测试某个人的体温说明 为℃． （4）定点投篮球，第一次就投中篮框． （5）在标准大气压下，将水加热到100℃时，水 沸腾． （6）在标准大气压下，100℃时，金属铁变为液态． *动脑思考 探索新知 【新知识】 上面的（1）、（2）、（3）、（4）种现象，有可能发生，也有可能不发生．像这样，在相同的条件下，具有多种可能的结果，而事先又无法确定会出现哪种 思考 启发 学生 思考 10 讲解 理解 说明 带领 学生 结果的现象叫做随机现象(偶然现象)． 分析 上面的（5）、（6）两种现象都是确定性现象， 引领 记忆 其结果在一定条件下，必然发生（现象（5））或者必 分析 然不发生（现象（6））． 我们通常使用试验和观察的方法来研究随机现 象，这类试验和观察，事先可以预测到可能会发生的 各种结果，但是无法预测发生的确切结果．在相同的 条件下，试验和观察可以重复进行．我们把这类试验 和观察叫做随机试验．试验的结果叫做随机事件，简 称事件，常用英文大写字母A、B、C等表示． 在描述一个事件的时候，采用加大括号的方 5

15 本教材中，做抛掷试验的物体（这里是骰子）都是质地均匀的，后面不再逐个说明．

教 学 过 程 式．如抛掷一枚硬币，出现正面向上的事件，记作 教师 学生 教学 时行为 行为 意图 间 A={抛掷一枚硬币，出现正面向上}． 在一定条件下，必然发生的事件叫做必然事件，用表示．在一定条件下，不可能发生的事件叫做不可能事件，用表示． *巩固知识 典型例题 【知识巩固】 例１ 设在100件商品中有3件次品． 说明 观察 A ＝ { 随机抽取1件是次品 }；B ＝ { 随机抽取4件都是次品 }；C ＝ { 随机抽取10件有正品}．指出其中的必然事件及不可能事件． 解 由于100件商品中含有3件次品，随机地抽取1件，可能是次品，也可能是正品；随机地抽取4件，全是次品是不可能的；随机地抽取10件，其中含有正品是必然的． 因此，事件B是不可能事件，事件C是必然事件． *创设情境 兴趣导入 【问题】 任意抛掷一颗骰子，观察掷出的点数．事件A强调 思考 通过 例题 进一 22 主动 步领引领 求解 会 质疑 启发 ＝{点数是1 }，B＝{点数是2 }，C＝{点数不超过2 } 之间存在着什么联系呢？ *动脑思考 探索新知 【新知识】 思考 学生 思考 引导 分析 26 讲解 思考 由于“点数不超过2”包括“点数是1”和“点数说明 带领 教 学 过 程 是2”两种情况．事件C可以用事件A和事件B来进行描绘．即事件C总是伴随着事件A或事件B的发生而发生． 像事件A与事件B那样，作为试验和观察的基本结果，在试验和观察中不能再分的最简单的随机事件，叫做基本事件．像事件C那样，可以用基本事件来描绘的随机事件叫做复合事件． *运用知识 强化练习 １．掷一颗骰子，观察掷出的点数，指出下列事件中的基本事件和复合事件： 教师 学生 教学 时行为 行为 意图 间 学生 分析 引领 理解 分析 32 及时 提问 思考 了解 （1）A＝{点数是1 }； （2）B＝{点数巡视 解答 学生 是3 }； 指导 知识 （3）C＝{点数是5 }； （4）D＝{点数是奇掌握 数 }． 情况 40 2．请举出生活中某一个随机试验的基本事件和复合事件． *创设情境 兴趣导入 【实验】 反复抛掷一枚硬币，观察并记录抛掷的次数与硬币出现正面向上的次数． 【知识回顾】 设在n次重复试验中，事件A发生了 m次（0mn），m叫做事件A发生的频数．事件A的频数在试验的总次数中所占的比例生的频率． *动脑思考 探索新知 【新知识】 m，叫做事件A发n 质疑 引导 分析 思考 引导 学生 分析 50 教 学 过 程 在抛掷一枚硬币的试验中，观察事件A={出现正教师 学生 教学 时行为 行为 意图 间 面}发生的频率，当试验的次数较少时，很难找到什么讲解 思考 规律，但是，如果试验次数增多，情况就不同了．前说明 人抛掷硬币试验的一些结果如表10－1所示： 表10－1 抛掷次数出现正面A发生的频 试验者 (n) 的次数(m) 率(m/n) 蒲丰 4040 2048 皮尔逊 皮尔逊 维尼 12000 24000 30000 6019 12012 14994 从表10－1中可以看出，当抛掷次数n很大时，事件A发生的频率总落在附近．这说明事件A发生的频率具有稳定性，常数就是事件A发生的频率的稳定值．可以用它来描述事件A发生的可能性大小，从而认识事件A发生的规律． 一般地，当试验次数充分大时，如果事件A发生的频率m总稳定在某个常数附近摆动，那么就把这个n常数叫做事件A发生的概率，记作P(A). 因为在n次重复试验中，事件A发生的次数m总是满足0mn，所以0率具有下列性质： （1）对于必然事件，P()1； （2）对于不可能事件，P()0； （3）0P(A)1． 我们通常是通过频率的计算来估计概率并利用事mn1．由此得到事件的概 引领 理解 分析 带领 学生 思考 记忆 仔细 分析 关键 语句 55 教 学 过 程 件A的概率P(A)来描述试验中事件A发生的可能性． *巩固知识 典型例题 【知识巩固】 例2 连续抽检了某车间一周内的产品，结果如表10－2所示（精确到）： 表10－2 星期 星期一 生产产品总数（n） 次品数（m） 频率m n教师 学生 教学 时行为 行为 意图 间 说明 观察 星期星期星期五 六 日 强调 星期二 星期三 星期四 通过 60 150 600 900 1200 1800 2400 7 19 52 100 109 169 248 求：（1）星期五该厂生产的产品是次品的频率为多少？ （2） 本周内，该厂生产的产品是次品的概率为多少 分析 星期五该厂生产的产品是次品的频率可以利用m来计算．从表中可以看出，生产产品是次品的n例题 进一 引领 思考 步领 会 讲解 主动 求解 说明 67 频率大约稳定在左右． 教 学 过 程 解 （1）记A={ 生产的产品是次品 }，则事件A发生的频率为 m1090.091， n1200教师 学生 教学 时行为 行为 意图 间 即星期五该厂生产的产品是次品的频率约为． （2）本周内生产的产品是次品的概率约为． *运用知识 强化练习 表10－3 某市工商局要了解经营人员对工商执法人员的满意程度。进行了5次“问卷调查”，结果如表10－3所示： 及时 被调查人数n 满意人数m 满意频率500 502 504 496 505 375 376 378 372 404 了解 提问 思考 学生 巡视 解答 知识 指导 掌握 情况 77 m n（1）计算表中的各个频率； （2）经营人员对工商局执法人员满意的概率P(A)约是多少？ *理论升华 整体建构 思考并回答下面的问题： 事件A的概率的定义？ 结论： 质疑 及时 一般地，当试验次数充分大时，如果事件A发生回答 了解 学生 知识 归纳 掌握教 学 过 程 的频率m总稳定在某个常数附近摆动，那么就把这个n教师 学生 教学 时行为 行为 意图 间 强调 情况 82 常数叫做事件A发生的概率，记作P(A). *归纳小结 强化思想 本次课学了哪些内容重点和难点各是什么 *自我反思 目标检测 本次课采用了怎样的学习方法你是如何进行学习的你的学习效果如何 请举出生活中某一个随机实验的基本事件和复合事件． *继续探索 活动探究 (1)读书部分：教材 (2)书面作业：教材习题 A组（必做）； B组（选做） (3)实践调查：用发现的眼睛寻找生活中的频率与概率关系实例 【教师教学后记】

项目 学生知识、技能的掌握情况 反思点 学生是否真正理解有关知识； 是否能利用知识、技能解决问题； 在知识、技能的掌握上存在哪些问题； 学生是否参与有关活动； 学生的情感态度 在数学活动中，是否认真、积极、自信； 引导 回忆 提问 反思 检验 学生 巡视 动手 学习 指导 求解 效果 89 说明 记录 分层 次要 求 90 遇到困难时，是否愿意通过自己的努力加以克服； 学生思维情况 学生是否积极思考； 思维是否有条理、灵活； 是否能提出新的想法； 是否自觉地进行反思； 学生是否善于与人合作； 学生合作交流的情况 在交流中，是否积极表达； 是否善于倾听别人的意见； 学生是否愿意开展实践； 学生实践的情况 能否根据问题合理地进行实践； 在实践中能否积极思考； 能否有意识的反思实践过程的方面；

【课题】总体、样本与抽样方法（二）

【教学目标】

知识目标：

了解简单随机抽样、系统抽样、分层抽样等三种抽样方法． 能力目标：

培养学生认识世界、探索世界的辩证唯物观． 【教学重点】

了解简单随机抽样、系统抽样、分层抽样等三种抽样方法． 【教学难点】

对简单随机抽样、系统抽样、分层抽样等三种抽样方法的理解． 【教学设计】

简单随机抽样、系统抽样、分层抽样是三种常用的抽样方法．三种抽样方法的共同特点是在抽样过程中每个个体被抽取的概率相等，体现了这些抽样方法的客观性和公平性．其中简单随机抽样是最基本的抽样方法，在系统抽样和分层抽样时都要用到简单随机的抽样方法．当总体中的个数较少时，常采用简单随机抽样；当总体中的个数较多时，且其分布没有明显的不均匀情况，常采用系统抽样；当已知总体由差异明显的几个部分组成时，常采用分层抽样．

简单随机抽样还可以利用随机数来进行．现在大部分函数型计算器都能产生在0~1之间均匀分布的随机数，应用起来十分方便．

例4是巩固性练习，老师要指导学生按照教材所介绍的“从容量为N的总体中，用系统抽样抽取容量为n的样本的步骤”进行练习． 【教学备品】

教学课件． 【课时安排】

2课时．(90分钟) 【教学过程】

教 学 过 程 *揭示课题 总体、样本与抽样方法（二） *创设情境 兴趣导入 【问题】 用样本估计总体时，样本抽取得是否恰当，直接关系到总体特性估计的准确程度．那么，应该如何抽取样本呢？ *动脑思考 探索新知 【新知识】 下面介绍几种常用的抽样方法． 1．简单随机抽样 从一批苹果中选取10个，每个苹果被选中的可能性一般是不相等的，放在上面的苹果更容易被选中．实际过程又不允许将整箱苹果倒出来，搅拌均匀．因此，10个苹果做样本的代表意义就会打折扣． 我们采用抽签的方法，将苹果按照某种顺序（比如箱、层、行、列顺序）编号，写在小纸片上．将小 教师 学生 教学 时行为 行为 意图 间 0 介绍 了解 启发 思考 5 质疑 思考 学生讲解 观察 说明 教 学 过 程 纸片揉成小团，放到一个不透明的袋子中，充分搅拌教师 学生 教学 时行为 行为 意图 间 后，再从中逐个抽出10个小纸团．最后根据编号找到 苹果． 这种抽样叫做简单随机抽样． 简单随机抽样必须保证总体的每个个体被抽到的引领 机会是相同的．也就是说，简单随机抽样是等概率抽分析 样． 抽签法（俗称抓阄法）是最常用的简单随机抽样 方法．其主要步骤为 （1）编号做签：将总体中的N个个体编上号，并 把号码写到签上； （2）抽签得样本：将做好的签放到容器中，搅拌 均匀后，从中逐个抽出n个签，得到一个容量为n的 样本． 当总体中所含的个体较少时，通常采用简单随机 抽样．例如，从某班抽取10位同学去参加义务劳动， 就可采用抽签的方法来抽取样本． 仔细 当总体中的个体较多时，“搅拌均匀”不容易做到，这样抽出的样本的代表性就会打折扣．此时可以采用“随机数法”抽样． 产生随机数的方法很多，利用计算器（或计算机）可以方便地产生随机数． CASIO fx 82ESPLUS函数型计算器（如图10－3），利用 · 键的第二功能产生随机数．操作方法是：首先设置精确度并将计算器显示设置为小数状态，依次按键SHIFT 、 MODE 、 2 ，然后连续按键 SHIFT 、 RAN# ，以后每按键一次 = 带领 理解 学生 分析 20 分析 记忆 关键 语句 教 学 过 程 键，就能随机得到0~1之间的一个纯小数． 采用“随机数法”抽样的步骤为： （1）编号：将总体中的N个个体编上号； （2）选号：指定随机号的范围，利用计算器产生教师 学生 教学 时行为 行为 意图 间 n个有效的随机号（范围之外或重复的号无效），得到一个容量为n的样本． *巩固知识 典型例题 【知识巩固】 通过例题进一步领会 30 *创设情境 兴趣导入 【问题】 学校准备在全校1000名学生中，选出100名学 例3 某班有50名同学，学号为1~50，试利用随说明 观察 强调 机数从中抽取10名同学去参加义务劳动． 解 将计算器的精确度设为．取小数点后面的两 位数作为抽取的学号，如果超过50就舍去，重复的也引领 思考 舍去．这样，用计算器得到随机数 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 讲解 主动 所以抽到的同学的学号是 说明 求解 8， 3， 13， 10， 44， 12， 38， 19， 21， 50． 启发 学生生进行视力检查，如何抽样选取呢？ *动脑思考 探索新知 【新知识】 质疑 思考 思考 35 讲解 思考 教 学 过 程 使用抓阄法和随机数法，都容易产生抽出的学教师 学生 教学 时行为 行为 意图 间 说明 生集中在一些班级，而有一些班级没有抽到学生的现象． 可以先将1000名学生编号分段，分成100段，引领 理解 带领 每段10人，然后规定抽取每段的第2个顺序号的学生学生 分析 （也可以作其他规定），即第2号，12号，22，…， 分析 992号，组成样本．这样的样本具有较好的代表性． 像上面那样，当总体所含的个体较多时，可将总 体分成均衡的几个部分，然后按照预先定出的规则，从每一部分中抽取一定数目的个体．这种抽样叫做系统抽样（或机械抽样）． 从容量为N的总体中，用系统抽样抽取容量为n的样本，按照下面的步骤进行： （1）编号：将总体的N个个体编号； （2）确定间隔：可以考虑用隔分段，将总体分成n段； （3）抽样：按照一定的规则抽取样本．如抽每段的第k个顺序号的个体(k为小于量为n的样本． *巩固知识 典型例题 【知识巩固】 例4 某中职学校为了解2009级新生的身体发育 通过例题进一 N的整数)，得到容nN（取整数）作间n 45 说明 观察 情况，从1000名新生中，利用系统抽样，抽取一个容强调 量为50的样本．请你来完成这个抽样． 解 将这1000名学生编号（也可以利用新生录取 号），由于 引领 思考 步领教 学 过 程 100020， 50教师 学生 教学 时行为 行为 意图 间 会 55 所以取每段间隔为20，将编号分成50段，规定各段抽取第16个顺序号的学生，得到容量为50的样本．其学生号码依次为 讲解 主动 说明 求解 16，36，56，76， …， 996． 【想一想】 与简单随机抽样相比，系统抽样有哪些优点与 缺点？ *创设情境 兴趣导入 【问题】 考察某地区学生身高与体重的比例，该地区有 启发 小学生13100人，初中生8600人，高中生7500人，如何进行抽样？ *动脑思考 探索新知 【新知识】 由于随着年龄的增长，学生在小学、初中、高中等不同阶段，身高与体重的比例存在着显著的差异，所以，使用前面的几种方法抽样，样本的代表性不强，要考虑到不同阶段学生在样本中的比例． 当总体是由有明显差异的几个部分组成时，可将总体按差异情况分成互不重叠的几个部分——层，然后按各层个体总数所占的比例来进行抽样，这种抽样叫做分层抽样． 对分层抽样的每一层进行抽样时，可采用简单随机抽样或系统抽样． *巩固知识 典型例题 质疑 思考 学生 思考 60 讲解 思考 说明 带领 学生 分析 引领 理解 分析 70 教 学 过 程 【知识巩固】 例5 考察某地区7岁儿童的身高状况，应该如何抽取样本较好？(该地区城乡儿童比例为3∶7) 分析 由于我国城乡儿童的身高存在差异，故本题中的总体是由有明显差异的两个部分组成．这时，可将总体按差异情况分成两个部分，然后按各个部分所占的比例进行分层抽样． 解 按照3∶7的比例从该地区的城市和农村中的7岁儿童中抽取样本． 【试一试】 你能说出以上三种抽取样本的方法各自的特点吗？ *运用知识 强化练习 教师 学生 教学 时行为 行为 意图 间 通过例题进一步领 75 说明 观察 强调 引领 思考 会 讲解 主动 说明 求解 1．分别使用抓阄法和随机数法抽取一个体育彩票 的号码（七个数字）． 2．学校一年级新生的200人中，抽出50人参加市教学质量抽样调查，分别使用抓阄法和随机数法进行抽样．比较抽样过程，你感觉到哪种方法好 3．某学校共有3000名学生，计划抽取100人的样本调查学生对老师教学方法的满意程度．请你用系统抽样来完成． 4．某农场在两块地种小麦，其中平地种100了解 提问 思考 学生 巡视 解答 知识 指导 掌握 情况 82 亩，坡地种20亩．现需要对6亩地的小麦进行估产，应该如何抽取样本较好 *理论升华 整体建构 思考并回答下面的问题： 与简单随机抽样相比，系统抽样有哪些优点与缺点？ 及时 质疑 回答 了解教 学 过 程 结论： 教师 学生 教学 时行为 行为 意图 间 归纳 学生知识掌握情况 85 与简单随机抽样相比，系统抽样可避免抽到的样本集中在一定的范围，而另有一些范围没有抽到的现象．缺点是抽取过程较繁锁． 强调 *归纳小结 强化思想 本次课学了哪些内容重点和难点各是什么 *自我反思 目标检测 本次课采用了怎样的学习方法你是如何进行学习的你的学习效果如何 请分别用抽签法和随机数法，从某班的40人中抽出8个人参加学校的教学质量调查会，写出抽取的过程． *继续探索 活动探究 (1)读书部分：教材 (2)书面作业：教材习题 A组（必做）； B组（选做） (3)实践调查：用发现的眼睛寻找生活中的随机抽样实例 【教师教学后记】

项目 学生知识、技能的掌握情况 引导 回忆 提问 反思 检验 学生 巡视 动手 学习 指导 求解 效果 89 90 说明 记录 分层次要求 反思点 学生是否真正理解有关知识； 是否能利用知识、技能解决问题； 在知识、技能的掌握上存在哪些问题； 学生是否参与有关活动； 在数学活动中，是否认真、积极、自信； 学生的情感态度 遇到困难时，是否愿意通过自己的努力加以克服； 学生是否积极思考； 学生思维情况 思维是否有条理、灵活； 是否能提出新的想法； 是否自觉地进行反思； 学生是否善于与人合作； 学生合作交流的情况 在交流中，是否积极表达； 是否善于倾听别人的意见； 学生是否愿意开展实践； 学生实践的情况 能否根据问题合理地进行实践； 在实践中能否积极思考； 能否有意识的反思实践过程的方面；

【课题】 用样本估计总体

【教学目标】

知识目标：

(1)了解用样本的频率分布估计总体．

(2)掌握用样本均值、方差和标准差估计总体的均值、方差和标准差． 能力目标：

培养学生认识世界、探索世界的辩证唯物观． 【教学重点】

计算样本均值、样本方差及样本标准差． 【教学难点】

列频率分布表，绘频率分布直方图． 【教学设计】

均值、方差和标准差是用来反映随机变量的统计规律的某些层面的数字指标即数字特征．用样本的数字特征去估计总体的数字特征是统计的重要思想方法．在教学中要向学生指出为什么要从总体中抽取样本．

通过例题的教学，让学生体会用样本估计总体的思想．在教学中应向学生指出用样本估计总体的具体方法是：通过随机抽样，计算样本频率；利用样本频率估计总体概率．样本的容量越大，对总体的估计也就越精确．

在制作一组数据的频率分布表时，决定组距与组数是关键，在一般情况下，数据越多，分组的组数也就越多．

频率分布表和频率分布直方图是频率分布的两种不同的表示形式，前者准确，后者直观，两者放在一起，使我们对一组数据的频率分布情况了解得更清晰．

均值反映了样本和总体的平均水平，方差和标准差则反映了样本和总体的波动大小程度．方差和标准差在比较两组数据波动大小时，这两个量是等价的．标准差的优点是其度量单位与原数据的度量单位一致，有时比较方便．

例2从选拔射击选手出发，巩固了均值的概念，使学生容易掌握均值的计算方法和明白均值的实际意义．特别应向学生强调说明均值的作用． 【教学备品】

教学课件． 【课时安排】

2课时．(90分钟) 【教学过程】

教 学 过 程 *揭示课题 用样本估计总体 *创设情境 兴趣导入 【知识回顾】 初中我们曾经学习过频数分布图和频数分布教师 学生 教学 时行为 行为 意图 间 0 介绍 了解 表，利用它们可以清楚地看到数据分布在各个组内的个数． 质疑 观察 教 学 过 程 【知识巩固】 例1 某工厂从去年全年生产某种零件的日产记录(件)中随机抽取30份，得到以下数据： 教师 学生 教学 时行为 行为 意图 间 346 345 347 357 349 352 341 345 358 引领 350 分析 354 344 346 342 345 358 348 345 346 357 350 345 352 349 346 356 351 355 352 348 讲解 说明 列出频率分布表． 解 分析样本的数据．其最大值是358，最小值是341，它们的差是358－341=17．取组距为3，确定分点，将数据分为6组． 列出频数分布表 【小提示】 设定分点数值时需要考虑分点值不要与样本数据重分 组 频 数 累 计 ～ ～ ～ ～ ～ ┬ 正 正 正 正 ￣ ┬ 频 数 2 10 5 6 2 合． 启发 思考 学生解答 思考 10 教 学 过 程 教师 学生 教学 时行为 行为 意图 间 5 30 ～ 合 计 *动脑思考 探索新知 【新知识】 正 30 频 率 2 10 5 6 2 5 30 据频率表，可频率分 各组内数据的个数，叫做该组的频数．每组的频数与全体数据的个数之比叫做该组的频率． 计算上面频数分布表中各组的频率，得到频率分布表如表10－8所示． 表10－8 根分布以画出～ ～ ～ ～ ～ ～ 合 计 分 组 频 数 讲解 观察 说明 带领 学生 分析 布直方图（如图10－4）． 教 学 过 程 图10－4 频率分布直方图的横轴表示数据分组情况，以教师 学生 教学 时行为 行为 意图 间 理解 组距为单位；纵轴表示频率与组距之比．因此，某一组距的频率数值上等于对应矩形的面积． 【想一想】 各小矩形的面积之和应该等于1．为什么呢？ 引领 分析 仔细 分析 关键 记忆 【新知识】 图10－4显示，日产量为344~346件的天数最多，其频率等于该矩形的面积，即 10.11130.333． 3根据样本的数据，可以推测，去年的生产这种零 1件情况：去年约有的天数日产量为344~346件． 3频率分布直方图可以直观地反映样本数据的分布情况．由此可以推断和估计总体中某事件发生的概率．样本选择得恰当，这种估计是比较可信的． 如上所述，用样本的频率分布估计总体的步骤为： (1) 选择恰当的抽样方法得到样本数据； (2) 计算数据最大值和最小值、确定组距和组数，确定分点并列出频率分布表； (3) 绘制频率分布直方图； (4) 观察频率分布表与频率分布直方图，根据样本的频率分布，估计总体中某事件发生的概率． 【软件链接】 利用与教材配套的软件（也可以使用其他软件），可以方便的绘制样本数据的频率分布直方图，教 学 过 程 如图10－5所示． 教师 学生 教学 时行为 行为 意图 间 语句 25 图10−5 *运用知识 强化练习 已知一个样本为： 25 21 23 25 26 29 26 28 30 29 26 24 25 27 26 22 24 25 26 28 （1）填写下面的频率分布表： 分 组 ～22，5 22，5～ ～ 频 数 累 计 频 数 频 率 及时 提问 思考 了解 巡视 解答 学生 指导 知识 掌握 情况 35 教 学 过 程 ～ ～ 合 计 教师 学生 教学 时行为 行为 意图 间 （2）画出频率分布直方图． *动脑思考 探索新知 【新知识】 除了分析样本数据，做出频率分布表与频率分布直方图，估计总体某事件发生的概率外，还要利用样本均值、标准差来估计总体． 【知识回顾】 如果有n个数x1，x2 ，…，xn，那么1x(x1x2nxn)叫做这n个数的平均数或均值，x 通过 45 说明 强调 观察 例题思考 进一 步领会 读作“x拔”． 均值反映出这组数据的平均水平． 例如，某班共有10名学生，一次数学测验的成绩分别为： 78，65，47，84，92，88，75，58，73，68， 则这10名学生的平均成绩为 78654784928875587368x=72.8． 10引领 分析 说明 强调 我们可以用样本的均值来估计总体．样本容量越大，这种估计的可信程度越高． 【新知识】 观察某个样本，得到一组数据x1，x2，x3，，xn，那么 1x(x1x2nxn) 叫做这个样本的均值，样本均值反映出样本的平均水教 学 过 程 平． 教师 学生 教学 时行为 行为 意图 间 *巩固知识 典型例题 【知识巩固】 例 2 要从两位射击选手中选拔一位参加射击比赛，让他们作测试，两位选手的10次射击成绩如表10−9所示： 表10−9 射击序号 甲选手射击成 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 说明 观察 强调 思考 教 学 过 程 绩 乙选手射击成绩 你觉得选哪位选手参加比赛合适呢？ 解 教师 学生 教学 时行为 行为 意图 间 通过例题进一步领会 55 将这10次射击成绩作为一个样本，来对 两名选手的射击水平进行估计．分别计算数据的均值，得 1x甲(9.29.09.58.79.910.09.18.68.59.1)109.16引领 主动 分析 求解 1x乙(9.18.99.39.79.99.98.99.29.68.8)109.33 显然 x甲x乙 ． 由此估计，乙的射击平均水平高于甲，所以应选择选手乙去参加比赛． *创设情境 兴趣导入 【问题】 学校英语提高班采用小班教学，每班15人．现有A、B两个班参加统一的口语测试，成绩如表10－10所示： 表10－10 A67968847898789 质疑 6 思考 启发 学生思考 班7 2 3 9 6 4 5 7 8 1 1 6 4 0 3 引导 教 学 过 程 同学成绩 B班同795884966769978教师 学生 教学 时行为 行为 意图 间 分析 60 学8 6 6 3 6 8 8 7 2 0 4 7 6 9 6 成绩 试问哪个班的成绩较好些？ *动脑思考 探索新知 【新知识】 将这次成绩作为样本，来评价两个班成绩．分别计算均值，得 1(67729369868445157788918176849063)，77.73xA1(78965683864898156762706497967986)， 77.73xB 讲解 思考 说明 A、B两个班的平均成绩相同，也就是均值相同． 我们再来比较两个班同学的成绩对于平均成绩的偏离程度，偏离程度越大，说明其成绩波动越大，教学两极分化；偏离程度越小，说明其成绩波动越小，教学水平均衡稳定． 教 学 过 程 分别计算A班同学成绩与均值之差，如表10－11所示： 表10－11 序号1 2 3 … 14 15 教师 学生 教学 时行为 行为 意图 间 i 成绩xi 引领 67 72 93 … 90 63 分析 理解 带领 学生 分析 偏差xix − − … − 这些偏差有正数，也有负数．如果直接相加，就会出现偏差互相抵消，不能反映偏离程度．所以我们用偏差平方的均值来描述这种偏离程度． 如果样本由n个数x1，x2 ，…，xn 组成，那么样本的方差为 1(x1x)2(x2x)2sn12(xnx)． 2分别计算两个班成绩的方差，得 2sA1[(6777.73)2(7277.73)214 12sB[(7877.73)2(9677.73)214 (6377.73)]167.07仔细 分析 记忆 2(8677.73)2]255.92关键 22sB由sA估计，A班的考试成绩比B班的波动小，语句 因此A班同学的学习成绩更稳定，总体看比B班的成绩好． 由于样本方差的单位是数据的单位的平方，使用起来不方便．因此，人们常使用它的算术平方根来表教 学 过 程 示个体与样本均值之间偏离程度，叫做样本标准差．即 1s[(x1x)2(x2x)2n1(xnx)2]． 教师 学生 教学 时行为 行为 意图 间 70 *巩固知识 典型例题 【计算器使用】 计算样本的方差（或标准差）一般是很麻烦的．可以使用计算器或计算机软件完成计算．下面通过实例来说明． 例3 求由数据 通过 156、178、170、173、169、156、164、163、152、 157 所组成样本的均值、方差、标准差（精确到）． 解 采用函数型计算器（这里是用CASIO fx 82#ES PLUS型计算器）计算样本均值、样本方差和样本标准差的步骤如下： （1）将计算器设置为统计（STAT）状态． 操作：按一次MODE 键，显示 1:COMP2:STAT3:TABLE ，表示进入计算状态选说明 观察 强调 项，按 2 进入统计计算状态． （2）输入数据 操作：在统计计算状态下，按键 1 进入单个变量输入数据状态，依次输入各个数据，每输入一个教 学 过 程 教师 学生 教学 时行为 行为 意图 间 例题进一 数据后，都要按键 = ；输入最后一个数据 157按键 =后再按键 AC ． 思考 步领（3）显示计算结果 引领 会 ① 依次按键：SHIFT 、 1 ，然后按键4 ， 最后依次按键1 、 =，显示样本容量为： n=10． ② 依次按键：SHIFT 、 1 ，然后按键4 ， 最后依次按键2 、 =，显示样本均值为：x163.8． 动手 ③ 依次按键：SHIFT 、 1 ，然后按键4 ，最后依次按键4 、 =，显示样本标准差为：s=8. 6． （4）在显示样本标准差的基础上，依次按键：x2 、 ＝ ，显示样本方差为：s273.3． 【软件链接】 (1)依次输入数据(如图10－6)． 讲解 操作 说明 教 学 过 程 教师 学生 教学 时行为 行为 意图 间 80 图10－6 （2）如图10－7所示，求样本均值时，在数据空白单元格(如C6)内输入“样本均值”，在“样本均值”右侧空单元格(如D6)内输入“=AVERAGE（A1：A10）”，按回车键；求样本方差时，在数据空白单元格(如C7)内输入“样本方差”，在“样本方差”右侧空单元格(如D7)内输入“=VAR（A1：A10）”，按回车键；求样本标准差时，在数据空白单元格(如C8)内输入“样本标准差”，在“样本标准差”右侧空单元格(如D8)内输入“=SQRT（D7）”，按回车键． 教 学 过 程 教师 学生 教学 时行为 行为 意图 间 图10－7 *运用知识 强化练习 及时 从一块小麦地里随机抽取10株小麦， 测得各株高为(单位： cm)： 71、77、80、78、75、84、79、82、79、75． （1）求样本均值，并说明样本均值的意义． （2）求样本方差及样本标准差，并说明样本方差或样本标准差的意义. *理论升华 整体建构 思考并回答下面的问题： 均值，方差和标准差的含义？ 了解 提问 思考 学生 巡视 解答 知识 指导 掌握 情况 82 及时 质疑 归纳结论：均值反映了样本和总体的平均水平，方差和标准差则反映了样本和总体的波动大小程度． 回答 了解 学生知识掌握强调 教 学 过 程 教师 学生 教学 时行为 行为 意图 间 情况 85 *归纳小结 强化思想 本次课学了哪些内容重点和难点各是什么 *自我反思 目标检测 本次课采用了怎样的学习方法你是如何进行学习的你的学习效果如何 引导 回忆 提问 反思 检验 学生 科研人员在研究地里的麦苗长势时，随机抽取20 学习 株，测得各株高为（单位：mm）： 巡视 动手 效果 61 67 58 67 65 64 59 62 58 指导 求解 66 64 59 60 63 58 60 62 60 63 63 求样本均值、样本方差、样本标准差． *继续探索 活动探究 (1)读书部分：教材 (2)书面作业：教材习题 A组（必做）； B组（选做） (3)实践调查：用发现的眼睛寻找生活中的样本均值实例 【教师教学后记】

项目 学生知识、技能的掌握情况 反思点 学生是否真正理解有关知识； 是否能利用知识、技能解决问题； 在知识、技能的掌握上存在哪些问题； 学生是否参与有关活动； 在数学活动中，是否认真、积极、自信； 90 89 说明 记录 分层次要求 学生的情感态度 遇到困难时，是否愿意通过自己的努力加以克服； 学生是否积极思考； 学生思维情况 思维是否有条理、灵活； 是否能提出新的想法； 是否自觉地进行反思； 学生是否善于与人合作； 学生合作交流的情况 在交流中，是否积极表达； 是否善于倾听别人的意见； 学生是否愿意开展实践； 学生实践的情况 能否根据问题合理地进行实践； 在实践中能否积极思考； 能否有意识的反思实践过程的方面； 计算器型号不清楚!

【课题】 一元线性回归

【教学目标】

知识目标：

(1)了解相关关系的概念．

(2)掌握一元线性回归思想及回归方程的建立． 能力目标：

增强学生的数据处理能力，计算工具的使用能力，分析问题和解决问题的能力，培养严谨、细致的学习和工作作风． 【教学重点】

掌握一元回归方程． 【教学难点】

理解相关关系、回归分析概念． 【教学设计】

一切自然现象和社会现象都不是孤立的．事物与事物之间，变量与变量之间，都存在着某种关系．这类关系大体可分为两类：一类是确定性的，另一类是非确定性的．

用来近似地描述具有统计相关关系的变量之间关系的函数叫做回归函数．一元回归处理两个变量之间的相关关系问题．如果两个变量之间的相关关系是线性的，就是一元线性回归问题．本教材根据学生的实际情况只介绍两个变量间的一元线性回归问题．

通过建立回归方程，可以对相应的变量进行预测和控制．回归分析具有广泛的应用．

在本节教学过程中，由于统计量的计算十分繁杂，因此，必须注重训练学生利用计算器或计算机软件进行计算、求解的能力． 【教学备品】

教学课件． 【课时安排】

2课时．(90分钟) 【教学过程】

教 学 过 程 *揭示课题 一元线性回归 *创设情境 兴趣导入 【问题】 人的身高（cm）与体重(kg)之间有没有联系呢 教师 学生 教学 时行为 行为 意图 间 0 介绍 了解 质疑 启发 思考 5 也许有人知道，平均标准体重的数值约为 体重≈身高−105． 这个结果是通过大量样本的分析，估算出来的． *动脑思考 探索新知 【新知识】 表10－12中是随机抽取的8个学生的身高(单思考 学生讲解 说明 教 学 过 程 位:cm)与体重(单位:kg)的数据: 表10－12 编号 身高1 2 3 4 5 6 7 8 教师 学生 教学 时行为 行为 意图 间 讲解 理解 说明 带领 x 体重y 学生 172 150 170 165 180 176 155 160 分析 引领 记忆 分析 60 47 85 70 75 80 50 65 变量之间的这种非确定性的相互依存的关系叫15 学生的身高与体重之间存在着一定的关系，这种关系不像以前研究的函数关系那样，知道身高，就能确定体重的值．但是一般身高的人，体重还是比较大的． 做相关关系．它的特点是，当一个变量或n个变量的值确定后，另一个变量的值虽然与它（或它们）有着密切的关系，但却无法完全确定． 下面要研究的问题是，能否利用确定性的关系来近似的描述相关关系． *运用知识 强化练习 20 请举出具有相关关系变量的实例． *动脑思考 探索新知 【新知识】 我们继续研究8个学生的身高与体重的关系． 建立平面直角坐标系oxy， x轴表示身高(单提问 回答 讲解 思考 教 学 过 程 位:cm)， y轴表示体重(单位:kg).上述样本中每位学生的身高与体重组成的有序数对(x,y)，对应于平面上教师 学生 教学 时行为 行为 意图 间 说明 一个点，这些点组成的图形叫做散点图.如图10－8所 示. 引领 理解 带领 学生 分析 分析 图10−8 表面上散点图中的这些点杂乱无章，但是大体上 仔细 记忆 呈现出一种直线走向趋势〔这是非常重要的，否则不 分析 能用一次函数来近似〕.这启发我们，人的体重y与身 关键 高x大体上有一次函数的关系，，即可以近似地有 语句 yabx 其中a、b是未知的，可以用样本的数据去估计 ˆ． ˆ和ba、b的值，估计值分别写作a 一般地，用(x1,y1),(x2,y2),,(xn,yn)表示数据的n ˆ的计算公式如ˆ与b个有序实数对，则可证明得到a 下： 教 学 过 程 nxiyi(xi)(yi)i1i1i1nnn教师 学生 教学 时行为 行为 意图 间 , ˆbnxi2(xi)2i1i1nn n1ˆ,其中x1ˆybxax,yyi． ini1ni1n 方程 ˆˆ （） ˆaˆbxy讲解 观察 说明 n叫做y关于x的回归方程，它的图形叫做回归直线. 【说明】 是求和符号, xix1x2i1 xn． 启发 学生 思考 ˆ，具体步骤如下： ˆ和b可以利用计算器来求出a 1．设置统计计算状态（STAT）． 操作：按一次MODE ，会显示 1:COMP2:STAT3:TABLE ，表示进入 计算状态选 项，按 2 进入统计计算模块． 2．输入数据 操作：在上一步的基础上，按键 2 进入线性 回归计算（A+Bx）指令， 依次输入数值，即 引领 172 =  分析 思考 150  = 170 = 165 = 180 = 176 = 155 = 160 = ，然 后用中间光标键把输入位置移到Y下的第一位置，依 次输入的数值，即60 = 47 = 85 = 70 = 75 = 80 = 50 = 65  AC．在输入中注意x的量和y的量要对 【计算器使用】 教 学 过 程 应起来． 3．显示计算结果 （1）按键SHIFT 1 ， 然后按键 5 ，最后教师 学生 教学 时行为 行为 意图 间 带领 学生 依次按键 1 = ，显示回归系数：A105． 思考 （2）按键SHIFT 1 ，然后按键 5 ，最后 依次按键 2 = ，显示回归系数：B1.02． 因此，身高与体重之间的关系的线性回归方程为 y1.02x105． 即 体重≈身高−105． 【软件链接】 利用Excel软件可以求出回归曲线和回归方 仔细 理解 程．其步骤为： 分析 记忆 （1） 在Excel工作表中输入数据(如图10－9)． 关键 语句 教 学 过 程 图10－9 （2） 选中数据区，按菜单栏的“插入／图表／图表类型／散点图／完成”．得出散点图（如图10－10）． 教师 学生 教学 时行为 行为 意图 间 讲解 观察 说明 思考 启发 学生 思考 图10－10 （3）选中图表，按菜单栏的 “图表／添加趋势 线”，然后在“类型”中选“线性”，在“选项”中 引领 理解 选定“显示公式”，“确定”．如图10－11，图表中 分析 记忆 显示模拟直线以及回归方程． 教 学 过 程 教师 学生 教学 时行为 行为 意图 间 65 图10－11 【说明】 由于计算器与Microsoft Excel在统计功能部分的编程算法有所不同,故对同一组数据计算结果会有偏差． 教 学 过 程 *运用知识 强化练习 教师 学生 教学 时行为 行为 意图 间 某一公司为了研究某一类产品的广告费用与其销售额（单位：万元）之间的关系，对多个厂家进行了调查，数据如下： 厂 11 2 3 4 5 6 7 8 9 家 0 广告费xi 及时 64324235230 5 5 5 0 0 0 0 5 5 了解 提问 思考 学生 巡视 解答 知识 指导 掌握 情况 销售额yi 5250443852364754453875 0 0 0 0 5 5 5 0 0 5 试求销售额y关于广告费x的一元线性回归方程． *理论升华 整体建构 思考并回答下面的问题： 相关关系的定义相关关系的特点 结论： 及时了解 质疑 学生的身高与体重之间存在着一定的关系，这种关系不像象以前研究的函数关系那样，知道身高，就能确定体重的值．但是一般身高的人，体重还是比较大的． 变量之间的这种非确定性的相互依存的关系叫做相关关系． 回答 学生 知识 掌握归纳 情况 强调 教 学 过 程 相关关系的特点是，当一个变量或n个变量的值确定后，另一个变量的值虽然与它（或它们）有着密切的关系，但却无法完全确定． *归纳小结 强化思想 本次课学了哪些内容重点和难点各是什么 *自我反思 目标检测 本次课采用了怎样的学习方法你是如何进行学习的你的学习效果如何 已知某炼钢厂车间每年的利润y万元与废品率教师 学生 教学 时行为 行为 意图 间 82 引导 回忆 提问 反思 检验 x %的一组统计资料如下 废品率 x 利润y 150 120 110 100 学生 巡视 动手 学习 指导 求解 效果 70 89 90 求利润y关于废品率x的一元线性回归方程． *继续探索 活动探究 (1)读书部分：教材 (2)书面作业：教材习题 A组（必做）； B组（选做） (3)实践调查：用发现的眼睛寻找生活中具有相关关系变量的实例． 【教师教学后记】

项目 学生知识、技能的掌握情况 学生的情感态度 反思点 学生是否真正理解有关知识； 是否能利用知识、技能解决问题； 在知识、技能的掌握上存在哪些问题； 学生是否参与有关活动； 说明 记录 分层次要求 在数学活动中，是否认真、积极、自信； 遇到困难时，是否愿意通过自己的努力加以克服； 学生是否积极思考； 学生思维情况 思维是否有条理、灵活； 是否能提出新的想法； 是否自觉地进行反思； 学生是否善于与人合作； 学生合作交流的情况 在交流中，是否积极表达； 是否善于倾听别人的意见； 学生是否愿意开展实践； 学生实践的情况 能否根据问题合理地进行实践； 在实践中能否积极思考； 能否有意识的反思实践过程的方面；