八年级(上)培优讲义：第13讲 一次函数1

第1讲 一次函数（1）

一、

新知建构

1. 体验在一个过程中有些量固定不变，有些量不断地变化。

用一根长为20厘米的铁丝围成一个长方形，请根据表中围成的长方形的长计算长方形的宽：

长方形的长 长方形的宽 9cm 8cm 7cm 6cm 5cm 在上述过程中，哪些量在改变，哪些量不变？

2．了解常量、变量的概念，体验在一个过程中常量与变量相对地存在。 3．学会在简单的过程中辨别常量和变量。

说说下列问题情境中，哪些是常量，哪些是变量？

（1）小明去买水果，苹果2.5元每斤，他买了x斤苹果花了y元钱。

（2）小明去买水果，他花了10元钱，买了m斤冬枣，冬枣的价格为n元每斤。

（3）小刚在400米的跑道上跑步，他跑第一圈的时间t秒，他跑第一圈的平均速度是v米每秒。

（4）汽车以60千米的速度从学校出发匀速行驶，汽车行驶了t小时行驶了s千米。 4.通过实例，了解函数的概念．

5.了解函数的三种表示法：(1)解析法；(2)列表法；(3)图象法．．

（1）小明利用暑假去某公司打工，报酬按15元/小时计算。设小明在整个假期工作时间为t小时，应得报酬为m元，填写下表： 时间t(小时) 报酬m(元) 10 20 30 40 50 …… t …… 在上述过程中，有哪几个变量？怎样用t的代数式表示m ? （2）下表是一年内某城市月份m与平均气温T的统计表： 月份 气温 1 3.8 2 5.1 3 9.3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 15.4 20.2 24.3 28.6 28.0 23.3 17.1 12.2 6.3 在这一年中，该城市的平均气温与月份的变化情况是怎样的？

在这一过程中，有哪几个变量？ 你能用月份m表示平均气温T吗？

（3）居民月用水费用与用水量如图所示，横轴表示一个月的用水量，纵轴表示该月的

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水费。

Y（元）604020A10 20 30 X(吨）BC（1）点A表示小王家的用水情况，A坐标为（ ， ） 说明了 （2）点B表示小李家的用水情况，B坐标为（ ， ） 说明了 （3）在该问题中，有那些变量？

O6.理解函数值的概念．

7.学会在简单情况下，根据函数的表示式求函数的值． 8.会根据实际问题构建数学模型并列出函数解析式；

9.掌握根据函数自变量的值求对应的函数值，或是根据函数值求对应自变量的值； 10.会在简单的情况下根据实际背景对自变量的限制求出自变量的取值范围. 二、

经典例题

x

例1.函数y＝中，自变量x的取值范围是___________．

x－1

例2.已知y＝－2x＋4，且－1≤x<3，求函数值y的取值范围．

1

例3.已知函数f(x)＝2，那么f(－1)＝________．

x＋1

例4.如图，科技小组准备用材料围建一个面积为60m2的矩形科技园ABCD，其中一边AB靠墙，墙长为12m，设AD的长为x m，DC的长为y m. (1)求y与x之间的函数关系式；

(2)若围成矩形科技园ABCD的三边材料总长不超过26m，材料AD和DC的长都是整米数，求出满足条件的所有围建方案．

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例5.某工厂生产一种产品，当生产数量至少为10吨，但不超过50吨时，每吨的成本y(万元/吨)与生产数量x(吨)的函数关系式如图所示． (1)求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；

(2)当生产这种产品的总成本为280万元时，求该产品的生产数量．(注：总成本＝每吨的成本×生产数量)

例6.一辆警车在高速公路的A处加满油，以每小时60千米的速度匀速行驶．已知警车一次加满油后，油箱内的余油量y(升)与行驶时间x(小时)的函数关系的图象如图所示的直线l上的一部分． 求直线l的函数关系式；

(2)如果警车要回到A处，且要求警车中的余油量不能少于10升，那么警车可以行驶到离A处的最远距离是多少？

例7.在如图所示的三个函数图像中，有两个函数图像能近似地刻画如下a、b两个情境： 情境a：小芳离开家不久，发现把作业本忘在家里，于是返回家里找到了作业本再去学校；

情境b：小芳从家出发，走了一段路程后，为了赶时间，以更快的速度前进． (1)情境a、b所对应的函数图像分别为_____，_____．(填写序号) (2)请你为剩下的函数图像写出一个适合的情境．

三、

基础演练

1.在平面直角坐标系中，点P（－20，a）与点Q（b，13）关于原点对称，则ab的值为（ ）

A.33 B.－33 C.－7 D.7

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2.坐标平面上有一点A，且A点到x轴的距离为3，A点到y轴的距离恰为到x轴距离的3倍．若A点在第二象限，则A点坐标为何？（ ） A．（﹣9，3）

B．（﹣3，1）

C．（﹣3，9）

D．（﹣1，3）

3.点 P（a，a﹣3）在第四象限，则a的取值范围是 ．

4.如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，按向上，向右，向下，向右的方向不断地移动，每移动一个单位，得到点A1（0，1），A2（1，1），A3（1，0），A4（2，0），…那么点A4n+1（n为自然数）的坐标为 （用n表示）

A．x＞－1 B．x＜－1 C．x≠－1 D．x≠0

5．小芳的爷爷每天坚持体育锻炼，某天他慢步行走到离家较远的公园，打了一会儿太极拳，然后沿原路跑步到家里，下面能够反映当天小芳爷爷离家的距离y(米)与时间x(分钟)之间的关系的大致图象是 ( )

A B C D

6．如图，正方形ABCD的边长为4，P为正方形边上一动点，沿A→D→C→B→A 的路径匀速移动，设P点经过的路径长为x，△APD的面积是y，则下列图象能大致反映y与x的函数关系的是 ( )

A B C D

溶质质量溶解度知溶剂质量＝100克. 20℃时，硝酸钾的溶解度是31.6克，在此温度下，设

7．在一定温度下的饱和溶液中，溶质、溶剂质量和溶解度之间存在下列关系： 已

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x克水可溶解硝酸钾y克，则y关于x的函数关系式是( )

8．甲、乙两人在直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步500米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发2秒．在跑步过程中，甲、乙两人的距离y(米)与乙出发的时间t(秒)之间的关系如图所示，给出以下结论：①a＝8；②b＝92；③c＝123.其中正确的是 ( ) A．①②③ B．仅有①② C．仅有①③ D．仅有②③ 四、

直击中考

中的自变量x的取值范围是（ ）

A．y＝0.316x B．y＝31.6x 0.316C．y＝ D．y＝x 0.316x1.（2014济宁）函数y=

A ． x≥0 B．x≠﹣1 C．x＞0 D．x≥0且x≠﹣1

2. （2014汕尾）汽车以60千米/时的速度在公路上匀速行驶，1小时后进入高速路，继续以100千米/时的速度匀速行驶，则汽车行驶的路程s（千米）与行驶的时间t（时）的函数关系的大致图象是（ ）

A．B．C．D．

3.（2014德州）图象中所反映的过程是：张强从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后，又去早餐店吃早餐，然后散步走回家．其中x表示时间，y表示张强离家的距离．根据图象提供的信息，以下四个说法错误的是（ ） A. 体育场离张强家2.5千米 B. 张强在体育场锻炼了15分钟 C. 体育场离早餐店4千米

D. 张强从早餐店回家的平均速度是3千米/小时

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4.（2014孝感）函数

的自变量x的取值范围为 .

5.（2013新疆）某书定价25元，如果一次购买20本以上，超过20本的部分打八折，试写出付款金额y（单位：元）与购书数量x（单位：本）之间的函数关系 ． 五、

能力提升

1．写出下列函数的自变量的取值范围：

（1）y2x ； （2）y（3）y1x ； xx4x2 ； （4）yx2 2．已知长方体容器的底面是边长为2cm的正方形（高度不限），容器内盛有10cm高的水，现将底面为边长是1cm的正方形、高是xcm的长方体铁块竖直放入容器内，容器内的水高y关于x的函数关系式为yA．0＜x＜

1x10，则x的取值范围是( ) 4403 B．x＞0 C．0＜x≤10 D．以上均错

3．两个变量y与x之间的函数图象如图所示，则y的 取值范围是____________.

4．已知点A（8,0），点P是第一象限内的点，P的坐标为（x,y），且2x+y=10,设△POA的面积为S,求S与x的函数解析式，并求当x=3时，S的值。

5．在RtABC中，C90，AC=6，BC=8，设P为BC上一点，P点不与B、C点重合，且CPx，若ySAPB ，求y与x之间的函数关系式. B

P C

0

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6.矩形的周长是8(cm)，设一边长为x(cm)，另一边长为y(cm)． (1)求y关于x的函数关系式； (2)作出函数的图象． 六、

挑战竞赛

1. 如图，边长分别为1和2的两个等边三角形，开始它们在左边重合，大三角形固定不动，然后把小三角形自左向右平移直至移出大三角形外停止．设小三角形移动的距离为x，两个三角形重叠面积为y，则y关于x的函数图象是（ ） A．

B．

C．

D．

2.周末，小明骑自行车从家里出发到野外郊游．从家出发0.5小时后到达甲地，游玩一段时间后按原速前往乙地．小明离家1小时20分钟后，妈妈驾车沿相同路线前往乙地，如图是他们离家的路程y(km)与小明离家时间x(h)的函数图象．已知妈妈驾车的速度是小明骑车速度的3倍．

(1)求小明骑车的速度和在甲地游玩的时间；

(2)小明从家出发多少小时后被妈妈追上？此时离家多远？ (3)若妈妈比小明早10分钟到达乙地，求从家到乙地的路程．

3. 如图，正方形ABCD的边长为10cm，动点M，N分别从点A出发，分别沿AB、AD方向

向终点C移动，速度都是1cm/s，移动时间是x（s）。求△AMN的面积 y(cm2)关于 x（s）的函数解析式及自变量 x 的取值范围.

NDC

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4. 如图，过A（8，0）、B（0，83）两点的直线与直线y3x交于点C．平行于y轴的

直线l从原点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴向右平移，到C点时停止；l分别交线段BC、OC于点D、E，以DE为边向左侧作等边△DEF，设△DEF与△BCO重叠部分的面积为S（平方单位），直线l的运动时间为t（秒）．

（1）直接写出C点坐标和t的取值范围； （2）求S与t的函数关系式；

（3）设直线l与x轴交于点P，是否存在这样的点P，使得以P、O、F为顶点的三角形为等腰三角形，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

y83BlDCy3xFEOAP8x

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