5.1 某企业停止了生产一些已经不再获利的产品，这样就产生了一部分剩余生产力。管理层考虑将这些剩余生产力用于新产品Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的生产。可用的机器设备是限制新产品产量的主要因素，具体数据如下表： 机器设备类型 铣床 车床 磨床 机器设备类型 铣床 车床 磨床 新产品Ⅰ 8 4 3 新产品Ⅱ 4 3 0 新产品Ⅲ 6 0 1 每周可用机器台时数 500 350 150 每生产一件各种新产品需要的机器台时数如下表：
三种新产品的单位利润分别为0.5元、0.2元、0.25元。目标是要确定每种新产品的产量，使得公司的利润最大化。
1、判别问题的线性规划数学模型类型。
2、描述该问题要作出决策的目标、决策的限制条件以及决策的总绩效测度。
3、建立该问题的线性规划数学模型。
4、用线性规划求解模型进行求解。
5、对求得的结果进行灵敏度分析（分别对最优解、最优值、相差值、松驰/剩余量、对偶价格、目标函数变量系数和常数项的变化范围进行详细分析）。
6、若销售部门表示，新产品Ⅰ、Ⅱ生产多少就能销售多少，而产品Ⅲ最少销售18件，请重新完成本题的1-5。
解：
1、本问题是资源分配型的线性规划数学模型。
2、该问题的决策目标是公司总的利润最大化，总利润为：
0.5x1+ 0.2x2+ 0.25x3
决策的限制条件：
8x1+ 4x2+ 6x3≤500 铣床限制条件
4x1+ 3x2 ≤350 车床限制条件
3x1 + x3≤150 磨床限制条件
即总绩效测试（目标函数）为：
max z= 0.5x1+ 0.2x2+ 0.25x3
3、本问题的线性规划数学模型
max z= 0.5x1+ 0.2x2+ 0.25x3
S．T． 8x1+ 4x2+ 6x3≤500
4x1+ 3x2 ≤350
3x1 + x3≤150
x1≥0、x2≥0、x3≥0
4、用Excel线性规划求解模板求解结果：最优解（50，25，0），最优值：30元。
5、灵敏度分析
目标函数最优值为 : 30
变量 最优解
x1 50
x2 25
x3 0
约束 松弛/剩余变量
1 0
2 75
3 0
目标函数系数范围 :
变量 下限 限
相差值 0 0 .083 对偶价格 .05 0 .033 当前值 上 x1 .4 .5 无上限
x2 .1 .2 .25
x3 无下
限 .25 .333
常数项数范围 :
约束 下限 当前值 上限
1 400 500 600
2 275 350 无上限
3 37.5 150 187.5
（1） 最优生产方案：
新产品Ⅰ生产50件、新产品Ⅱ生产25件、新产品Ⅲ不安排。最大利润值为30元。
（2）x3 的相差值是0.083意味着，目前新产品Ⅲ不安排生产，是因为新产品Ⅲ的利润太低，若要使新产品Ⅲ值得生产，需要将当前新产品Ⅲ利润0.25元/件，提高到0.333元/件。
（3）三个约束的松弛/剩余变量0，75，0，表明铣床和磨床的可用工时已经用完，而车床的可用工时还剩余75个工时；
三个对偶价格0.05，0，0.033表明三种机床每增加一个工时可使公司增加的总利润额。
（4）目标函数系数范围
表明新产品Ⅰ的利润在0.4元/件以上，新产品Ⅱ的利润在0.1到0.25之间，新产品Ⅲ的利润在0.333以下，上述的最佳方案不变。
（5）常数项范围
表明铣床的可用条件在400到600工时之间、车铣床的可用条件在275工时以上、磨铣床的可用条件在37.5到187.5工时之间。各自每增加一个工时对总利润的贡献0.05元，0元，0.033元不变。
6、若产品Ⅲ最少销售18件，修改后的的数学模型是：
max z= 0.5x1+ 0.2x2+ 0.25x3
S．T． 8x1+ 4x2+ 6x3≤500
4x1+ 3x2 ≤350
3x1 + x3≤150
x3≥18
x1≥0、x2≥0、x3≥0
这是一个混合型的线性规划问题。
代入求解模板得结果如下：
最优解（44，10，18），最优值：28.5元。
灵敏度报告：
目标函数最优值为 : 28.5
变量 最优解
x1 44
x2 10
x3 18
约束 松弛/剩余变量
1 0
2 144
3 0
4 0
目标函数系数范围 :
变量 下限 限
x1 .4 无上限
相差值 0 0 0 对偶价格 .05 0 .033 -.083 当前值 .5 上
x2 .1 .2 .25
x3 无下
限 .25 .333
常数项数范围 :
约束 下限 当前值 上限
1 460 500 692
2 206 350 无上限
3 18 150 165
4 0 18 30
（1） 最优生产方案：
新产品Ⅰ生产44件、新产品Ⅱ生产10件、新产品Ⅲ生产18件。最大利润值为28.5元。
（2）因为最优解的三个变量都不为0，所以三个相关值都为0。
（3）四个约束的松弛/剩余变量0，144，0，0，表明铣床和磨床的可用工时已经用完，新产品Ⅲ的产量也刚好达到最低限制18件，而车床的可用工时还剩余144个工时；
四个对偶价格0.05，0，0.033，-0.083表明三种机床每增加一个工时可使公司增加的总利润额，第四个对偶价格-0.083表明新产品Ⅲ的产量最低限再多规定一件，总的利润将减少0.083元。
（4）目标函数系数范围
表明新产品Ⅰ的利润在0.4元/件以上，新产品Ⅱ的利润在0.1到0.25之间，新产品Ⅲ的利润在0.333以下，上述的最佳方案不变。
（5）常数项范围
表明铣床的可用条件在460到692工时之间、车铣床的可用条件在206工时以上、磨铣床的可用条件在18到165工时之间、新产品Ⅲ产量限制在30件以内。各自每增加一个工时对总利润的贡献0.05元，0元，0.033元，-.083元不变。
5.2 某铜厂轧制的薄铜板每卷宽度为100cm，现在要在宽度上进行切割以完成以下订货任务：32cm的75卷，28cm的50卷，22cm的110卷，其长度都是一样的。问应如何切割可使所用的原铜板为最少？
解：本问题是一个套材下料问题，用穷举法找到所有可能切割的方式并建立数学模型：
min f=x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9+x10
S.T. 3x1+2x2+2x3+x4+x5+x6≥75
x2+2x4+x6+3x7+2x8+x9≥50
x3+3x5+x6+2x8+3x9+4x10 ≥110
xi≥0 （i=1，2…..10）
用Excel线性规划求解模型板求解：
最优解：（18.33 ,0,0,0,20,0,0.25,0,0,0），最优值：63.3333
因为铜板切割时必须整卷切割所以需要做整数近似。即其结果为：
即最优解：（19 ,0,0,0,20,0,0.25,0,0,0），最优值：64
灵敏度分析报告：
目标函数最优值为 : 63.333
变量 最优解 相差值
x1 18.333 0
x2 0 .056
x3 0 .111
x4 0 .111
x5 20 0
x6 0 .167
x7 0 .167
x8 25 0
x9 0 .056
x10 0 .111
约束 松弛/剩余变量 对偶价格
1 0 -.333
2
3
目标函数系数范围 :
变量 限
x1 1.071
x2 无上限
x3 无上限
x4 无上限
x5 1.083
下限 .75 .944 .889 .889 .833 -.278 -.222 当前值 1 1 1 1 1 上 0 0 x6 .833 1 无上限
x7 .833 1 无上限
x8 .444 1 1.111
x9 .944 1 无上限
x10 .889 1 无上限
常数项数范围 :
约束 下限 当前值 上限
1 20 75 无上限
2 0 50 110
3 50 110 275
这是一个统计型的线性规划问题，所以分析价值系数的取值范围和相差都没有意义。
松弛/剩余变量都为0，表示最优方案已达到三种规格薄铜板数量的最低限。
三个约束条件的对偶价格-.333、-.278、-.222分别表示三种规格薄铜板数量的最低限再增加一个，将增加原铜板.333cm、.278cm、.222cm。这个数字实际跟薄铜板长度规格相一致。
常数项数范围表示三种规格薄铜板数量的最低限在这些范围内，每增一个限额所原原铜板.333cm、.278cm、.222cm不变。这里需要特别指出的是，第一种规格的薄铜板32cm宽，已使三块组合就能比较恰当地用完原铜板，所以这种规格的薄铜板无论增加多少，都不改变用原铜板的比例。
5.3 某医院对医生工作的安排为4小时一个工作班次，每人要连续工作二个班次。各班次需要医生人数如下表： 班次 1 2 3 4 5 6 时间 0:00-4:00 4:00-8:00 8:00-12:00 12:00-16:00 16:00-20:00 20:00-24:00 人数 4 7 9 12 8 6 其中，第6班报到的医生要连续上班到第二天的第1班。问在各班开始时应该分别有几位医生报到。若参加1、2、6班的医生需要支付夜班津贴，为了使支付总的夜班津贴为最少，应如何安排各班开始时医生的报到人数。
解：第一步：不考虑夜班津贴。
线性规划数学模型为：
min f=x1+x2+x3+x4+x5+x6
S.T. x6+x1≥4
x1+x2≥7
x2+x3≥9
x3+x4≥12
x4+x5≥8
x5+x6≥6
xi≥0（i=1，2，3，4，5，6）
用Excel线性规划求解模板求解得：
第一班安排7人，第三班安排10人，第四班安排2人，第五班安排6人，第二、第六班不安排人。总人数为25人。
灵敏度分析报告：
目标函数最优值为 : 25
变量 最优解 相差值
x1 7 0
x2 0 0
x3 10 0
x4 2 0
x5 6 0
x6 0 0
约束 松弛/剩余变量 对偶价格
1 3
2 0
3 1
4 0
5 0
6 0
目标函数系数范围 :
变量 下限 限
x1 0 1
x2 1 无上限.
x3 0 1 1
.0 -1 .0 --1 . 0 --1 当前值 .1 1 . 上
x4 1 . 1 2
x5 0 1 1
x6 无上限
常数项数范围 :
约束 限
1 限 4
2 无上限
3 限 9
4 上限
5 9
6 8
1 下限 无下
无下
1 当前值 7 12 8 6 上 无 7 4 10 11 6 5
这是一统计型线性规划规划问题，所以相差值的价值系数的变化范围没有必要分析。 班次 时间 1 2 3 4 5 6 0:00-4:00 4:00-8:00 所需人数 本段安排人数 上段安排人数 本段实际人数 多余人数 4 7 7 0 10 2 6 0 25 0 7 0 10 2 6 7 7 10 12 8 6 50 3 0 1 0 0 0 4 8:00-12:00 9 12:00-16:00 12 16:00-20:00 8 20:00-24:00 6 46 合计 松弛/剩余变量一栏就是上表的“多余人数”一列是各时间段安排所剩余的人数。
“对偶价格”一栏。
第一个常数项由4增加到5，因为还剩下2人，所以不会改变最优值；
第二个常数项由7增加到8，因为再没有剩余的人，所以本班必须再多安排一个人最优值解也必须增加1，因为是求最小化问题，所以对偶价格为－1；
第三个常数项由9增加到10，刚好将原来剩余的人用上，所以不会改变最优值；
第四个、第六个常数项与第二个常数项一样；
第五个常数项由2增加到3，因为再没有剩余的人，所以本班必须再多安排一个人，但下个班就可以再少安排一个人，所以不会改变最优值；
本题的这种情况是每一个变量都会影响到两个时段的结果，所以在进行灵敏度分析时也必定要考虑这个因素，这里第一个时段是特殊情况（有资源剩余），其余的时段分析时相邻两个是相互影响的。因此，第2时段为-1，第3时段为0，后面的依次相反。若第2时段为0，则第3时段就为-1。
第二步：考虑夜班津贴。
线性规划数学模型为：
min f=x1+x2+x3+x5+x6
S.T. x6+x1≥4
x1+x2≥7
x2+x3≥9
x3+x4≥12
x4+x5≥8
x5+x6≥6
xi≥0（i=1，2，3，4，5，6）
用Excel线性规划求解模板求解得：
即：总人数还是25人，但每班安排人数有所调整：
第一班不安排人，第二班安排7人，第三班安排2人，第四班安排10人，第五班安排0人，第六班安排6人。
灵敏度分析报告：
目标函数最优值为 : 15
变量
x1
x2
x3
x4
x5
x6
约束
1
2
3
4
5
最优解 0 7 2 10 0 6 松弛/剩余变量 2 0 0 0 2 相差值 1 0 0 0 0 0 对偶价格 0 0 -1 0 0 6 0 -1
目标函数系数范围 :
变量 下限 当前值 上限
x1 无上限
x2 2
x3 1
x4 1
x5 无上限
x6 1
常数项数范围 :
约束 限
1 限 4 0 1 0 0 1 0 下限 无下
1 1 1 0 1 1 当前值 上 6
2 5 7 9
3 7 9 11
4 10 12 无上限
5 无下
限 8 10
6 4 6 无上限
这是一统计型线性规划规划问题，所以相差值的价值系数的变化范围没有必要分析。 班次 时间 1 2 3 4 5 6 0:00-4:00 4:00-8:00 所需人数 本段安排人数 上段安排人数 本段实际人数 多余人数 4 7 0 7 2 10 0 6 25 6 0 7 2 10 0 6 7 9 12 10 6 50 2 0 0 0 2 0 4 8:00-12:00 9 12:00-16:00 12 16:00-20:00 8 20:00-24:00 6 46 合计 “对偶价格”一栏。
第一个常数项由4增加到5，因为还剩下2人，所以不会改变最优值；
第二个常数项由7增加到8，由于上段时间已增一个人，这个人本班还上班，所以本也不需要增加人。
第三个常数项由9增加到10，前面安排的人都已下班，本班刚好只朋9人，若需求再增加一人，就需要新安排一人所以对偶价格-1；
第四个、第五个、第六个常数项与前三个常数项一样；
5.4 某塑料厂要用四种化学配料生产一种塑料产品，这四种配料分别由A、B、C三种化学原料配制，三种化学原料的配方及原料价格如下表： 配料 含原料A（%） 含原料B（%） 含原料C（%） 1 2 3 4 价格（元/公斤） 30 40 20 15 11 20 30 60 40 13 40 25 15 30 12 要配制的塑料产品中，要求含有20%的原料A，不少于30%的材料B和不少于20%的原料C。由于技术原因，配料1的用量不能超过30%，配料2的用量不能少于40%。第一次配制的塑料产品不能少于5公斤。请设计一套配料方案，使总的成本为最低。
解：线性规划数学模型：
min f =10.7x1+11.3x2+11.8x3+9.45x4
S.T. 0.1x1+0.2x2 -0.05x4=0
-0.1x1 +0.3x3+0.1x4≥0
0.2x1+0.05x2-0.05x3+0.1x4≥0
0.7x1-0.3x2-0.3x3-0.3x4≥0
-0.4x1+0.6x2-0.4x3-0.4x4≤0
x1+x2+x3+x4≥5
xi≥0（i=1，2，3，4，）
将模型代入到线性规划求解模板，得结果：
用配料1，1.5公斤；用配料2，0.1公斤；用配料3，0公斤；用配料4，3.4公斤； 花费总的最低成本49.31元。
灵敏度分析报告：
目标函数最优值为 : 49.31
变量 最优解 相差值
x1 1.5 0
x2 .1 0
x3 0 1.98
x4 3.4 0
约束 松弛/剩余变量 对偶价格
1 0 -7.4
2 .19 0
3 .645 0
4 0 -.14
5
6
目标函数系数范围 :
变量 限
x1 无上限
x2 481.8 11.3
x3 无上限
x4 5.053 9.45
常数项数范围 :
下限 10.56 - 9.82 - 0 -9.862 当前值 10.7 11.8 上 1.9 0 11.533 9.8 约束 下限 当前值 上限
1 -.025 0 .475
2 无下
限 0 .19
3 无下
限 0 .645
4 -1.5 0 .167
5 -1.9 0 无上限
6 0 5 无上限
本问题的相差值栏，x3的相差值为1.98，表示目前配料3的成本11.8太高，无法选用，若该配料的成本再降低1.98元就可以选取用。
松弛/剩余变量栏：前五个给条件都表示的是配料或原料的配比关系。松弛/剩余变量为0 关系表示已完全按要求配比，不为0 的表示没有达到配比要求。第五个约束是总产品的产量最低限，松弛/剩余变量为0 表示已达到产量要求。
关五个约束的对偶价格表示配料或者说原料不匹配时，对总费用的影响。不为0的对偶价格表示配比每差一个单位都会使总费用的增加量。第五个对偶价格是每增加一公斤的产品，需要增加的费用值。
在学数项取值范围栏：前五个约束在常数项在这个范围内，保持上述的对偶价格，而此时的上限都不高，说明这个最优方案中的匹配关系失衡并不严重，若比例失衡将会导致费用的增加比例更大。对五个对偶价格实际上说明了该产品的绝对成本，在这个方案下，生产多少的产品都是这个成本构成。
5.5 某工厂生产Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四种产品，产品Ⅰ需经过A、B两种机器加工，产品Ⅱ需经过A、C两种机器加工，产品Ⅲ需经过B、C两种机器加工，产品Ⅳ需经过A、B两种机器加工。有关数据见下表所示： 机器生产率（件/小产品 时） A Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ 机器成本（元/小时） 每周可用机时数
解：线性规划数学模型：
max Z=21.5 x1+22.5 x2+8 x3+27 x4
S.T. 2x1+x2+x4≤3000
10 20 20 200 150 B 20 10 10 150 120 C 10 15 225 70 16 25 12 18 65 80 50 70 原料成本（元/件） 产品价格（元/件） 请为该厂制定一个最优生产计划。
x1+2x3+2x4≤2400 3x2+4x3≤4200 xi≥0（i=1，2,......4） 用Excel线性规划求解模板求解得： 最优生产方案：产品Ⅰ生产267件； 产品Ⅱ生产1400件； 产品Ⅲ不安排生产； 产品Ⅳ生产1067件。 可获得的最高利润：66033.3元。 灵敏度分析报告： 即：目标函数最优值为 : 66033.3495 变量 最优解 ------- -------- x1 266.667 x2 1400 x3 0 x4 1066.667 相差值 0 0 30.8333 0
--------
约束 松弛/剩余变量 对偶价格
------- ------------- --------
1 0 5.333
2 0 10.833
3
目标函数系数范围 :
变量 限
-------
x1 45
x2 无上限
x3 限 8
x4 43
常数项数范围 :
下限 13.5 5.333 无下
10.75 5.722 当前值 -------- 21.5 22.5 27 上 0 -------- -------- 38.333 约束 下限 当前值 上限
------- -------- -------- --------
1 2600 3000 6200
2 800 2400 3200
3 0 4200 5400
此模型的最优解中，四个变量有三个变量不为0，即需要安排生产，另一个为0 的变量表示产品Ⅲ由于成本高或价格低，使所获的利润太低，不值得生产。从相差值栏可见，该产品的单位利润需要再增加30.8333元才值得生产。
松弛/剩余变量栏中三个数据都为0，表示该决策中所提供三种设备的机时都已全部利用，没有剩余；从对偶价格栏还可以看到三种设备的机时虽然都已用尽，但此时对三种设备增加机时，则设备B所带来的总利润为最多。因此设备B是瓶径。从约束条件的取值范围也可以看到这一点，因为设备B的机时取值范围最小，因此该设备是关键。
5.6 某企业生产Ⅰ、Ⅱ两种产品，市场两种产品的需求量为：产品Ⅰ在1-4月份每月需1万件，5-9月份每月需3万件，10-12月份每月需10万件；产品Ⅱ在3-9月份每月需1.5万件，其他月份每月需5万件。该企业生产这两种产品的成本为：产品Ⅰ在1-5月份生产时每件5元，6-12月份生产时每件4.5元；产品Ⅱ在1-5月份生产时每件8元，6-12月份生产时每件7元；该企业每月生产两种产品的
能力总和不超过12万件。产品Ⅰ容积为每件0.2立方米，产品Ⅱ容积为每件0.4立方米。该企业仓库容积为1.5万立方米。要求：
1、问该企业应如何安排生产，使总的生产加工储存费用为最少，建立线性规划数学模型并求解，若无解请说明原因。
2、若该企业的仓库容积不足时，可从外厂租借。若占用本企业的仓库每月每立方米需1万元的储存费，而租用外厂仓库时其储存费用为每月每立方米1.5万元，试问在满足市场需求情况下，该企业又应如何安排生产，使总的生产加储存费用为最少。
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