数字信号处理习题集(附答案)1

1．如果一台通用机算计的速度为：平均每次复乘需100s，每次复加需20s，今用来计算N=1024点的DFT{x(n)]。问直接运算需（ ）时间，用FFT运算需要（ ）时间。 解：（1）直接运算：需复数乘法N次，复数加法N（N1次。 ）直接运算所用计算时间T1为

2T1N2100N（N1）20125808640s125.80864s

（2）基2FFT运算：需复数乘法

Nlog2N次，复数加法Nlog2N次。 2用FFT计算1024点DTF所需计算时间T2为

NT2log2N100Nlog2N20716800s0.7168s

22．N点FFT的运算量大约是（ ）。 解：

Nlog2N次复乘和Nlog2N次复加 2kn5．基2FFT快速计算的原理是什么？它所需的复乘、复加次数各是多少？

解：原理：利用WN的特性，将N点序列分解为较短的序列，计算短序列的DFT，最后再组合起来。 复乘次数：

计算题：

2．设某FIR数字滤波器的冲激响应，h(0)h(7)1,h(1)h(6)3,

NNN，复加次数：Nlog2 log22h(2)h(5)5,h(3)h(4)6，其他n值时h(n)0。试求H(ej)的幅频响应和相

频响应的表示式，并画出该滤波器流图的线性相位结构形式。

1,3,5,6,6,5,3,1,0n7 解： h(n)H(e)h(n)ejnjn0N1

13ej5ej26ej36ej45ej53ej6ej7e7j27755733711jjjjjjjjjjj7e2e23e2e2e25e2e2e26e2e2e2357j212cos10cosH()ej() 6cos2cose2222所以H(ej7)的幅频响应为

7357j2H()12cos10cos 6cos2cose2222H(ej)的相频响应为

()

13．用双线性变换法设计一个3阶Butterworth数字带通滤波器，抽样频率fs720Hz，上下边带截止频率分别为f160Hz，f2300Hz。 附：低阶次巴特沃斯滤波器的系统函数H(s):

72阶 次 1 2 3 4 系 统 函 数 pc/(s+pc) pc2/(s2+1.414pcs+pc3) pc3/(s3+2pcs2+2pc2s+pc3) pc4/(s4+2.613pc s3+3.414pc 2s2+2.613pc 3s+pc 4)

解：该数字带通滤波器的上下边带截止频率：

12f1f2607206

s22f2f230072056

s数字低通原型滤波器的截止频率p可以自选，为了使下面参数k的表示比较简单，这里选

p22p3。则相应的模拟低通滤波器的截止频率ctan2fstanfs Ts263于是可以得到3阶模拟低通滤波器的系统函数

8Ha(s)32223s2cs2csc3c33

488s3fss2fs2sfs33333fs3而数字低通原型滤波器的系统函数

H1(z)Ha(s)21z11z1s12fsTs1z1z1

1 33(1z1)323(1z1)321(1z1)(1z1)2(1z1)3333

(1z1)2(1z1)下面将数字低通变换位数字带通。

acos(122)/cos(212)cos2/cos3

kctan(212)tanp31ctan.tan. 23633于是得到变换公式：

z12k1k11ZZ22Z21k1k12 2k122k112Z2ZZ1Z1k1k12Z2最后可以得到所要求的数字带通滤波器的系统函数

Hd(Z)H1(z)z12Z21Z22

1 33(Z21)323(Z21)2(3Z2(3Z23)3

213)(Z21)(3Z23)2(3Z23)3333

简答题：

1． 采用FFT算法，可用快速卷积完成线性卷积。现预计算线性卷积

用快速卷积的计算步骤（注意说明点数）。

答：如果x(n)，h(n)的长度分别为N1,N2,那么用长度NN1N21的圆周卷积可计算线性卷积。用FFT运算来求x(n)h(n)值（快速卷积）的步骤如下：

（1） 对序列x(n)，使NN1N21，并且N2(M为整数)，h(n)补零至长为N，

即

Mx(n)h(n)，试写采

n0,1,...N11x(n)x(n)

nN1,N11,...N10n0,1,...,N21h(n)h(n)

nN2,N21,...,N10（2） 用FFT计算x(n)，h(n)的离散傅立叶变换

x(n)FFTX(k) （N点） h(n)FFTH(k) （N点）

（3） 计算Y(k)X(k)H(k)

（4） 用IFFT计算Y(k)的离散傅立叶变换得：

x(n)h(n)IFFT[Y(k)] （N点）

13．序列a(n)为1,2,3，序列b(n)为3,2,1。 （1）求线性卷积anbn

（2）若用基2 FFT的循环卷积法（快速卷积）来得到两个序列的线性卷积运算结果，FFT

至少应取多少点？

解：（1）w(n)a(n)b(n)na(m)b(nm)

所以w(n)a(n)b(n)3,8,14,8,3，0n4

（2）若用基2FFT的循环卷积法（快速卷积）来完成两序列的线性卷积运算，因为a(n)的长度为N13；所以anbn得长度为NN1N215。 故FFT至少应取28点。

22．已知某信号序列f(k)3,2,1,2，h(k)2,3,4,2，试计算 （1）f(k)和h(k)的循环卷积和f(k)h(k)； （2）f(k)和h(k)的线性卷积和f(k)h(k)； （3）写出利用循环卷积计算线性卷积的步骤。

【答案】（1）y(k)6h(k)13h(k1)20h(k2)21h(k3)

3 （2）

y(k)6h(k)13h(k1)20h(k2)21h(k3)14h(k4)10h(k5)4h(k6)

（3）略

23．如图表示一个5点序列x(n)。 （1）试画出

x(n)x(n) x(n)x(n)

xn321012345（2）试画出

解：

xnxn32105411021346912345678n

x(n)x(n)13101110501234

简答题：

24．试述用DFT计算离散线性卷积的方法。

解：计算长度为M,N两序列的线性卷积，可将两序列补零至长度为M+N-1,而后求补零后两序列的DFT，并求其乘积，最后求乘积后序列的IDFT，可得原两序列的线性卷积。