命题求参数范围

1．对∀x∈R，kx2－kx－1<0是真命题，则k的取值范围是( )

A．－4≤k≤0 B．－4≤k<0 C．－4＜k≤0 D．－4＜k＜0

解析：

k<0，

依题意，有k＝0或

k2＋4k<0.

解得－42．令p(x)：ax2＋2x＋1＞0，若对∀x∈R，p(x)是真命题，则实数a的取值范围是________．

解析： 对∀x∈R，p(x)是真命题，

就是不等式ax2＋2x＋1＞0对一切x∈R恒成立．

(1)若a＝0，不等式化为2x＋1＞0，不能恒成立；

a>0，(2)若

Δ＝4－4a<0

，解得a>1；

(3)若a＜0，不等式显然不能恒成立．

综上所述，实数a的取值范围是a＞1.

3．已知命题p：lg(x2－2x－2)≥0；命题q：0解析： 命题p是真命题，则x2－2x－2≥1， ∴x≥3或x≤－1，

命题q是假命题，则x≤0或x≥4. ∴x≥4或x≤－1.

4．已知A：5x－1>a，B：x>1，请选取适当的实数a，使得利用A，B构造的命题“若p，q”为真命题，“若p，则綈q”为假命题．

解析： A：5x－1>a，即x>1＋a5

. 若视A为p，则B为q，¬q为x≤1，

命题“若p，则q”为“若x>1＋a5

，则x>1”，

“若p，则¬q”为“若x>1＋a5

，则x≤1”．

由数轴易得当1＋a5

≥1，即a≥4时，符合题意；

若视B为p，则A为q，¬q，为x≤1＋a5，命题“若p，则q”为 “若p，则¬q”为“若x>1，则x≤1＋a5

”．

x>1，则x>1＋a5

”，

则“若

1＋a由数轴易得当≤1，即a≤4时，符合题意．

5

2

故符合题意的a可取1，此时，p：x>1，q：x>.

5

尖子生题库☆☆☆

5．已知命题甲：关于x的不等式x2＋(a－1)x＋a2≤0的解集为∅；命题乙：函数y＝(2a2－

a)x为增函数，当甲、乙有且只有一个是真命题时，求实数a的取值范围．

解析：

122当甲为真命题时，记集合A＝{a|(a－1)－4a<0}＝aa<－1或a>

3

， 

1

当乙为真命题时，记集合B＝{a|2a2－a>1}＝{a|a<－或a>1}．

2

1

∴当甲真乙假时，集合M＝A∩(∁RB)＝a3



 



1

当甲假乙真时，集合N＝(∁RA)∩B＝a－1≤a＜－

2

. 

∴当甲、乙有且只有一个是真命题时，实数a的取值范围是M∪N＝

1

a－1≤a<－

2



1

或

1

6．已知p：≤x≤1，q：a≤x≤a＋1，若p的必要不充分条件是q，求实数a的取值范围．

2

解析： q是p的必要不充分条件，

则p⇒q但q⇒/p.

111∵p：≤x≤1，q：a≤x≤a＋1. ∴a＋1≥1且a≤，即0≤a≤ . 222

1∴满足条件的a的取值范围为0，.

2

4

7．求证：0≤a<是不等式ax2－ax＋1－a>0对一切实数x都成立的充要条件．

5

4

证明： 充分性：∵05

则ax2－ax＋1－a>0对一切实数x都成立．

而当a＝0时，不等式ax2－ax＋1－a>0可变成1>0.

显然当a＝0时，不等式ax2－ax＋1－a>0对一切实数x都成立．

必要性：∵ax2－ax＋1－a>0对一切实数x都成立，

a>0，

∴a＝0或

Δ＝a2－4a1－a<0.

4

解得0≤a<.

5

4

故0≤a＜是不等式ax2－ax＋1－a>0对一切实数x都成立的充要条件．

5

8．已知条件p：A＝{x|2a≤x≤a2＋1}，条件q：B＝{x|x2－3(a＋1)x＋2(3a＋1)≤0}．若p是q的充分条件，求实数a的取值范围．

解析： 先化简B，B＝{x|(x－2)[x－(3a＋1)]≤0}，

1

①当a≥时，B＝{x|2≤x≤3a＋1}；

3

1

②当a＜时，B＝{x|3a＋1≤x≤2}．

3

a≥13

因为p是q的充分条件，所以A⊆B，从而有a＋1≤3a＋1

2a≥2

2

a＜13

，解得1≤a≤3. 或a＋1≤2

2a≥3a＋1

2

，解得a＝－1.

综上，所求a的取值范围是{a|1≤a≤3或a＝－1}．

x2－x－6≤0，

9．设命题p：实数x满足x2－4ax＋3a2<0，其中a>0，命题q：实数x满足

x2＋2x－8>0.

(1)若a＝1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；

(2) ¬p是¬q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

解析： (1)由x2－4ax＋3a2<0得(x－3a)(x－a)<0.

又a>0，所以a当a＝1时，1x2－x－6≤0，由

x2＋2x－8>0.

－2≤x≤3，解得

x<－4或x>2.

即2所以q为真时实数x的取值范围是21若p∧q为真，则

2⇔2(2) ¬p是¬q的充分不必要条件， 即¬p⇒¬q且¬q⇒/¬p.

设A＝{x|x≤a或x≥3a}，B＝{x|x≤2或x>3}，则AB.

所以03，即110．若∀x∈R，函数f(x)＝mx2＋x－m－a的图象和x轴恒有公共点，求实数a的取值范围．

解析： (1)当m＝0时，f(x)＝x－a与x轴恒相交，所以a∈R；

(2)当m≠0时，二次函数f(x)＝mx2＋x－m－a的图象和x轴恒有公共点的充要条件是Δ＝1＋4m(m＋a)≥0恒成立， 即 4m2＋4am＋1≥0恒成立．

又4m2＋4am＋1≥0是一个关于m的二次不等式，恒成立的充要条件是Δ＝(4a)2－16≤0，解得－1≤a≤1.

综上所述，当m＝0时，a∈R； 当m≠0，a∈[－1,1]．

11．已知函数f(x)＝x2－2x＋5.

(1)是否存在实数m，使不等式m＋f(x)＞0对于任意x∈R恒成立，并说明理由．

(2)若存在一个实数x0，使不等式m－f(x0)＞0成立，求实数m的取值范围．

解析： (1)不等式m＋f(x)＞0可化为m＞－f(x)，

即m＞－x2＋2x－5＝－(x－1)2－4.

要使m＞－(x－1)2－4对于任意x∈R恒成立， 只需m＞－4即可．

故存在实数m，使不等式m＋f(x)＞0对于任意x∈R恒成立，此时只需m＞－4.

(2)若m－f(x0)>0， ∴ m>f(x0)．

2∵f(x0)＝x20－2x0＋5＝(x0－1)＋4≥4. ∴m>4.

12．是否存在实数p，使4x＋p<0是x2－x－2>0的充分条件？如果存在，求出p的取值范围；否则，说明理由．

解析： 由x2－x－2>0，解得x>2或x<－1，

令A＝{x|x>2或x<－1}，

p

由4x＋p<0，得B＝xx<－

4

p ， 

p当B⊆A时，即－≤－1，即p≥4，此时x<－≤－1⇒x2－x－2>0，

44

∴当p≥4时，4x＋p＜0是x2－x－2>0的充分条件．

13．已知命题p：函数y＝x2＋2(a2－a)x＋a4－2a3在[－2，＋∞)上单调递增．q：关于x的不等式ax2－ax＋1>0解集为R.若p∧q假，p∨q真，求实数a的取值范围．

解析： ∵函数y＝x2＋2(a2－a)x＋a4－2a3＝[x＋(a2－a)]2－a2，在[－2，＋∞)上单调递增，

∴－(a2－a)≤－2，即a2－a－2≥0，解得a≤－1或a≥2.

即p：a≤－1或a≥2

由不等式ax2－ax＋1＞0的解集为R得

a≥0Δ＜0

，即a≥0－a∴q：0≤a＜4.

∵p∧q假，p∨q真． ∴p与q一真一假．

∴p真q假或p假q真，

即

a≤－1或a≥2a<0或a≥4

或

－1≤a＜2，0≤a＜4.

∴a≤－1或a≥4或0≤a＜2.

2－4a＜0

解得0≤a＜4

所以实数a的取值范围是(－∞，－1]∪[0,2)∪[4，＋∞)．