周期方形信号的傅里叶级数展开

周期方形信号的傅里叶级数展开

提出问题：

用有限项傅里叶级数展开逼近周期方波信号。 设周期为1的方波信号由以下函数给出

x1(x1且x0) f(x)x(x0且x1)。

x1(x1且x2)利用Matlab软件符号运算及绘图功能，观察方形信号由有限项傅里叶级数展开式的合成情

况。

问题背景：

在信号分析与处理，特别是工程中，对于周期信号的处理通常采用傅里叶级数展开来进行分析，即频率分析法。在实际信号处理过程中，可以借助Matlab软件来模拟傅里叶级数对于信号的逼近情况。

知识基础：

周期函数的傅里叶级数展开，Matlab软件

实验过程：

对于周期为2函数f(t), 满足Dirichlet条件，则可展为傅里叶级数

1

anf(t)cosntdt 

1bnf(t)sinntdt

经过傅里叶变换得到：

a0f(t)(ancosntbnsinnt).2n1n0,1,2Ln1,2,3L

121 f(x)212sin(2k(x11))

sin(2kx)1sin(2k(x11))将级数展开式截断到有限项可用来逼近周期函数。利用Matlab软件，编写程序如下：

clear;clc;x=linspace(-1,2,3000);

y=(x+1).*(x<0)+x.*(x>=0&x<1)+(x-1).*(x>=1&x<=2); y1=0;

1 / 3'.

.

for k=1:10;

y1=y1+1/(k*pi)*sin(2*k*pi*(x+1)).*(x<0); end

y1=1/2-y1; y2=0;

for k=1:50;

y2=y2+1/(k*pi)*sin(2*k*pi*x).*(x>=0 & x<1); end

y2=1/2-y2;y3=0; for k=1:100;

y3=y3+1/(k*pi)*sin(2*k*pi*(x-1)).*(x>=1&x<=2); end

y3=1/2-y3;plot(x,y1)hold on plot(x,y2) plot(x,y3)plot(x,y,'r') axis equal

此图当x属于(-1,0)时，傅里叶级数取了前10项 此图当x属于(0,1)时，傅里叶级数取了前50项 此图当x属于(1,2)时，傅里叶级数取了前100项 红线代表实际函数，蓝线代表傅里叶级数展开函数

拓展练习：

1. 可将周期2扩展为任意周期T,则此时方波信号的角频率2/T，当方波信号

f(t)满足Dirichlet条件时，则可展为傅里叶级数：

a0f(t)(ancosntbnsinnt).2n1a02 Tf(t)dt 0T2 / 3'.

.

2 T

af(t)cosnt dt nT 0

2 Tbnf(t)sinnt dt。

0T

从而该傅里叶级数展开形式可以更实际用于频谱分析。

2. 考虑周期矩形或周期锯齿形，及非周期信号的傅里叶级数展开

答：非周期信号可以利用傅里叶变换，傅里叶积分

f(t)F()12F()eitd

f(t)eitd

知识点： 第12章第八节 一般周期函数的傅里叶级数 参考文献：

1. 王彦良，用有限项傅里叶级数三维趋近周期性方波信号，沈阳工程学院学报(自然科学版)， 2006，2，

187-189.

2. 汪逸新，方波信号的傅里叶分解实验，大学物理，1996，15， 30-32.

3. 宋复成，方波信号的傅里叶合成演示，徐州师范大学学报(自然科学版)，1998，16，30-32.

3 / 3'.