实数单元复习与测试题三套(含答案)

一、知识梳理 1.平方根

（1）算术平方根的定义：一个正数x的平方等于a,即_____，那么这个正数x就叫做a

的________.0的算术平方根是_____。

（2）平方根的定义：如果一个数x的平方等于a，即_____，那么这个数x就叫做a的_______。

（3）平方根的性质：一个正数有_____个平方根，它们________； 0只有_____个平方

根，它是_____；负数_____平方根。

（4）开平方：求一个数a的________的运算，叫做开平方。 2.立方根

（1）立方根的定义：如果一个数x的_____等于a，即_____，那么这个数x就叫做a的立方根。

（2）立方根的性质：每个数a都只有_____个立方根。正数的立方根是_____；0的立

方根是_____；负数的立方根是_____。

（3）开立方：求一个数a的________的运算叫做开立方。 3.实数

（1）无理数的定义：无限不循环小数叫做_____。 （2）实数的定义： _____和_____统称实数。

（3）实数的分类：①按定义分：________________________；②按性质分：________________________。

（4）实数与数轴上的点的对应关系：_____与数轴上的点是_____对应的。

（5）有关概念：在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的意义_____。

4.实数的运算：

（1）实数的加、减、乘、除、乘方运算和_______一样，而且有理数的运算律对__________仍然适用。

（2）两个非负数的算术平方根的积等于这两个数积的算术平方根，算术平方根的商等

- 1 -

于这两个数商的算术平方根，用式子表示为__________；__________。

二、考点例析

考点1 平方根、立方根的定义与性质

例1 （1）下列各数是否有平方根？若有，求出其平方根；若没有，说明理由。

①625 ②（－2）2 ③（－1）3

（2）下列各数是否有立方根？若有，求出其立方根。

①

1 ②－343 ③－22 27分析：（1）要判断一个对象有无平方根，首先要对这个对象进行转化，直到能看出它

的符号，然后依据平方根的性质进行判断。（2）因为正数、0、负数均有立方根，所以所给各数都有立方根。

解：（1）①因为625>0，故其平方根有两个，即±625=±25；②因为（－2）2=4>0，

故其平方根有两个，即±(2)平方根。

（2）由立方根的性质可知，所给各数均有立方根。

①32=±2；③因为（－1）3=－1<0, 故其不存在

11； ②33437 ； 273③－22的立方根34。

说明：只有非负数才有平方根，这一点同学们一定要牢固掌握。 考点2 实数的分类与性质 例2 下列各数中：

1013－，7，3.14159, －π,,－4,0,0.3,38,16,2.121122111222…

34其中有理数有__________________________； 无理数有__________________________。

分析：对于38、16等应先化简再判断。

解：有理数：－

1，3.14159,0,0.3,38,16 4- 2 -

无理数有：7,－π,

10,－34,2.12112111222…… 3说明：本题考查有理数和无理数的概念，要正确判断一个数属于哪一类，理解各数的意义是关键。

例3 。

分析：如果a表示一个正实数，那么－a就表示一个负实数，a与－a互为相反数；0

的相反数依然是0。一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。非零实数a的倒数是

21的相反数是

；11的绝对值是

；－

81的倒数是 1211。 a819=－，所以－12111解：21的相反数是1－2；11的绝对值是11；－

8111的倒数是－。 1219说明：解决此问题要牢记实数的性质，实数范围内一个数的相反数、倒数、绝对值的意

义和在有理数范围内的意义是一样的。

考点3 实数的运算

例4 （1）计算：30.008191172823 16125 （2）化简82(22)得（ ）

（A）－2 （B）22 （C）2 （D）422

分析：有理数的运算法则、性质、运算律等在实数范围内仍然适用，本例根据运算顺序直接计算即可。

解：（1）原式=0.2×225()=（2）85415151115(5)7575； 54442(22)822222222=－2。故选（A）。

说明：在实数范围内进行加、减、乘、除、乘方和开方运算，运算顺序依然是从高级到

低级。值得注意的是，在进行开方运算时，正实数和零可以开任何次方，负实数能开奇次方，但不能开偶次方。

- 3 -

考点4 非负数

2例5 已知x，y为实数，且x13(y2)0，则xy的值为（ ）.

（A）3 （B）－3 （C）1 （D）－1

分析：本题主要考查非负数的性质及其应用，非负数，即不是负数，也即正数和零，常

见的非负数主要有三种：实数的绝对值、实数的算术平方根、实数的偶次方。它有一个非常重要的性质：若干个非负数的和为0，这几个非负数均为零。利用这个性质可解本题，

解：由题意，得x10，y20，即x1，y2，所以xy1。故选（D）。 说明：非负数是中考常考的知识点，同学们应从其意义入手，理解并掌握它。 考点5 数形结合题

例6 已知实数 a、b 在数轴上的位置如图所示：试化简：｜a－b｜－｜a＋b｜ b的位置判断a－b和a+b的符号。 分析：要化简｜a－b｜－｜a＋b｜，需根据数轴上a、解：因为a>0，b<0，且∣a∣<∣b∣，所以a－b>0，a+b<0， 所以原式=（a－b）+（a+b）=a－b+a+b=2a

说明：数形结合是解决数学问题常用的思想方法，解题时必须通过所给图形抓住相关数的信息。 考点6 探究题

例7 阅读下列解题过程：

b 0 a 1541545415454254254 165请回答下列问题：

65656565265265 （1）、观察上面的解题过程，请直接写出式子：（2）、利用上面所提供的解法，请化简：

1nn1 n2

1111213243541

109- 4 -

分析：通过阅读解题过程不难发现，每个式子的结果都等于分母中两个式子的差。 解：（1）1nn1n1n。

4354109=101。

（2）原式=2132说明：这类题目需要我们细心观察及思考，探究其中的规律，寻找解决问题的途径。

三、易错点例析

1、对平方根、算术平方根、立方根的概念与性质理解不透

理解不透平方根、算术平方根、立方根的概念与性质，往往出现以下错误：求一个正数的平方根时，漏掉其中一个，而求立方根时，又多写一个；求算术平方根时前面加上“”成了平方根等等。 例1 （1）求6

1的平方根 （2）求81的算术平方根 414255；（2）81的算术平方根是9 42错解：（1）6错解分析：错解（1）中混淆了平方根和算术平方根；错解（2）中81=9，81的算术平方根其实是9的算术平方根，而9的算术平方根是3。 正确解法：（1）61255；（2）81的算术平方根是3。 442例2 求64与－27的立方根。

错解：64的立方根是±4，－27没有立方根。

错解分析：64的立方根是4，只有一个，认为64的立方根有两个且互为相反数，是

与正数的平方根相混淆；－27的立方根是－3，错误地认为－27没有立方根是与负数没有平方根相混淆。

正确解法：因为43=64，所以64的立方根是4。因为（－3）3=－27，所以－27的立方根是－3。

2、忽略平方根成立的条件

只有非负数才能开平方，这一条件解题时往往被我们忽略。 例3 当m取何值时，m2有意义？

- 5 -

错解：不论m取何值时，m2都无意义。 错解分析：考虑不全，漏掉了m=0时的情况。 正确解法：当m=0时，－m2=0，此时m2有意义。 3、实数分类时只看表面形式

对实数进行分类不能只看表面形式，应先化简，再根据结果去判断。 例4 下列各数－2、 ．

1、3.14159、－9、35、（－7）2、、38中无理数有 53错解：无理数有

、－9、35、（－7）2、38。 3错解分析：这种错误认为带根号的数都是无理数。其实能化简的应先化简，－9=－3，

（－7）2=7，38=2，所以它们是有理数。

正确解法：无理数有4、运算错误

在进行实数的运算时要注意运算法则与公式的正确应用，千万不要忽略公式的应用条件。

例5 化简（1）5a9a （2）(9)(25) 错解：（1）5a9a=5a3a=2；

（2）(9)(25)=(9)(25)=（－3）×（－5）=15

错解分析：（1）中合并同类二次根式时丢掉了a从而出错；（2）中忽略了公式

3、5。 3abab的应用条件，即a≥0，b≥0，因为负数没有平方根，虽然最后

结果正确，但解法是错误的。

正确解法：（1）5a9a=5a3a=2a； （2）(9)(25)=925=925=3×5=15。

- 6 -

四、考点链接

中考中对于实数一章的考查，其题型主要有选择题、填空题、解答题。近几年题型变化比较大，创设了一些新的情境，考查学生灵活运用所学知识的能力，这也是近几年考查的热点和趋势。下面是2007年各省市关于实数的中考题的归类说明。

1、利用平方根、算术平方根、立方根的定义与性质解题

（1）（资阳市）如果某数的一个平方根是－6，那么这个数为________． （2）（安顺市）16的平方根是 ． （3）(南京市)

1的算术平方根是（ ） 4111Ａ． Ｂ． Ｃ．

222 Ｄ．

1 16（4）(遵义市)8的立方根是 ． 3（5）(永州市)0.001＝________。

（6）（南宁市）若(x1)10，则x的值等于（ A．1

B．2

C．0或2

2）

D．0或2

分析：本组题目主要考查平方根、算术平方根、立方根的定义与性质，其中（6）小题与方程相结合，可由(x1)10得（x+1）2=1，又由（±1）2=1得x+1=±1，再进一步求出x即可。

解：（1）36；（2）±2；（3）选B；（4）2；（5）0.1；（6）选D 2、考查实数的有关概念及实数大小的比较 （7）(金华市)2的相反数是 ．

2Ａ Ｂ 3

5个．

，B两点之间表示整数的点有 （8）（旅顺口）如图，在数轴上，A

（9）（江西省）在数轴上与表示3的点的距离最近的整数点所表示的数是 ． （10）(河北省)比较大小：7 50．（填“＞”、“＝”或“＜”）

（11）(广州市)下列各数中，最小的数是（ ） ．．A．－2 B．－1 C．0 D．2 (12)(中山市)在三个数0.5、

51、中，最大的数是（ ）。 33- 7 -

A、0.5 B、

51 C、 D、不能确定 33分析：涉及数轴、相反数、绝对值、无理数等实数的有关概念及实数大小的比较历来是

中考考查的基本内容。实数进行大小比较的基本原则是：数轴上右边的数总是大于左边的数。

解：（7）2；（8）4；（9）2；（10）＜；（11）A；(12) B 3、考查非负数的性质及其应用

2（13）（成都市）已知a2(b5)0，那么ab的值为 ．

分析：先根据非负数的性质求出a、b的值，然后代入代数式求解即可。

解：由题意，得a－2=0，b+5=0，即a=2，b=－5，所以ab=2+(－5)=－3。故ab的值为－3。

4、考查实数的化简与运算

（14）（潍坊市）化简40的结果是（ ）

A．10

B．210 C．45

D．20

（15）（江西省）已知：20n是整数，则满足条件的最小正整数n为（ ）

A．2

B．3

C．4

D．5

（16）（南京市）下列各数中，与23的积为有理数的是（ ）

Ａ．23

Ｂ．23

Ｃ．23 Ｄ．3 （17）（荆门市）下列计算错误的是( )

A．14772

C．9a

B．60523

D.3223

25a8a

263（18）（青岛市）计算：1＝ .

（19）（黄冈市）计算：（5+2）（5－2）=

（20）（临沂市）计算12(753148}的结果是（ ） 3- 8 -

A．6

B．43 C．236

D．12

2

（21）（嘉兴市）计算：8＋(－1)3－2×．

2

分析：中考中，有关实数运算的题目一般难度不大。要注意：化简时把能开得尽方的因

数都开出来，使结果成最简形式；运算时一定要注意运算顺序，另外，应用乘法公式可简化计算，如（19）小题可使用平方差公式。

解：（14）B；（15）D；（16）D；（式=221221

17）D（18）1；（- 9 -

19）1；（20）D；（21）原第13章《实数》随堂小测（A 卷）

（本试卷满分100分） 班级_______ 姓名_______ 分数_______

一、仔细选一选：（每题4分，共24分） 1．16的平方根是

A、4 B、－4 C、±4 D、±2 2．立方根等于3的数是（ ）

A、9 B、9 C、27 D、27

3、有下列说法：①有理数和数轴上的点一一对应；②不带根号的数一定是有理数；③负数

没有立方根；④17是17的平方根。其中正确的有（ ） （A）0个 （B）1个 （C）2个 （D）3个 4、下列各式中，正确的是（ ） A.

(2)22 B.323 C.

393 D. 93

5、估计76 的大小应在( )

A.7～8之间 B.8.0～8.5之间 C. 8.5～9.0之间 D. 9.0～9.5之间 6、下列计算中，正确的是（ ）

A.23+32=55 B.（3+7）·10=10·10=10 C.（3+23）（3－23）=－3 D.（2ab）(2ab)=2a+b 二、细心填一填：（每题5分，共30分）

1、52的相反数是 ；绝对值是 。 2、下列各数：

221、0.32、、－、5、0.01020304…中是无理数的有_____________. 273、比较大小，填＞或＜号：119 11； 32 23．

4、利用计算器计算3.142≈ ；382≈ （结果保留4个有效数字）。 5、一个正数x的平方根是2a3与5a，则a的值为____________． 6、绝对值小于7的整数有____________． 三、用心解一解：（共46分）

- 10 -

1、求下列各式中未知数x的值（每小题4分，共8分） （1）16x

2、化简（每小题5分，共20分）

（1）48－33 （2）12×3+5 （3）

3、（8分）用铁皮制成一个封闭的正方体，它的体积是1.331立方米，需要多大面积的铁皮

才能制成？

4、（10分）观察

2250 （2）x183

1 (212－75) （4）(35)(25) 3228422222， 即22； 555555332793333533 即3；猜想：5等于什么，10101010101026并通过计算验证你的猜想。

- 11 -

随堂小测（A卷）答案： 一、CCBDCC

二、1、2－5；52 2、、5、0.01020304… 3、＜；＞

4、1.773；4.344 5、－2 6、－2、－1、0、1、2 三、1、（1）x=±（2）x=3

2、（1）原式=16333163334333（2）原式=1235523

3656511；

（3）原式=2

1112752425451； 33（4）原式=6－3525515

3、设正方体的边长为x米，则x3=1.331，x=1.1，1.12×6=7.26平方米。 4、猜想：5555125=5。验证5=26262626

2555=5。 2626- 12 -

第13章《实数》随堂小测（B 卷）

（本试卷满分100分） 班级_______ 姓名_______ 分数_______

一、仔细选一选：（每题4分，共20分） 1、81的平方根等于（ ）

（A）9 （B）±9 （C）3 （D）±3 2、下列说法正确是（ ）

A 不存在最小的实数 B 有理数是有限小数 C 无限小数都是无理数 D 带根号的数都是无理数 3、下列计算正确的是（ ）

A．16=±4 B．32－22=1 C．24÷6=4 D．2·6=2 34、若m是9的平方根，n=（3）2，则m、n的关系是（ ）

（A）m=n （B）m=－n （C）m=±n （D）｜m｜≠｜n｜ 5、已知35.281.738，3a0.1738，则a的值为（ ）

（A）0.528 （B）0.0528 （C）0.00528 （D）0.000528 二、细心填一填：（每题5分，共25分）

1、请你任意写出三个无理数： ；

2、满足2x3的整数是 ．

3、化简

46得

y30,则x=________，y=________.

=3；

= 33；

=333；…….

44、若x15、观察下列式子，根据你得到的规律回答：请你说出

的值是 ．

三、用心解一解：（共55分） 1、计算：（1）（6分）4511542051 2535- 13 -

（2）（7分）1

22323

2、（10分）若xy=－2,x－y=52－1,求(x+1)(y－1)的值。

3、（10分）已知2a－1的平方根是±3，3a+b－1的平方根是±4，求a+2b的平方根.

4、（1）计算（12分）32____,0.72____,

1(6)2____,()2____,(0.28)2____,02____。

2（2）（6分）根据（1）中的计算结果可知，a2一定等于a吗？你发现其中的规律了吗？请你用自己的语言描述出来。

（3）（4分）利用上述规律计算：(3.14)= 。

2- 14 -

随堂小测（B卷）答案： 一、DADCC

二、1、答案不唯一，如

2,35,π等。 2、－1 0 1. 3、66.

4、－1，3. 5、33…3(共n个3)

三、1、（1）原式=3555525。

（2）原式=213223=1。 2、(x+1)(y－1)=xy－x+y－1= xy－(x－y)－1

=－2－(52－1)－1=－2－52+1－1=－62

3、由2a－1的平方根是±3得2a－1=9，故a=5；由3a+b－1的平方根是±4得3a+b－1=16，故3×5+b－1=16，得b=2。所以a+2b=5+2×2=9，它的平方根是±3.

14、（1）3，0.7，6，2，0.28，0.

（2）不一定等于a.规律：当a≥0时a2=a，当a≤0时a2=－a. （3）由3.14－≤0得(3.14)2=－（3.14－）=－3.14.

- 15 -

第13章《实数》实战演练

（本试卷满分100分）

班级_______ 姓名_______ 分数_______

考场秘诀：谁沉着、冷静、认真、细心，谁就一定能够在考场上赢得最大的胜利！！祝你成功！！

一、 仔细选一选：（每题3分，共30分）

•21．下列实数: ，0，3.141592,2.95，，25，3， 0．020020002……中,无

32理数有( )个．

A.2 B.3 C.4 D.5 2．25表示的意义是( )

A.25的立方根 B.25的平方根 C.25的算术平方根 D.5的算术平方根 3．下列语句正确的是( )

A. －2是－4的平方根; B. 2是(－2)2的算术平方根; C. (－2)2的平方根是2; D. 8的立方根是±2． 4．下列各数中，互为相反数的是( )

A.－2与(2)2； B.－2与38； C.－2与5.算术平方根等于它本身的数是（ ）

A .1和0 B .0 C . 1 D . 1和0

6. 某位老师在讲“实数”时，画了一个图（如图1），即“以数轴的单位线段为边做一个正方形，然后以O为圆心，正方形的对角线长为半径画弧交x轴上于一点A”。则OA的长就是2个单位长度，想一想：作这样的图可以说明什么？ A.数轴上的点和有理数一一对应 B.数轴上的点和无理数一一对应 C.数轴上的点和实数一一对应 D.不能说明什么

7．实数a、b、c在数轴上的位置如图2: 则化简 abc的结果是( )

图2

1； D.2与2． 2- 16 -

A.a－b－c; B.a－b+c; C.－a+b+c; D.－a+b－c． 8．绝对值小于5的所有实数的积为 ( )

A.24; B.576; C.0; D. 10 9、若实数x满足｜x｜+x=0，则x是（ ）。

A. 零或负数 B. 非负数 C. 非零实数 D.负数． 10.

11的整数部分为a，小数部分为b，则b2为( )

B．20

C．20－611 D．20+611

A．2

二、细心填一填（每题4分，共32分） 1、－3的倒数是________，绝对值是________ 2．9的平方根是 121的算术平方根是______

3．若3x3=－2，则x的值是 4、如果a3=3，那么（a+3）2的值为

5、计算：3371＝ 646、(4)2 .

(64)(81) 7、若三角形的三边a、b、c满足a2－4a+4+b3=0,则笫三边c的取值范围是_____________ 8、计算: (32)(32)=_____,(23)(23)=_____,(52)(52)= ____;……．通过以上计算,试用含n(n为正整数)的式子表示上面运算揭示的规律:__________________ 三、解答题：（共38分） 1、（6分）求下列各式的值： （1）49； （2）

121； （3）－0.09 256- 17 -

2、（6分）化简:（1）2723

45 （2）3（236）

3、（6分）已知3x1=x－1，求x的值。

4、（6分）一个长方体的长为5 cm，宽为2 cm，高为3 cm，而另一个正方体的体积是它的3倍，求这个正方体的棱长(结果精确到0.01 cm).

5、(7分) 已知三角形的三边a、b、c的长分别为45cm、80cm、125cm，求这个三角形的周长和面积.

- 18 -

图3

6、（7分）．如图3所示，某计算装置有一数据入口A和一运算结果的出口B，下表给出的是

小红输入的数字及所得的运算结果：

A B 0 －1 1 0 4 1 9 2 16 3 25 4 36 5 若小红输入的数为48，输出的结果应为多少？若小红输入的数字为a,你能用a表示输出结果吗？

《实数》实战演练参考答案 一、BCBAA，CCCAC 二、1、－

33;3 2、±3；11 3、－5 4、81 5、34 6、4；72 7、11116 （3）－0.3 2、（1）原式=332335335

（2）原式=323366－32。

3、因为立方根等于它本身的数是1,－1,0，所以有x－1=1, x－1=－1或x－1=0, 所以x=2,0或1

4、35233=390≈4.48cm

5、周长=45+80+125=125cm； 因为（45）2+（80）2=125=（125）2， 所以三角形是直角三角形，故面积=

1×45×80=30cm22 6、（1）经观察易得出规律：481431 （2）a1(a0)

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8、