注重数学语言训练 提高学生思维能力

摘 要:数学教学是数学思维活动的教学,而思维过程要借助语言来表达,培养学生良好数学语言表达习惯,正确理解和运用规范的数学语言进行数学思维,是科学地、卓有成效地进行数学学习的前提,是培养思维、发展能力的基石,而注重数学语言互译的训练是关键。 关键词:数学语言;语言表达;思维能力

语言是思维的工具“,没有语言就没有人的理性思维……”数学思维是对客观世界的材料进行一系列高度的抽象和概括,是高级的理性思维,要学会这种思维,离开以“高度抽象、概括、严谨、简练、直观、科学性”为特征的数学语言,是不切实际的。由于数学语言是一种高度抽象的人工符号系统,且具有高度抽象性、概括性、严谨性,致使部分学生感到数学难懂、难学。因此,教师在课堂教学中要重视数学语言的互译和转换训练,在互译中正确理解数学知识的本质,并获得准确、丰富的信息,在思考和解决问题中能正确、简练、熟练地运用数学语言表达思维过程,提高逻辑思维能力和解决问题的准确性、敏捷性。

一、加强文字语言的理解训练,培养学生语言表达能力 数学语言按不同的表现形式可分为文字语言、符号语言

和图形语言。文字语言是以压缩的形式,反映大量知识的概括性语言,数学中的概念、定理多以文字语言的形式表达,而每个概念都有确切的含义,每个定理都有确定的条件制约其结论。这些确切的含义、条件、结论都反映在关键的字和词,教学中要引导学生认真思考、仔细推敲,明晰关键词、句之间的依存和制约关系,并用通俗易懂的语言和其它方法予以解释、阐述。让学生掌握概念、定理的本质属性,培养学生严密的逻辑思维能力。

[例1]平面的基本性质:“经过不在同一直线上三点有且只有一个平面”教学时设置如下问题让学生思考。

(1)性质的内容是什么?――确定一个平面所需要的条件。 (2)条件是什么?――经过不在同一直线上的三点。 (3)结论是什么?――有且只有一个平面。 (4)关键词句有哪些?含义是什么? ①经过――同时经过; ②三点――是条件的主干;

③不在同一直线上――是附加条件; ④有――表明有平面存在; ⑤只有――表明平面的唯一性;

(5)若把条件改为:①经过一点、二点或同一直线上的三点的平面有多少个?②经过不在同一直线上四点,一定有平面吗?

通过设置问题让学生思考,对关键词句的推敲、变式,使学生认识到“不在同一直线上三点”这一条件的重要性,从而加深对性质的理解和记忆。

二、加强符号语言的表达训练,培养学生抽象的能力 文字语言比较自然、生动,能将问题所研究的对象的含义更加明确地叙述出来。符号语言是文字语言的再次概括、抽象,比较简洁、严谨,它有利于推理论证、计算,能把文字语言与图形语言结合起来,正因其高度的概括、抽象和内涵的丰富性,往往难以读懂。课堂教学中,在引进一个新的数学符号时,首先要向学生介绍符号的作用和书写格式,形成一定的感性认识;通过由形思义、由音思词、由词及义、形义一体等方法揭示符号特指的确切涵义,对于基本的数学语言和句式还应进行范式训练,帮助学生理解、记忆和正确运用,提高数学语言水平。

[例2](1)用符号语言表示:如果一条直线平行于平面内的一条直线,则这条直线与平面平行。

(2)将下列符号语言表示的关系改用文字语言予以叙述。 ?琢∩?茁=l,A∈l,AB?奂?琢,AB?奂?茁 解:(1)如果a∥b,a?奂?琢,则b∥?琢

(2)点A在平面?琢与平面?茁交线l上,AB、AC分别在?琢、?茁上。

[例3]动点M与定点A(-1,0)、B(1,0)的连线的斜率之积是

-2,求点M的轨迹方程。

分析:先将普通语言转换为符号语言表达式: M∈KMA?KMB=-2 解:设动点M(x,y)

依题意得:M∈={KMA?KMB=-2},期中KMA=■;KMB=■ ∴■?=■=-2?圯2x2+y2=2(x≠±1)

所以轨迹方程是不含点(±1,0)的椭圆x2+■=1 数学概念和原理常用抽象符号语言表示,通过对文字语言内容的符号化,符号语言的文字化的有机融合,使学生在互译的过程中,加深对符号语言本质的理解,准确、熟练驾驭文字语言与符号语言的互化,提高学生使用符号语言解题的规范性、简洁性、准确性。

三、加强图像语言的表达训练,培养学生空间的能力 在表达数学思维过程中,符号语言虽然简练,但有抽象之嫌;文字语言自然、生动、明确,但过于繁冗;图形语言正是对文字语言与符号语言的补充,它容易产生清晰的视觉形象,是一种视觉语言,直观、明了、易懂、易记,在抽象的数学思维面前起着具体化和加深理解的作用。在教学中,把抽象的符号语言转换为直观的图形,可把数量关系问题转化为图形性质去讨论;把直观的几何图形转化为用相关的符号语言、数量关系或方程来表示,用代数的方法求解,培养学生“以形助数、以数辅形”数形结合的思想方法。

[例4]用不等式组表示图1中的阴影面积,其中直线AB的方程为x+y=0 。

分析:由阴影的顶角确定组成边界的直线,根据图形给出的条件,求出边界的直线方程及直线方程的法向量,判断法向量的方向与阴影面积是否同侧,从而确定直线方程对应的不等式的符号,从而得解。

解:三条直线的方程及法向量分别为: ■

AC∶x-y+6=0, ■AC=(1,-1) BC∶x=3, ■AC=(1,0) AB∶x+y=0, ■AB=(1,1)

∴所求不等式组为x-y+6≥0x+y≥0x≤3

[例5]已知集合A={ x|-21},B={x|a≤x≤b}且A∩B={1-2} ,求a、b的值。

分析:求数集的交、并、补时,借助数轴是常用的方法。 解:画数轴,在数轴上标出集合A、B、A∩B、A∪B,如图2所示: ■

由A∩B={x|1-2}知-2 通过从符号到图形、从图形到符号交替互译训练,让学生建立图形语言与符号语言之间的对应关系,利用图形语言来辅助思维,利用符号语言来表达思维。使解题思路更清晰,解题过程更简练,能活化学生思维,提

高解题能力。

四、加强语言互译表达的训练,培养学生思维能力 符号语言的严密性和可操作性能将文字语言与图形语言结合起来,使文字语言简单化、图形语言数学化,灵活互译三种数学语言,是学好数学的关键。教学中,要善于引导学生对问题中的数学语言结构进行分析,根据已知和所求,正确、灵活地互译,在互译中捕捉隐含条件,培养学生思维的敏锐性、灵活性。

[例6]求函数y=■+■的最小值。 ■

解析:题目求无理函数最小值,用代数法求解比较困难,根据根号下的结构特征,联想平面上两点间的距离公式,将函数变形为y=■+■,则函数式表示的是平面上两点间距离之和,设动点P(x,0),定点A(0,2),B(2,1),于是问题转化为在X轴上求一动点P(x,0),它到两定点A(0,2),B(2,1)距离之和y=|PA|+|PB| 最小值,即:动折线APB长的最小值,如图3所示,由图感知,只要作点A(0,2)关于X轴的对称点A′(0,-2),显然,y=|PA|+|PB|=|PA′|+|PB|,由三角形的三边关系,易知,当三点B,P,A′共线时,y=|PA′|+|PB|最小,所以,连结A′B与X轴的交点即为所求的点,由点A′(0,-2) 与点B(2,1)得直线方程3x-2y-4=0,易得点P1的坐标是(4/3,0),所以,当x=4/3时ymin=|PA|+|PB|=■。 通过引导学生观察、分析符号语言结构特征,让学生从中

获得丰富、准确的信息,把抽象的符号语言辅之以直观图形,使抽象的数学思维变得直观形象,诱导学生联想已有的知识和经验,实施等价转换,从而找到解决问题的突破口,直觉思维和逻辑思维的培养渗透在数学语言互译的过程中。 数学语言的三种形态,各有其优点和不足,通过语言互译训练,让学生从多角度、多方位、多层次理解数学知识的本质,加强知识间的沟通和联系,激活思维通道;互译训练是准确、严谨、简洁、规范地运用数学语言表达数学思维过程的保障;是克服思维过程的语言障碍、提高思维效率的根本;是培养思维、发展能力不可或缺的环节。

[参 考 文 献]

[1]郭庆.利用数学符号的暗示功能解题[J].广东.中学数学研究,2005(2).

[2]程华.注重数形结合 培养直觉思维[J].陕西. 中学数学教学参考,2005(12). (责任编辑:张华伟)