一、选择题（本大题10小题，每题3分，共30分） 1．下列图形中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．已知△ABC中，AB=6，BC=4，那么边AC的长可能是下列哪个值（ ） A．11 B．5
C．2
D．1
3．若一个多边形的内角和为540°，则这个多边形是（ ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形
4．如图，用尺规作已知角平分线，其根据是构造两个三角形全等，它所用到的判别方法是（ ） A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS
5．如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线， 若∠B=35°，∠ACE=60°，则∠A=（ ） A．35° B．95° C．85° D．75° 6．如图，△ABC中，AB=5，AC=6， BC=4，边AB的垂直平分线交AC于点D， 则△BDC的周长是（ ） A．8
B．9
C．10
D．11
7．如图，△ABC≌△DEF，若BC=6cm，BF=8cm，则下列判断错误的是（ ） A．AB=DE
B．BE=CF C．AC∥DF D．EC=2
8．若从一多边形的一个顶点出发，最多可引10条对角线，则它是（ ） A．十三边形 B．十二边形 C．十一边形 D．十边形 9．如图，在△ABC中，点D为BC边上一点，连接AD， 取AD的中点P，连接BP，CP．若△ABC的面积为4cm2， 则△BPC的面积为（ ） A．4cm2 B．3cm2 C．2cm2 D．1cm2
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10．如图，△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC交AC于G，DM∥BC交∠ABC的外角平分线于M，交AB，AC于F，E，
以下结论：①MB⊥BD，②FD=EC， ③EC=EF+DG，④CE=
，其中一定正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本大题6小题，每小题4分，共24分）
11．已知点A与点B（1，﹣3）关于y轴对称，则点A的坐标为 ． 12．已知等腰三角形的两边长分别为x和y，且x和y满足 |x﹣5|+（y﹣2）2=0，则这个等腰三角形的周长为 ．
13．如图，D是AB边上的中点，将△ABC沿过D的直线折叠，使点A落在BC上F处，若∠B=50°，则∠BDF= 度． 14．如图，△ABC中，∠ABC=90°，AB=12， BC=5，AC=13，BD⊥AC于D，则BD= ． 15．如图，OP平分∠AOB，PD⊥OB于D， ∠OPD=60°，PO=4，则点P到边OA的距离是 ．
16．如图，在边长为2的等边△ABC中，AD⊥BC于点D，且AD=P为AD上一点，则△PEC周长的最小值是 ． 三、解答题（共9小题，满分66分）
17．如图，B、F、C、E在一条直线上，AB=DE，BF=CE，AC=DF． 求证：AC∥DF．
，E为AC中点，
18．如图，上午9时，一条船从A处出发，以20海里/时的速度向正北航行， 12时到达B处，测得∠NAC=36°，∠ABC=108°，求从B处到灯塔C的距离．
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19．如图，已知△ABC，∠C=90°，AC＜BC，D为BC上一点，且到A，B两点的距离相等． （1）用直尺和圆规，作出点D的位置（不写作法，保留作图痕迹）； （2）连结AD，若∠B=33°，则∠CAD= °．
20．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，∠B=50°，AE，CF是角平分线， 它们相交于为O，AD是高，求∠BAD和∠AOC的度数．
21．如图，AB=3，BC=8，AB⊥BC，l⊥BC于点C，点E从B向C运动， 过点E作ED⊥AE，交l于D． （1）求证：∠A=∠DEC；
（2）当BE长度为多少时，△ABE≌△ECD？请说明理由．
22．如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，BE=CF． （1）求证：AD平分∠BAC；
（2）连接EF，求证：AD垂直平分EF．
23．如图，在△ABC中，AB=AC，点E在线段AC上，D在AB的延长线上，连接DE交BC于F，过E作EG⊥BC于G．
（1）下列两个关系式：①DB=EC，②DF=EF，请你选择一个做为条件，另一个做为结论构成一个正确的命题，并给予证明．
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你选择的条件是 ，结论是 ．（只需填序号） （2）在（1）的条件下，求证：FG=BC．
24．如图，在△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC=4，AD⊥BC，BD=2BE．
（1）求证：△ABE为等边三角形；
（2）将一块含60°角的直角三角板PMN如图放置，其中点P与点E重合，且∠NEM=60°，边NE与AB交于点G，边ME与AC交于点F． 求证：BG=AF；
（3）在（2）的条件下，求四边形AGEF的面积．
，延长AD到E，使AE=2AD，连接
25．如图，△ACD和△BCE都是等腰直角三角形，∠ACD=∠BCE=90°， （1） 请判断线段AE和BD的数量关系和位置关系，并证明；
（2）若已知∠AED=135°，设∠AEC=α，当△BDE为等腰三角形时，求α的度数．
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2016-2017学年广东省汕头市金园实验中学八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题10小题，每题3分，共30分） 1．下列图形中，是轴对称图形的是（ ） A．
B．
C．
D．
【考点】轴对称图形．
【分析】根据轴对称图形的概念求解．
【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项错误； B、是轴对称图形，故本选项正确； C、不是轴对称图形，故本选项错误； D、不是轴对称图形，故本选项错误． 故选B．
2．已知△ABC中，AB=6，BC=4，那么边AC的长可能是下列哪个值（ A．11 B．5
C．2
D．1
【考点】三角形三边关系．
【分析】直接利用三角形三边关系得出AC的取值范围，进而得出答案．【解答】解：根据三角形的三边关系可得：AB﹣BC＜AC＜AB+BC， ∵AB=6，BC=4， ∴6﹣4＜AC＜6+4， 即2＜AC＜10， 则边AC的长可能是5． 故选：B．
3．若一个多边形的内角和为540°，则这个多边形是（ ）
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） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 【考点】多边形内角与外角．
【分析】根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°列方程即可求解． 【解答】解：（n﹣2）•180°=540°，故n=5． 所以这个多边形为五边形． 故选C．
4．如图，用尺规作已知角平分线，其根据是构造两个三角形全等，它所用到的判别方法是（ ）
A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS
【考点】作图—基本作图；全等三角形的判定．
【分析】由画法得OC=OD，PC=PD，加上公共边OOP，则可根据“SSS”可判定△OCP≌△ODP，然后根据全等三角形的性质可判定OP为∠AOB的平分线． 【解答】解：由画法得OC=OD，PC=PD， 而OP=OP，
所以△OCP≌△ODP（SSS）， 所以∠COP=∠DOP， 即OP平分∠AOB． 故选D．
5．如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，若∠B=35°，∠ACE=60°，则∠A=（ ）
A．35° B．95° C．85° D．75°
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【考点】三角形的外角性质；角平分线的定义．
【分析】根据三角形角平分线的性质求出∠ACD，根据三角形外角性质求出∠A即可． 【解答】解：∵CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，∠ACE=60°， ∴∠ACD=2∠ACE=120°， ∵∠ACD=∠B+∠A，
∴∠A=∠ACD﹣∠B=120°﹣35°=85°， 故选：C．
6．如图，△ABC中，AB=5，AC=6，BC=4，边AB的垂直平分线交AC于点D，则△BDC的周长是（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【考点】线段垂直平分线的性质．
【分析】由ED是AB的垂直平分线，可得AD=BD，又由△BDC的周长=DB+BC+CD，即可得△BDC的周长=AD+BC+CD=AC+BC．
【解答】解：∵ED是AB的垂直平分线， ∴AD=BD，
∵△BDC的周长=DB+BC+CD，
∴△BDC的周长=AD+BC+CD=AC+BC=6+4=10． 故选C．
7．如图，△ABC≌△DEF，若BC=6cm，BF=8cm，则下列判断错误的是（ ）
A．AB=DE B．BE=CF C．AC∥DF D．EC=2
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【考点】全等三角形的性质．
【分析】根据全等三角形的性质得出AB=DE，BC=EF，∠ACB=∠F，求出AC∥DF，BE=CF，即可判断各个选项．
【解答】解：∵△ABC≌△DEF， ∴AB=DE，BC=EF，∠ACB=∠F， ∴AC∥DF，BC﹣EC=EF﹣EC， ∴BE=CF，
∵BC=6cm，BF=8cm， ∴CF=BF=2cm， ∴EC=6cm﹣2cm=4cm， 即只有选项D错误； 故选D．
8．若从一多边形的一个顶点出发，最多可引10条对角线，则它是（ ） A．十三边形
B．十二边形
C．十一边形
D．十边形
【考点】多边形的对角线．
【分析】根据多边形的对角线的定义可知，从n边形的一个顶点出发，可以引（n﹣3）条对角线，由此可得到答案．
【解答】解：设这个多边形是n边形． 依题意，得n﹣3=10， ∴n=13．
故这个多边形是13边形． 故选：A．
9．如图，在△ABC中，点D为BC边上一点，连接AD，取AD的中点P，连接BP，CP．若△ABC的面积为4cm2，则△BPC的面积为（ ）
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A．4cm2 B．3cm2 C．2cm2 D．1cm2
【考点】三角形的面积．
【分析】由点P为AD的中点，可得△ABP的面积=S△ABD，S△CPD=S△ACD，于是得到结论． 【解答】解：∵点P是AD的中点， ∴△ABP的面积=S△ABD，S△CPD=S△ACD， ∴S△BPC=S△ABC=2cm2， 故选C．
10．如图，△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC交AC于G，DM∥BC交∠ABC的外角平分线于M，交AB，AC于F，E，以下结论：①MB⊥BD，②FD=EC，③EC=EF+DG，④CE=定正确的有（ ）
，其中一
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【考点】等腰三角形的判定与性质．
【分析】如图，由BD分别是∠ABC及其外角的平分线，得到∠MBD=
180°=90°，故①成立；
证明BF=CE、BF=DF，得到FD=CE，故②成立；证明BF为直角△BDM的斜边上的中线，故④成立．
【解答】解：如图，∵BD分别是∠ABC及其外角的平分线， ∴∠MBD=
180°=90°，
故MB⊥BD，①成立； ∵DM∥BC， ∴
，而AB=AC，
∴BF=CE；
第9页（共24页）
∵DF∥BC， ∴∠FDB=∠DBC； ∵∠FBD=∠DBC， ∴∠FBD=∠FDB，
∴FD=BF，FD=EC，②成立； ∵∠DBM=90°，MF=DF， ∴BF=DM，而CE=BF， ∴CE=DM，④成立． 故选C．
二、填空题（本大题6小题，每小题4分，共24分）
11．已知点A与点B（1，﹣3）关于y轴对称，则点A的坐标为 （﹣1，﹣3） ． 【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标．
【分析】关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，可得答案． 【解答】解：点A与点B（1，﹣3）关于y轴对称，则点A的坐标为（﹣1，﹣3）， 故答案为：（﹣1，﹣3）．
12．已知等腰三角形的两边长分别为x和y，且x和y满足|x﹣5|+（y﹣2）2=0，则这个等腰三角形的周长为 12 ．
【考点】等腰三角形的性质；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方；三角形三边关系．
【分析】首先依据非负数的性质求得x、y的值，然后得到三角形的三边长，接下来，利用三角形的三边关系进行验证，最后求得三角形的周长即可． 【解答】解：∵|x﹣5|+（y﹣2）2=0，
第10页（共24页）
∴x=5，y=2．
当腰长为5时，三边长为5、5、2，周长=5+5+2=12；
当腰长为2时，三边长为5、2、2，2+2＜5，不能组成三角形． 故答案为：12．
13．如图，D是AB边上的中点，将△ABC沿过D的直线折叠，使点A落在BC上F处，若∠B=50°，则∠BDF= 80 度．
【考点】翻折变换（折叠问题）．
【分析】由折叠的性质，即可求得AD=DF，又由D是AB边上的中点，即可得DB=DF，根据等边对等角的性质，即可求得∠DFB=∠B=50°，又由三角形的内角和定理，即可求得∠BDF的度数．
【解答】解：根据折叠的性质，可得：AD=DF， ∵D是AB边上的中点， 即AD=BD， ∴BD=DF， ∵∠B=50°， ∴∠DFB=∠B=50°，
∴∠BDF=180°﹣∠B﹣∠DFB=80°． 故答案为：80．
14．如图，△ABC中，∠ABC=90°，AB=12，BC=5，AC=13，BD⊥AC于D，则BD= ．
【考点】勾股定理．
第11页（共24页）
【分析】由直角三角形面积公式即可得出结果． 【解答】解：∵∠ABC=90°，AB=12，BC=5，AC=13， ∴△ABC的面积=AC•BD=AB•BC， ∴BD=故答案为：
15．如图，OP平分∠AOB，PD⊥OB于D，∠OPD=60°，PO=4，则点P到边OA的距离是 2 ．
=．
，
【考点】角平分线的性质．
【分析】作PE⊥OA于E，利用余弦的定义求出PD，根据角平分线的性质解答即可． 【解答】解：作PE⊥OA于E， ∵∠OPD=60°，PO=4， ∴PD=OP×cos∠OPD=2，
∵OP平分∠AOB，PD⊥OB，PE⊥OA， ∴PE=PD=2， 故答案为：2．
16．如图，在边长为2的等边△ABC中，AD⊥BC于点D，且AD=上一点，则△PEC周长的最小值是
+1 ．
，E为AC中点，P为AD
第12页（共24页）
【考点】轴对称﹣最短路线问题；等边三角形的性质． 【分析】连接BE，则BE的长度即为PE与PC和的最小值． 【解答】解：如连接BE，与AD交于点P，此时PE+PC最小， ∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC， ∴PC=PB，
∴PE+PC=PB+PE=BE， 即BE就是PE+PC的最小值，
∵△ABC是一个边长为2cm的正三角形，点E是边AC的中点， ∴∠BEC=90°，CE=1cm， ∴BE=
=
，
．
+1．
∴PE+PC的最小值是
∴△PEC周长的最小值是故答案为
+1．
三、解答题（共9小题，满分66分）
17．如图，B、F、C、E在一条直线上，AB=DE，BF=CE，AC=DF． 求证：AC∥DF．
第13页（共24页）
【考点】全等三角形的判定与性质．
【分析】只要证明△ABC≌△DEF即可推出∠ACB=∠DFE，即可推出AC∥DF． 【解答】解：∵BF=CE， ∴BF+FC=CE+FC，即BC=EF， 在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SSS）， ∴∠ACB=∠DFE， ∴AC∥DF．
18．如图，上午9时，一条船从A处出发，以20海里/时的速度向正北航行，12时到达B处，测得∠NAC=36°，∠ABC=108°，求从B处到灯塔C的距离．
【考点】等腰三角形的判定与性质．
【分析】求出AB长，根据三角形外角性质求出∠A=∠C，推出CB=AB，代入求出即可． 【解答】解：由题意可知：AB=（12﹣9）×20=60（海里）， ∵∠NAC=36°，∠∠ABC=108°， ∴∠C=∠NBC﹣∠NAC=26°=∠NAC， ∴BC=AB=60海里，
第14页（共24页）
答：从B处到灯塔C的距离是60海里．
19．如图，已知△ABC，∠C=90°，AC＜BC，D为BC上一点，且到A，B两点的距离相等． （1）用直尺和圆规，作出点D的位置（不写作法，保留作图痕迹）； （2）连结AD，若∠B=33°，则∠CAD= 24 °．
【考点】作图—基本作图；线段垂直平分线的性质．
【分析】（1）作线段AB的垂直平分线交BC于点D，则点D即为所求；
（2）先根据等腰三角形的性质得出∠BAD的度数，再由直角三角形的性质求出∠CAB的度数，进而可得出结论．
【解答】解：（1）如图，点D即为所求；
（2）∵AD=BD，∠B=33°， ∴∠BAD=∠B=33°． ∵∠C=90°，
∴∠CAB=90°﹣33°=57°，
∴∠CAD=∠CAB﹣∠BAD=57°﹣33°=24°． 故答案为：24．
20．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，∠B=50°，AE，CF是角平分线，它们相交于为O，AD是高，求∠BAD和∠AOC的度数．
第15页（共24页）
【考点】三角形内角和定理；三角形的角平分线、中线和高．
【分析】先根据直角三角形的两个锐角互余，求得∠BAD，再根据角平分线的定义，求得∠CAE=∠BAC=45°，∠ACF=∠ACB=20°，最后根据三角形内角和定理，求得△AOC中∠AOC的度数．
【解答】解：∵AD是高，∠B=50°， ∴Rt△ABD中，∠BAD=90°﹣50°=40°， ∵∠BAC=90°，∠B=50°，
∴△ABC中，∠ACB=90°﹣50°=40°， ∵AE，CF是角平分线，
∴∠CAE=∠BAC=45°，∠ACF=∠ACB=20°， ∴△AOC中，∠AOC=180°﹣45°﹣20°=115°．
21．如图，AB=3，BC=8，AB⊥BC，l⊥BC于点C，点E从B向C运动，过点E作ED⊥AE，交l于D．
（1）求证：∠A=∠DEC；
（2）当BE长度为多少时，△ABE≌△ECD？请说明理由．
【考点】全等三角形的判定．
第16页（共24页）
【分析】（1）根据直角三角形两锐角互余得出∠A+∠AEB=90°．根据垂直的定义和平角的定义得出∠AEB+∠DEC=90°，再利用同角的余角相等即可证明∠A=∠DEC；
BE=5，（2）当BE=5时，△ABE≌△ECD．理由是：由于BC=8，那么EC=AB=3，又∠B=∠ECD=90°，∠A=∠DEC，根据ASA即可得出△ABE≌△ECD． 【解答】（1）证明：∵AB⊥BC， ∴∠A+∠AEB=90°． ∵ED⊥AE， ∴∠AED=90°， ∴∠AEB+∠DEC=90°， ∴∠A=∠DEC；
（2）解：当BE=5时，△ABE≌△ECD．理由如下： ∵BC=8，BE=5， ∴EC=3， ∴EC=AB．
∵AB⊥BC，l⊥BC， ∴∠B=∠ECD=90°． 在△ABE与△ECD中，
，
∴△ABE≌△ECD．
22．如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，（1）求证：AD平分∠BAC；
（2）连接EF，求证：AD垂直平分EF．
第17页（共24页）
． BE=CF【考点】线段垂直平分线的性质．
【分析】（1）由于D是BC的中点，那么BD=CD，而BE=CF，DE⊥AB，DF⊥AC，利用HL易证Rt△BDE≌Rt△CDF，可得DE=DF，利用角平分线的判定定理可知点D在∠BAC的平分线上，即AD平分∠BAC；
（2）根据全等三角形的性质即可得到结论． 【解答】解：（1）∵D是BC的中点 ∴BD=CD，
又∵BE=CF，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴Rt△BDE≌Rt△CDF， ∴DE=DF，
∴点D在∠BAC的平分线上， ∴AD平分∠BAC；
（2）∵Rt△BDE≌Rt△CDF， ∴∠B=∠C， ∴AB=AC， ∵BE=CF，
∴AB﹣BE=AC﹣CF， ∴AE=AF， ∵DE=DF，
∴AD垂直平分EF．
23．如图，在△ABC中，AB=AC，点E在线段AC上，D在AB的延长线上，连接DE交BC于F，过E作EG⊥BC于G．
（1）下列两个关系式：①DB=EC，②DF=EF，请你选择一个做为条件，另一个做为结论构成一个正确的命题，并给予证明．
第18页（共24页）
你选择的条件是 ① ，结论是 ② ．（只需填序号） （2）在（1）的条件下，求证：FG=BC．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【分析】（1）条件是①DB=EC，结论是②DF=EF．（也可以填条件是②，结论是①）．只要证明△FBD≌△FHE，即可解决问题．
（2）由（1）可知，EH=EC，EG⊥HC，推出GH=GC，由△BFD≌△FHE，推出BF=FH，即可推出FG=FH+HG=BH+HC=（BH+HC）=BC．
【解答】（1）解：条件是①DB=EC，结论是②DF=EF．（也可以填条件是②，结论是①）． 理由：如图作，EH∥AD交BC于H．
∵EH∥AD，
∴∠ABC=∠EHC，∠D=∠HEF， ∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C=∠EHC， ∴EH=EC=BD， 在△FBD和△FEH中，
，
第19页（共24页）
∴△FBD≌△FHE， ∴DF=EF．
（2）证明：由（1）可知，EH=EC，EG⊥HC， ∴GH=GC， ∵△BFD≌△FHE， ∴BF=FH，
∴FG=FH+HG=BH+HC=（BH+HC）=BC．
24．如图，在△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC=4，AD⊥BC，BD=2连接BE．
（1）求证：△ABE为等边三角形；
（2）将一块含60°角的直角三角板PMN如图放置，其中点P与点E重合，且∠NEM=60°，边NE与AB交于点G，边ME与AC交于点F．求证：BG=AF； （3）在（2）的条件下，求四边形AGEF的面积．
，延长AD到E，使AE=2AD，
【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定．
【分析】（1）先证明∠ABD=90°﹣∠BAE=30°，可知AB=2AD，由因为AE=2AD，所以AB=AE，从而可知△ABE是等边三角形．
（2）由（1）可知：∠ABE=∠AEB=60°，AE=BE，然后求证△BEG≌△AEF即可得出BG=AF； （3）由于S四边形AGEF=S△AEG+S△AEF=S△AEG+S△BEG=S△ABE，故只需求出△ABE的面积即可． 【解答】解：（1）AB=AC，AD⊥BC， ∴∠BAE=∠CAE=BAC=60°，∠ADB=90°，
第20页（共24页）
∴∠ABD=90°﹣∠BAE=30°， ∴AB=2AD， ∵AE=2AD， ∴AB=AE， ∵∠BAE=60°，
∴△ABE是等边三角形． （2）∵△ABE是等边三角形， ∴∠ABE=∠AEB=60°， AE=BE，
由（1）∠CAE=60° ∴∠ABE=∠CAE， ∵∠NEM=∠BEA=60°，
∴∠NEM﹣∠AEN=∠BEA﹣∠AEN，∴∠AEF=∠BEG， 在△BEG与△AEF中，
∴△BEG≌△AEF（ASA） ∴BG=AF；
（3）由（2）可知：△BEG≌△AEF，∴S△BEG=S△AEF， ∴S四边形AGEF=S△AEG+S△AEF =S△AEG+S△BEG =S△ABE
∵△ABE是等边三角形， ∴AE=AB=4，
∴S△ABE=AE•BD=×4×2=4，∴S四边形AGEF=4
第21页（共24页）
25．如图，△ACD和△BCE都是等腰直角三角形，∠ACD=∠BCE=90°， （1）请判断线段AE和BD的数量关系和位置关系，并证明；
（2）若已知∠AED=135°，设∠AEC=α，当△BDE为等腰三角形时，求α的度数．
【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．
【分析】（1）根据△ACD和△BCE都是等腰直角三角形、∠ACD=∠BCE=90°，即可得出AC=DC、EC=BC，再由角的计算即可得出∠ACE=∠DCB，利用全等三角形的判定定理SAS即可证出△ACE≌△DCB，进而可得出AE=DB．延长AE，交CD于点H，交BD于点F，根据角的计算即可得出∠DFH=∠ACD=90°，从而找出AE⊥BD；
（2）根据△BCE是等腰直角三角形即可得出∠CEB=∠CBE=45°，结合∠AED=135°、∠AEC=α即可找出∠DEB=180°﹣α，由（1）△ACE≌△DCB可得出∠DBC=∠AEC=α，进而得出∠DBE=α﹣45°，再根据三角形内角和定理即可得出∠EDB=45°，分∠DEB=∠DBE、∠DEB=∠EDB以及∠DBE=∠EDB三种情况考虑△BDE为等腰三角形，代入数据求出α值，此题得解． 【解答】解：（1）AE=BD且AE⊥BD，理由如下：
∵△ACD和△BCE都是等腰直角三角形，∠ACD=∠BCE=90°， ∴AC=DC，EC=BC．
∵∠ACD=∠ACE+∠ECD=90°，∠BCE=∠DCB+∠ECD=90°， ∴∠ACE=∠DCB． 在△ACE和△DCB中，∴△ACE≌△DCB（SAS）， ∴AE=DB，∠CAE=∠CDB．
延长AE，交CD于点H，交BD于点F，如图1所示． ∵∠AHD=∠CHF=∠CDB+∠DFH，∠AHD=∠CAE+∠ACD， ∴∠DFH=∠ACD=90°， ∴AE⊥BD．
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，
（2）∵△BCE是等腰直角三角形，∠BCE=90°， ∴∠CEB=∠CBE=45°， ∵∠AED=135°，∠AEC=α，
∴∠DEB=360°﹣∠AED﹣∠CEB﹣∠AEC=360°﹣135°﹣45°﹣α=180°﹣α． ∵△ACE≌△DCB， ∴∠DBC=∠AEC=α， ∴∠DBE=α﹣45°．
在△DBE中，∠EDB=180°﹣∠DEB﹣∠DBE=180°﹣﹣（α﹣45°）=45°． △BDE为等腰三角形分三种情况： ①∠DEB=∠DBE，即180°﹣α=α﹣45°， ∴α=112.5°；
②∠DEB=∠EDB，即180°﹣α=45°， ∴α=135°；
③∠DBE=∠EDB，即α﹣45°=45°， ∴α=90°．
综上所述：当△BDE为等腰三角形时，α的度数为112.5°、135°或90°．
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2017年4月6日
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