人教初中数学《解直角三角形及其应用》教案 (公开课获奖)4

教学目标

(一)知识与能力

稳固直角三角形中锐角的三角函数，学会解关于坡度角和有关角度的问题． (二)方法与过程：

逐步培养学生分析问题解决问题的能力，进一步渗透数形结合的数学思想和方法． (三)情感、态度与价值观：

培养学生用数学的意识；渗透数学来源于实践又反过来作用于实践的辩证唯物主义观点． 教学重点：能熟练运用有关三角函数知识． 教学难点：解决实际问题．

教学疑点：株距指相邻两树间的水平距离，学生往往理解为相邻两树间的距离而造成错误． 教学过程

1．创设情境，导入新课．

例1 同学们，如果你是修建三峡大坝的工程师，现在有这样一个问题请你解决：如图6-33水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高23m，斜坡AB的坡度i=1∶3，斜坡CD的坡度i=1∶，求斜坡AB的坡面角α，坝底宽AD和斜坡AB的长(精确到0.1m)．

2.介绍概念：坡度与坡角

教师讲解：解直角三角形有广泛的应用，解决问题时，•要根据实际情况灵活运用相关知识．例如，当我们要测量如图大坝的高度h时，只要测出仰角α和大坝的水平宽度L，就能算出h=Ltanα．但是，当我们要测量如课本图28．2-10所示的山高h时，问题就不那么简单了．这是由于不能很方便地得到仰角α和山坡长度L．

图28．2-9 图28．2-10

与测坝高相比，测山高的困难在于：坝坡是“直〞的，而山坡是“曲〞的．怎样解决这样的问题呢？

我们设法“化曲为直，以直代曲〞．我们可以把山坡“化整为零〞地划分为一些小段，课本图28．2-11表示其中一局部小段．划分小段时，注意使每一小段上的山坡近似是“直〞的，可以量出这段坡长L1，测出相应的仰角α，这样就可以算出这段山坡的高度h1=L1sinα．

图28．2-11

在每个小段上，我们都构造出直角三角形，利用上面的方法分别算出各段山坡的高度h1，h2，……．

然后我们再“积零为整〞，把h1，h2，…相加，于是得到山高h．

以上解决问题中所用的“化整为零，积零为整〞“化曲为直，以直代曲〞的做法，就是高等数学中微积分的根本思想，它在数学中有重要地位，在今后的学习中，你会更多地了解这方面的内容． 3.自主探究，解决问题

例2 如右图，缆车行驶线与水平线间的夹角α=30°，β=45°．•小明乘缆车上山，从A到B，再从B到D都走了200米〔即AB=BD=200米〕，•请根据所给的数据计算缆车垂直上升的距离．〔计算结果保存整数，以下数据供选用：sin47°≈0.7314，cos47•°≈0.6820，tan47°≈1.0724〕

分析：缆车垂直上升的距离分成两段：BC与DF．分别在Rt△ABC和Rt△DBF•中求出BC与DF，两者之和即为所求．

解：在Rt△ABC中，AB=200米，∠BAC=α=30°， ∴BC=AB·sinα=200sin30°=100〔米〕．

在Rt△BDF中，BD=200米，∠DBF=β47°，

∴DF=BD·sinβ=200·sin47°≈200×0.7314=146.28〔米〕． ∴BC+DF=100+146.28=246.28〔米〕． 答：缆车垂直上升了．

说明：解直角三角形在实际生活中的应用，是中考考查的重点，也是考查的热点．要解决好这类问题：一是要合理地构造适宜的直角三角形；•二是要熟记特殊角的三角函数值；三是要有很好的运算能力和分析问题的能力．

4．稳固练习 教材练习 2

引导学生回忆前述例题，进行总结，以培养学生的概括能力．

1．弄清俯角、仰角、株距、坡度、坡角、水平距离、垂直距离、水位等概念的意义，明确各术语与示意图中的什么元素对应，只有明确这些概念，才能恰当地把实际问题转化为数学问题．

2．认真分析题意、画图并找出要求的直角三角形，或通过添加辅助线构造直角三角形来解决问题．

3．选择适宜的边角关系式，使计算尽可能简单，且不易出错．

4．按照题中的精确度进行计算，并按照题目中要求的精确度确定答案以及注明单位．

利用土埂修筑一条渠道，在埂中间挖去深为米的一块(图6-35阴影局部是挖去局部)，渠道内坡度为1∶，渠道底面宽BC为米，求： ①横断面(等腰梯形)ABCD的面积；

②修一条长为100米的渠道要挖去的土方数．

教学目标

15.2.2 分式的加减

明确分式混合运算的顺序，熟练地进行分式的混合运算. 重点难点

1．重点：熟练地进行分式的混合运算. 2．难点：熟练地进行分式的混合运算. 3．认知难点与突破方法

教师强调进行分式混合运算时，要注意运算顺序，在没有括号的情况下，按从左到右的方向，先乘方，再乘除，然后加减. 有括号要按先小括号，再中括号，最后大括号的顺序.混合运算后的结果分子、分母要进行约分，注意最后的结果要是最简分式或整式.分子或分母的系数是负数时，要把“-〞号提到分式本身的前面. 教学过程

例、习题的意图分析

1．教科书例7、例8是分式的混合运算. 分式的混合运算需要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，最后结果分子、分母要进行约分，注意最后的结果要是最简分式或整式.

2．教科书练习1：写出教科书问题3和问题4的计算结果.这道题与第一节课相照应，也解决了本节引言中所列分式的计算，完整地解决了应用问题. 二、课堂引入

1．说出分数混合运算的顺序.

2．教师指出分数的混合运算与分式的混合运算的顺序相同. 三、例题讲解

〔教科书〕例7 计算

[分析] 这道题是分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要是最简分式.

〔教科书〕例8 计算：

[分析] 这道题是分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，注意有括号先算括号内的，最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要是最简分式. 四、随堂练习 计算：

x24x2ab11) (1) ( 〔2〕()() x22x2xabbaab 〔3〕(312212)() a2a4a2a2 五、课后练习 1．计算： (1)(1 (2)(yx)(1) xyxya2a1a24a)2 22aa2aa4a4a111xy (3)()

xyzxyyzzx 2．计算(

六、答案： 四、〔1〕2x 〔2〕

114)2，并求出当a-1的值. a2a2aab 〔3〕3 ab 五、1.(1)

xy11 (2) 〔3〕

x2y2za2a21 2.原式=2，当a-1时，原式=-.

3a4

13.3.1 等腰三角形

教学目标

〔一〕教学知识点

1．等腰三角形的概念． 2．等腰三角形的性质．

3．等腰三角形的概念及性质的应用． 〔二〕能力训练要求

1．经历作〔画〕出等腰三角形的过程，•从轴对称的角度去体会等腰三角形的特点． 2．探索并掌握等腰三角形的性质． 〔三〕情感与价值观要求 通过学生的操作和思考，使学生掌握等腰三角形的相关概念，并在探究等腰三角形性质的过程中培养学生认真思考的习惯．

重点难点

重点：1．等腰三角形的概念及性质． 2．等腰三角形性质的应用．

难点：等腰三角形三线合一的性质的理解及其应用． 教学方法 探究归纳法． 教具准备

师：多媒体课件、投影仪； 生：硬纸、剪刀． 教学过程

Ⅰ．提出问题，创设情境

[师]在前面的学习中，我们认识了轴对称图形，探究了轴对称的性质，•并且能够作出一个简单平面图形关于某一直线的轴对称图形，•还能够通过轴对称变换来设计一些美丽的图案．这节课我们就是从轴对称的角度来认识一些我们熟悉的几何图形．来研究：①三角形是轴对称图形吗？②什么样的三角形是轴对称图形？ [生]有的三角形是轴对称图形，有的三角形不是． [师]那什么样的三角形是轴对称图形？

[生]满足轴对称的条件的三角形就是轴对称图形，•也就是将三角形沿某一条直线对折后两局部能够完全重合的就是轴对称图形．

[师]很好，我们这节课就来认识一种成轴对称图形的三角形──等腰三角形． Ⅱ．导入新课

[师]同学们通过自己的思考来做一个等腰三角形．

AABI

BIC

作一条直线L，在L上取点A，在L外取点B，作出点B关于直线L的对称点C，连接AB、BC、CA，那么可得到一个等腰三角形．

[生乙]在甲同学的做法中，A点可以取直线L上的任意一点．

[师]对，按这种方法我们可以得到一系列的等腰三角形．现在同学们拿出自己准备的硬纸和剪刀，按自己设计的方法，也可以用课本探究中的方法，•剪出一个等腰三角形． ……

[师]按照我们的做法，可以得到等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫底角．同学们在自己作出的等腰三角形中，注明它的腰、底边、顶角和底角． [师]有了上述概念，同学们来想一想． 〔演示课件〕

1．等腰三角形是轴对称图形吗？请找出它的对称轴． 2．等腰三角形的两底角有什么关系？

3．顶角的平分线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗？

4．底边上的中线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗？•底边上的高所在的直线呢？ [生甲]等腰三角形是轴对称图形．它的对称轴是顶角的平分线所在的直线．因为等腰三角形的两腰相等，所以把这两条腰重合对折三角形便知：等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是顶角的平分线所在的直线．

[师]同学们把自己做的等腰三角形进行折叠，找出它的对称轴，并看它的两个底角有什么关系．

[生乙]我把自己做的等腰三角形折叠后，发现等腰三角形的两个底角相等．

[生丙]我把等腰三角形折叠，使两腰重合，这样顶角平分线两旁的局部就可以重合，所以可以验证等腰三角形的对称轴是顶角的平分线所在的直线．

[生丁]我把等腰三角形沿底边上的中线对折，可以看到它两旁的局部互相重合，说明底边上的中线所在的直线是等腰三角形的对称轴．

[生戊]老师，我发现底边上的高所在的直线也是等腰三角形的对称轴． [师]你们说的是同一条直线吗？大家来动手折叠、观察． [生齐声]它们是同一条直线．

[师]很好．现在同学们来归纳等腰三角形的性质．

[生]我沿等腰三角形的顶角的平分线对折，发现它两旁的局部互相重合，由此可知这个等腰三角形的两个底角相等，•而且还可以知道顶角的平分线既是底边上的中线，也是底边上的高．

[师]很好，大家看屏幕． 〔演示课件〕

等腰三角形的性质：

1．等腰三角形的两个底角相等〔简写成“等边对等角〞〕．

2．等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线、•底边上的高互相重合〔通常称作“三线

合一〞〕．

[师]由上面折叠的过程获得启发，我们可以通过作出等腰三角形的对称轴，得到两个全等的三角形，从而利用三角形的全等来证明这些性质．同学们现在就动手来写出这些证明过程〕．

A 〔投影仪演示学生证明过程〕

[生甲]如右图，在△ABC中，AB=AC，作底边BC的中线AD，因为

ABAC, BDCD,

ADAD,BDC 所以△BAD≌△CAD〔SSS〕． 所以∠B=∠C．

[生乙]如右图，在△ABC中，AB=AC，作顶角∠BAC的角平分线AD，因为

ABAC, BADCAD,

ADAD, 所以△BAD≌△CAD．

A1 所以BD=CD，∠BDA=∠CDA=∠BDC=90°．

2BDC [师]很好，甲、乙两同学给出了等腰三角形两个性质的证明，过程也写得很条理、很标准．下面我们来看大屏幕．

A 〔演示课件〕

[例1]如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD， 求：△ABC各角的度数．

D [师]同学们先思考一下，我们再来分析这个题．

[生]根据等边对等角的性质，我们可以得到

CB∠A=∠ABD，∠ABC=∠C=∠BDC，•

再由∠BDC=∠A+∠ABD，就可得到∠ABC=∠C=∠BDC=2∠A． 再由三角形内角和为180°，•就可求出△ABC的三个内角．

[师]这位同学分析得很好，对我们以前学过的定理也很熟悉．如果我们在解的过程中把∠A设为x的话，那么∠ABC、∠C都可以用x来表示，这样过程就更简捷． 〔课件演示〕

[例]因为AB=AC，BD=BC=AD， 所以∠ABC=∠C=∠BDC． ∠A=∠ABD〔等边对等角〕．

设∠A=x，那么∠BDC=∠A+∠ABD=2x， 从而∠ABC=∠C=∠BDC=2x．

于是在△ABC中，有∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°， 解得x=36°．

在△ABC中，∠A=35°，∠ABC=∠C=72°．

[师]下面我们通过练习来稳固这节课所学的知识． Ⅲ．随堂练习

〔一〕课本练习 1、2、3． 练习

1． 如图，在以下等腰三角形中，分别求出它们的底角的度数．

36120(1)(2)

答案：〔1〕72° 〔2〕30°

2.如图，△ABC是等腰直角三角形〔AB=AC，∠BAC=90°〕，AD是底边BC上的高，标出∠B、∠C、∠BAD、∠DAC的度数，图中有哪些相等线段？

AA

答案：∠B=∠C=∠BAD=∠DAC=45°；AB=AC，BD=DC=AD．

3.如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=26°，求∠B和 ∠C的度数．

BCD答：∠B=77°，∠C=38.5°．

〔二〕阅读课本，然后小结． Ⅳ．课时小结

这节课我们主要探讨了等腰三角形的性质，并对性质作了简单的应用．等腰三角形是轴对称图形，它的两个底角相等〔等边对等角〕，等腰三角形的对称轴是它顶角的平分线，并且它的顶角平分线既是底边上的中线，又是底边上的高．

我们通过这节课的学习，首先就是要理解并掌握这些性质，并且能够灵活应用它们． Ⅴ．课后作业

〔一〕习题13.3 第1、3、4、8题． 〔二〕1．预习课本．

2．预习提纲：等腰三角形的判定． Ⅵ．活动与探究

如图，在△ABC中，过C作∠BAC的平分线AD的垂线，垂足为D，DE∥AB交AC于E．

求证：AE=CE．

BDCBDA

过程：通过分析、讨论，让学生进一步了解全等三角形的性质和判定，•等腰三角形的性质． 结果：

证明：延长CD交AB的延长线于P，如图，在△ADP和△ADC中，

EC12, ADAD,

ADPADC,P ∴△ADP≌△ADC．

B ∴∠P=∠ACD． D 又∵DE∥AP， ∴∠4=∠P． ∴∠4=∠ACD． ACE ∴DE=EC．

同理可证：AE=DE．

∴AE=CE．

板书设计

一、设计方案作出一个等腰三角形 二、等腰三角形性质 1．等边对等角 2．三线合一 三、例题分析 四、随堂练习 五、课时小结 六、课后作业 备课资料 参考练习

1．如果△ABC是轴对称图形，那么它的对称轴一定是〔 〕 A．某一条边上的高 B．某一条边上的中线 C．平分一角和这个角对边的直线 D．某一个角的平分线 2．等腰三角形的一个外角是100°，它的顶角的度数是〔 〕 A．80° B．20° C．80°和20° D．80°或50° 答案：1．C 2．C

3. 等腰三角形的腰长比底边多2 cm，并且它的周长为16 cm．求这个等腰三角形的边长．

解：设三角形的底边长为x cm，那么其腰长为〔x+2〕cm，根据题意，得 2〔x+2〕+x=16．解得x=4．

所以，等腰三角形的三边长为4 cm、6 cm和6 cm．

15.2.2 分式的加减

教学目标

明确分式混合运算的顺序，熟练地进行分式的混合运算. 重点难点

1．重点：熟练地进行分式的混合运算. 2．难点：熟练地进行分式的混合运算. 3．认知难点与突破方法

教师强调进行分式混合运算时，要注意运算顺序，在没有括号的情况下，按从左到右的方向，先乘方，再乘除，然后加减. 有括号要按先小括号，再中括号，最后大括号的顺序.混合运算后的结果分子、分母要进行约分，注意最后的结果要是最简分式或整式.分子或分母的系数是负数时，要把“-〞号提到分式本身的前面. 教学过程

例、习题的意图分析

1．教科书例7、例8是分式的混合运算. 分式的混合运算需要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，最后结果分子、分母要进行约分，注意最后的结果要是最简分式或整式.

2．教科书练习1：写出教科书问题3和问题4的计算结果.这道题与第一节课相照应，也解决了本节引言中所列分式的计算，完整地解决了应用问题. 二、课堂引入

1．说出分数混合运算的顺序.

2．教师指出分数的混合运算与分式的混合运算的顺序相同. 三、例题讲解

〔教科书〕例7 计算

[分析] 这道题是分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要是最简分式.

〔教科书〕例8 计算：

[分析] 这道题是分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，注意有括号先算括号内的，最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要是最简分式. 四、随堂练习 计算：

x24x2ab11))() (1) ( 〔2〕(x22x2xabbaab 〔3〕(312212)() a2a4a2a2 五、课后练习 1．计算：

(1)(1 (2)(yx)(1) xyxya2a1a24a)2 22aa2aa4a4a111xy (3)()

xyzxyyzzx 2．计算(

六、答案：

114)2，并求出当a-1的值. a2a2aab 〔3〕3 abxy11 五、1.(1)2 (2) 〔3〕

xy2za2 四、〔1〕2x 〔2〕

a21 2.原式=2，当a-1时，原式=-.

3a4