济南市2019届九年级上月考数学试卷（10月）含答案解析
一、选择题
1．下列方程中是一元二次方程的是（ ） A．5x2﹣6y﹣2=0
B．
C．x2=0 D．3x+1=5x+7
2．方程x（x+2）=3（x+2）的解是（ ） A．3和﹣2
B．3 C．﹣2 D．无解
3．用配方法解下列方程，其中应在左右两边同时加上4的是（ ） A．x2﹣2x=5
B．x2﹣8x=4
C．x2﹣4x﹣3=0 D．x2+2x=5
4．关于x的一元二次方程kx2﹣6x+9=0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（ ） A．k＜1
B．k≠0
C．k＜1且k≠0
D．k＞1
5．让图中两个转盘分别自由转动一次，当转盘停止转动时，两个指针分别落在某两个数所表示的区域，则两个数的和是2的倍数或是3的倍数的概率等于（ ）
A． B． C． D．
6．学校新开设了航模、彩绘、泥塑三个社团，如果征征、舟舟两名同学每人随机选择参加其中一个社团，那么征征和舟舟选到同一社团的概率是（ ） A． B． C． D．
7．把mn=pq写成比例式，写错的是（ ） A． =
B． =
C． =
D． =
8．如图，在△ABC中，点D、E分AB、AC边上，DE∥BC，若AD：AB=3：4，AE=6，则AC等于（ ）
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A．3 B．4 C．6 D．8
9．某型号的手机连续两次降价，每个售价由原来的1225元降到了625元，设平均每次降价的百分率为x，列出方程正确的是（ ）
A．625（1+x）2=1225 B．1225（1+x）2=625 C．625（1﹣x）2=1225 D．1225（1﹣x）
2
=625
10．已知x：y=2：3，则（x+y）：y的值为（ ） A．2：5
B．5：2
C．5：3
D．3：5
11．已知：如图，在△ABC中，∠ADE=∠C，则下列等式成立的是（ ）
A． = B． = C． = D． =
12．在下列四组三角形中，一定相似的是（ ） A．两个等腰三角形 C．两个直角三角形
B．两个等腰直角三角形 D．两个锐角三角形
13．等腰三角形的底和腰是方程x2﹣6x+8=0的两根，则这个三角形的周长为（ ） A．8 B．10 C．8或10
D．不能确定
14．如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD相交于O，腰BA、CD的延长线相交于M，图中相似三角形共有（ ）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
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15．在▱ABCD中，点E为AD的中点，连接BE，交AC于点F，则AF：CF=（ ）
A．1：2 二、填空题 16．方程5x2=
B．1：3 C．2：3 D．2：5
x的二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 ．
17．x1，x2是方程2x2﹣7x+4=0的两根，则x1+x2= ，x1x2= ． 18．已知a、b、d、c是成比例线段，a=4cm，b=6cm，d=9cm，则c= ． 19．如果3x=5y，那么= ．
20．如图，A、B两点间有一湖泊，无法直接测量，已知CA=60米，CD=24米，DE=32米，DE∥AB，则AB= 米．
21．如图，若DE∥BC，FD∥AB，AD：AC=2：3，AB=9，BC=6，则四边形BEDF的周长为 ．
三、解答题 22．x2﹣8x=0； （2）2x2﹣3x﹣5=0．
23．在一个不透明的袋子中，装有2个红球和1个白球，这些球除了颜色外都相同．
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（1）搅匀后从中随机摸出一球，请直接写出摸出红球的概率；
（2）如果第一次随机摸出一个球（不放回），充分搅匀后，第二次再从剩余的两球中随机摸出一个小球，求两次都摸到红球的概率．（用树状图或列表法求解）
24．如图所示，某幼儿园有一道长为16米的墙，计划用32米长的围栏靠墙围成一个面积为120平方米的矩形草坪ABCD．求该矩形草坪BC边的长．
25．黄冈百货商店服装柜在销售中发现：“宝乐”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接“六•一”国际儿童节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，尽量减少库存．经市场调查发现：如果每件童装降价4元，那么平均每天就可多售出8件．要想平均每天销售这种童装上盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？ 26．如图，在△ABC中，∠C=90°，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F．求证：△DEH∽△BCA．
27．如图所示，在4×4的正方形方格中，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上．
（1）填空：∠ABC= ，BC= ；
（2）判断△ABC与△DEF是否相似？并证明你的结论．
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28．如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm．点P沿AB边从点A开始向点B以2cm/s的速度移动；点Q沿DA边从点D开始向点A以1 cm/s的速度移动．如果P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间（0≤t≤6）那么： （1）当t为何值时，△QAP为等腰直角三角形？
（2）求四边形QAPC的面积，提出一个与计算结果有关的结论； （3）当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似？
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-学年长清五中九年级（上）月考数学试卷（10月份）
参考答案与试题解析
一、选择题
1．下列方程中是一元二次方程的是（ ） A．5x2﹣6y﹣2=0
B．
C．x2=0 D．3x+1=5x+7
【考点】一元二次方程的定义． 【专题】常规题型．
【分析】本题根据一元二次方程的定义解答．一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；
（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．
【解答】解：A、方程含有两个未知数，故本选项错误； B、不是整式方程，故本选项错误．
C、符合一元二次方程的定义，故本选项正确； D、方程二次项系数为0，故本选项错误． 故选C．
【点评】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．
2．方程x（x+2）=3（x+2）的解是（ ） A．3和﹣2
B．3 C．﹣2 D．无解
【考点】解一元二次方程-因式分解法． 【专题】计算题．
【分析】方程移项后，利用因式分解法求出解即可． 【解答】解：方程整理得：x（x+2）﹣3（x+2）=0， 分解因式得：（x﹣3）（x+2）=0， 解得：x=3或x=﹣2． 故选A．
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【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
3．用配方法解下列方程，其中应在左右两边同时加上4的是（ ） A．x2﹣2x=5
B．x2﹣8x=4
C．x2﹣4x﹣3=0 D．x2+2x=5
【考点】解一元二次方程-配方法．
【分析】分别配上一次项系数一般的平方，据此逐一判断即可． 【解答】解：A、x2﹣2x+1=5+1，此选项错误； B、x2﹣8x+16=4+16，此选项错误； C、x2﹣4x=3，x2﹣4x+4=3+4，此选项正确； D、x2+2x+1=5+1，此选项错误； 故选：C．
【点评】本题主要考查配方法解一元二次方程的能力，利用配方法时一般配上一次项系数一般的平方．
4．关于x的一元二次方程kx2﹣6x+9=0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（ ） A．k＜1
B．k≠0
C．k＜1且k≠0
D．k＞1
【考点】根的判别式；一元二次方程的定义．
【分析】因为关于x的一元二次方程kx2﹣6x+9=0有两个不相等的实数根，所以k≠0且△=b2﹣4ac＞0，建立关于k的不等式组，解得k的取值范围即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣6x+9=0有两个不相等的实数根， ∴k≠0，且△=b2﹣4ac=36﹣36k＞0， 解得k＜1且k≠0． 故答案为k＜1且k≠0． 故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件．一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．
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5．让图中两个转盘分别自由转动一次，当转盘停止转动时，两个指针分别落在某两个数所表示的区域，则两个数的和是2的倍数或是3的倍数的概率等于（ ）
A． B． C． D．
【考点】列表法与树状图法． 【专题】计算题．
【分析】列表得出所有等可能的情况数，找出两个数的和是2的倍数或3的倍数情况，即可求出所求概率． 【解答】解：列表如下：
1 2 3 4 1 （1，1） （1，2） （1，3） （1，4） 2 （2，1） （2，2） （2，3） （2，4） 3 （3，1） （3，2） （3，3） （3，4） 4 （4，1） （4，2） （4，3） （4，4） 所有等可能的情况有16种，其中两个数的和是2的倍数或3的倍数情况有10种， 则P=
=．
故选：C．
【点评】此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
6．学校新开设了航模、彩绘、泥塑三个社团，如果征征、舟舟两名同学每人随机选择参加其中一个社团，那么征征和舟舟选到同一社团的概率是（ ） A． B． C． D． 【考点】列表法与树状图法．
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【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与征征和舟舟选到同一社团的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【解答】解：画树状图得：
∵共有9种等可能的结果，征征和舟舟选到同一社团的有3种情况， ∴征征和舟舟选到同一社团的概率是： =． 故选：C．
【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
7．把mn=pq写成比例式，写错的是（ ） A． =
B． =
C． =
D． =
【考点】比例的性质．
【分析】利用等式的基本性质即可解决问题．
【解答】解：A、把mn=pq（mn≠0）两边同时除以nq得， =，所以A正确； B、把A中的等式的分子和分母倒过来，即可，B正确； C、把mn=pq（mn≠0）两边同时除以mp，得利用排除法可知D错误． 故选D．
【点评】本题考查的是等式的性质．等式性质1：等式的两边都加上或者减去同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式；等式性质2：等式的两边都乘以或者除以同一个数（除数不为零），所得结果仍是等式．
8．如图，在△ABC中，点D、E分AB、AC边上，DE∥BC，若AD：AB=3：4，AE=6，则AC等于（ ）
，所以C正确；
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A．3 B．4 C．6 D．8 【考点】平行线分线段成比例． 【专题】几何图形问题．
【分析】首先由DE∥BC可以得到AD：AB=AE：AC，而AD：AB=3：4，AE=6，由此即可求出AC．
【解答】解：∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴AD：AB=AE：AC， 而AD：AB=3：4，AE=6， ∴3：4=6：AC， ∴AC=8． 故选D．
【点评】本题主要考查平行线分线段成比例定理，对应线段一定要找准确，有的同学因为没有找准对应关系，从而导致错选其他答案．
9．某型号的手机连续两次降价，每个售价由原来的1225元降到了625元，设平均每次降价的百分率为x，列出方程正确的是（ ）
A．625（1+x）2=1225 B．1225（1+x）2=625 C．625（1﹣x）2=1225 D．1225（1﹣x）
2
=625
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【分析】设平均每次降价的百分率为x，则第一次降价后售价为1225（1﹣x），第二次降价后售价为1225（1﹣x）2，然后根据两次降阶后的售价建立等量关系即可． 【解答】解：设平均每次降价的百分率为x，由题意得 1225（1﹣x）2=625． 故选D．
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【点评】本题考查从实际问题中抽象出一元二次方程，掌握求平均变化率的方法：若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b．
10．已知x：y=2：3，则（x+y）：y的值为（ ） A．2：5
B．5：2
C．5：3
D．3：5
【考点】比例的性质．
【分析】根据比例设x=2k，y=3k，然后代入比例式进行计算即可得解． 【解答】解：设x=2k，y=3k， 则（x+y）：y=（2k+3k）：3k=5：3． 故选C．
【点评】本题考查了比例的性质，利用“设k法”求解更简便．
11．已知：如图，在△ABC中，∠ADE=∠C，则下列等式成立的是（ ）
A． = B． = C． = D． =
【考点】相似三角形的判定与性质． 【专题】压轴题．
【分析】先根据相似三角形的判定定理求出△ADE∽△ACB，再根据其对应边成比例解答即可．
【解答】解：∵在△ABC中，∠ADE=∠C，∠A=∠A， ∴△ADE∽△ACB，
=
．故选C．
【点评】本题主要考查了三角形相似的判定方法，有两个角对应相等的三角形相似，相似三角形的对应边的比相等．
12．在下列四组三角形中，一定相似的是（ ） A．两个等腰三角形
B．两个等腰直角三角形
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C．两个直角三角形 【考点】相似图形． 【专题】常规题型．
D．两个锐角三角形
【分析】根据相似图形的定义对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、两个等腰三角形，两腰对应成比例，夹角不一定相等，所以两个等腰三角形不一定相似，故本选项错误；
B、两个等腰直角三角形，两腰对应成比例，夹角都是直角一定相等，所以两个等腰三角形一定相似，故本选项正确；
C、两个直角三角形，只有一直角相等，其余两锐角不一定有对应相等，所以两三角形不一定相似，故本选项错误；
D、两个锐角三角形，不具备相似的条件，所以不一定相似，故本选项错误． 故选B．
【点评】本题考查了相似图形，注意相似图形从对应边与夹角两方面考虑，是基础题，熟练掌握概念是解题的关键．
13．等腰三角形的底和腰是方程x2﹣6x+8=0的两根，则这个三角形的周长为（ ） A．8 B．10 C．8或10
D．不能确定
【考点】等腰三角形的性质；解一元二次方程-因式分解法；三角形三边关系． 【专题】计算题．
【分析】先求出方程的根，再根据三角形三边关系确定是否符合题意，然后求解． 【解答】解：∵方程x2﹣6x+8=0的解是x=2或4， （1）当2为腰，4为底时，2+2=4不能构成三角形；
（2）当4为腰，2为底时，4，4，2能构成等腰三角形，周长=4+4+2=10． 故选：B．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和分情况讨论的思想，注意根据三角形的三边关系确定是否能构成三角形，不可盲目讨论．
14．如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD相交于O，腰BA、CD的延长线相交于M，图中相似三角形共有（ ）
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A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 【考点】相似三角形的判定．
【分析】平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似，由此即可得出答案． 【解答】解：∵AD∥BC，
∴△MAD∽△MBC，△ADO∽△CBO，共两对． 故选B．
【点评】本题考查了相似三角形的判定，解答本题的关键是掌握相似三角形的几种判定方法．
15．在▱ABCD中，点E为AD的中点，连接BE，交AC于点F，则AF：CF=（ ）
A．1：2 B．1：3 C．2：3 D．2：5
【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．
【分析】根据四边形ABCD是平行四边形，求证△AEF∽△BCF，然后利用其对应边成比例即可求得答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴△AEF∽△BCF， ∴
=
，
∵点E为AD的中点， ∴
=
=，
故选：A．
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【点评】此题主要考查学生对相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质等知识点，难度不大，属于基础题． 二、填空题 16．方程5x2=
x的二次项系数是 5 ，一次项系数是 ﹣
，常数项是 0 ．
【考点】一元二次方程的一般形式．
【分析】方程整理为一般形式，找出二次项系数，一次项系数以及常数项即可． 【解答】解：方程5x2=整理得：5x2﹣
x=0，
，常数项为0，
x，
则二次项系数为5，一次项系数为﹣故答案为：5，﹣
，0．
【点评】此题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
17．x1，x2是方程2x2﹣7x+4=0的两根，则x1+x2= 【考点】根与系数的关系． 【专题】计算题．
【分析】直接根据一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系求解． 【解答】解：根据题意得x1+x2=﹣故答案为，2．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x1，x2，则x1+x2=﹣，x1•x2=．
18．已知a、b、d、c是成比例线段，a=4cm，b=6cm，d=9cm，则c= 13.5cm ． 【考点】比例线段．
【分析】根据四条线段成比例，列出比例式，再把a=4cm，b=6cm，d=9cm代入计算即可．
=，x1•x2==2．
，x1x2= 2 ．
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【解答】解：∵a、b、d、c是成比例线段， ∴=，
∵a=4cm，b=6cm，d=9cm， ∴=， ∴c=13.5（cm）． 故答案为13.5cm．
【点评】此题考查了考查了比例线段的定义，注意a、b、d、c是成比例线段即=，要理解各个字母的顺序．
19．如果3x=5y，那么= 5：3 ． 【考点】比例的性质．
【分析】根据比例的性质，把所给的等式3x=5y，改写成一个外项是x，一个内项是y的比例，则和x相乘的数3就作为比例的另一个外项，和y相乘的数5就作为比例的另一个内项，据此写出比例即可．
【解答】解：因为3x=5y，所以x：y=5：3． 故答案为：5：3
【点评】此题考查把给出的等式改写成比例式的方法，在改写时，要注意：相乘的两个数要做内项就都做内项，要做外项就都做外项．
20．如图，A、B两点间有一湖泊，无法直接测量，已知CA=60米，CD=24米，DE=32米，DE∥AB，则AB= 80 米．
【考点】相似三角形的应用．
【分析】根据图形和已知条件整理出相似三角形，然后利用相似三角形对应边的比相等列出算式求解即可．
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【解答】解：∵DE∥AB， ∴
∵CA=60米，CD=24米，DE=32米， ∴
解得：AB=80 故答案为：80
【点评】本题考查了相似三角形的应用，从实际问题中整理出相似三角形是解决本题的关键．
21．如图，若DE∥BC，FD∥AB，AD：AC=2：3，AB=9，BC=6，则四边形BEDF的周长为 14 ．
【考点】相似三角形的性质；平行四边形的性质；平行四边形的判定．
【分析】根据已知可判定△AED∽△ABC，且四边形BEDF是平行四边形，根据相似比及已知各边的长，不难求得其周长． 【解答】解：∵DE∥BC，FD∥AB，
∴四边形BEDF是平行四边形，△AED∽△ABC， ∴AE：AB=AD：AC=ED：BC， ∵AD：AC=2：3，AB=9，BC=6， ∴AE=6，ED=4， ∴BE=3，
∴四边形BEDF的周长=2（3+4）=14． 故答案为：14．
【点评】此题主要考查学生对相似三角形的判定及性质，平行四边形的判定及性质的综合运用能力． 三、解答题
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22．（1）x2﹣8x=0； （2）2x2﹣3x﹣5=0．
【考点】解一元二次方程-因式分解法．
【分析】（1）利用因式分解法把方程化为x=0或x﹣8=0，然后解两个一次方程即可； （2）利用十字相乘法把要求的式子进行因式分解，然后求解即可． 【解答】解：（1）x2﹣8x=0， x（x﹣8）=0， x=0或x﹣8=0， x1=0，x2=8；
（2）2x2﹣3x﹣5=0， （2x﹣5）（x+1）=0， x1=，x2=﹣1．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
23．在一个不透明的袋子中，装有2个红球和1个白球，这些球除了颜色外都相同． （1）搅匀后从中随机摸出一球，请直接写出摸出红球的概率；
（2）如果第一次随机摸出一个球（不放回），充分搅匀后，第二次再从剩余的两球中随机摸出一个小球，求两次都摸到红球的概率．（用树状图或列表法求解）
【考点】列表法与树状图法；概率公式．
【分析】（1）由在一个不透明的袋子中，装有2个红球和1个白球，这些球除了颜色外都相同，直接利用概率公式求解即可求得答案；
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（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次都摸到红球的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【解答】解：（1）∵在一个不透明的袋子中，装有2个红球和1个白球，这些球除了颜色外都相同，
∴摸出红球的概率为：
（2）画树状图得：
=；
∵共有6种等可能的结果，两次都摸到红球的有2种情况， ∴两次都摸到红球的概率为： =．
【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率=所求情况数与总情况数之比．
24．如图所示，某幼儿园有一道长为16米的墙，计划用32米长的围栏靠墙围成一个面积为120平方米的矩形草坪ABCD．求该矩形草坪BC边的长．
【考点】一元二次方程的应用． 【专题】几何图形问题．
【分析】可设矩形草坪BC边的长为x米，则AB的长是出一元二次方程求解．
，根据长方形的面积公式列
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【解答】解：设BC边的长为x米，则AB=CD=根据题意得：
×x=120，
米，
解得：x1=12，x2=20， ∵20＞16，
∴x2=20不合题意，舍去， 答：矩形草坪BC边的长为12米．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，注意得出结果后要判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．注意本题表示出矩形草坪的长和宽是解题的关键．
25．黄冈百货商店服装柜在销售中发现：“宝乐”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接“六•一”国际儿童节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，尽量减少库存．经市场调查发现：如果每件童装降价4元，那么平均每天就可多售出8件．要想平均每天销售这种童装上盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？ 【考点】一元二次方程的应用． 【专题】销售问题．
【分析】设每件童装应降价x元，原来平均每天可售出20件，每件盈利40元，后来每件童装降价4元，那么平均每天就可多售出8件．要想平均每天销售这种童装上盈利1200元，由此即可列出方程（40﹣x）（20+2x）=1200，解方程就可以求出应降价多少元． 【解答】解：如果每件童装降价4元，那么平均每天就可多售出8件，则每降价1元，多售2件，设降价x元，则多售2x件． 设每件童装应降价x元，
依题意得（40﹣x）（20+2x）=1200， 整理得x2﹣30x+200=0， 解之得x1=10，x2=20， 因要减少库存，故x=20． 答：每件童装应降价20元．
【点评】首先找到关键描述语，找到等量关系，然后准确的列出方程是解决问题的关键．最后要判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．
26．如图，在△ABC中，∠C=90°，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F．求证：△DEH∽△BCA．
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【考点】相似三角形的判定． 【专题】证明题．
【分析】△DEH与△ABC均为直角三角形，只要再求出一锐角对应相等即可． 【解答】证明：∵DE⊥AB，DF⊥BC， ∴∠D+∠DHE=∠B+∠BHF=90° 而∠BHF=∠DHE， ∴∠D=∠B，
又∵∠HFB=∠C=90°， ∴△DEH∽△BCA．
【点评】熟练掌握相似三角形的性质及判定．
27．如图所示，在4×4的正方形方格中，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上．
（1）填空：∠ABC= 135° ，BC= 2
；
（2）判断△ABC与△DEF是否相似？并证明你的结论．
【考点】相似三角形的判定；勾股定理． 【专题】压轴题；网格型．
【分析】（1）根据已知条件，结合网格可以求出∠ABC的度数，根据，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上，利用勾股定理即可求出线段BC的长； （2）根据相似三角形的判定定理，夹角相等，对应边成比例即可证明△ABC与△DEF相似．
【解答】（1）解：∠ABC=90°+45°=135°，
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BC===2； ．
故答案为：135°；2
（2）△ABC∽△DEF．
证明：∵在4×4的正方形方格中， ∠ABC=135°，∠DEF=90°+45°=135°， ∴∠ABC=∠DEF． ∵AB=2，BC=2∴
=
=
，FE=2，DE=，
=
=
．
∴△ABC∽△DEF．
【点评】此题主要考查学生对勾股定理和相似三角形的判定的理解和掌握，解答此题的关键是认真观察图形，得出两个三角形角和角，边和边的关系．
28．如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm．点P沿AB边从点A开始向点B以2cm/s的速度移动；点Q沿DA边从点D开始向点A以1 cm/s的速度移动．如果P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间（0≤t≤6）那么： （1）当t为何值时，△QAP为等腰直角三角形？
（2）求四边形QAPC的面积，提出一个与计算结果有关的结论； （3）当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似？
【考点】一元一次方程的应用；等腰三角形的判定；相似三角形的性质． 【专题】几何图形问题；综合题；压轴题；分类讨论．
【分析】（1）根据题意分析可得：因为对于任何时刻t，AP=2t，DQ=t，QA=6﹣t．当QA=AP时，△QAP为等腰直角三角形，可得方程式，解可得答案；
（2）根据（1）中．在△QAC中，QA=6﹣t，QA边上的高DC=12，由三角形的面积公式可得关系式，计算可得在P、Q两点移动的过程中，四边形QAPC的面积始终保持不变；
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（3）根据题意，在矩形ABCD中，可分为式，代入数据可得答案．
=、=两种情况来研究，列出关系
【解答】解：（1）对于任何时刻t，AP=2t，DQ=t，QA=6﹣t． 当QA=AP时，△QAP为等腰直角三角形，即：6﹣t=2t， 解得：t=2（s），
所以，当t=2s时，△QAP为等腰直角三角形．
（2）在△QAC中，QA=6﹣t，QA边上的高DC=12， ∴S△QAC=QA•DC=（6﹣t）•12=36﹣6t． 在△APC中，AP=2t，BC=6， ∴S△APC=AP•BC=•2t•6=6t．
∴S四边形QAPC=S△QAC+S△APC=（36﹣6t）+6t=36（cm2）． 由计算结果发现：
在P、Q两点移动的过程中，四边形QAPC的面积始终保持不变．（也可提出：P、Q两点到对角线AC的距离之和保持不变）．
（3）根据题意，可分为两种情况来研究，在矩形ABCD中： ①当
==
时，△QAP∽△ABC，那么有： ，解得t==1.2（s），
即当t=1.2s时，△QAP∽△ABC； ②当
==
时，△PAQ∽△ABC，那么有： ，解得t=3（s），
即当t=3s时，△PAQ∽△ABC；
所以，当t=1.2s或3s时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似．
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【点评】此题比较复杂，综合了等腰三角形、相似三角形的判定定理与性质，是一道具有一定综合性的好题．
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