如证明二直线垂直可延长使它们 相交后证交角为90°， 证线段倍半关系可倍线段取中点或半线段加倍， 证角的倍半关系也可类似添辅助线 （2）按基本图形添辅助线：
每个几何定理都有与它相对应的几何图形，我们 把它叫做基本图形，添辅助线往往是具有基本图形的性质而基本图形不完整时补完整基本图形，因此“添线”应该叫做“补图”！这样可防止乱添线，添辅助线也有规律可循。 举例如下：平行线是个基本图形：
当几何中出现平行线时添辅助线的关键是添与二条平行线都相交的等第三条直线
等腰三角形是个简单的基本图形：
当几何问题中出现一点发出的二条相等线段时往往要补完整等腰三角形。
出现角平分线与平行线组合时可延长平行线与角的二边相交得等腰三角形。
等腰三角形中的重要线段是个重要的基本图形： 出现等腰三角形底边上的中点添底边上的中线；
出现角平分线与垂线组合时可延长垂线与角的二边相交得等腰三角形中的重要线段的基本图形。
直角三角形斜边上中线基本图形
出现直角三角形斜边上的中点往往添斜边上的中线
出现线段倍半关系且倍线段是直角三角形的斜边则要添直角三角形斜边上的中线得直角三角形斜边上中线基本图形。 三角形中位线基本图形
几何问题中出现多个中点时往往添加三角形中位线基本图形进行证明当有中点没有中位线时则添中位线，当有中位线三角形不完整时则需补完整三角形
当出现线段倍半关系且与倍线段有公共端点的线段带一个中点则可过这中点添倍线段的平行线得三角形中位线基本图形。 当出现线段倍半关系且与半线段的端点是某线段的中点，则可过带中点线段的端点添半线段的平行线得三角形中位线基本图形。全等三角形：
全等三角形有轴对称形，中心对称形，旋转形与平移形等 如果出现两条相等线段或两个档相等角关于某一直线成轴对称就可以添加轴对称形全等三角形：或添对称轴，或将三角形沿对称轴翻转。
当几何问题中出现一组或两组相等线段位于一组对顶角两边且成一直线时可添加中心对称形全等三角形加以证明，添加方法是将四个端点两两连结或过二端点添平行线 相似三角形：
相似三角形有平行线型（带平行线的相似三角形），相交线型，
旋转型
当出现相比线段重叠在一直线上时（中点可看成比为1）可添加平行线得平行线型相似三角形。若平行线过端点添则可以分点或另一端点的线段为平行方向，这类题目中往往有多种浅线方法。特殊角直角三角形
当出现30，45，60，135，150度特殊角时可添加特殊角直角三角形，利用45角直角三角形三边比为1：1：√2；30度角直角三角形三边比为1：2：√3进行证明 半圆上的圆周角
出现直径与半圆上的点，添90度的圆周角 出现90度的圆周角则添它所对弦---直径
平面几何中总共只有二十多个基本图形就像房子不外有一砧，瓦，水泥，石灰，木等组成一样
下面提供三角形中位线基本图形的几种添线图形（色线为辅助线）补充几句：
我认为添辅助线是有规律的！如西瓦定理结论很复杂，但出现了相比线段重叠在一直线上的特征，而这正是平行线形相似三角形的性质！因此我们可根据平行线形相似三角形进行补图：添平行线得平行线型相似三角形进行证明。又如几何问题中出现多个中点时可添加面积等分线或补完整三角形中位线基本图形进行证明（如证顺次连结任意四边形各边中点的四边形为平行四边形）；出现线段倍半关系除根据定义加倍取半外（也是规律么）还有下
面几种情形：若倍线段是直角三角形斜边则必须 添直角三角形斜边上的中线得直角三角形斜边上的中线的基本图形；但若与倍线段有公共端点的某线段带一个中点或半线段的端点是另一线段的中点则必添加三角形中位线基本图形无疑！
平面几何需要感觉 需要联系
一般来说 有以下几种 1 高线（垂线）2角平分线 3中线 4对称(不常用) 园内 1圆心与弦的中点连线 2切线 3角平分线
不少初中生感到平面几何比较难学，特别是遇到需要添加辅助线的习题，有时会感到无从下手。在此，对初中几何中添加辅助线的思路从以下几个方面进行了总结，希望能帮助参加中考的学生有效复习备考。 揭示图形中隐含的性质(扩大原题的“已知”)
当题目的题设和结论之间的逻辑关系不太明朗、甚至“彼此孤立”时，可以通过添加适当的辅助线，把题设条件中隐含的有关性质充分显现出来，扩大了已知条件，从而有利于迅速找到题目的最近切入口，进而推导出题目的结论。 【例题1】如图1，D是⊿ABC的边AC的中点，延长BC到点E，使CE=BC，ED的延长线交AB于点F，求ED∶EF
分析：思路一：过C作AB的平行线交DE于G，由D是AC的中点可得FD=DG，由CE=BC可得FG=GE，从而得ED∶EF=3∶4
思路二：过D作BE的平行线交AB于I，类似法一得ID∶BC=1∶2，ID∶BE=1∶4，从而得ED∶EF=3∶4
思路三：过D作AB的平行线交BE于H，易得BH=HC=1/4BE，得ED∶EF=3∶4
说明：本题三种思路所添加的三条平行线，均是为了充分利用“D是⊿ABC的边AC的中点”这一条件，使本来感觉比较薄弱的一个条件，在平行线的作用下变得内涵丰富，既有另外一边的中点出现，又可以利用三角形的中位线定理，这样使用起来就更加得心应手。
构造图形，补题设(已知)的不足有时必须添加一些图形，使题设条件能充分显示出来，从而为定理的应用创造条件，或者使不能直接证得的结论转化为与它等价的另一个结论，便于思考与证明。
【例题2】已知：O是正方形ABCD内一点，∠OBC=∠OCB=15°求证：⊿AOB是等边三角形
分析：(如图2)构建三角形OMC。使DH⊥OC于H，则∠2=15°作∠DCM=15°则⊿DMC≌⊿BOC且∠MCO=60°DM=MC=OC=OM
∴∠DMO=360°-60°-150°=150° ∴∠1=∠MOD=15°
从而有∠DOC=∠DCO=75°，DO=DC=AD=AB=AO
说明：本题就是利用辅助线构造出一个和要证明的结论类似的等边三角形，然后借助构造出的图形解答题目。 把分散的几何元素聚集起来
有些几何题，条件与结论比较分散。通过添加适当的辅助线，将图形中分散、“远离”了的元素聚集到有关的图形上，使他们相对集中、便于比较、建立关系，从而找出问题的解决途径。
【例题3】如图8,△ABC中，∠B=2∠C，且∠A的平分线为AD，问AB与BD的和等于AC吗?
思路一：如图9，在长线段AC上截取AE=AB，由△ABD≌△AED推出BD=DE，从而只需证EC=DE.
思路二：如图10，延长短线段AB至点E,使AE=AC，因而只需证BE=BD,由△AED≌△ACD及∠B=2∠C，可证∠E=∠BDE，从而有BE=BD.
思路三：如图10，延长AB至E，使BE=BD，连接ED，由∠ABD=2∠C，∠ABD=2∠E，可证△AED≌△ACD，可得AE=AC,即AC=AB+BD.
说明：这道例题就是利用辅助线，把本来不在一条直线的线段AB与BD聚集到一条直线上来，这样就可以轻松得到AB+BD或者AC——AB,然后题目就迎刃而解了。
参考资料： 浅谈基本图形在初中几何教学中的重要应用
时间： 2009-11-01 来源： 阳光学习网 作者：蔡荣
[ 摘 要 ] 基本图形在初中平面几何教学中有着重要的地位 .基本图形的应用贯穿于初中平面几何教学的各个部分，基本图形是平面几何教与学的捷径 .
基本图形与平面几何性质相结合，形成基本图形库，以此来解平面几何问题常起到化繁为简，以少总多的妙用 .因此，基本图形的认识、储备、运用在初中平面几何课程中就显得十分重要和必需 .
[ 关键词 ] 基本图形 几何性质 储备 化归
前言：平面几何是一门研究平面内几何图形性质的基础学科 .古希腊人认为学习几何是训练思维的最好方式 .在现代，几何更成了理工科类的基础学科之一 .对于初学几何的学生而言，千变万化的几何图形深深的吸引着他们 .学生们大都认为几何比代数更具体、更形象，有一种直观的美感 .但是，经过一段时间的学习后，随着学习的深入，难度的加大 .学生中就出现的这样的声音：“明明定理证明都看懂了，也记住了，可一拿到题目就常常傻眼了”，“简单的题目不用分析，复杂的题目不会分析” .对于这种现象，我认为尽管书中的定理有证明，例题有过程，但由于教材内容及编排的限制，无法就怎样详细地、有层次地讲分析问题；按部就班地安排训练等问题进行系统的阐述 .从而缺少了对学生解题思路的基本训练 .使得学生对问题的分析能力根本无法提高，学习几何当然就存在困难 .对于一个教师来说应该如何来解决这个让学生头痛的问题，从而让学生的几何学习能有一个比较好的方式方法呢？下面就针对这种问题来谈谈自己在研究几何教学方面的一些肤浅认识 .
一、熟悉性质，解析图形
平面几何主要是应用推理论证的方法，研究平面几何图形的形状、大小、位置关系等方面性质 .比如要判断两个三角形相似，单凭观察是不行的，靠度量也是不行的，必须用推理论证的方法来研究平面图形的性质，这样才能得出科学的结论 .这就需要学生学会从题设出发，根据已经学过的定义、公理、已证明过的定理来推导出结论 .而平时学生只注重记忆性质，忽略了图形 .面对题目空有理论，却无从下手 .这种知识储备不完全的现象，使得解题时学生不能将性质与图形有机的结合在一起 .那么要求学生会解几何题又从何谈起呢 .
学习平面几何是研究平面图形的性质，那么就应该要求学生能做到“见到图形，想到性质；想到性质，想全性质” .
( 一 )、见到图形，想到性质 .
下面我们来举例说明 .
例 1 如图 1：已知在⊙ O中， AB是弦， BD是切线， OD⊥ OA交 AB于 C，求证： CD＝ BD.
这个题目的条件有圆、有弦、有半径、有切线、有垂直关系，那么结合图形我们看到 BD是⊙ O的切线，我们就应该想到有关切线的性质（即“看到图形，想到性质”）：①切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径 .但这并不全面，同时我们还要想与切线有关的其他性质：②切线长定理：从圆外一点引圆的两条件切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条件切线的夹角 .③弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧对的圆周角 .④切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项 .与圆的切线有关的定理都在这里了，那么用这些知识基本上就能证明这一道题了 .
我们来试试看：
分析 1（切线的性质定理）如图 1-1，连结 OB，则 OB⊥ BD，得到∠ ABO+∠ ABD＝ 90°，而∠ A+∠ ACO＝ 90°，∠ ACO＝∠ BCD，即∠ A+∠ BCD＝ 90°，得到∠ A＝∠ ABO，再根据等角的余角相等，显然有∠ BCD＝∠ ABD，从而 CD＝ BD得证 .
分析 2（切线长定理）如图 1-2，题目中只有一条切线 BD，要有切线长定理就要过 A作一条切线 .即过 A作 AF⊥ AO，交 BD的延长线于 F点 .由切线长定理容易证出∠ BAF＝∠ ABD，又 AF⊥ AO， OD⊥ OA，得出 OD∥ AF，即有∠ BAF＝∠ BCD，所以∠ BCD＝∠ ABD，从而 CD＝ BD得证 .
分析 3（弦切角定理）如图 1-3，题目中只有∠ ABD是弦切角，要用弦切角定理就必须∠ ABD所夹的 所对的圆周角，所以要延长 AO交⊙ O于 E，连结 BE，得∠ ABD＝∠ E，∠ ABE＝ 90°，再由∠ ACO＝∠ BCD，∠ A+∠ ACO＝ 90°，∠ A+∠ E＝ 90°，所以∠ BCD＝∠ E，有∠ BCD＝∠ ABD，从而 CD＝ BD得证 .
（二）、想到性质，想全性质
举例如下：
例 2 如图 2， AB、 CD相交于 E， AD=AE， CB=CE， F、 G、 H分别是 DE、 BE、 AC的中点 .求证： HF=HG.
一看题目学生往往就会想到①三角形全等的判定定理： SSS,SAS,ASA,AAS,HL，②等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等，③等腰三角形“三线合一”：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合，④三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半 .
可是这么多性质和定理，却无法让学生打开思路 .但当老师提示的问道： “看看我们学过什么与中点有关的重要图形？”学生们都会马上醒悟：“哦，重要还有直角三角形的中线” .应该还可能用到⑤直角三角形中线性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 .而本题就要用到直角三角形中线性质题目才能迎刃而解 .让我们一起来看一看：
分析：（直角三角形中线性质）如图 2-1，连结 AF、 CG，由 AD=AE， CB=CE知Δ ADE和Δ CBE都是等腰三角形，即： AF⊥ CD、 CG⊥ AB，得到 RtΔ CAF和 RtΔ ACG，又因为 H是 AC中点，从而由直角三角形中线性质可得出 HF= AC； HG= AC，所以 HF=HG得证 .
在这题中直角三角形中线性质很容易被学生忽略 .这也就需要学生能够做到“想到性质，想全性质”才行 .
而要做到“见到图形，想到性质；想到性质，想全性质”就必须对书中定理及定理的证明非常熟悉 .但这正是学生所欠缺的 .因此，要求学生熟练掌握公理、定义、定理、推论就成为学好平面几何的第一步 .如果学生没有牢固打好这个基础，那么今后无论是教师的教还是学生的学都将变得不生不熟 . 二、储备基本图形，形成基本图形库
为了解决学生见到图形，想不到性质；想到性质，也想不全性质的这种难题，我认为学生必须进行知识储备，形成基本图形 .那么什么是基本图形呢？《图形与数学解题》一书是这么给它下的定义：所谓基本图形是指反映某一几何概念或定理的简
单图形 .这些图形一般都有与概念或定理的条件及结论的外形相呼应的结构特征 .从中我们可以明确像平行线、三角形、四边形、圆等都是基本图形，三角形的内心和圆的切线、弦切角等也属于基本图形 .同时，我认为还可以将这个内容的扩展延伸，把一些重要的、常用图形也加入到基本图形成为基本图形一部分 .对于这些基本图形我们要想达到“见到图形，想到性质；想到性质，想全性质”就必须把它们拿出来认认真真加以研究，形成基本图形储备起来 .在头脑中形成系统完备的待用基本图形库，最终把基本图形当作利刃，用到解题中去 .
平面几何中一共能形成多少基本图形呢？这并没有明文规定 .只要是常见的并具有代表性的重要图形，我们都可以挑出来形成自己的基本图形 .比如：①平行线判定定理和性质定理②三角形中线③三角形中位线定理④直角三角形斜边上的中线⑤直角三角形斜边上的高⑥垂径定理⑦切线长定理两圆的公共弦与公共切线⑧平行线中的比例线段⑨圆中的比例线段⑩切割线定理等等 .
如何来做这样的知识储备工作呢？我们试用七年级几何（人教版）中“平行线判定定理和性质定理”来看谈一谈知识储备要达到的标准 .做为学习几何推理论证的第一个内容 .在这之前学生从来还没有用过推理论证这种方法研究解决过问题 .因此，将它做为学生基本图形知识储备的起点是非常必要的 .现在让我们来看一看这个“三线八角”（注：在这个图中一共出现了三条线八个角，把它简记为“三线八角”）基本图形（如基图 1） .
对于这种基本图形适用于两种情况：
（ 1）如果我们把它看成是平行线性质定理，条件就应该是 AB∥ CD，被第三条直线 EF所截 .从而研究这里八个角的关系 .例如， AB∥ CD可以判断∠ 1＝∠ 2.
（ 2）如果我们把它看成是平行线的判定定理，条件就应该是 AB、 CD两条直线被第三条直线 EF所截，同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，从而得到 AB∥ CD.要将它储备为基本图形知识点 .要求我们认真研究它，做到以下几个方面：
1 、认得准线和角： 学生刚刚开始学习用推理论证方法解题，不论是性质定理还是判定定理的应用，常常因为不能明确认准三种角而出错 .
例 3 如图 3所示，已知 AB∥ CD，直线 EFG交 AB于 E，交 CD于 F， EM平分∠ AEF， FN平分∠ CFG，求证： EM∥ FN.
常有学生根据平行线性质定理，证出∠ AEF＝∠ CFG后，利用角平分线性质得到∠ 1＝∠ 3，来判定 EM∥ FN，他们的理由是根据“同位角相等，两直线平行” .然而，∠ 1和∠ 3根本不是八角中的任何一个角 .同样，有些学生，还会从 AB∥ CD直接得出∠ 1＝∠ 3.理由是“两直线平行，同位角相等” .这完全是因为没弄清楚三线八角的概念产生的错误 .
针对这些常见错误，我们首先应该让学生明白平行线中一共出现的三条线之间关系是“两条直线被第三条直线所截”，那么每次观察图形时一定要看准是那两条线被第三条线所截，别是线比较多的情况下 .上面例子中应该是直线 AB和 CD被 EF所截 .
其次，要明确每一个角在三线八角中的位置特征 .如图 4所示，将“两条直线”放在一起看，“第三条直线”单独看 .同位角应该是在两条直线的的同一方向上，在第三第直线的同侧，如∠ 1和∠ 5，∠ 2和∠ 6，∠ 3和∠ 7，∠ 4和∠ 8.内错角应该是在两条直线之间，在第三条直线两侧，如∠ 3和∠ 6，∠ 4和∠ 5.同旁内角应该是在两直线之间，在第三条直线同侧，如∠ 3和∠ 5，∠ 4和∠ 6.在复杂图形中认准它们非常关键 .
2 、分得清判定与性质： 平行线的判定定理和性质定理一定要分清楚 .把判定定理、性质定理熟记，分清两种定理各自的已知条件和结论分别是什么 .如果分不清楚就会有学生会这样证明例 2.他们会认为∠ AEF＝∠ CFG是因为同位角相等，那么∠ 2＝∠ 4也是因为是同位角相等 .很显然那就错了，∠ 2＝∠ 4是完全根据∠ AEF＝∠ CFG和角平分线性质得到的 .我们应该让学生明确的是，如果已知平行，那么就要用性质，如果是要求证平行就要用判定 .
3 、想得全定理： 对于平行线的判定和性质定理，在使用时一定要想得全 .特别是有关同旁内角这一判定和性质不是经常用的定理，是常常被忽略的 .
我们来看下面这个七年级学生学习完平行线（未学等腰三角形）后例子：
例 4已知：如图 5， AB∥ CD，∠ ABC和∠ BCD的平分线 BD、 AC相交于 E点 .求证： CE⊥ BE.
分析 绝大多数学生一看到题目就直接用“两直线平行，内错角相等”开始找内错角于是都得到了∠ CDB＝∠ ABD和∠ ACD＝∠ CAB.但等得到这两对内错角相等后就都傻眼了 .这就要求教师给学生提出要求，让他们记住见到图形，想到性质时一定要想得全面才行 .如果学生都想到了“两直线平行，同旁内角互补”那再加上角平分线的性质，题目就迎刃而解了 .即由 AB∥ CD推出∠ BCD+∠ ABC＝ 180°，再由 BD和 AC分别是∠ ABC和∠ BCD的平分线，即可得到∠ DBC+∠ BCA＝ 90°，也就得到∠ BEC=90°，从而证得 CE⊥ BE.
做到了以上几个方面， “三线八角”这一基本图形做为基础知识的储备，也就能成为学生今后解题中的一个比较好的工具了 .对于例 1 中的有关切线的三个定理我们也可以形成基本图形的知识储备，在此不再一一赘述 .总之，只要我们把握了基本图形的概念，学会自己提炼基本图形 .那么，建立基本图形库对于数学教师是比较容易做的工作 .同时对提高学生学习几何的能力也是想当有益的 .
所以，教师既要给学生不断储备基本图形，同时又要引导学生寻找规律，总结原则，就显得极为必要了 .
三、把握原则，充分利用好基本图形
（一）、熟能生巧原则
初中不再像小学一样了，科目变得繁多，知识变得密集了，经常是堂堂上新课，课课有重点，使得许多学生在学习中总是处于被动的状态，学生们常常是知识明白了，做题却有困难 .这完全是训练跟不上的原因 .因此必须强调熟练 .同是一个知识点，熟练程度不够的，遇到实际解题就发挥不出来了 .因此，学生在学习过程中就应该抓住要点，反复练习，这其中包括了几何中的一些重要的基本概念 .比如三角形的内心、外心，中位线等 .还有就是重要定理形成的基本图形的性质 .比如垂径定理的垂径分弦，等腰三角形的三线合一等 .如果我们能够做到知识越熟练，训练水平越高，那么一旦思路畅通，我们的几何解题能力也就随之增强了 .
下面我们来通过一个例子来训练训练我们的思维：
例 5 如图 6-1，已知：在⊙ O中 OB是半径， AO⊥ OB交⊙ O于 D， AB交⊙ O于 C，若∠ A=27°，求： ， 的度数 .
分析 1（等腰直角三角形性质）见图 6-2，连结 DB，Δ DOB为等腰直角三角形，所以∠ OBD=45°，而∠ A=27°，∠ OBA=63°，从而∠ 1=18°， =36°， =54° .
分析 2（三角形三内角和定理）见图 6-3，连结 OC，因∠ A=27°，∠ OBA=63°，由三角形三内角和定理，从而∠ 1=63°，∠ 2=54°， =36°， =54° .
分析 3（圆周角定理）见图 6-4，延长 BO交⊙ O于 E，因∠ A=27°，得∠ OBA=63°，因∠ OBA是圆周角，所以 =126°， =36°， =54° .
分析 4（等角的余角相等）见图 6-5，延长 BO交⊙ O于 E，连结 CE.因∠ A=27°，由互余得∠ E=27°，， =36°， =54° .
分析 5（垂径定理）见图 6-6，取 中点 E，连结 OE，得 OE⊥ BC，易证出∠ 1=∠ A=27°， =27°， =36°， =54° .
本题的解法不止这些，这里不再赘述，这说明了掌握了知识点，还要通过反复运用达到“熟能生巧，举一反三”，而要想做到“熟”必须要记清各种图形的性质从而在头脑中形成基本图形的影像库 .
（二）、见多识广原则
见多识广，就得多做练习 .但是见题就做，常有两种现象出现：一是过多的题目不会，从而丧失信心，这样适得其反 ;一是见题能做，做后就忘，每次做都好像是新题，这样也只能是事倍功半 .但是如果我们能够举一反三，也就是说在做题时能够做到研究一个题，学会一类题 .那么能力就真正得到了质的提高 .同时，做过了的要能记住，这样下次再遇到时也不会老感觉是新题了，同时这样在今后做题时也有可以效仿的，甚至有时会得到启发 .经常积累，久而久之，我们解题的办法也就多起来了 .下面我们来举例说明 .
例 6如图 7所示，已知Δ ABC是⊙ O的内接三角形，过 C点作⊙ O的切线，交 AB的延长线于 D，求证：
分析 为了解决这个问题我们来看一看直角三角形，如图 8所示，在 Δ ADC中，∠ ACD=90°， CB⊥ AD于 B，求证：
很容易得到这个问题如下的证法：
∠ ACD=∠ CBD=90°，∠ A=∠ BCD，从而有Δ ADC∽Δ CDB，得到 ,又Δ ADC与Δ CDB分别以 AD、 BD为底时，是等高的三角形，显然有 ，因此， ，现在我们就可以将这种解法移植到例 5，我们会发现，题目一下子变得容易了 .
只有不断积累，熟悉基本图形，同时也可以自己总结出比较常见的几何图形形成自己基本图形体系，有了这些我们做题时就可以进行参考、移植，从已有经验中得到启发，同时又不断积累经验 .
（三）、化归原则
化归或称为转化，就是在分析解决问题时，把待解决或难解决的问题，通过某种转化过程，归结为已经解决或比较容易解决的问题 .解题过程中生题熟题是因人而异的，同一个题目在两个人做时，有时对甲来说是生疏题，但对乙又是熟悉题，但换一个题目就可能正好相反了 .当遇到自己生疏的题目时，应该冷静思考，认真寻找与之接近的熟悉题目 .从题目的相通或想同点切入，从自己会的想起，特别是好好想一想与自己形成的基本图形知识是不是存在联系 .下面我们同样来举例说明 .
例 7如图 9，已知⊙ O是Δ ABC的外接圆，∠ BAC的角平分线 AD交⊙ O于 E，求证： AD =AB· AC－ BD· CD
分析 图中有相交弦 AE和 BC，那么我们就应该想到相交弦定理，即有 AD· DE=BD· CD----①，再连结 BE,我们又能证出Δ ABE∽Δ ADC，得到 = ,即 AD· AE =AB· AC----② ,由②－①可得， AD· AE－ AD· DE =AB· AC－ BD· CD，即有 AD =AB· AC－ BD· CD，这一题初看比较难，但如果我们的知识储备中已经将“相交弦定理”做为基本图形形成在记忆里，那么也还是很容易解了 .现在我们看一个新题：
例 8如图 10所示，在Δ ABC中， AD是∠ A的平分线，交 BC于 D，求证： AD =AB· AC－ BD· CD
这一个题目初看比例 6更没有头绪，但是如果我们做过了例 6，并记住了它，那么，我们利用给三角形加上外接圆，这样这一题目不就也可以利用“相交弦定理”形成的基本图形来解，不就是小菜一碟了 .哈哈，但如果做了例 6就忘了，要想凭空就能想出在三角形上加出一个外接圆来解，那恐怕就不太容易了 .
我们这样由此及彼的来寻找解题途径，通过例 6这种解决问题的旧方法，就马上会发现对例 8这个新问题的解题方法 .真是有一种异曲同工之感啊 .
许多几何问题，初看似乎无从下手，难于思考，但如能充分利用储备好的基本图形，解题思路便会豁然开朗，难题也“活”了，当然并不是所有的几何问题都能利用基本图形得到很好的解决，但只要我们在解题时，善于抓住问题的特点，充分利用基本图形分析问题，运用基本图形对几何解题的启示和简化功能总会出奇制胜 ..
基本图形是几何问题的基础，通过对基本图形性质的深入了解和研究，无疑也是对自我观察能力、分析能力、认知能力的一种提高 .
一直以来，在中学几何教学中，不少教师重视基本图形的教学工作，并做了不少相关研究，但一直没有能够得到系统的理论完善 .甚至有一些很好的利用基本图形的典型，却被教师用虚玄的综合法去分析解答，学生听得云里雾里，不知老师的思路是从何而来，这也就不可能转化为学生自己的解题能力 .有鉴于此，自己做了上述思考，希望对于这些问题的探索和解决有所裨益 .
我深信，只要通过我们教师对基本图形的深入学习和研究，我们的学生在运用基本图形解决几何问题的能力，一定能提高到一个崭新的水平 .
参考文献：
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初中几何教学中基本图形教学浅议
安化小学 张 全
初中数学是集逻辑思维、抽象思维和形象思维于一体的应用性很强的一门学科，同时又是培养学生发现问题、分析问题、解决问题能力的基础课程。从现行中小学数学教材来看，数学知识涉及面广、知识点多、网络系统较为复杂，学生学习存在一些困难。因此，在教学中应注意对数学基础知识的归类、抽象与系统化，特别是在初中几何教学中，应逐步培养学生对几何图形的识别、组合与分解的能力，这就必须首先对一些最基础、最基本、最简单的几何基本图形教学入手，让学生在头脑中形成各种基础知识的表象图形，在实际运用中组合成较为复杂的图形或分解那些较为复杂的几何图形，去解决生活中的实际问题。从而培养学生组合与创新、从复杂问题中去分析问题、解决问题的能力。
一、 几何基本图形的意义及其特征
所谓几何基本图形，是指几何教学中，把几何定义、定理、公理、推论等基础知识的文字内容用几何符号语言表示出来的最简练、最基本、最形象的几何图形。几何教学中，基本上每个定义、定理、公理、推论等都可以用几何符号语言形象地表示出来，并且都具有其基本特征。几何基本图形具有哪些特征呢？
1 、相对独立性。几何基本图形用来表述几何定义、定理、公理及推论的符号语言，具有相对独立性，可以独立存在，并能够独立说明问题。
2 、概括性。几何基本图形能反映一个定义、定理、公理、推论等的基本内容，无论怎样复杂的几何定义、定理、公理及推论都可以用一个图形表述出来，这充分说明了几何基本图形具有很强的概括性。
3 、简练性。几何基本图形，要求准确的表述几何定义、定理、公理及推论的基本内容，那就必须简洁明快、精炼而准确。这也是几何基本图形的一个重要特征。正因为它具有这个特点，在解决复杂问题时，才能从中分离出来而独立、概括地存在，以帮助我们解决一些复杂问题。
4 、形象性。每个几何基本图形都具有明显的形象特征，这个特征实质上可以说是区别于其它图形的一个显著标志。如：三角形的中线、高、角平分线的基本图形看来很相似，但其形象特征不同：三角形的中线表现为线段相等，而其高则表现为垂直的形象；三角形的角平分线则表现为两角相等 .
5 、符号化特征。几何基本图形是用符号语言来表述文字语言的，因而符号化特征很突出，这也是有利于教学的一个重要方面。
6 、基础性。几何基本图形是其它几何组合图形的基础，它是组合图形最基本的要素，可以说任意一个组合图形都是由若干个基本图形组合而成的。
二、几何基本图形在几何教学中的地位和作用
学习几何基本知识，主要是学会抽象、分析、解决问题的依据、方法，在实际运用中逐步培养学生抽象思维、逻辑思维及推理论证的能力。而各种思维能力培养和发展的基础是基本的几何定义、定理、公理及其推论等基础知识，因而笔者认为几何基本图形的教学在初中几何教学中有着举足轻重的地位和作用。
1 、导向功能。几何基本图形具有概括性的特点，对学生由形象思维发展为抽象思维具有很强的导向功能。通过基本图形的教学，学生在记忆中形成几何图形的基本框架，这样日积月累，为学生的形象思维到抽象思维，再到逻辑思维奠定坚实的基础。如果说几何知识是航船，那么几何基本图形则是航标，它由近及远、由基层到高层地为几何知识体系指明方向。
2 、系统化功能。一个基本图形就代表一个知识点，由若干知识点又组成一个单元知识体系。因此，只要学好了基本图形，就自然将所学几何知识分成了若干类。特别是在复习、梳理系统知识的时候，就可以用几何基本图形及相应的符号语言来将所学知识系统化，这样既直观又形象，便于学生直观形象地理解知识的联系与内涵。
3 、简化功能。几何基本图形的这一功能是最突出、最有效的功能。笔者之所以要提出几何基本图形的教学，就是因为基本图形具有极强的简化复杂问题的功能。主要表现在：第一，表现形式的简单、简明化，易于学生掌握、记忆；基本图形都是用简洁明快的线条和必要的几何符号语言来表述文字内容的，因此便于学生形成“数型”结合的思想，也便于学生形象直观的理解、记忆、运用知识。从而提高学习效率。第二，运用基本图形可以将复杂图形进行分解，使之分解为若干个简单图形（基本图形），从而使解题依据更加明确，解题思路更加明晰。这样使解决问题的难度得以降低，达到“化繁为简”和快速解决问题的目的。第三，运用基本图形也可以补充出题目中所需的辅助条件，因为很多需要补充辅助条件来解答的问题，一般都是将某个基本图形的关键部分省去而构成的复杂图形。因而，只要对基本图形掌握很好，在分析题意的过程中，就会不知不觉地把辅助条件补充出来，从而快速地分析问题、解决问题。如果对基本图形掌握不牢，很难将辅助条件补充出来而延误分析问题、解决问题的时间，有时甚至在规定时间内无法解决问题。为什么教师解决一些复杂的几何问题很迅速呢？就是因为教师对几何基本图形的印象很深刻，能在短时间内把复杂的图形分解为若干简单图形，从而思路很快就会打开，这样很快就解决了问题。之所以学生有时不能很快的把复杂的几何问题分析清楚，是因为学生对几何基本图形把握不牢或一时无法分解出来。由此可见，几何基本图形的教学在初中几何教学中有着不可低估的地位和作用。
三、几何基本图形的教学及注意的问题
既然几何基本图形在初中几何教学中的地位和作用是举足轻重的，因而我们必须注意基本图形的教学与运用。
首先，注意几何基本图形教学的准确性。在教学时，必须注意准确地表述，包括线条、几何语言必须形象、准确、清楚地描述定义、定理、公理及其推论的文字内容，以免误导。
其次，注意几何基本图形教学中的文字、图形和符号语言的对应。一方面，用几何语言、图形对文字内容表述时，图形必须准确，条件和结论必须准确、分明、具体、全面；另一方面在教学时，必须注意将准确的文字语言与直观形象的几何基本图形以及几何符号语言严格的对应起来，做到“三结合”讲述清晰，表示清楚、表达严密，特别是实质性的部分，要在逐层理解文字的同时，在基本图形上形象直观地加以指出，而且用准确的符号语言表示出来，达到三者辨证统一。
再次，注意几何基本图形教学的直观、形象性。即通过基本图形的学习，学生能根据图形和必要的符号语言反映出所学的基本定义、定理、公理及其推论的文字内容。也就是在教学时必须强调基本图形的突出特征。直观形象教学是几何教学最应该注意的一个方面。
最后，在平时的教学和运用中，要经常性地引导学生将一些组合图形分解为基本图形，培养学生良好的运用基本图形的习惯，从而减轻学生学习负担。
总之，几何教学中应该足够地重视基本图形的教学，通过系统的基本图形教学，使学生有规律地把握几何基础知识，这样为培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力打下坚实的基础，同时有利于培养学生的抽象思维、逻辑思维能力，并且也有利于培养学生的发散思维、创新思维能力，最终使学生形成严密的逻辑推理论证能力，为学生终身学习和工作创造良好条件。
初中几何关于图形的教学
几何研究的对象是图形，所以几何教学就是关于图形的教学．按道理讲，几何教学，特别是初中几何教学，应当把 “ 形 ” 放在重要位置上，帮助学生在头脑中形成正确的图形的观念，能把图形作为工具，用它来解决实际问题．但是，长期以来，图
形在几何教学中没有得到应有的重视． 80 年代以来，在几何入门教学研究中，有人也提出要加强图形教学，即识图、画图的教学，但是，出发点是为了解决推理中看图、画图的困难，分散推理教学的难点，实际上仍然是为推理教学服务．
产生这种现象的原因很多，但大都与对几何教学目的的认识有关．我们知道，目前初中几何的内容基本上是欧氏几何的内容，欧氏几何是一个严格的公理系统，它是在若干个基本概念和几组公理的基础上，用演绎推理的方法展开的，完全不依赖图形直观．学习这样的几何，对学生逻辑思维能力的形成和发展是非常有益的，所以，长期以来，人们认为几何教学 ( 主要指初中几何教学 ) 的目的，主要是培养学生的逻辑思维能力，或者是掌握一些几何图形的基本知识与培养逻辑思维能力并重．为了达到这个目的，教师在几何教学中经常提醒学生，学习几何要靠逻辑推理，而逻辑推理的根据是抽象的公理、定理，不能凭借图形直观，结果，尽管学习的知识是关于图形的知识，论证的是图形的性质，却没有把图形的教学放在应有的位置上．
关于图形在几何教学中的作用，前面已经讲过，这里仅就如何加强画图、识图、用图的教学，谈几点意见．
一、识图
识图教学包括以下几项．
1 ．从实物中抽象出几何图形．要求学生学会从实际物体中抽象出几何图形是比较困难的，在开始阶段只能要求学生从比较简单的物体 ( 形状简单 ) 中抽象出几何图形．如从长方体形状的砖块，足球、乒乓球等物体抽象出长方体、球等，能在实物中找出正方形、长方形、三角形、圆等．要通过长期训练，使学生 “ 眼中有形 ” ，能够在观察客观世界事物时，看到它们的 “ 形 ” 的特点．
为了达到这个目的，可以采取下面方法．首先，出示一些图片，图片中有一些较简单的物体，让学生用笔勾画出它们的轮廓，找出熟悉的几何图形；其次，讲解图形概念时，尽可能多地展示实物，举出实例，与学生一起概括出图形的本质属性；在应用定理、性质时，尽量举一些实际问题，通过这些实际问题，教给学生怎样从中抽象出几何图形．
2 ．按定义识别图形．按定义识别，能够抓住图形的本质属性．例如学习角的概念时，要求学生能在图中识别哪些是角，哪些不是角．凭感觉，学生会认为图 1 不是角，但按角的定义，它仍然是角，是特殊角 —— 平角．
在识别图形的教学中，要特别注意变式图形的使用，要使学生不仅能在常规情况下识别图形，在非常规情况下也能准确地辨认图形．
3 ．在复杂图形中找出基本图形．这是识图教学中的重点，也是难点．任何复杂的图形，都是由一些简单图形组合而成的，解决复杂图形的问题，通常是把它分解成一些简单图形．要训练学生学会分解图形，从复杂的图形中找出我们熟悉的图形．下面举两个例子．
例 1 图 2(a) 的图形比较复杂，实际上它可以分解成我们常见的相似三角形的图形图 2(b) ．
例 2 求图 3 中阴影部分的面积．这个阴影的形状不是基本图形，仔细分析一下可以看出，它是一个圆去掉两个弓形和一个扇形，还可以看到，求这几个图形的面积所需要的条件，都集中在一个基本图形 —— 等腰直角三角形中，因此阴影部分的面积可求．
二、画图
这里说的画图是指画出符合一定条件的图形．画图按所限定使用的工具可分为两种，一种是允许使用各种绘图工具，如三角板 ( 尺 ) ，圆规，量角器等等，画出符合某些条件的图形．这种情况一般用在解证明题、计算题或讲解定理等方面．另一种是只允许使用无刻度的直尺、圆规，按作图公法规定的方法画图，通常称这种画图为尺规作图．尺规作图的作用，主要是在理论方面，而不是实际画图，用尺规可以作出的图形，就相当于证明了这个图形是存在的，可以用它来证明图形的存在性．尺规作图在培养学生逻辑推理方面的作用，大于它在绘图方面的作用．
画图教学可以从以下几方面进行．
1 ．使用绘图工具的练习．学生在开始学习几何时，主要画图工具是三角板和圆规，要通过学习几何基本概念，训练学生用三角板和圆规画出基本图形．在这个过程中，一定要鼓励学生动手操作．只有多动手操作，才能掌握工具的用法．当三角板和圆规的使用熟练以后，还可以引进其他画图工具．
2 ．画出满足一定条件的图形．例如，按语句画图训练：画 ∠ AOB 等于直角；画 AO ⊥ OB ，垂足是 O ；在证明命题 “ 同角的补角相等 ” 时，画出两个角，使它们都是另一个角的补角，等等．
3 ．学会利用图形的性质画图．如利用公理画直线．由关于直线的公理可知，两点确定一条直线，所以要确定这条直线上两个点，只要这两点确定了，这条直线就可以画出来了．又如，利用三角形全等的判定定理画三角形．画圆可以根据定义找出圆心的位置和半径的大小，画一个圆的切线，可以利用切线的判定定理，等等．
(4) 尺规作图中的几个基本作图，如作一个角等于已知角，作已知角的平分线，作直线的垂线，作线段的垂直平分线等，都有具体的操作程序，方法简便易操作，在画图中有广泛应用，应要求学生掌握．
三、用图
我们知道，数学不仅仅是解决计算的工具，它也是一种语言．数学语言与其他语言相比，最大的特点是它的准确性和通用性．几何图形也可以作为一种数学语言，它也可以表达人们的思想，达到交流的目的．
我们都知道工程图纸的作用，它就是工程中的语言，设计者与施工人员就是通过图纸中的图进行交流． 70 年代，人们为了寻找太阳系以外的高级生命，曾向太空发射了带有地球人类各种信息的探测器，希望某个星球上的高级生物能 “ 读 ” 懂它们．据说我国数学家华罗庚曾建议带上一张表示勾股定理的图 ( 如图 4) ，只要是具有像我们一样文明程度的 “ 人 ” ，都会 “ 读 ” 懂它，以达到交流．这个说法是否准确可以不去管它，但图形这种语言的作用是明显的．
图形不仅可以作为语言交流信息，也可以直接用它解决一些证明问题．我国古代关于勾股定理的证明，大量使用演段法，就是靠变化图形来完成证明的．
加强运用图形的教学，包括下面几个方面．
1 ．运用证明几何命题的机会．训练学生用图形解释命题的题设和结论；解应用题时，注意训练学生用图形表示出题目的条件，把实际问题转化为几何图形．
2 ．对于不容易用普通语言说清楚的命题、定理，结合图形来叙述．如相交弦定理、切割线定理，用普通语言说出来很困难，这时可以要求学生画出图形，结合图形用数学式子说明 ( 如图 5) ．
3 ．训练学生利用图形作判断，例如，判定 “ 对顶角相等 ” 的逆命题的真假，只要画出两个角相等，而它们不是对顶角的例子，立刻就可以得出这个命题是假命题的结论 ( 如图 6) ．
画出一个反例的图形，并不是很容易，这要靠平时的积累，因此，教学时要注意这方面的训练，教师常做些示范．
4 ．教学生从运动变化的观点看图形，能灵活地变换图形．
为了充分利用图形，首先要掌握图形，例如，一堆形状、大小完全一样的任意四边形木块，在不懂得图形性质的人的眼里，只是一堆废木料，而懂得多边形内角和性质的人，就能用它铺地面．不过，要灵活地运用图形，还应从运动变化的角度去认识图形．
为了使学生更好地掌握图形，要防止学生静止地、孤立地看待图形，应把它们看 “ 活 ” ．教学时，是一个一个具体图形的教，学生一个一个具体图形的学，这很容易学死，应在这个基础上，训练学生用变换的观点分析图形．如图 7 ，不是三角形，也不是四边形，但可以把它看成一个四边形变化而得到的，变化过程是三角形的平移过程．同样，图 8 比较复杂，如果把它看成是一个三角形经过旋转得到的，问题就变得简单了．
总之，学习几何不应只去背诵一些定义、定理，要特别重视掌握图形，把图形作一个重要工具，把它与现实世界中物体的形状联系起来，让图形在眼中、脑中 “ 活 ” 起来，这样学的几何才是有用的几何．
< 正 > 初中平面几何教学 , 是初中阶段数学教学的难点。一般说来 , 学习平面几何学生都要经过四道关卡 , 即 : 概念关 , 图形关 , 语言关和推理关。而概念关 , 图形关过得好坏 , 直接影响着平面几何学习的优劣。在掌握了平面几何的基本概念、定义、定理、公理后 , 如果不能从不同的角度观察图形的本质属性及特点 , 只是被动地接受问题中表面的繁杂的信息 , 而不知观察的目的何在 , 任务何在 , 或者注意到次要部分 , 而忽略了主要部分的感知和隐藏部分的探索 , 被问题中的种种障碍所困惑 , 久而久之 , 就会影响学生的学习兴趣和效果。 作为数学教师 , 若善于找出一些不太复杂而又有意义的题目 , 引导学生进行横的剖析 , 纵的延伸 , 帮助学生发掘问题的各个方面 , 使得通过这道题 , 就好象通过一道门户 , 豁然开朗 , 达到学会一例 , 驾驭一批的境界。在九年义务教材初中《几何》课本中 , 就有一些具有广泛的代表性和典型性的图形 , 我们称之为基本图形。在证题教学中 , 如果能够让学生记住这些基本图形的性质和特点 , 就会在一些比较复杂的题目中 , 辨认出 , 或者构造出这些基本图形 , 产生一种似曾相识的感觉 , 从而根据基本图形的性质 , 择取有用的信息和结论 , 迅速地找到证题思路和证题方法。
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