大成培训立体几何强化训练
1.如图，在四面体ABCD中，CB＝CD , AD⊥BD，点E , F分别是AB , BD的中点. 求证：（Ⅰ）直线EF∥平面ACD； （Ⅱ）平面EFC⊥平面BCD.
B
F
E D
CA
2.如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，E、F分别是A1B、A1C的中点，点D在B1C1上，A1D⊥B1C 求证：（Ⅰ）EF∥平面ABC； （Ⅱ）平面A1FD⊥平面BB1C1C. C1A1
D FB1
E
CA
B
3. 如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ACB＝90°，M、N分别为A1B、B1C1的中点. （Ⅰ）求证：BC∥平面MNB1； （Ⅱ）求证：平面A1CB⊥平面ACC1A1．
C1
N A1 B1
M C B A
.
.
4. 如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝BC＝CC1，AC⊥BC, 点D是AB的中点. （Ⅰ）求证：CD⊥平面A1ABB1； （Ⅱ）求证：AC1∥平面CDB1； AD
B
A1 B1
5. 如图，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1中点，Ｅ为BC的中点. （Ⅰ）求证：BD⊥平面AB1E； （Ⅱ）求直线AB1与平面BB1C1C所成角的正弦值； （Ⅲ）求三棱锥C－ABD的体积.
6. 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，F为AA1的中点. 求证：（Ⅰ）A1C∥平面FBD； （Ⅱ）平面FBD⊥平面DC1B. D1C1
A1B1
F
CD
AB
.
CC1.
7. 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F为棱AD、AB的中点．
（Ⅰ）求证：EF∥平面CB1D1； （Ⅱ）求证：平面CAA1C1⊥平面CB1D1； D1
A1
D E
AF
C1B1CB8. 正三棱柱ABC－A1B1C1中，点D是BC的中点，BC＝2BB1, 设B1DBC1＝F. （Ⅰ）求证：A1C∥平面AB1D； （Ⅱ）求证：BC1⊥平面AB1D.
9.一个正三棱柱的三视图如图所示,求这个三棱柱的表面积和体积.
BDCFB1C1AA1
.
.
10、如图所示,在三棱柱ABC—A1B1C1中,D点为棱AB的中点. 求证:AC1∥平面CDB1.
11、如图所示，在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别为DD1、DB的中点．
（Ⅰ）求证：EF//平面ABC1D1； （Ⅱ）求证：EFB1C； （Ⅲ）求三棱锥VB1EFC的体积．
12．如图，四边形ABCD是正方形，PB平面ABCD，MA平面ABCD，PB＝AB＝2MA． 求证：（1）平面AMD∥平面BPC；（2）平面PMD平面PBD．
DFABCA1ED1B1C1P
M F A E D
C
B
.
.
13.如图，E、F分别为直角三角形ABC的直角边AC和斜边AB的中点，沿EF将AEF折起到A'EF的位置，连结A'B、A'C，P为A'C的中点． （1）求证：EP//平面A'FB；
（2）求证：平面A'EC平面A'BC； A'（3）求证：AA'平面A'BC． P
E CA
FB14、如图所示，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABBB1，AC1平面A1BD,D为AC的中点．
（1）求证：B1C//平面A1BD； （2）求证：B1C1平面ABB1A1；
（3）设E是CC1上一点，试确定E的位置使平面A1BD平面BDE，并说明理由． B1 A1
B
D
A
15、如图,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中, A1C1⊥B1D1, E,F分别是AB, BC的中点.(1)求证：EF∥平面A1BC1；(2)求证：平面D1DBB1⊥平面A1BC1.
A E
B
C1
C
D1
A1 B1 D C F C1
.
.
16．如图,在直三棱柱ABCA1B1C1中,ACB90，E,F,G分别是AA1,AC,BB1的中
点，且CGC1G.(Ⅰ)求证：CG//平面BEF； (Ⅱ)求证：CG平面AC11G.
17、如图，四面体ABCD中，O，E分别为BD，BC的中点，CA＝CB＝CD＝BD＝2，AB＝AD＝2．（1）求证：AO⊥平面BCD；
18、如图，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，PA=AB=1，AD=3，点F是PB的中点，点E在边BC上移动． （1）求三棱锥E－PAD的体积；
（2）点E为BC的中点时，试判断EF与平面PAC的位置 关系，并说明理由；
（3）证明：无论点E在BC边的何处，都有PE⊥AF．
.
0.
19、如图，已知AB平面ACD，DE//AB，△ACD是正三角形，AD = DE = 2AB，且F是CD的中点.
E
⑴求证：AF//平面BCE；
⑵求证：平面BCE平面CDE.
B
A
D C F
20、如图，ABCD为矩形，CF平面ABCD，
DE平面ABCD，AB4a,BCCF2a,P为AB的中点．
（1）求证：平面PCF平面PDE； （2）求四面体PCEF的体积．
21、如图，直四棱柱ABCD11F E D A P B C
ABC，D四边形ABCD是梯形，1中
AD//BC,ADCD,E是AA1上的一点。
（1） 求证：CDACE;
（2） 若平面CBE交DD1于点F,求证：EF//AD
.
.
22． 在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC2，过A1、C1、B三点的的平面截去长方体的一个角后.得到如图所示的几何体ABCDA1C1D1，且这个几何体的体积为（1）求A1A的长；
（2）在线段BC1上是否存在点P，使直线A1P与C1D垂直， 如果存在，求线段A1P的长，如果不存在，请说明理由.
23已知三棱锥A—BPC中，AP⊥PC， AC⊥BC，M为AB中点， D为PB中点，且△PMB为正三角形． （1）求证：DM∥平面APC； （2）求证：平面ABC⊥平面APC；
（3）若BC=4，AB=20，求三棱锥D—BCM的体积． 24． 如图，在四棱锥P－ABCD中，PA＝PB．底面ABCD 是菱形，且 ∠ABC＝60°，点M是AB的中点，点E在 棱QD上，满足DE＝2PE．求证： （1）平面PAB⊥平面PMC； （2）直线PB∥平面EMC．
40. 3P
E
A M B
C
D
.
.
25.如图，正三棱柱ABCA1B1C1中，已知ABAA1，M为CC1的中点． （Ⅰ）求证：BMAB1；
（Ⅱ）试在棱AC上确定一点N，使得AB1//平面BMN．
26．如图，平面ABCD平面PAD,△APD是直角三角形，APD900，四边形ABCD是直角梯形,其中BC//AD,BAD90,AD2BC,O是AD的中点 (1)求证：CD//平面PBO；
B C M C 1
A A1
B B 1
C (2)求证:平面PAB平面PCD.
A O P 第16题图
27．(本小题满分14分)
如图，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，A1C1B1D1，E,F分别是AB,BC的中点.
（Ⅰ）求证：EF//平面A1BC1； （Ⅱ）求证：平面D1DBB1平面A1BC1.
A1
D D1
C1
B1
D A
E
B
第15题
C F
.
.
28．(本小题满分14分) 直棱柱ABCD，1A1B1C中1D，底面ABCD是直角梯形，∠BAD＝∠ADC＝90°AB2AD2CD2．
（1）求证：AC⊥平面BB1C1C；
（2）在A1B1上是否存一点P，使得DP与平面BCB1与平面ACB1都平行？证明你的结论．
29、如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABAC，点D在边BC上，ADC1D。 ⑴求证：AD平面BCC1B1；
⑵如果点E是B1C1的中点，求证：A1E//平面ADC1 .
30、 如图，棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD为菱形，平面AA1C1C⊥平面ABC D． （1）证明：BD⊥AA1；
（2）证明：平面AB1C//平面DA1C1
（3）在直线CC1上是否存在点P，使BP//平面DA1C1？若存在，求出点P的位置；若不
存在，说明理由．
.
.
31、如图，在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，E为BC的中点，F为DC1的中点. （1）求证：BD1平面C1DE； （2）求三棱锥ABDF的体积.
A1
F
D1
B1
C1
D
E A （第16题）
C B 32.如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，E,P分别是BC,A1D1的中点，M、N分别是
AE,CD1的中点，ADAA1a,AB2a
（1）求证：MN//面ADD1A1 （2）求三棱锥PDEN的体积
33. 如图，已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，E、F分别是A1B1、CC1的中点，过D1、E、F作平面D1EGF交BB1于G.. （1）求证：EG∥D1F；
（2）求正方体被平面D1EGF所截得的几何体
A1
D1
E G D A B B1
F CC1
ABGEA1DCFD1的体积.
.
.
34. 如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB=AD=1,AA1=2,
D1C1B1GG是CC1上的动点。
（Ⅰ）求证：平面ADG⊥平面CDD1C1
（Ⅱ）判断B1C1与平面ADG的位置关系，并给出证明；
DA1
ABC35、 如图，已知空间四边形ABCD中，BCAC,ADBD，E是AB的中点． 求证：（1）AB平面CDE； （2）平面CDE平面ABC．
（3）若G为ADC的重心,试在线段AE上确定一点F,使得GF//平面C
A
E
B C
D
36 如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，点D在边BC上，AD⊥C1D． （1）求证：AD⊥平面BC C1 B1； A1B1E（2）设E是B1C1上的一点，当EC1的值为多少时，
C1
B1
A1E∥平面ADC1？请给出证明．
.
A D B C
.
37、 如图，四边形ABCD是正方形，PB平面ABCD，MA平面ABCD，PB＝AB＝2MA．
求证：（1）平面AMD∥平面BPC；（2）平面PMD平面PBD．
D
38.已知某几何体的三视图如下图所示，其中左视图是边长 为2的正三角形，主视图是矩形且AA1=3，设D为AA1的中点。 （1）作出该几何体的直观图并求其体积； （2）求证：平面BB1C1C⊥平面BDC1；
（3）BC边上是否存在点P，使AP//平面BDC1？ 若不存在，说明理由；若存在，证明你的结论。
P
M F A E C
B
C C1 A1 B1 C1
俯视图 A1
C A B C A 主视图 B 左视图
A 39 如图，三棱柱ABCA1B1C1的底面是边长为a的正三角形，侧面ABB1A1是菱形且垂直于底面，∠A1AB＝60°，M是A1B1的中点．
（1）求证：BM⊥AC；
（2）求三棱锥MA1CB的体积．
.
.
40 如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PD⊥底面ABCD，
PD=DC，点E是PC的中点，点F在PB上，EF⊥PB。
错误！未找到引用源。 （I）求证：PA//平面BDE；
（II）求证：PB⊥平面DEF；
41. 已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，A1C与底面ABC所成的角为，AB=BC=2，∠ABC=， 42设E、F分别是AB、A1C的中点。 (1)求证：BC⊥A1E； (2)求证：EF∥平面BCC1B1；
42、已知正方体ABCD-A1B1C1D1，O是底ABCD对角线的交点.
证明：（1）C1O∥面AB1D1； (2）A1C面AB1D1．
A1 B1 C1
F B E A C D1C1A1B1
ADCOB.
.
43．如图为正方体ABCD-A1B1C1D1切去一个三棱锥B1—A1BC1后得到的几何体． （1） 若点O为底面ABCD的中心，求证：直线D1O∥平面A1BC1； （2）． 求证：平面A1BC1⊥平面BD1D．
44、如图，在多面体ABCDE中，AE⊥ABC，BD∥AE，且AC＝AB＝BC＝BD＝2，AE＝1，F在CD
上
（1）求多面体ABCDE的体积；（2）若F为CD中点,求证：EF⊥面BCD； (3)当
E
45、如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，棱长为a,E为棱CC1上的的动点． （1）求证：A1E⊥BD；
（2）当E恰为棱CC1的中点时，求证：平面A1BD⊥平面EBD；（3）求VA1
.
DF的值= 时，能使AC ∥平面EFB，并给出证明。 FCF D A C
B _BDE。
D1C1B1A1ECDAB.
46、 如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，平面PBC⊥底面ABCD,且PB=PC=5.
（Ⅰ）求证：AB⊥CP；
（Ⅱ）求点B到平面PAD的距离；
47、如图，在棱长均为4的三棱柱ABCA1B1C1中，D、D1分别是BC和B1C1的中点. （1）求证：A1D1∥平面AB1D；
O（2）若平面ABC⊥平面BCC1B1，B1BC60，求三棱锥B1ABC的体积。
48、在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝90°, E、F分别为A1C1、B1C1的中点, D为棱CC1上任一点.
（Ⅰ）求证：直线EF∥平面ABD； （Ⅱ）求证：平面ABD⊥平面BCC1B1.
A C
B
D
A1 .
E F B1 第16题
C1
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