基于间谐波泄漏估算的谐波间谐波分离检测法

电 工 技 术 学 报

TRANSACTIONS OF CHINA ELECTROTECHNICAL SOCIETY

Vol.26 No. 1

Jan. 2011

基于间谐波泄漏估算的谐波间谐波分离检测法

惠 锦 杨洪耕

（四川大学电气信息学院 成都 610065）

摘要 某次谐波附近存在间谐波时，信号会发生闪变。本文以IEC61000−4−7推荐的测量环境为前提，提出了一种频谱分离法用于检测谐波及引起闪变的主导间谐波。首先研究了同步采样下谐波、间谐波之间的频谱干扰特性；根据间谐波离散频谱泄漏的特点，利用谐波频点左右谱线，通过变量重组，估算其在谐波频点上的泄漏值；用泄漏值修正原始频谱得到准确的谐波参数；原始信号减去重采样后的拟谐波信号得拟间谐波信号，通过时域补零或CZT求得间谐波参数。仿真算例和实测分析表明，该方法能够有效地分离信号中的谐波和间谐波成分、抑制它们之间的频谱干扰；当某一间谐波与谐波频率差小于5Hz时，仍能较为准确地提取出其中的间谐波参数。

关键词：谐波间谐波检测 离散傅里叶变换 快速傅里叶变换 频谱干扰 时域平均 中图分类号：TM711

Harmonics and Interharmonics Separate-Detection Method Based on

Estimation of Leakage Values Caused by Interharmonics

Hui Jin Yang Honggeng

（Sichuan University Chengdu 610065 China）

Abstract The interharmonics which are closed to harmonics may bring on signal flicker. Based on the specified signal processing recommendations by IEC61000−4−7, this paper presents a new spectrum separation method for detecting harmonics and the main interharmonics in power system. Firstly, the spectral interference between harmonics and interharmonics under synchronized sampling is investigated. According to the characteristic of discrete spectral leakage, leakage values at harmonic frequencies caused by interharmonics can be estimated by using the spectral lines nearby and the technique called variable reorganization. Then the harmonic parameters can be corrected by subtracting leakage value from the original spectrum. Interharmonic signal in time-domain can be got by subtracting the resampled harmonic signal from the original sampled data, then zero-padding or CZT is use to detect the corresponding parameters. From the analysis of simulations and field test, the validity of the proposed method is proved; it can separate harmonics and interharmonics effectively, and strongly restrain the spectral interruption; extract interharmonic component even when the frequency difference between the harmonic and interharmonic is less than 5Hz.

Keywords：Harmonic and interharmonic detection, discrete fourier transform, fast fourier transform, spectral interruption, time-domain averaging

泛关注[1-8]，变频装置及高压直流输电的使用导致大量间谐波注入电力系统。间谐波频率与基频的不同步会使信号峰值和有效值发生周期性波动，从而引发信号闪变。在闪变的成因上，研究表明，由间谐目前对波引起的电压闪变已逐步占据主导地位[7-8]。间谐波分析的研究重点主要为：①如何判定间谐波

1 引言

间谐波和闪变的研究在电能质量领域已引起广

国家自然科学基金资助项目（50677041）。 收稿日期 2009-05-12 改稿日期 2009-10-13

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是否存在；②若间谐波存在，如何准确检测出主导间谐波成分。

离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform, DFT）和快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform, FFT）是目前分析谐波、间谐波的最常用工具。但是观测数据的有限性和采样的非同步性会使信号在频域出现频谱泄漏。抑制泄漏影响最简单的方法就是加长采样窗口或者选取合适的窗口长度，使信号中各个频率成分近似相互同步[9]。但是当信号中含有间谐波时，满足同步条件的采样窗口往往非常长，不能满足IEC61000−4−7的推荐标准[10]（对于60Hz和50Hz系统分别为十二个周波和十个周波），在信号非平稳的情况下也是不适用的。现有的同步锁相技术或软件插值方法已可使采样频率同步跟踪信号基频，此时由谐波间干扰引发的检测误差已占据次要地位或接近于零。由于间谐波频率的不可预见性，采样在十个周波内很难做到对间谐波同步，此时谐波和间谐波之间的频谱干扰必然存在。而引起闪变的间谐波往往与谐波非常接近，它们的相互干扰成了检测误差的主要来源。

文献[11]根据IEC61000−4−7，提出了一种同步采样下（以下的同步采样均是指采样对基频的同步）基于时域平均（Time Domain Averaging，TDA）的检测方法，该方法在一定程度上抑制了谐波和间谐波间的频谱干扰[11-12]。但其计算所得谐波参数与对信号直接进行DFT所得参数完全相等，间谐波对谐波的干扰仍然存在[12]。当某一间谐波频率与谐波频率非常接近（小于一个频率分辨率）时，主瓣发生重叠，上述方法和以往的加窗插值方法[13-21]在此情况下对于区分谐波和间谐波成分是无能为力的。

本文同样以IEC推荐的采样窗口长度和形状（矩形窗）为前提，提出了一种谐波、间谐波分离检测法。其关键在于利用非谐波频点的离散频谱，估算间谐波在谐波频点上的泄漏值，从而准确提取出信号中的谐波成分，实现谐波、间谐波的分离。在计算泄漏值时，通过变量重组，把非线性方程组转化为线性方程组来求解，提高了计算速度和精度。仿真和现场实测算例证明了此方法即使在谐波和间谐波发生主瓣重叠的情况下，依然可以得到满意的结果。

2 间谐波引起闪变

间谐波频率和基频的不同步，使信号峰值和有效值发生周期性波动，引起信号闪变。如图1所示

为一含有间谐波的波动信号。波动频率为

Δf=fi−fh （1）

式中，fi为间谐波频率；fh为离间谐波最近的谐波频率。对应图1，Δf=3Hz，fi=47Hz，fh=50Hz。

图1 含47Hz间谐波的信号波形 Fig.1 Waveform of a signal containing 47Hz

interharmonic

3 谐波间谐波之间的频谱干扰

3.1 间谐波对谐波频谱的干扰

令谐波信号：

shar[k]=

∑2

Ahcos(2π

•

hf0•kTs) （2）

h=1

式中，k=0,1,⋅⋅⋅,MN−1，M为采样周波数，N为每周波采样点数；f0为基频；Ts为采样周期，fs=1/Ts；Ah为各次谐波的信号幅值。具体参数见表1。

表1 谐波信号参数

Tab.1 Harmonic signal parameters

M N f0/Hz fs/Hz

A1

A2

10 128 50

6400 1 0.5

DFT/FFT是对信号连续频谱DTFT（Discrete Time Fourier Transform）的采样。当信号中只含谐波成分且采样同步时，DFT/FFT所得谐波参数完全准确，各谐波成分在离散频谱上不存在相互干扰，如图2所示。

图2 谐波信号的幅值频谱图

Fig.2 Amplitude spectra of a signal without interharmonic

当信号中含有间谐波时

s[k]=sh[k]+0.3cos(2π×47Hz×kTs+π/2) （3）

采样对间谐波而言是非同步的，其连续频谱DTFT在谐波对应频点上不为零，通过DFT/FFT检

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惠 锦等 基于间谐波泄漏估算的谐波间谐波分离检测法 185

测到的谐波参数会有误差，如图3所示。根据时域频域的相互关系，可以通过加长采样窗口的长度以减小间谐波对谐波的干扰，但是，这正是矛盾所在，IEC标准规定为10个周波，因此如何在10个周波条件下作准谐波和间谐波检测是本文要讨论的。

图3 含间谐波信号的幅值频谱图

Fig.3 Amplitude spectra of a signal with interharmonic

3.2 谐波对间谐波频谱的干扰

图3看出谐波对间谐波在连续频谱DTFT上存在干扰；但对于离散频谱DFT/FFT而言，由于谐波频谱在除了各自对应频点外的其他频点上为零，以5Hz为频率分辨率的离散频谱（去除谐波对应频点）为间谐波单独作用的结果。但对于目前的频域双峰谱线插值而言，当谐波与间谐波的频率差大于半个主瓣宽度时（对应矩形窗为5Hz），谐波在DFT/FFT结果上对间谐波的两根峰值谱线没有影响，间谐波检测的误差主要是由栅栏效应和各个间谐波之间的频谱干扰所引起。但当间谐波的频率与某一谐波频率之差小于半个主瓣宽度时，谐波在DFT/FFT结果上就会对间谐波的两根峰值谱线产生较大影响。

4 基于TDA的谐波间谐波检测法[11]

同步采样下抑制谐波和间谐波间频谱干扰的研究始于文献[11]。其通过时域平均提取拟谐波信号s′har[k]，原始采样信号s[k]减shar′[k]得到差分信号s′interhar[k]，对应拟间谐波信号，通过对差分信号做CZT或补零DFT分析得到间谐波参数。

差分信号与真实间谐波信号之间差异的大小主要取决于拟谐波信号的准确程度。真实的间谐波信号为

sinterhar[k]=s[k]−(s′har

[k]−Δshar[k]) =s′interhar[k]+Δshar[k] （4）

与差分信号相差一个偏差量Δshar[k]，

称之为拟谐波偏差信号，这是由间谐波对谐波频谱的干扰所引起的。它可以作为度量谐波、间谐波分离水平或误差的标志。

通过基于TDA方法检测到的谐波参数与信号直接做DFT所得结果完全相同[12]，

其本质只是把采样窗口从一个周波扩展到M（M＞1）个周波，通过

加长采样窗口长度来使各信号在频域接近脉冲信号以减少频谱干扰而已。间谐波和谐波之间的干扰依然存在，在其频率非常接近时尤为明显。

5 谐波间谐波分离检测法

5.1 DFT的理论分析

设某一电力信号包含多个频率成分，其中某一成分

sf[t]=Aej(2πft+ϕ) （5）

式中，A为其幅值；ϕ为其相角；f为其频率。以Ts为采样周期对信号采样得到

sf[kTs]=Aej(2πfkTs+ϕ) k=0,1,L,MN−1 （6）

式中，Ts=1/(f0N)，f0为基波频率，每周波采样N个点，采样窗口长度为M个周波。

其离散傅里叶变换（DFT）为 MN∑−1πS]=

1

s−j2f[nMN

f[kTs]e

MN

kn k=0,1,L,MN−1

k=0

（7）

转换形式得到 MN

S]=

1

−j

2π

f[nMNTTs

sknMNTf[kTs]e

Ts （8）

s

∑sk=1

当Ts足够小的时候，可以认为

S≈

1

s

−j

2π

f[n]MNTtns

MNTsf[t]e

dt （9）

s

∫MNT0

S1f[n]≈jϕej2πMNTsf

−12πj

Ae

MNT （10） sf−n把信号的频率写成

f=

h

NT h为实数 （11） s

则

S1f[n]=jϕej2πMh

−12πj

Ae

Mh−n （12） 根据IEC61000−4−7，以50Hz系统为例，推荐的采样基波周期数M=10。下面分别讨论Mh为整数和非整数两种情况。

Mh=l为整数，则h=l/10（l为整数），对应信

号频率f=5Hz•l。此时很容易得出

Sn]=⎧⎪⎨0

n≠Mhf[⎪jϕ （13）

⎩Ae

n=Mh

信号DFT结果在除了其对应频点外的其他频

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点上为零。若信号中各成分的频率都是5Hz的整数倍，那么各个成分之间不存在频谱干扰。同步采样下，各个谐波成分正是如此。

当h≠l/10，对应信号频率f≠5Hz•l，Mh为非整数，此时Sf[n]在每个离散频点上都存在泄漏值。

由此得出，采样对谐波同步时，信号DFT结果如果在除了谐波对应频点以外的其他频点出现了非零值，说明间谐波必然存在，并且这些非零值由间谐波单独产生。若能够准确估算出间谐波在谐波频点上的泄漏值，那么谐波参数就可以得到准确估计。而本文方法估算的核心就在于，利用谐波频点左右的DFT值（由间谐波单独产生）估算得到间谐波在谐波频点的泄漏值。 5.2 间谐波泄漏估算

令ah

m

为所有间谐波成分在h次谐波附近m个频 点的泄漏值（m＞0表示在谐波频点右边，m＜0表示在左边）。

任一频率为f的间谐波频域表达式如式（10）所示。在h次谐波频点右边m个频点的泄漏值为

1

Aejϕ(ej2πMNTsfS2πj

−1)f[hM+m]≈

MNT−(hM+m)

（14） sf简化式（14），得

Sf[hM+m]≈

CfDf−m

（15）

5.2.1 计及谐波附近的一个主导间谐波成分

设计及的主导间谐波频率为f1，则

ahm=Sf1[hM+m]=

Cf1D （16）

f1−m

根据h次谐波频点左右的DFT值ah−1、a1h

，得

到线性方程组：

⎛⎜1−ah−1

⎞⎛Cf1⎞⎜=⎛h⎜a−1⎞⎟ ⎝1−a1h⎟⎟⎜⎠⎜⎝

D⎟

（17） f⎟⎠⎜⎝−a1h1⎟

⎠求得系数Cf1、Df1，估算得到间谐波在此谐波频点上的泄漏值：

aCf0h≈

1D （18）

f1

5.2.2 计及谐波附近的两个主导间谐波成分

设计及的主导间谐波频率分别为f1和f2，则

ahm=Sf1[hM+m]+Sf2[hM+m]

=

Cf1Cf2Df1−m

+

D （19）

f2−m

若通过ah−2，ah−1，a1h，ah

2解Cf1，Df1，Cf2，Dfh

2，再来求解a0

的话，所列方程为非线性方程组，计算较为复杂。现通过变量重组把非线性方程组转

换为线性方程组，直接求解a0h

。

重组变量：

⎛Cf⎜x1⎞⎛1Df2+Cf2Df⎜x2⎟⎜1⎞⎜C⎟f1+Cf2⎟⎜⎜x⎟=

⎟ （20） 3⎟⎜⎝x⎟⎜

Df4⎠⎜1Df2⎟⎝Df+Df⎟12⎠

得到线性方程组

⎛−2ah⎜

12−ah−2

−2⎞⎜⎜11−ah

−1−ah⎟⎛⎛4ah⎜x1⎞x⎟⎜−2⎞−1⎟⎜2⎟⎜ah⎟−1⎟

⎜1ah⎟ ⎜−1−a1h⎟⎜x⎟=

⎜1h⎟（21） 1⎜3⎟⎜a⎟⎝1−2−ah2

2ah⎟⎝x4⎠⎜⎝4ah⎟2⎠2⎠

估算得到间谐波在此谐波频点上的泄漏值

ahCf0≈

11

D+

Cf2f1

D=

xf2

x （22） 3

用泄漏值修正原始频谱得到真实的h次谐波参数

Xh[hM]=X[hM]−ah

0 （23）

若考虑负频率成分或者多个间谐波成分，同样可以通过变量重组把非线性方程转换为线性方程，从而估算得到所有间谐波在各个谐波频点的泄漏值。 5.3 谐波间谐波分离法的步骤

本方法的思想在于把谐波信号从原始信号中准确分离出来，由此去除谐波和间谐波之间的频谱干扰。具体步骤如下：

图4 算法流程

Fig.4 Flow chart of the proposed method

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6 算例分析

6.1 计算机仿真算例

采用文献[11]中的两个仿真信号进行分析，具体参数见表2。分别对应间谐波、谐波之间频率差小于和大于5Hz两种情况：

s[k]=

∑3

Ahcos(2π

•

hf0•kTs)+Aicos(2π•fi•kTs)（24）

h=1

采样频率对应N=200，M=10。

表2 仿真信号参数 Tab.2 Signal parameters

信号

f0/Hz

fi/Hz

A1(pu)

A2(pu)

A3(pu)

Ai(pu)

1 50 103.5 1 0.3 0.2 0.2 2 50 62.5 1 0.3 0.1 0.2

分别采用四种方法对各成分参数进行计算，方法1为加矩形窗的双谱线插值法[17]，方法2为加

Nuttall窗的双谱线插值法[18]，方法3为基于TDA的方法[11]，方法4为本文方法。

对于信号1，由于间谐波信号频率和二次谐波频率只相差3.5Hz，

对于IEC61000−4−7的频率分辨率而言，在频域其主瓣会和谐波主瓣发生干扰。对采样信号进行DFT计算，

得到离散频谱和补零后的拟DTFT连续频谱图如图5所示，从中可以看出间谐波和二次谐波无法准确分离，采用以往的频域插值算法得到的结果显然是不可信的。对于信号2，间谐波信号频率和基频差12.5Hz，这对于

IEC61000−4−7推荐的加矩形窗的频谱分析而言，不存在谐波和间谐波的主瓣干扰。但是对于文献[18]所提方法而言，它们存在主瓣的相互干扰，因为加窗的目的只是抑制了旁瓣泄漏，而在10个周波这么

（a）信号1离散和连续幅值频谱图

（b）信号2离散和连续幅值频谱图

图5 幅值频谱图

Fig.5 Amplitude spectra of the signals with interharmonics

短的窗口内，各频率成分间主瓣之间干扰的可能性会随着加窗而增大。一般加窗插值的方法的采样窗口长度都不能满足IEC的要求。

（a）信号1中拟间谐波信号连续幅值频谱图

（b）信号2中拟间谐波信号连续幅值频谱图

图6 拟间谐波信号的幅值频谱图 Fig.6 Amplitude spectra of the interharmonic

通过表3和表4可以看出，本文方法可以很好地区分谐波和间谐波，计算精度上也有明显的优势。虽然基于TDA的方法也可以分辨出谐波和间谐波，但从图7所示的拟谐波偏差信号可看出，基于TDA的方法得到的分离误差要远远大于本文方法。

（a）信号1的拟谐波偏差信号时域图

（b）信号2的拟谐波偏差信号时域图

图7 拟谐波偏差信号的时域图 Fig.7 Waveforms of the harmonic error signal

表3 间谐波频率计算结果误差对比

Tab.3 Calculation errors of interharmonic frequency

频率相对误差/10−4 信号间谐波频率/Hz方法1 方法2 方法3方法41 103.5

无法分辨

无法分辨

78.64732.80192

62.5 8.0023 无法分辨

8.0000

8.0000

188

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表4 各成分幅值相角误差

Tab.4 Calculation errors of magnitudes and phase angles

幅值相对误差/×10−4

方法1 −36.4203

方法2 −0.0679

方法3 −36.8019 −1242.1037142.9625 −965.2123

方法4 −0.0001−0.00890.0000 25.0000

方法1

信号

谐波间谐波频率

/Hz

50

相角绝对误差/rad 方法2

方法3

方法4

0.0130 0.0000 0.0025 0.0000 −1.0184

0.2671 0.2245 0.0000

0.0000 −0.00040.0000

信号1

100 1501.2804 −1875.9753150 159.8811 −0.0265 103.5

无法分辨

无法分辨

0.0737 0.0000 −0.0261无法分辨−0.0973

无法分辨 −0.0173

−0.03110.0226

50 28.6586 2.2228 4.5612 −0.0025

信号2

100 36.3935 −0.0640 150 76.2479 −0.0640 62.5

−3.1090

无法分辨

12.7220 33.1370 −170.00

−0.0005−0.00020.0000

0.0841 0.0000 0.0348 0.0000 0.1090 0.0000 −0.0512−0.0322

无法分辨

−0.0307

0.0000 −0.0307

6.2 实测数据分析算例

实测数据来自浙江某金属制品厂的中频电炉。采用横河DL750为数据采集装置，采样频率为

1000Hz，测得基波频率在49.99～50Hz，认为采样对谐波同步。测得某相电压电流波形如图8所示。

（a）电流幅值频谱

（a）某相电压

（b）电压幅值频谱

图9 采样信号DFT离散幅值频谱

Fig.9 Discrete DFT amplitude spectra of the sampled signal

泄漏没有考虑。对于200Hz和300Hz的偶数次谐波而言，由于其本身含量很小，间谐波在这两个频点

（b）某相电流

的泄漏造成的影响较大，因此检测误差较大。若采用双谱线插值，由于两根谱线大部分是间谐波泄漏引起的，插值得到谐波参数显然是完全不准确的。

对于间谐波，分别采用第6.1节中方法3和方法4对其进行分析得到的补零DFT结果如图10所，两个示（图中深色线为方法4，浅色线为方法3）主导间谐波和各自对应的谐波之间频率差小于

图8 测得中频炉电压电流波形 Fig.8 Waveform at the measurement point

从电流波形看出，负荷的波动导致电流峰值和有效值发生波动。根据这种波动特点，可以判定信号中含有间谐波成分。电流中的间谐波成分流经系统阻抗，形成间谐波电压；因此测得的电压波形也是波动的。从波形看出，波动频率为3Hz左右。

分别对电压电流信号进行分析，采样窗口为

5Hz。此时若采用插值的方法计算间谐波参数，计算得到的间谐波成分是不可信的。

基于TDA的方法在本质上忽略了间谐波在谐波频点的泄漏，把泄漏值包含在谐波成分里面，因此差分信号里面含有和泄漏值相对应的拟谐波偏差信号；此偏差信号对间谐波的干扰没有考虑，而实际上，若间谐波和对应谐波的频率差小于5Hz时，拟谐波偏差信号对间谐波的干扰是非常大的。从频就是把间谐波的一部分主瓣归并到了域图10上看，

谐波频点的另一侧，出现两个虚拟主瓣，所测间谐

IEC推荐的十个周波，得到的DFT离散幅值频谱如发现在200Hz和300Hz附近存在导致信图9所示。

号波动的主导间谐波成分，但是由于频谱泄漏及频率分辨率（5Hz）的限制，无法准确提取出真实的间谐波参数。

对于谐波，采用基于TDA的方法与直接对信号间谐波在谐波频点的 做DFT得到的结果完全一致，

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波频率发生右偏。这和6.1节的仿真结果是一致的。

（a）间谐波电压拟DTFT幅值频谱

（b）间谐波电流拟DTFT幅值频谱

图10 通过补零得到间谐波密集频谱

Fig.10 Intensive amplitude spectra of interharmonics by

zero-padding

为了进一步验证本文方法的有效性，把采样窗口长度扩大10倍以减小频谱干扰，

并通过补零峰值搜索法求得间谐波参数如图11所示，

得到的波动频率都为3.2Hz；对比图10结果，本文方法得到间谐波频率较为准确，而基于TDA的方法所测的频率发生右偏约1Hz。其中幅值的差异是由信号的非平稳性引起的，但是实际情况下，在测量的十个周波内信号完全可以认为是稳态的。测量结果也表明了这点。

（a）电流幅值频谱

（b）电压幅值频谱

图11 采样窗口加长后的DFT离散频谱

Fig.11 Discrete DFT amplitude spectra after lengthening

the sampling window

7 结论

（1）同步采样下，间谐波和谐波之间的频谱干扰是形成检测误差的根本原因。信号非谐波频点的

DFT/FFT值完全由间谐波产生。

（2）在IEC推荐的检测条件下，采用基于TDA的方法时，间谐波在谐波频点的泄漏影响依然存在，特别是在间谐波和谐波频率非常接近时尤为明显。以往的插值方法，同步采样下计算得到的谐波参数中混入了间谐波泄漏带来了误差；在谐波和间谐波

主瓣发生干扰时，无法准确分离出间谐波成分。复杂窗函数的使用会大大增加谐波和间谐波间主瓣干扰的可能性。

（3）本文的思想在于准确提取信号对应谐波频点DFT值中包含的间谐波泄漏成分。

利用单一频率信号DFT近似结果的特点，变量重组，把非线性方程组转化为线性方程组求解间谐波泄漏值。即使间

谐波和谐波频率差小于一个频率分辨率，所提方法仍能实现谐波和间谐波成功分离。

（4）如何精确检测多个邻近间谐波成分，考虑间谐波之间的频谱干扰是下一步研究的重点。

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作者简介

惠 锦 男，1985年生，博士研究生，研究方向为电力系统谐波和间谐波分析与评估。

杨洪耕 男，1949年生，教授，博士生导师，长期从事电能质量分析与控制，电力市场等方面的教学和科研工作。