时间120分钟，满分150分。
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，若P(x,2)是角θ终边上一点，313且cosθ＝，则x的值为( )
13
A．±3 C．3 [答案] C
[解析] P到原点的距离|PO|＝x＋4，由三角函数的定义及题设条件得，313x2＝，x＋413x>0，
2B．－3 D．±13
解之得x＝3.
2．(2015²河南商丘市二模)已知向量a＝(3，1)，b＝(0，－1)，c＝(k，3)，若a－2b与c共线，则k的值为( )
A．1 C．2 [答案] A
[解析] a－2b＝(3，3)，∵a－2b与c共线，∴(3)－3k＝0，∴k＝1. π3π
3．(文)下列函数中，周期为π，且在区间[，]上单调递增的函数是( )
44A．y＝sin2x C．y＝－sin2x [答案] C
π
(理)已知f(x)＝asin2x＋bcos2x，其中a、b∈R，ab≠0，若f(x)≤|f()|对一切x6π
∈R恒成立，且f()＞0，则f(x)的单调递增区间是( )
2
ππ
A．[kπ－，kπ＋](k∈Z)
36π2π
B．[kπ＋，kπ＋](k∈Z)
63π
C．[kπ，kπ＋](k∈Z)
2
1
2
B．－1 D．－2
B．y＝cos2x D．y＝－cos2x
π
D．[kπ－，kπ](k∈Z)
2[答案] B
ππ
[解析] 用淘汰法求解．由条件f(x)≤|f()|知x＝时f(x)取得最大值或最小值，
66ππ
故kπ＋为单调区间的一个端点，排除C、D，又当单调区间为A时，应有f()<0，排除
62A，∴选B．
4．(2015²太原市二模)已知a＝(x,2)，b＝(2，－1)，且a⊥b，则|a－b|＝( ) A.5 C．25 [答案] B
[解析] ∵a⊥b，∴a²b＝2x－2＝0，∴x＝1， ∴a－b＝(－1,3)，∴|a－b|＝10.
ππ
5．(文)函数y＝tan(x－)(0 B．10 D．10 A的直线l与函数的图象交于B、C两点，则(OB＋OC)²OA等于( ) A．－8 B．－4 C．4 D．8 [答案] D → [解析] A点坐标为(2,0)，即OA＝(2,0)， ππ 由y＝tan(x－)的图象的对称性知A是BC的中点． 42→→→ ∴OB＋OC＝2OA， →→→→→∴(OB＋OC)²OA＝2OA²OA →2 ＝2³|OA|＝8.故选D． → (理)(2015²江西质监)已知△ABC是边长为2的正三角形，点P为△ABC内一点，且PA＋→→→→ 2PB＋3PC＝0，则PA²PB等于( ) 2A．－ 92C． 9 1B．－ 98D． 9 2 →→→ [答案] A [解析] 以AB中点O为原点，OC所在直线为y轴建立直角坐标系如图，设P(x，y)，→→→ ∵PA＋2PB＋3PC＝(－1－x，－y)＋2(1－x，－y)＋3(－x，－y)＝(1－6x,33－6y)＝0， 3 1－6x＝0， ∴ 33－6y＝0， 1x＝，6∴ 3y＝.2 23→→1 ∴P，，PA²PB＝－. 962 6．(文)已知倾斜角为α的直线l与直线x－2y＋2＝0平行，则tan2α的值为( ) 4 A. 54 C． 3[答案] C 12tanα4 [解析] ∵tanα＝，∴tan2α＝＝. 2 21－tanα3 3 B． 42D． 3 ππ则tanα＝( ) (理)(2015²太原市二模)已知sinα＋cosα＝2，α∈－，， 22 A．－1 C．2 2 B．－D．1 2 2 [答案] D 1 [解析] 解法1：∵sinα＋cosα＝2，∴sinαcosα＝， 2sinα＋cosα1∴＝2，即tanα＋＝2，解之得tanα＝1. sinαcosαtanαπ 解法2：∵sinα＋cosα＝2，∴sin(α＋)＝1， 4πππ ∵α∈(－，)，∴α＝，∴tanα＝1，故选D． 2247．(文)函数y＝cos(2x－( ) A．值域为[0,2]的奇函数 3 2 2 2 ππ )的图象向左平移个单位，所得的图象对应的函数是36 B．值域为[0,1]的奇函数 C．值域为[0,2]的偶函数 D．值域为[0,1]的偶函数 [答案] D 2π 1＋cos4x－3ππ112 [解析] y＝cos(2x－)＝，左移个单位后为y＝＋cos4x为 32622偶函数，值域为[0,1]，故选D． π (理)若把函数y＝sinωx的图象向左平移个单位，则与函数y＝cosωx的图象重合， 3则ω的值可能是( ) 1A. 32C． 3[答案] B 3B． 21D． 2 Tπ4π [解析] 由条件知，＝，∴T＝， 433 2π3 又T＝，∴ω＝. ω2 8．(2015²梧州二模)设非零向量a，b，c，满足|a|＝|b|＝|c|，|a＋b|＝|c|，则向量a，b的夹角是( ) A.π 6 πB． 35πD． 6 2πC． 3[答案] C [解析] 由|a＋b|＝|c|，得|a＋b|＝|c|， 即a＋b＋2a²b＝c，又因为|a|＝|b|＝|c|， |a| 所以a²b＝－＝|a||b|cos〈a，b〉， 212π 所以cos〈a，b〉＝－，故〈a，b〉＝. 239．(文)(2015²河南六市联考)若α∈的值为( ) A. 1 18 1B．－ 18 4 2 2 2 2 22 π，π，则3cos2α＝sinπ－α 4 2 ，则sin2α 17C． 18[答案] D [解析] 由已知得3(cosα－sinα)＝ 2 2 17D．－ 18 2 (cosα－sinα)， 2 π21 ∵α∈(，π)，∴cosα＋sinα＝，∴1＋2sinαcosα＝， 2618117 ∴sin2α＝－1＝－. 1818 (理)(2015²唐山市一模)函数f(x)＝|sinx|＋2|cosx|的值域为( ) A．[1，5] C．[2，5] [答案] A [解析] 解法1：∵f(x＋π)＝|sin(x＋π)|＋2|cos(x＋π)|＝|－sinx|＋2|－cosx|＝|sinx|＋2|cosx|，∴f(x)为周期函数，其中一个周期为T＝π，故只需考虑f(x)在[0，1πf(x)＝sinx＋2cosx＝5sin(x＋α)， π]上的值域即可．当x∈0，时，其中cosα＝， 25sinα＝ 2 B．[1,2] D．[5，3] πππ，∴f(x)max＝f－α＝5，f(x)≥f＝1.当x∈，π时，f(x)＝sinx2225 1 2π ，sinβ＝－，∴f(x)max＝f－β 255 －2cosx＝5sin(x＋β)，其中cosβ＝ ＝5， f(x)min＝f＝1，∴f(x)的值域为[1，5]． 2 π 解法2：∵f(0)＝2，∴排除D；f()＝1，排除C； 2π 又0≤x≤时，f(x)＝sinx＋2cosx＝5sin(x＋φ)， 2此时f(x)max>2，排除B，故选A. 10．(文)(2015²河北衡水中学一模)已知平面向量a＝(2cosx，sinx)，b＝(cosx，－2sinx)，f(x)＝a²b，要得到y＝sin2x＋3cos2x的图象，只需要将y＝f(x)的图象( ) π A．向左平行移动个单位 6π C．向左平行移动个单位 12[答案] D [解析] 由题意得：f(x)＝a²b＝2cosx－2sinx＝2(cosx＋sinx)(cosx－sinx)＝ 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 π π B．向右平行移动个单位 6π D．向右平行移动个单位 12 5 ππππ 2cos2x＝2sin2x＋，而y＝sin2x＋3cos2x＝2sin2x＋＝2sin2x－＋，故只 23122π 需将y＝f(x)的图象向右平移个单位即可． 12 ππ(理)(2015²昆明市质检)若将函数y＝sinωx＋(ω>0)的图象向左平移个单位36π 后，得到的图象关于直线x＝对称，则ω的最小值为( ) 6 1A. 2C．2 [答案] A ωππππ＋，由题[解析] 平移后所得函数解析式为y＝sinωx＋＋＝sinωx＋ 6363ωπωππ1π意得：sin＋＋＝sinω＋1的值为1或－1，故ω的最小值为，选A. 66323 →→→ 11．(文)已知P是边长为2的正三角形ABC的边BC上的动点，则AP²(AB＋AC)( ) A．最大值为8 C．最小值为2 [答案] B →→→→ [解析] 如图，∵AB＋AC＝AD＝2AO，△ABC为正三角形， →→→ ∴四边形ABDC为菱形，BC⊥AO，∴AP在向量AD上的投影为AO，→→→→→→ 又|AO|＝3，∴AP²(AB＋AC)＝|AO|²|AD|＝6，故选B． (理)如图，已知△ABC中，点M在线段AC上，点P在线段BM上且满足＝＝2，若→→→→ |AB|＝2，|AC|＝3，∠BAC＝120°，则AP²BC的值为( ) B．是定值6 D．与P的位置有关 B．1 7D． 2 AMMPMCPB A．－2 2C． 3[答案] A B．2 11D．－ 3 6 →2→→1→→→ [解析] 由条件知AM＝AC，BP＝BM，AB²AC＝2³3cos120°＝－3， 33→→→→→→1→→ ∴AP²BC＝(AB＋BP)²BC＝(AB＋BM)²BC 3→1→1→→＝(AB＋AM－AB)²BC 332→12→→ ＝(AB＋²AC)²BC 3332→2→→→＝(AB＋AC)²(AC－AB) 394→→2→22→2 ＝AB²AC－|AB|＋|AC|＝－2. 939 x2y2 12．(文)(2015²唐山市一模)F是双曲线C：2－2＝1(a>0，b>0)的右焦点，过点F向 abC的一条渐近线引垂线，垂足为A, 交另一条渐近线于点B．若2AF＝FB，则C的离心率是 ( ) A.23 3 B． 14 3 →→ C．2 [答案] A D．2 [解析] 由已知得渐近线为l1：y＝x，l2：y＝－x， 由条件得，F到渐近线的距离|FA|＝b，则|FB|＝2b， 在Rt△AOF中，|OF|＝c，则|OA|＝c－b＝a. 设l1的倾斜角为θ，即∠AOF＝θ，则∠AOB＝2θ. 2 2 babab3b在Rt△AOF中，tanθ＝，在Rt△AOB中，tan2θ＝， aa2ba2tanθ3b22 而tan2θ＝，即＝22，即a＝3b， 1－tanθab1－2 ac2423 ∴a＝3(c－a)，∴e＝2＝，即e＝. a33 2 2 2 2 →2 (理)(2015²河南商丘市二模)已知以F为焦点的抛物线y＝4x上的两点A，B满足AF＝→ 3FB，则弦AB中点到准线的距离为( ) 8A. 3 B．2 7 4C． 3[答案] A 5D． 3 →→ [解析] 由已知得F(1,0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由AF＝3FB得，(1－x1，－y1) x＝my＋1 ＝3(x2－1，y2)，∴y1＝－3y2，设AB方程为：x＝my＋1，由2 y＝4x2 2 2 2 得：y－4my－4＝ 2 42y1y21 0，∴y1y2＝－4，∴y＝，y1＝12，∴x1＝＝3，x2＝＝，所以AB中点到准线的距离d344318 ＝(x1＋x2＋p)＝. 23 二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，将正确答案填在题中横线上) 2π 13．(2015²河北衡水中学一模)已知平面向量a与b的夹角等于，如果|a|＝2，|b| 3＝3，那么|2a－3b|等于________． [答案] 133 2 2 2 2 2 [解析] |2a－3b|＝(2a－3b)＝4a－12a²b＋9b＝4³2－12³2³3³cos9³3＝133， ∴|2a－3b|＝133. 14．已知函数f(x)＝cosxsinx，给出下列四个结论： ①若f(x1)＝－f(x2)，则x1＝－x2； ②f(x)的最小正周期是2π； ππ ③f(x)在区间[－，]上是增函数； 44④f(x)的图象关于直线x＝ 3π 对称． 4 2 2π ＋3 其中正确的结论是________． [答案] ③④ 1kππ3π [解析] f(x)＝sin2x最小正周期T＝π，对称轴x＝＋，k∈Z，令k＝1得x＝；2244ππππππ 由2kπ－≤2x≤2kπ＋得，kπ－≤x≤kπ＋，取k＝0知，f(x)在区间[－，] 224444上为增函数，f(x)为奇函数，当x1＝－x2时，有f(x1)＝f(－x2)＝－f(x2)，但f(x1)＝－f(x2)时，由周期性知不一定有x1＝－x2，故正确选项为③④. 15．(文)关于平面向量a、b、c，有下列四个命题： ①若a∥b，a≠0，则∃λ∈R，使b＝λa； 8 ②若a²b＝0，则a＝0或b＝0； ③存在不全为零的实数λ，μ，使得c＝λa＋μb； ④若a²b＝a²c，则a⊥(b－c)． 其中正确的命题序号是________． [答案] ①④ [解析] 逐个判断．由向量共线定理知①正确；若a²b＝0，则a＝0或b＝0或a⊥b，所以②错误；在a，b能够作为基底时，对平面上任意向量，存在实数λ，μ使得c＝λa＋μb，所以③错误；若a²b＝a²c，则a²(b－c)＝0，所以a⊥(b－c)，所以④正确．故正确命题序号是①④. →→→→→ (理)在△ABC中，M是BC的中点，AM＝1，点P在AM上且满足AP＝2PM，则PA²(PB＋PC)等于________． 4[答案] － 9 2→1→→→ [解析] AM＝1，AP＝2PM，∴|PA|＝，|PM|＝， 33214→→→→→ ∴PA²(PB＋PC)＝PA²(2PM)＝－2³³＝－. 339 cosAb3 16．(文)在△ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，且＝＝.若c＝10， cosBa4则△ABC的面积是________． [答案] 24 cosAb[解析] 由＝得acosA＝bcosB， cosBa由正弦定理得sin2A＝sin2B， 由 cosA3 ＝知A≠B，∴2A＝π－2B， cosB4 ππ ∴A＋B＝，∴C＝， 22 b31 又＝，c＝10，∴b＝6，a＝8，S＝ab＝24. a42 (理)(2015²河南八市监测)已知△ABC的内角A、B、C对应的边分别为a，b，c，且关于x的方程2a＋2x＋b＝2bx＋22ax只有一个零点x0，(2b＋a)cos C＋ccos A＝0，S△ ABC2 2 2 ＝2 sin A²sin B，则边c＝________. 2 [答案] 1 [解析] 方程2a＋2x＋b＝2bx＋22ax可化为2x－2(b＋2a)x＋2a＋b＝0，由题 2 2 2 2 2 2 9 意可得4(b＋2a)－8(2a＋b)＝0，即2a－22ab＋b＝0，所以(b－2a)＝0， 所以b＝2a，又因为(2b＋a)cosC＋ccosA＝0，所以3acosC＋ccosA＝0⇒3sinAcosC＋cosAsinC＝0， ∴2sinAcosC＋sin(A＋C)＝0，所以2sinAcosC＋sinB＝0，∴2acosC＋b＝0⇒2acosC＋2a＝0， 所以cosC＝－23，因为0 2 2 2 2 222222 由余弦定理：c＝a＋b－2abcosC＝a＋2a＋2a³2a³ 22 ＝5a， 2 所以c＝5a，由于＝＝，所以a＝2csinA，b＝2csinB， sinCsinAsinB1122222 ∴S△ABC＝absinC＝³2csinA³2csinB³＝csinAsinB＝sinAsinB，∴c22222＝1，∴c＝1. 三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本题满分10分)(文)已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，3sinCcosC12 －cosC＝，且c＝3. 2 (1)求角C； (2)若向量m＝(1，sinA)与n＝(2，sinB)共线，求a、b的值． 12 [解析] (1)∵3sinCcosC－cosC＝， 2∴ 31π sin2C－cos2C＝1，∴sin(2C－)＝1， 226 cabππ11π∵－<2C－<， 666πππ∴2C－＝，∴C＝. 623 (2)∵m＝(1，sinA)与n＝(2，sinB)共线， 2π ∴sinB＝2sinA，∴sin(－A)＝2sinA， 3∴ 31 cosA＋sinA＝2sinA， 22 3 ， 3 ∴cosA＝3sinA，即tanA＝ 2πππ 又0 10 333 在直角三角形ABC中c＝3，∴a＝，b＝. 22 →→ (理)在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a>c，已知BA²BC＝2，cosB1 ＝，b＝3，求： 3 (1)a和c的值； (2)cos(B－C)的值． [分析] (1)根据数量积的定义、余弦定理联立解方程组求解．(2)根据正弦定理，结合两角差的余弦公式求解． →→ [解析] (1)由BA²BC＝2得c²acosB＝2. 1 又cosB＝，所以ac＝6. 3 由余弦定理得a＋c＝b＋2accosB． 122 又b＝3，所以a＋c＝9＋2³6³＝13. 3 ac＝6解22 a＋c＝13 2 2 2 得a＝2，c＝3或a＝3，c＝2. 因a>c，所以a＝3，c＝2. (2)在△ABC中，sinB＝1－cosB＝ 2 1222 1－＝. 33 c22242 由正弦定理，得sinC＝sinB＝³＝. b339 因a＝b>c，所以C为锐角， 因此cosC＝1－sinC＝ 24227 1－＝. 99 于是cos(B－C)＝cosBcosC＋sinBsinC 17224223 ＝²＋²＝. 393927 18．(本题满分12分)(文)(2015²北京理，15)已知函数f(x)＝2sincos－2sin. 222(1)求f(x)的最小正周期； (2)求f(x)在区间[－π，0]上的最小值． [分析] 考查三角恒等变形；三角函数的图象与性质． 先用降幂公式和辅助角公式进行三角恒等变形，把函数化为f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋m形式，再利用周期公式T＝ 2π3ππ 求出周期，第二步由于－π≤x≤0则可求出－≤x＋ω44 11 xx2 xπ ≤，借助正弦函数图象找出在这个范围内f(x)的最小值． 4 [解析] (1)f(x)＝2sin cos －2sin 222 11－cos x222 ＝2²sin x－2²＝sin x＋cos x－ 222222π＝sinx＋－. 42 xx2 xf(x)的最小正周期为T＝2π； 3πππππ (2)∵－π≤x≤0，∴－≤x＋≤，当x＋＝－， 444423π2 即x＝－时，f(x)取得最小值为－1－. 42 π2(理)(2015²山东理，16)设f(x)＝sinxcosx－cosx＋. 4(1)求f(x)的单调区间； (2)在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若f＝0，a＝1，求△ABC面 2积的最大值． π2 [解析] f(x)＝sin x²cos x－cos(x＋) 4π 1＋cos2x＋ 21 ＝sin 2x－ 22111 ＝sin 2x－＋ sin 2x 2221＝sin 2x－. 2 ππ (1)由－＋2kπ≤2x≤＋2kπ，k∈Z， 22ππ 得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z. 44 ππ ∴函数f(x)的单调递增区间是[－＋kπ，＋kπ](k∈Z)， 44π3π 由＋2kπ≤2x≤＋2kπ，k∈Z， 22π3 得＋kπ≤x≤π＋kπ，k∈Z. 44 A 12 π3π ∴函数f(x)的单调递减区间是[＋kπ，＋kπ](k∈Z)． 44 A11 (2)∵f()＝0，∴sin A－＝0，∴sin A＝， 222 π ∵A是锐角，∴A＝， 6 由余弦定理：a＝b＋c－2bc cos A， ∴1＝b＋c－3bc ≥2 bc－3bc＝(2－3)bc. (其中等号当且仅当b＝c时成立) ∴bc≤12－3 ＝2＋3 2 2 2 2 2 11π2＋3 ∴S△ABC＝bcsin A≤³(2＋3)sin＝. 22642＋3 ∴△ABC面积最大值为. 4 19．(本题满分12分)(2014²乌鲁木齐地区5月诊断)已知a＝(cosx，23cosx)，b＝(2cosx，sinx)，且f(x)＝a²B． (1)求f(x)的最小正周期及单调递增区间； (2)在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，若(a＋2c)cosB＝－bcosA成立，求f(A)的取值范围． [分析] 先按照向量的数量积运算求出f(x)并化为“一角一函”形式，再求第(1)问；第二问先按正弦定理化边为角或化角为边，考虑到求f(A)的取值范围，应化边为角，进行三角变换，再依据变换后的结果确定下一步．考虑结论求f(A)的范围，应先求得A的范围，故只需将sinC用sin(A＋B)代换求出B即可． [解析] (1)∵a＝(cosx,23cosx)，b＝(2cosx，sinx)， ∴f(x)＝a²b＝2cosx＋23sinxcosx π ＝1＋cos2x＋3sin2x＝2sin(2x＋)＋1. 6∴函数f(x)的最小正周期为π. πππππ 由－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ(k∈Z)，得－＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)， 26236ππ ∴函数f(x)的单调递增区间为[－＋kπ，＋kπ](k∈Z)． 36(2)由正弦定理得：(sinA＋2sinC)cosB＝－sinBcosA， 2 13 1 ∴sin(A＋B)＝－2sinCcosB，∴cosB＝－. 22π 又∵B为三角形的内角，∴B＝. 3π ∴f(A)＝2sin(2A＋)＋1. 6πππ5π∵0 ∴ (1)求的值； 1 (2)若cosB＝，△ABC的周长为5，求B． 4[解析] (1)在△ABC中，有 abc＝＝＝2R， sinAsinBsinCca又b(cosA－2cosC)＝(2c－a)cosB，则 sinB(cosA－2cosC)＝(2sinC－sinA)cosB， 即sinBcosA－2sinBcosC＝2sinCcosB－sinAcosB， ∴sin(A＋B)＝2sin(B＋C)⇒sinC＝2sinA⇒＝2.(也可用余弦定理求解) (2)由(1)＝2⇒c＝2a，又a＋b＋c＝5，∴b＝5－3a. 由余弦定理得：b＝c＋a－2accosB， 12222 ∴(5－3a)＝(2a)＋a－4a³⇒a＝1，或a＝5， 4当a＝1⇒b＝2，当a＝5与a＋b＋c＝5矛盾．故b＝2. (理)(2015²新课标Ⅱ理，17)△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，△ABD面积是△ADC面积的2倍． sin B(1)求； sin C(2)若AD＝1，DC＝ 2 ，求BD和AC的长． 2 2 2 2 caca[解析] 考查1.三角形面积公式；2.正弦定理和余弦定理． (1)由△ABD和△ADC面积关系得边AB和AC的关系，进而在△ABC中，利用正弦定理求解； 14 (2)由△ABD和△ADC面积关系得BD和DC的关系，结合DC＝角形中利用余弦定理求解． 1 (1)S△ABD＝AB²ADsin ∠BAD， 2 2 可求BD，分别在两个三2 SΔADC＝AC²ADsin ∠CAD， 因为SΔABD＝2SΔADC，∠BAD＝∠CAD， sin BAC1 所以AB＝2AC，由正弦定理可得＝＝. sin CAB2(2)因为S△ABDS△ADC＝BDDC，所以BD＝2. 在△ABD和△ADC中，由余弦定理得 12 AB2＝AD2＋BD2－2AD²BDcos ∠ADB， AC2＝AD2＋DC2－2AD²DCcos ∠ADC. 故AB＋2AC＝3AD＋BD＋2DC＝6. 由(1)知AB＝2AC，所以AC＝1. 21．(本题满分12分)(文)函数f(x)＝sinωxcosφ－cosωxsinφ(ω>0,0<φ<π)的图ππ象过点(，0)，且相邻两条对称轴间的距离为. 62 (1)求f(x)的表达式； 121 (2)试求函数y＝f (x)＋的单调增区间． 22[解析] (1)由题意y＝sin(ωx－φ)， π ∵相邻两条对称轴间的距离为， 22π ∴T＝π＝，∴ω＝2， ω故f(x)＝sin(2x－φ)， π 又y＝f(x)的图象过点(，0)， 6 ππ ∴2³－φ＝kπ，k∈Z，∴φ＝－kπ，k∈Z， 63π又0<φ<π，∴φ＝， 3 2 2 2 2 2 f(x)＝sin(2x－)． 1π1212 (2)y＝f (x)＋＝sin(x－)＋ 2232 15 π 3 2π 1－cos2x－3112π ＝＋＝1－cos(2x－)， 22232π 由2kπ≤2x－≤2kπ＋π， 3π5π 解之得kπ＋≤x≤kπ＋， 36 1π5π21 ∴y＝f (x)＋的增区间为[kπ＋，kπ＋]，(k∈Z)． 2236 (理)如图，D是直角△ABC斜边BC上一点，AB＝AD，记∠CAD＝α，∠ABC＝β. (1)证明：sinα＋cos2β＝0； (2)若AC＝3DC，求β. [解析] (1)证明：∵AB＝AD，∠ABC＝β，∠CAD＝α， π ∴2β＝＋α， 2 π ∴sinα＋cos2β＝sinα＋cos(＋α)＝sinα－sinα＝0. 2(2)在△ABC中， ∵AC＝3DC，∴sinβ＝3sinα， ∴sinβ＝3sinα＝－3cos2β＝23sinβ－3. π3 ∵β∈(0，)，∴sinβ＝， 22π ∴β＝. 3 22．(本题满分12分)(文)已知向量a＝(sinωx,2cosωx)，b＝(cosωx，－π cosωx)(ω>0)，函数f(x)＝a²(3b＋a)－1，且函数f(x)的最小正周期为. 2 (1)求ω的值； (2)设△ABC的三边a、b、c满足：b＝ac，且边b所对的角为x，若方程f(x)＝k有两个不同的实数解，求实数k的取值范围． 2 2 233 16 [解析] (1)∵f(x)＝a²(3b＋a)－1 ＝(sinωx,2cosωx)²(sinωx＋3cosωx,0)－1 ＝ 311sin2ωx－cos2ωx－ 222 π1＝sin(2ωx－)－. 622ππ ∵T＝＝，∴ω＝2. 2ω2 π1 (2)由(1)知，f(x)＝sin(4x－)－， 62 a2＋c2－b22ac－ac1 ∵在△ABC中，cosx＝≥＝， 2ac2ac2 πππ7π ∴0 π11 ∴f(x)＝sin(4x－)－＝k有两个不同的实数解时，k的取值范围是(－1，)． 622 ππ(理)(2015²江西质检)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)其中A>0，ω>0，φ∈－， 22 在其一个周期内的图象最高点和最低点的坐标分别是 (1)求函数y＝f(x)的解析式； 2A(2)三角形ABC的三个内角A，B，C所对边分别是a，b，c，若f＝，a＝6,4sin B25＝5sin C，求边b，c. [解析] (1)由已知得A＝2，T＝2∴ω＝2，f(x)＝2sin(2x＋φ)， 3π3π从而2＝2sin2³＋φ，∴sin(＋φ)＝1， 84∴ 3ππ ＋φ＝2kπ＋，k∈Z. 42 3π，2，7π，－2. 88 7π－3π＝π， 88 πππ∴φ＝2kπ－，∴可取φ＝－，∴f(x)＝2sin2x－. 444 Aπ222A－(2)由f＝，得到sin＝<， 410225 ππ3ππ72， 又A－∈－，，所以cosA－＝ 441044 17 ππππ3 所以cos A＝cosA－cos－sinA－sin＝， 44445 4 由4sinB＝5sinC得到c＝b， 5 162432 根据余弦定理，得到36＝b＋b－2b³b³， 25553024 解得b＝17，c＝17. 1717 反馈练习 一、选择题 π 1．(文)将函数y＝cos(x＋)的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)， 3π 再向左平移个单位，所得函数的最小正周期为( ) 6 A．π C．4π [答案] C πxπ向左平移x5π各点的横坐标 [解析] y＝cos(x＋)伸长到原来的――→2倍y＝cos(＋)π――→y＝cos(＋)． 3236个单位2122π ∴最小正周期为T＝＝4π. 12 1π(理)(2015²洛阳市期末)把函数y＝sinx＋图象上各点的横坐标缩小到原来的(纵 62π 坐标不变)，再将图象向右平移个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为( ) 3 π A．x＝－ 2πC．x＝ 8[答案] A π1π [解析] y＝sin(x＋)上各点横坐标缩小到原来的得到y＝sin(2x＋)的图象，再 626πππ 向右平移个单位得到y＝sin[2(x－)＋]，即y＝－cos2x，因此图象变换后所得函数 336解析式为y＝－cos2x，由选项知选A. →→ 2．(2015²山东理，4)已知菱形ABCD的边长为a，∠ABC＝60°，则BD²CD＝( ) π B．x＝－ 4πD．x＝ 4B．2π D．8π 18 32 A．－a 232C.a 4[答案] D 32 B．－a 432D．a 2 [解析] BD―→²CD―→＝BD―→²BA―→＝(BA―→＋BC―→)²BA―→＝(BA―→)＋ 2222 BC―→²BA―→＝|BA―→|＋|BC―→|²|BA―→|cos∠ABC＝a＋a³cos 60°＝a.故选D． 2 3 2 π 3．(文)设函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(x∈R，ω>0，|φ|<)的部分图象如右图所示， 2则函数f(x)的表达式为( ) π A．f(x)＝sin(2x＋) 4π B．f(x)＝sin(2x－) 43π C．f(x)＝sin(4x＋) 4π D．f(x)＝sin(4x－) 4[答案] A 3ππππ [解析] 周期T＝4(－)＝π，故ω＝2，又点(，1)在图象上，代入可得φ＝， 8884故选A. (理)如图所示为函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0,0≤φ≤π)的部分图象，其中A、B两点之间的距离为5，那么f(－1)等于( ) A．2 C．－3 [答案] A [解析] 设函数f(x)的最小正周期为T，因为A，B两点之间的距离为5，所以 B．3 D．－2 T222ππ ＋4＝5，解得T＝6.所以ω＝＝.又图象过点(0,1)，代入得2sinφ＝1，所2T3 π5ππ5π 以φ＝2kπ＋或φ＝2kπ＋(k∈Z)．又0≤φ≤π，所以φ＝或φ＝.故f(x) 6666 19 πππ5π ＝2sin(x＋)或f(x)＝2sin(x＋)． 3636 πππ对于函数f(x)＝2sin(x＋)，当x略微大于0时，有f(x)>2sin＝1，与图象不符， 366π5π 故舍去；综上，f(x)＝2sin(x＋)． 36 π5π 故f(－1)＝2sin(－＋)＝2.故选A. 36 4．已知向量|a|＝2，|b|＝3，a、b的夹角为120°，那么|a－b|等于( ) A．19 C．7 [答案] B [解析] ∵|a|＝2，|b|＝3，〈a，b〉＝120°，∴a²b＝|a|²|b|²cos120°＝－3，∴|a－b|＝|a|＋|b|－2²a²b＝4＋9－2³(－3)＝19，∴|a－b|＝19. 5．(文)在△ABC中，若2cosB²sinA＝sinC，则△ABC的形状一定是( ) A．等腰直角三角形 C．等腰三角形 [答案] C [解析] 解法1：∵C＝π－(A＋B)， ∴sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝2cosBsinA. ∴sinAcosB－cosAsinB＝0，即sin(A－B)＝0. ∵－π 2 2 2 B．19 D．7 aca2＋c2－b2 解法2：由正弦定理sinA＝，sinC＝，cosB＝， 2R2R2aca2＋c2－b2ac代入条件式得2²²＝， 2ac2R2R∴a＝b.故a＝B． 53 (理)在△ABC中，已知cosA＝，sinB＝，则cosC的值为( ) 135A.C.16 651656或 6565 56B． 651656D．－或 6565 2 2 [答案] A 5123 [解析] 由cosA＝>0得A为锐角，且sinA＝，sinB＝，sinA>sinB，因此B为锐 13135 20 416 角，于是cosB＝，cosC＝cos[π－(A＋B)]＝－cos(A＋B)＝sinAsinB－cosAcosB＝，选565A. → 6．(2014²新课标Ⅰ文，6)设D，E，F分别为△ABC的三边BC、CA、AB的中点，则EB＋→ FC＝( ) A.→AD B．1→2AD C．→BC D．1→2 BC [答案] A [解析] 如图， → EB＋FC→ ＝－12(→BA＋→BC)－1→→2(CB＋CA) ＝－12(→BA＋→CA)＝12(→AB＋→AC)＝→AD. 选A. 7．(文)如果sinα＝45，那么sin(α＋π2 4)－2cosα等于( A.22 B．－225 5 C．425 D．－425 [答案] A [解析] sin(α＋π2 4)－2 cosα ＝sinαcosπ4＋cosαsinπ24222 4－2cosα＝5³2＝5. (理)已知sinα＋2cosα＝3，则tanα＝( ) A.22 B．2 ) 21 C．－2 2 D．－2 [答案] A [解析] ∵sinα＋2cosα＝3， ∴sinα＋22sinαcosα＋2cosα＝3， sinα＋22sinαcosα＋2cosα∴＝3， 22sinα＋cosα tanα＋22tanα＋22∴＝3，∴2tanα－22tanα＋1＝0， 2 tanα＋1∴tanα＝ 2. 2 22 2 2 2 ππ8．(2015²南昌市二模)将函数y＝sin2x－的图象向左移动个单位，得到函数y33＝f(x)的图象，则函数y＝f(x)的一个单调递增区间是( ) ππA.－， 445ππC.－， 1212 [答案] C πB．－，0 2π7πD．， 1212 πππππ[解析] 由已知得：f(x)＝sin2x＋－＝sin2x＋，由－＋2kπ≤2x＋ 33323π5ππ ≤＋2kπ得：－＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)知f(x)的一个单调递增区间为C. 21212 9．(文)(2015²洛阳市期末)在平面直角坐标系xOy中，点A与B关于y轴对称，若向→2→ 量a＝(1，k)，则满足不等式OA＋a²AB≤0的点A(x，y)的集合为( ) A．{(x，y)|(x＋1)＋y≤1} B．{(x，y)|x＋y≤k} C．{(x，y)|(x－1)＋y≤1} D．{(x，y)|(x＋1)＋y≤k} [答案] C →222 [解析] 由已知得B(－x，y)，∴AB＝(－2x,0)，∴x＋y＋(－2x)≤0，即(x－1)＋ 2 2 2 2 2 2 2 22 2 y2≤1，选C. sinA→sinB→ (理)(2015²河南高考适应性测试)已知O是△ABC的重心，且满足²OA＋²OB37sinC→ ＋²OC＝0，则角B等于( ) 8 22 A．30° C．90° [答案] B B．60° D．120° a→b→c→abc→→→ [解析] 由正弦定理得：OA＋OB＋OC＝0，又由题意得：OA＋OB＋OC＝0，∴＝＝， 378378 a＋c－b＝2ac2 2 2 ∴由余弦定理得：cosB＝ 3b2＋8b2－b277 1 38 2³b³b77 ＝，∴B＝60°. 2 2 10．在△ABC中，∠A＝60°，最大边和最小边恰为方程x－7x＋11＝0的两根，则第三边的长是( ) A．3 B．4 C．5 D．6 [答案] B [解析] 设最大边为x1，最小边为x2，且x1＋x2＝7，x1x2＝11.而a边不是最大边和最小边，故a＝x1＋x2－2x1x2²cosA＝(x1＋x2)－2x1x2－2x1x2cosA＝(x1＋x2)－3x1x2＝7－3³11＝16，∴a＝4. 11．(2014²山西大学附中第二次月考)△ABC的三内角A、B、C所对边的长分别为a，b， 2 2 2 2 2 2 c，设向量p＝(sinB，a＋c)，q＝(sinC－sinA，b－a)．若∃λ∈R，使p＝λq，则角C的 大小为( ) A.π 6 2πB． 3πD． 2 πC． 3[答案] C [解析] 由题意知，sinB＝λ(sinC－sinA)，a＋c＝λ(b－a)，∴b＝λ(c－a)，∴λ a2＋b2－c2 ＝，∴a＋c＝(b－a)，∴ c－a＝b－ab，即a＋b－c＝ab，∴cosC＝c－ac－a2abbb2 2 2 2 2 2 1π＝，∴C＝. 23 12．若a、b、c均为单位向量，且a²b＝0，(a－c)²(b－c)≤0，则|a＋b－c|的最大值为( ) A.2－1 C．2 [答案] B [解析] |a＋b－c|＝|a|＋|b|＋|c|＋2a²b－2a²c－2b²c＝3－2(a²c＋b²c) 23 2 2 2 2 B．1 D．2 (a－c)²(b－c)＝a²b－a²c－b²c＋|c| ＝1－(a²c＋b²c)≤0， ∴|a＋b－c|≤1，∴|a＋b－c|max＝1. 二、填空题 13．(文)(2015²北京西城区二模)已知角α的终边经过点(－3,4)，则cosα＝________；cos2α＝________. 37 [答案] － － 525 [解析] 本题考查余弦函数的概念与二倍角公式，难度较小． 由题意得cosα＝ 372 ＝－，则cos2α＝2cosα－1＝－. 22 525－3＋4 －3 2 2 (理)已知a、b、c分别是△ABC的三个内角A、B、C的对边，若c＝2，b＝3，A＋C＝3B，则sinC＝________. [答案] 6 3 π [解析] 本题主要考查正弦定理及应用．由A＋C＝3B得B＝，由正弦定理知，sinC4＝sinB＝cb6. 3 →→ 14．(文)在正三角形ABC中，D是边BC上的点，若AB＝3，BD＝1，则AB²AD＝________. [答案] 15 2 →→→→→→2→→ [解析] AB²AD＝AB(AB＋BD)＝AB＋AB²BD 3152 ＝3＋3³1³cos120°＝9－＝. 22 (理)(2015²北京东城区检测)已知非零向量a，b满足|b|＝1，a与b－a的夹角为120°，则|a|的取值范围是________． 23[答案] (0，] 3 [解析] 本题考查平面向量的运算、正弦定理的应用． →→→ 设OA＝a，AB＝b－a，则OB＝b，则在△ABO中，∠OAB＝180°－120°＝60°，OB＝|b|＝1， 则由正弦定理得＝， sin∠OBAsin∠OABOAOB 24 所以OA＝ 23 ²sin∠OBA＝sin∠OBA， sin∠OAB3 OB2π2323 又因为∠OBA∈(0，)，所以sin∠OBA∈(0,1]，OA＝sin∠OBA∈(0，]，即 33323 |a|＝OA∈(0，]． 3 x2y2 15．已知椭圆2＋2＝1(a>b>0)，F(c,0)是右焦点，经过坐标原点O的直线l与椭圆交 ab→→→→→→ 于点A、B，且FA²FB＝0，|OA－OB|＝2|OA－OF|，则该椭圆的离心率为________． [答案] 3－1 →→→→→→→→→→ [解析] ∵|OA－OB|＝|AB|，|OA－OF|＝|AF|，且|OA－OB|＝2|OA－OF|， →→ ∴AB＝2AF，∵FA²FB＝0，∴FA⊥FB， c3 ∴OF＝OA＝AF，∴A(，－c)在椭圆上， 22c23c2 ∴2＋2＝1， 4a4b2 c23c123∴2＋2＝1， 2＝1，∴e＋4a4a－4c44 e ∵0 －4 2π 16．(文)(2014²河北衡水中学二调)在△ABC中，边AC＝1，AB＝2，角A＝，过A3→→→ 作AP⊥BC于P，且AP＝λAB＋μAC，则λμ＝________. [答案] 10 49 2π1222 [解析] 如图，BC＝AB＋AC－2AB²ACcos＝4＋1－2³2³1³(－)＝7，∴BC＝ 327， 设BP＝x，则CP＝7－x， 25 ∵AB－BP＝AP＝AC－PC， ∴4－x＝1－(7－x)，∴x＝∴PC＝7－x＝ 27. 2 2 22222 57 ， →5→→→→→5→∴BP＝BC，∴AP＝AB＋BP＝AB＋BC 772→5→→5→→ ＝AB＋(AC－AB)＝AB＋AC， 7772510∴λ＝，μ＝，∴λμ＝. 7749 x2y2 (理)(2015²杭州市质检)设P是双曲线C：2－2＝1(a>0，b>0)右支上的任意一点，已 ab→→→22 知A(a，b)和B(a，－b)．若OP＝λOA＋μOB(O为坐标原点)，则λ＋μ的最小值为( ) 1A.ab 41C．ab 2[答案] D [解析] 本题考查平面向量的坐标运算、基本不等式，难度中等． → 利用坐标运算求解点P的坐标，结合基本不等式求解．由题意可得OP＝(aλ＋aμ，bλ－bμ)，又点P(aλ＋aμ，bλ－bμ)在双曲线C上，得(λ＋μ)－(λ－μ)＝1，∴λμ11112222 ＝，则λ＋μ≥2λμ＝，当且仅当λ＝μ＝时取等号，所以λ＋μ的最小值为，4222故选D． 三、解答题 17．(文)在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且bcosC＝(3a－c)cosB． (1)求cosB的值； →→ (2)若BA²BC＝2，且b＝22，求a和c的值． [解析] (1)由正弦定理得，sinBcosC＝3sinAcosB－sinCcosB，∴sin(B＋C)＝3sinAcosB， 可得sinA＝3sinAcosB． 1 又sinA≠0，∴cosB＝. 3 →→ (2)由BA²BC＝2，可得accosB＝2. 2 2 1B． 41D． 2 26 1 又cosB＝，∴ac＝6. 3 由b＝a＋c－2accosB，及b＝22， 可得a＋c＝12， ∴(a－c)＝0，即a＝c. ∴a＝c＝6. (理)在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，若m＝(2b－c，cosC)，n＝(a，cosA)，且m∥n. (1)求角A的大小； (2)记B＝x，作出函数y＝2sinx＋cos 2 22 2 2 2 2 π－2x的图象． 3 [解析] (1)由m∥n得，(2b－c)²cosA－acosC＝0， 由正弦定理得：2sinBcosA－sinCcosA－sinAcosC＝0， ∴2sinBcosA－sin(A＋C)＝0，∴2sinBcosA－sinB＝0， 1π ∵A、B∈(0，π)，∴sinB≠0，cosA＝，∴A＝. 23(2)y＝2sinx＋cos(π sin(2x－)＋1， 6 ∵B＝x，∴由(1)知x∈(0， 2π )． 3 2 π13132 －2x)＝2sinx＋cos2x＋sin2x＝1－cos2x＋sin2x＝32222 列表： x y 0 1 2π 121 π 32 7π 121 2π 31 2π2 函数y＝2sinx＋cos(－2x)的图象如图所示． 3 π 18．(2015²东北三省四市联考)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，B＝， 4π tan(A＋)＝－3. 4 27 (1)求角C； (2)若b－c＝2－3，求△ABC的面积． [解析] (1)∵B＝π3ππ 4，∴0 4＝3，∴A＝12. ∴C＝π 3 . (2)∵B＝π4，C＝π3，∴sinB＝22，sinC＝3 2， ∴cosB＝ 22，cosC＝1 2 ，∴bc＝23. ∵b－c＝2－3，∴b＝2，c＝3. sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC＝6＋2 4 . ∴S116＋23＋3 △ABC＝2bcsinA＝2³2³3³4＝4. 19．(文)已知在△ABC中，cosA＝6 3 ，a、b、c分别是角A、B、C所对的边．(1)求tan2A的值； (2)若sin(π22 2＋B)＝3，c＝22，求△ABC的面积． [解析] (1)因为cosA＝6 3 ，A∈(0，π)， 所以sinA＝323，则tanA＝2 . 所以tan2A＝2tanA1－tan2A＝22. (2)由sin(π2＋B)＝223，得cosB＝22 3， 又B∈(0，π)，所以sinB＝1 3 . 则sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝63 . 由正弦定理知a＝ csinAsinC＝2，所以△ABC的面积为 S＝1acsinB＝22 23 . 28 (理)在△ABC中，角A、B、C对应的边分别是a、b、c.已知cos2A－3cos(B＋C)＝1. (1)求角A的大小； (2)若△ABC的面积S＝53，b＝5，求sinBsinC的值． [解析] (1)由cos2A－3cos(B＋C)＝1，得2cosA＋3cosA－2＝0. 1 即(2cosA－1)(cosA＋2)＝0，解得cosA＝或cosA＝－2(舍去) 2π 因为0 (2)由S＝bcsinA＝bc²＝bc＝53，得bc＝20，又b＝5，所以c＝4， 2224由余弦定理得a＝b＋c－2bccosA＝25＋16－20＝21，故a＝21， 2 2 2 2 bcbc22035 又由正弦定理得sinBsinC＝sinA²sinA＝2sinA＝³＝. aaa2147 20．(2015²深圳市二调)设函数f(x)＝Acos(2x＋φ)(其中A>0,0<φ<π，x∈R)．已知 x＝时，f(x)取得最小值－2. (1)求函数f(x)的解析式； (2)若角θ满足2sin(θ＋ ππ )＝f(θ)，且0≤θ<π，求sin(θ＋)的值． 33 π 6 [解析] (1)由f(x)的最小值为－2且A>0得A＝2. ππ 因为f()＝－2，所以cos(＋φ)＝－1， 63ππ4ππ 由0<φ<π可得<＋φ<，所以＋φ＝π， 33332π 所以φ＝. 3 2π 故f(x)的解析式为f(x)＝2cos(2x＋)． 3 π2π (2)由(1)结合条件得sin(θ＋)＝cos(2θ＋)， 33ππ2 即sin(θ＋)＝1－2sin(θ＋)， 33ππ2 所以2sin(θ＋)＋sin(θ＋)－1＝0， 33ππ1 所以sin(θ＋)＝－1或sin(θ＋)＝. 332ππ4π 又0≤θ<π，所以≤θ＋<. 333 29 π1 所以sin(θ＋)＝. 32 3π 21．(文)(2015²安徽理，16)在△ABC中，∠A＝，AB＝6，AC＝32，点D在BC边 4上，AD＝BD，求AD的长． [分析] 考查正弦定理、余弦定理的应用． 根据题意，设出△ABC的内角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，由余弦定理求出a的长度，再由正弦定理求出角B的大小，在△ABD中，利用正弦定理即可求出AD的长度． [解析] 如图， 设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别是a，b，c， 由余弦定理得a＝b＋c－2bccos∠BAC 3π22 ＝(32)＋6－2³32³6³cos 4＝18＋36－(－36)＝90，所以a＝310. 又由正弦定理得sin B＝π 由题设知0 22 2 2 bsin∠BAC10 ＝. a10 13101－＝. 1010 AD＝AB²sin B6sin B3 ＝＝＝10. sinπ－2B2sin Bcos Bcos B(理)(2015²湖北理，17)某同学用“五点法”画函数f(x)＝Asin(ωx＋πφ)ω>0，|φ|<在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表： 2 ωx＋φ 0 π 2π 35 π 3π 25π 6－5 2π 0 x Asin(ωx＋φ) 0 (1)请将上表数据补充完整，并直接写出函数f(x)的解析式； (2)将y＝f(x)图象上所有点向左平行移动θ(θ＞0)个单位长度，得到y＝g(x)的图 30 象．若y＝g(x)图象的一个对称中心为 5π，0，求θ的最小值． 12 [分析] (1)由表中数据可得到A的值与函数的周期，从而得到ω的值，进而求得φ的值，即可得到函数f(x)的解析式． (2)由f(x)的解析式可设出g(x)的解析式，由g(x)图象的对称中心可求出符合题意的θ的最小值． π [解析] (1)根据表中已知数据，解得A＝5，ω＝2，φ＝－.数据补全如下表： 6 ωx＋φ 0 π 120 π 2π 35 π 7π 120 3π 25π 6－5 2π 13π 120 x Asin(ωx＋φ) π函数f(x)的表达式为f(x)＝5sin(2x－)． 6π (2)由(1)知f(x)＝5sin(2x－)， 6π 故g(x)＝5sin(2x＋2θ－)． 6 因为y＝sin x的对称中心为(kπ，0)，k∈Z. πkππ 令2x＋2θ－＝kπ，解得x＝＋－θ，k∈Z. 6212 5πkππ5π 又函数y＝g(x)的图象关于点(，0)中心对称，因此可以令＋－θ＝，解得 1221212θ＝ kπ 2 － π ，k∈Z.又θ＞0， 3 π 所以当k＝1时，θ取最小值. 6 ππ22．(文)已知向量m＝1，sinωx＋，n＝2，2sinωx－(其中ω为正常数)． 63 π2π(1)若ω＝1，x∈，，求m∥n时tanx的值； 36 π (2)设f(x)＝m²n－2，若函数f(x)的图象的相邻两个对称中心的距离为，求f(x)在 2 π区间0，上的最小值． 2 ππx－x＋[解析] (1)m∥n时，sin＝sin， 63 31 ππππ sinxcos－cosxsin＝sinxcos＋cosxsin， 6633则∴ 3113 sinx－cosx＝sinx＋cosx. 2222 3－13＋13＋1 sinx＝cosx，所以tanx＝＝2＋3. 223－1 ππ(2)f(x)＝2sinωx－sinωx＋ 63πππ＝2sinωx－cosωx＋－ 326 πππ＝2sinωx－cosωx－＝sin2ωx－. 663ππ(或f(x)＝2sinωx－sinωx＋ 63＝2＝21331 sinωx－cosωxsinωx＋cosωx 222232132 sinωx－cosωx＋sinωxcosωx 424π31sin2ωx＋sin2ωx＝sin2ωx－.) 322 ＝－π ∵函数f(x)的图象的相邻两个对称中心的距离为， 2∴f(x)的最小正周期为π，又ω为正常数， ∴ π2π＝π，解得ω＝1.故f(x)＝sin2x－. 32ω ππ2ππ因为x∈0，，所以－≤2x－≤. 2333π3 故当x＝－时，f(x)取最小值－. 32 (理)设△ABC的内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，且(2b－3c)cosA＝3acosC. (1)求角A的大小； π (2)若角B＝，BC边上的中线AM的长为7，求△ABC的面积． 6[解析] (1)∵(2b－3c)cosA＝3acosC， ∴(2sinB－3sinC)cosA＝3sinAcosC， 即2sinBcosA＝3sinAcosC＋3sinCcosA. ∴2sinBcosA＝3sinB， 32 3π∵sinB≠0，∴cosA＝2，∵0 6，所以AC＝BC，C＝3， 设AC＝x，则MC＝1 2x.又AM＝7， 在△AMC中，由余弦定理得， x2＋(x2 )2－2x²x2 ²cos2π 3 ＝(7)2，解得x＝2， 故S122π △ABC＝2xsin3 ＝3. 33 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容