一、选择题
1. 点 𝐶 在 𝑥 轴上方，𝑦 轴左侧，距离 𝑥 轴 2 个单位长度，距离 𝑦 轴 3 个单位长度，则点 𝐶 的坐标为 ( )
2. 下列各式中计算正确的是 ( )
3. 下列语句中正确的是 ( )
4. 如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是 9 cm，内壁高 12 cm，则这只铅笔的长度可能是 ( ) A．无限小数都是无理数 C．无理数都是无限小数
B．带根号的数都是无理数 D．无理数一定带根号
A． √2+√6=√8
B． 2+√3=2√3
C． √3×√5=√15 D．
√42
A． (2,3) C． (3,−2)
B． (−2,−3) D． (−3,2)
=√2
5. 在下列二次根式中，与 √𝑎 是同类二次根式的是 ( )
A． √8𝑎
B． √3𝑎2
C． √𝑎3
D． √𝑎4
A． 9 cm
B． 12 cm
C． 15 cm
D． 18 cm
6. 下列所给数中，是无理数的是 ( )
A． √8
B． 3.1415926
C． 0.123123123
D． √8
3
7. 如图，在 △𝐴𝐵𝐶 中，∠𝐴𝐶𝐵=90∘，𝐴𝐶=4，𝐵𝐶=√2，点 𝐷 在 𝐴𝐵 上，将 △𝐴𝐶𝐷 沿 𝐶𝐷 折叠，点 𝐴 落在 𝐴1 处，𝐴1𝐶 与 𝐴𝐵 相交于点 𝐸，若 𝐴1𝐷∥𝐵𝐶，则 𝐴1𝐸 的长为 ( )
A． 2√2
B． 3
1
8
C．
5√2 3
D． 4−
3√2 2
8. 如图，矩形 𝐴𝐵𝐶𝐷 中，𝐸，𝐹 分别是线段 𝐵𝐶，𝐴𝐷 的中点，𝐴𝐵=2，𝐴𝐷=4，动点 𝑃 沿 𝐸𝐶，𝐶𝐷，𝐷𝐹 的路线由点 𝐸 运动到点 𝐹，则 △𝑃𝐴𝐵 的面积 𝑆 是动点 𝑃 运动的路径总长 𝑥 的函数，这个函数的大致图象可能是 ( )
A． B．
C． D．
9. 如图，在数轴上表示实数 √15 的点可能是 ( )
10. 下列实数是无理数的是 ( )
二、填空题
11. 直角三角形的两条直角边分别为 5 和 12，则斜边上的高为 ．
12. 直线 𝑦=3𝑥−2 与 𝑥 轴的交点坐标为 ．
13. 如图，点 𝐶 为线段 𝐴𝐵 上一点，将线段 𝐶𝐵 绕点 𝐶 旋转，得到线段 𝐶𝐷，若 𝐷𝐴⊥𝐴𝐵，𝐴𝐷=
1，𝐵𝐷=√17，则 𝐵𝐶 的长为 ． A． −2
B．
61
A．点 𝑃 B．点 𝑄 C．点 𝑀 D．点 𝑁
C． √9 D． √11
2
14. 如图，今年的冰雪灾害中，一棵大树在离地面 3 米处折断，树的顶端落在离树杆底部 4 米处，
那么这棵树折断之前的高度是 米．
15. 小华用 460 元去购买单价为 3 元的一种商品，剩余的钱 𝑦（元）与购买这种商品的件数 𝑥（件）
之间的关系式是 ．
16. √5 的小数部分是 𝑎，计算 𝑎2= ．
17. 求值：(−√7)= ．
三、解答题 18. 计算：
(√5+2)−(√5−2)．
19. 如图，由 12 个形状、大小完全相同的小矩形组成一个大的矩形网格，小矩形的顶点称为这个矩
形网格的格点，已知这个大矩形网格的宽为 4，△𝐴𝐵𝐶 的顶点都在格点．
2
2
2
(1) 求每个小矩形的长与宽；
(2) 在矩形网格中找出所有的格点 𝐸，使 △𝐴𝐵𝐸 为直角三角形；（描出相应的点，并分别用 𝐸1，
𝐸2，⋯ 表示） (3) 求 sin∠𝐴𝐶𝐵 的值．
20. 计算题：2√24×
21. 计算．
3
3
√6． 3
(1) √7−√28+√700； (2)
22. 在同一平面直角坐标系中，描出下列各组的点，并将各组的点用线段依次连接起来，观察各组所
得的图形，它们分别像什么？
(1) (0,0)，(1,3)，(2,0)，(3,3)，(4,0)； (2) (0,3)，(1,0)，(2,3)，(3,0)，(4,3)．
23. 计算：2sin60∘+√12+∣−5∣−(π+√2)． 24. 计算
(1) 计算：√18×√3−(1−√3)；
(2) 计算：6×√+(π−2019)0−∣5−√27∣−()．
32
25. 在甲村至乙村的公路旁有一块山地正在开发，现有一处需要爆破，已知点 𝐶 与公路上的停靠站 𝐴
的距离为 300 米，与公路上另一停靠站 𝐵 的距离为 400 米，且 𝐶𝐴⊥𝐶𝐵，如图所示，为了安全起见，爆破点 𝐶 周围半径 250 米范围内不得进人，问在进行爆破时，公路 𝐴𝐵 段是否有危险？是否需要暂时封锁？请通过计算进行说明．
1
1−2
2
2
0
√50×√32√81
−∣∣4−3√2∣∣．
4
答案
一、选择题 1. 【答案】D
【知识点】平面直角坐标系及点的坐标
2. 【答案】C
【解析】A计算错误 √2+√6=√2+√6． B计算错误 2+√3=2+√3． D计算错误
√42
2
=2=1．
【知识点】二次根式的乘法
3. 【答案】C
【知识点】无理数
4. 【答案】D
【解析】根据题意可得图形：𝐴𝐵=12 cm，𝐵𝐶=9 cm , 在 Rt△ABC 中：
𝐴𝐶=√𝐴𝐵2+𝐵𝐶2=√122+92=15（cm）， 则这只铅笔的长度大于 15 cm． 【知识点】勾股定理
5. 【答案】C
【知识点】同类二次根式
6. 【答案】A
【解析】A、 √8 是无限不循环小数，是无理数，选项正确； B、 3.1415926 是有限小数，是有理数，选项错误； C、 0.123123123 是有限小数，是有理数，选项错误； D、 √8=2 是整数，是有理数，选项错误． 【知识点】无理数
7. 【答案】B
【解析】 ∵𝐴1𝐷∥𝐵𝐶， ∴∠𝐵=∠𝐴1𝐷𝐵． 由折叠可知，∠𝐴1=∠𝐴． 又 ∵∠𝐴+∠𝐵=90∘， ∴∠𝐴1+∠𝐴1𝐷𝐵=90∘， ∴𝐴𝐵⊥𝐴1𝐶．
5
3
∵∠𝐴𝐶𝐵=90∘，𝐴𝐶=4，𝐵𝐶=√2， ∴𝐴𝐵=√42+(√2)=3√2． ∵2𝐴𝐵⋅𝐶𝐸=2𝐵𝐶⋅𝐴𝐶， ∴𝐶𝐸=
𝐵𝐶⋅𝐴𝐶𝐴𝐵
1
1
2
=
4√23√2=．
3
4
又 ∵𝐴1𝐶=𝐴𝐶=4， ∴𝐴1𝐸=4−3=3．
【知识点】勾股定理之折叠问题
8. 【答案】C
【解析】当点 𝑃 在 𝐸𝐶 上时，即 0≤𝑥≤2 时， 𝑆=2×𝐴𝐵×𝐵𝑃=2×2×(2+𝑥)=2+𝑥； 当点 𝑃 在 𝐶𝐷 上时，即 2≤𝑥≤4 时， 𝑆=2×𝐴𝐵×4=4；
当点 𝑃 在 𝐷𝐹 上时，即 4≤𝑥≤6 时， 𝑆=×𝐴𝐵×[4−(𝑥−4)]=8−𝑥．
2111
1
4
8
综上所述，△𝑃𝐴𝐵 的面积 𝑆 是动点 𝑃 运动的路径总长 𝑥 的函数图象为C图． 【知识点】用函数图象表示实际问题中的函数关系
9. 【答案】C
【解析】 ∵9<15<16， ∴3<√15<4， ∴√15 对应的点是 𝑀． 故选：C．
【知识点】平方根的估算
10. 【答案】D
【解析】 −2 是负整数， 是分数，√9=3 是整数，都是有理数．
61
√11 开方开不尽，是无理数． 【知识点】无理数
二、填空题 11. 【答案】 13
6
60
【解析】 ∵ 直角三角形的两条直角边的长分别为 5，12， ∴ 斜边为 √52+122=13，
设斜边上的高为 ℎ，则 ×5×12=×13ℎ，解得：ℎ=
2
2
1
1
6013
．
【知识点】勾股定理
12. 【答案】 (,0)
32
【解析】当 𝑦=0 时，即 3𝑥−2=0，解得 𝑥=3， ∴ 直线 𝑦=3𝑥−2 与 𝑥 轴的交点坐标为 (,0)．
32
2
【知识点】一次函数的解析式
13. 【答案】
817
【解析】在 Rt△BAD 中，由勾股定理得 𝐴𝐵=√𝐵𝐷2−𝐴𝐷2=4． 令 𝐵𝐶=𝑥，则 𝐶𝐷=𝐶𝐵=𝑥，𝐴𝐶=𝐴𝐵−𝐶𝐵=4−𝑥． 在 Rt△DAC 中，由勾股定理得 𝐴𝐶2+𝐴𝐷2=𝐶𝐷2， 所以 (4−𝑥)2+1=𝑥2， 解得 𝑥=即 𝐵𝐶=
178
．
178
．
【知识点】旋转、勾股定理
14. 【答案】 8
【解析】 ∵𝐴𝐶=4 米，𝐵𝐶=3 米， ∴ 折断的部分长为 √32+42=5， ∴ 折断前高度为 5+3=8 (米)． 【知识点】勾股定理的实际应用
15. 【答案】 𝑦=460−3𝑥
【解析】购买 𝑥 件，花费 3𝑥 元，剩余 (460−3𝑥) 元． 故 𝑦=460−3𝑥． 【知识点】解析式法
16. 【答案】 9−4√5
【知识点】二次根式的乘法
17. 【答案】 7
7
【知识点】二次根式的乘法
三、解答题
18. 【答案】 (√5+2)−(√5−2)=8√5．
【知识点】二次根式的混合运算
19. 【答案】
(1) 设每个小矩形的长为 𝑥，宽为 𝑦， 𝑥+2𝑦=4,
依题意得：{
2𝑦=𝑥.𝑥=2,解得 {
𝑦=1.
∴ 每个小矩形的长为 2，宽为 1． (2) 如图所示：
(3) 由图可知，𝑆△𝐴𝐵𝐶=4，设 𝐴𝐶 边上的高线为 ℎ，可知 2𝐴𝐶⋅ℎ=4． ∵ 由图可计算 𝐴𝐶=2√5，𝐵𝐶=√13， ∴ℎ=
4√5， 5
ℎ𝐵𝐶
1
2
2
∴sin∠𝐴𝐶𝐵=
=
4√55√13=
4√65． 65
【知识点】二元一次方程组的应用、勾股逆定理、正弦、勾股定理 20. 【答案】 6．
【知识点】二次根式的乘法
21. 【答案】
(1)
原式=
=
√7−757√77
2√7+10√7
.
原式=√(2)
+4−3√2
=10√2+4−3√2=7√2+4.
8
50×32
【知识点】二次根式的加减、二次根式的混合运算
22. 【答案】
(1) 描点，连线略，像大写字母M．
8
(2) 描点，连线略，像大写字母W． 【知识点】平面直角坐标系及点的坐标
23. 【答案】 3√5+4
【解析】实数计算．
【知识点】特殊角的正弦、二次根式的加减
24. 【答案】
原式=√18×3−(1−2√3+3)(1)
=2√3−1+2√3−3=4√3−4.(2)
【知识点】二次根式的混合运算
25. 【答案】有危险，需要暂时封锁．
说明：如图，过 𝐶 作 𝐶𝐷⊥𝐴𝐵 于 𝐷， ∵𝐵𝐶=400 m，𝐴𝐶=300 m，∠𝐴𝐶𝐵=90∘， ∴ 根据勾股定理易得 𝐴𝐵=500 m， ∵𝐴𝐵⋅𝐶𝐷=𝐵𝐶⋅𝐴𝐶，
2
2
1
1
2
原式=2√3+1+5−3√3−4
=2−√3.即 ×500𝐶𝐷=×400×300，
2
2
11
∴𝐶𝐷=240 m． ∵240<250， ∴ 公路 𝐴𝐵 段有危险， 因此公路 𝐴𝐵 段需要暂时封锁． 【知识点】勾股定理的实际应用
9
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