几类一阶常微分方程及其解法

２０１４年第６３期　试周刊　几类一阶常微分方程及其解法　肖菊霞　（山西师范大学数学与计算机科学学院，山西临汾０４１０００）　摘要：针对四类一阶常微分方程．分别是变量可分离　或可化为变量可分离的一阶常微分方程：一阶线性微分方程：　全微分方程；有幂级数解的一阶微分方程，对其先概括要点．　再选取例题，逐层剖析，从而教给学生一种解题的规律．　关键词：变量可分离　一阶线性微分方程　全微分方程　幂级数解　引言　含有自变量、未知函数及导数（或微分）的关系式称为微　分方程．通过解微分方程．可以得到所需的函数．微分方程是　数学联系实际，并应用于实际的重要途径和桥梁。是各个学　科进行科学研究的强有力的工具．微分方程是一门独立的数　学学科，有完整的理论体系，其形式千变万化．微分方程的解　有时候可以通过观察法直接得到。绝大部分微分方程的解用　观察法是很难得到的，只有部分类型的微分方程可以通过特　定的方法求出来．因此。在学习微分方程的内容时．应熟练掌　握可求解的微分方程的类型．微分方程类型不同，其解法也　大不一样．　１．变量可分离或可化为变量可分离的一阶常微分方程　１．１如果一阶微分方程可写成ｇ（Ｙ）ｄｙ＝ｆ（ｘ）ｄｘ．则称为可分　离变量微分方程．此时。两边积分，得：　ｆｇ（ｙ）ｄｙ＝ｊ＇ｆ（ｘ）ｄｘ＋Ｃ为微分方程的通解．　，　，　例１：求（ｙ＋１）‘＝　＋ｘ　＝０的通解．　解：原方程分离变量，得：（ｙ＋１）‘ｄｙ＝一ｘ　ｄｘ，　两端积分得　（ｙ＋１）　一二ｘ　＋ｃ，　故而原方程的通解为：３ｘ４＋４（ｙ＋１）Ｌｃ。（ｃｌ＝１２ｃ）．　１．２如果一阶微分方程可写成　＝ｆ（ａｘ＋Ｊ－ｂｙ＋ｃ），　令　：　＋ｂｖ＋。，则　：　＋ｂ　，从而　：　（　一　），　ｄｘ　ｄｘ　ｄｘ　ｂ　ｄｘ　代入原方程，得到ｄｕ＝（ｂｆ（ｕ）＋ａ）ｄｘ，再利用可分离变量微　分方程求解．得到原函数后用ｕ－－ａｘ４－ｂｙ－ｋｃ代换即可得到原方程　的通解．　例２：求ｙ　＝ｓｉｎ‘（ｘ－－－ｙ＋１）的通解．　解：令ｕ：ｘ一　＋　，则票＝ｏＸ　・一粤Ｏｘ，从而　＝ｄＸ　ｄ　一Ｘ　ｔ，　代入原方程，得到：—　：ｄｘ，　１＋ｓｉｎ‘ｕ　解得ｔａｎｕ＝ｘ＋Ｃ，故所求通解为ｔａｎ（ｘ—ｙ＋１）＝ｘ＋Ｃ．　１．３如果一阶微分方程可写成ｏｙ＝‘Ｐ（Ｙ），．称为一阶齐次　方程．此时　￣＇ｙｍｕｘ，则字：　＋　粤，　代入原方程，得到：ｕ＋ｘ＿ｄｕ：‘Ｐ（ｕ）即—　：一ｄｘ，，然后用　ｆｉｘ　‘ｐｔＵ卜一ｕ　Ｘ　可分离变量微分方程求解．得到原函数后用ｕ：　代换即可得　到原方程的通解　例３：求ｖ，：　＋ｔａｎ　的通解　Ｘ　Ｘ　解：　ｕ　０　＝ｕ＋ｘ罢，　代入原方程，得到：ｕ＋ｘ　：ｕ＋ｔａｎｕ，即　：ｄｘ，　ⅡＸ　ｔａｍＪ　ｘ　两边积分，得ｌｎＩｓｉｎｕＩ＝１ｎｌｘＩ＋ｌｎＩＣＩ，１￣ｓｉｎｕ＝ｘＣ，　故所求通解为ｓｉｎ　ＹＹ：ｘＣ．　１．４如果一阶微分方程可写成掣：ｆ（ａｌｘ＋ｂ１ｙ＋Ｃ１．），其中ｃ　，　ｏｘ　ａ２Ｘ＋Ｄ２Ｙ＋Ｃ２　。　‘不全为零，　且　ａ２　≠　ｂ　，　则可通过解方程组ｆＩ　ｘａ．　，＋　ｂ　ｙ　，　＋ｃ　，＝Ｕ　｛解得｛　ｙ：ｙ　．　做变量替换　Ｙ【ｙ＝＋：　ｄｙ　ｘ：　ｄＸ，　ａ＋ｂ＿Ｙ＿　代人原方程，得　ｆ（二＿ａ２十Ｄ　『＝睾）Ｉ此为齐次方程，在得到　原函数后。变量替换即可得到原方程的通解．　例４：求　：ｆ（兰±芏　）的通解．　Ｏｘ　ｘ－－Ｙ－－Ｏ　解：令｛　：　，解得｛ｉ　．　做变量替换　≥则耋＝ｄＶ一，代入原方程，得　ｄＸ＝ｆ　１＋　，Ｘ　１一　Ｘ　令Ｙ：ｕｘ，则原方程化为　１－Ｕ　ｄｕ：　，　ｌ＋Ｕ　其解为：ａｒｃｔａｎＬｌ－１ｈｎ（１＋Ｊ）：ｌｎＩＣＸＩ．　代回原变量得通解．ａｒｃ【ａｎ（等）一｛ｌｎ（１＋（普）　ｃ　（Ｘ－－１）１．　２．一阶线性微分方程　２．１一阶线性齐次方程　＋ｐ（ｘ）ｙ：０的通解为ｙ：ｃｅ　“　．　２．２一阶线性非齐次方程　＋ｐ（ｘ）ｙ＝Ｑ（ｘ）的通解为：　ｙ：ｅ＿　（－ｆＱ（ｘ）ｅ　ｄｘ＋Ｃ）．　例５：求　＋ｖ：ｃｏｓｘ的通解．　解：这里ｐ（ｘ）＝１，Ｑ（ｘ）＝ｃｏｓｘ　代入上面公式，可知方程解为：　ｙ：ｅ　（Ｓｃｏｓｘｅ４＇ｄｘｄｘ＋Ｃ）：ｅ一（ｆｃｏｓｘｅＸｄｘ＋Ｃ）　（—ｅ（ｃｏｓｘ＝ｅ＋ｓｉｎｘ）＋Ｃ）ｃｏｓｘ＋ｓｉｎｘ—＝—＋Ｃｅ一　２　２　２．３伯努利（Ｂｅｒｎｏｕｌｌｉ）￣Ｙ　＿ｄｙ＋ｐ（ｘ）ｙ＝Ｑ（ｘ）ｙ　，解法是令ｚ：　Ｙ　，　代回原方程，得到：。ｄｚ＋（１－ｎ）ｐ（ｘ）ｙ＝（１－ｎ）Ｑ（ｘ），此方程　为一阶线性非齐次方程，求出通解后，用ｚ＿￣＿ｙｌ－ｎ代回，就可得到　原方程的通解．　例６：求ｄｙ一３ｘｙ＝ｘｙ２的通解．　ｄｘ　解：此方程为伯努利方程，令ｚ：ｙ～，则　：一ｙ　＿ｄｙ１　，代入原方　ｄｘ　ｆｉｘ　程．得：　＋３　：一　．　（１ｘ　３ｘ　３ｘ　其通解为ｚ：ｅ－．ｆ３ｘｄｘ（Ｉｆ一　ｅＪ＂　ｄｘ＋Ｃ）：ｅ　（－ｆ一　ｅ。ｄｘ＋Ｃ）　３　３ｘ　３ｘ２　＝ｅ。＿　｝ｅ丁删一÷＋ｃｅ～，　３ｘ　用ｚ：ｙ　代入上式，得原方程的通解为：ｙ～一　一＋ｃｅ。．　３．全微分方程　若微分方程Ｐ（ｘ，ｙ）ｄｘ＋Ｑ（ｘ，ｙ）ｄｘ＝Ｏ（１）的左端恰好是某　一－ｙ—Ｅ函数的全微分，即ｄｕ　ｘ，ｙ）＝Ｐ（ｘ，ｙ）ｄｘ＋Ｑ（ｘ，ｙ）ｄｙ，则方程　称为全微分方程．全微分方程的通解为Ｕ（Ｘ，Ｙ）＝Ｃ；而当Ｐ（ｘ，　ｙ），Ｑ（ｘ，ｙ）在单连通区域Ｄ内具有连续偏导数，且　：　时，　０ｖ　０ｘ　方程（１）为全微分方程，此时微分方程通解为：　ｕ（ｘ，ｙ）＝　）Ｐ（ｘ，ｙ）ｄｘ＋Ｑ（ｘ，ｙ）ｄｙ　＝　丽＋丽　Ｐ（ｘ，ｙ）ｄｘ＋Ｑ（ｘ，ｙ）ｄｙ＝ｙ￣Ｐ（ｘ，Ｙｏ）ｄｘ＋　Ｑ（’　ｘ，ｙ）ｄｙ　＝Ａ－＇６．ｆ　Ｐ（ｘ，ｙ）ｄｘ＋Ｑ（ｘ，ｙ）ｄｙ＝ｆ￣ｙ＋ｌ￣　，Ｑ（ｘ。，ｙ）ｄｙ＋￣Ｐ（ｘ，ｙ）ｄｘ　＝Ｃ　其巾（Ｘｏ，Ｙ。）为单连通区域Ｄ内任意一点．　例７：求ｘｙ２ｄｘ＋ｘ２ｙ：Ｏ的通解．　解：这里Ｐ（ｘ，ｙ）＝ｘｙ２，Ｑ（ｘ，ｙ）：ｘ　ｙ　然在整个ｘｏｙ面上，Ｐ（ｘ，ｙ），Ｑ（ｘ，ｙ）都有连续的一阶偏　导数，且　：　：２　ｖ．　；试周刊２０１４年第６３期　取ｘ。＝０，Ｙ。＝Ｏ，则原方程的通解为：　ｕ（ｘ，ｙ）＿』　ｘｙ　ｄｘ＋ｘ２ｙｄｙ＝＝　ｄｘ＋　ｙｄｙ＝　＝ｃ．　４．有幂级数解的一阶微分方程　在微分方程　＝ｆ（ｘ，ｙ）（２）中，若ｘ。，。）在ｆ（ｘ，ｙ）的定义域内，　Ｋｆ（ｘ，ｙ）是Ａ　Ｙ（ｘ－ｘ　－．０），（ｙ一０Ｙ　）的多项式：ｆ（ｘ，ｙ）＝ａ００＋ａ１０（ｘ—ｘ０）＋ａ０ｌ（ｙ－ｙ０）＋…＋ａ１　（ｘ—ｘ０）（ｙ—Ｙ０）　则微分方程的通解可展开为ｘ—Ｘ　的幂级数：　Ｙ＝ａｏ＋ａ１（Ｘ－Ｘｏ）＋ａ２（Ｘ－－Ｘｏ）　＋…＋ａ　（ｘ－ｘｏ）“＋…（３）　其中ａ０，　一，ａｎ，…为待定系数，将（３）代人（２）中，恒等式　两端ｘ—ｘ。同次幂的系数相等，就可得到常数ａ。，　一，ａ　，…的　值，以这些常数为系数的级数（３）在收敛区间内就是方程（２）　的解．　例８：试用幂级数求微分方程ｖ　＝ｘｙ＋ｘ＋ｌ的通解．　解：ｉＥｆ（ｘ，ｙ）＝ｘｙ＋ｘ＋ｌ，则（０，Ｏ）在其定义域内，Ｒｆ（ｘ，ｙ）是　ｘ，ｖ的多项式，故而微分方程存在幂级数形式的通解，记为ｙ＝　∑　ａ　ｘ“，　代人原方程，得到：∑三，ｎａ　ｘｎ－Ｉ＝∑　。ａ　ｘｎ＋ｌ＋ｘ＋ｌ，　比较等式两端Ｘ的同次幂的系数．得到：　ｒａ一＝１　｛２ａ２＝ａｏ＋ｌ　，　【（ｎ＋１）ａｎ＋ｌ＝ａｎ—ｌ　．、　ｒ　，＋∞），故　一　ｈ　２ｎ－Ｉ　２ｎ　Ｘ　２ｎ一１，一　Ｘ　丽　【ａ０　）　ｎ－￣２ｘ４ｘ６ｘ．．．ｘ２ｎ一　１　ｘ∈（一　，十ｏｏ）为微分方程的通解．５．建议　城～　　在解一阶常微分方程时．要将所求方程与相应的方法对　应起来，从而正确地解决问题．具体地说，常常是根据所给方　程的特点．设法做适当变换．将其化为易于求解的方程类型．　对于同一个方程，可能有不同的解法，我们要注意比较哪种解　法更简单，当然，这需要仔细观察及大量练习．因此我们在教　学时，要求学生要注意认真审题，认清方程的类型，还要掌握　各种类型方程的具体解法．只有这样．才能使学生熟练掌握解　题技巧，提高应变能力，开阔解题思路．为后续课程的学习打　好基础．　参考文献：　［１］同济大学数学系．高等数学（下册）［Ｍ］．北京：高等教　育出版社，２００７：２２３—２５３．　［２］同济大学数学系．高等数学（上册）［Ｍ］．北京：高等教　育出版社，２００７：１２９—１５６．　［３］张义富．关于常微分方程通解定义的讨论［Ｊ］．大学数　学，１９８９（１）：５３—５７．　［４］冯世强，高大鹏等．一阶常微分方程若干解题技巧［Ｊ］．　西华师范大学学报（自然科学版），２０１１，３２（２）：１９０—１９２．　５１