中考数学专题复习分类练习 二次函数综合解答题含答案解析

一、二次函数

1．在平面直角坐标系中，我们定义直线y=ax-a为抛物线y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的“衍生直线”；有一个顶点在抛物线上，另有一个顶点在y轴上的三角形为其“衍生三角形”．已知抛物线y23243xx23与其“衍生直线”交于A、B两点（点A33在点B的左侧），与x轴负半轴交于点C．

（1）填空：该抛物线的“衍生直线”的解析式为 ，点A的坐标为 ，点B的坐标为 ；

（2）如图，点M为线段CB上一动点，将△ACM以AM所在直线为对称轴翻折，点C的对称点为N，若△AMN为该抛物线的“衍生三角形”，求点N的坐标；

（3）当点E在抛物线的对称轴上运动时，在该抛物线的“衍生直线”上，是否存在点F，使得以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点E、F的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）y=2323；（-2，23）；（1,0）； x+33（2）N点的坐标为（0，23-3），（0，23+3）； （3）E（-1，-【解析】 【分析】

（1）由抛物线的“衍生直线”知道二次函数解析式的a即可；（2）过A作AD⊥y轴于点D，则可知AN=AC，结合A点坐标，则可求出ON的长，可求出N点的坐标；（3）分别讨论当AC为平行四边形的边时，当AC为平行四边形的对角线时，求出满足条件的E、F坐标即可 【详解】 （1）∵y432343103）、F（0，）或E（-1，-），F（-4，）

33332323243，则抛物线的“衍生直线”的解析式为xx23，a=

333

y=2323； x+3323243yxx23x=1x=-233联立两解析式求交点，解得或，

y=0y=23y=23x+2333∴A（-2，23），B（1,0）； （2）如图1，过A作AD⊥y轴于点D， 在y23243xx23中，令y=0可求得x= -3或x=1， 33∴C（-3,0），且A（-2，23），

22∴AC=（-2+3）+（23）=13 由翻折的性质可知AN=AC=13， ∵△AMN为该抛物线的“衍生三角形”， ∴N在y轴上，且AD=2， 在Rt△AND中，由勾股定理可得 DN=AN2-AD2=13-4=3， ∵OD=23，

∴ON=23-3或ON=23+3，

∴N点的坐标为（0，23-3），（0，23+3）；

（3）①当AC为平行四边形的边时，如图2 ，过F作对称轴的垂线FH，过A作AK⊥x轴于点K，则有AC∥EF且AC=EF， ∴∠ ACK=∠ EFH， 在△ ACK和△ EFH中

ACK=EFHAKC=EHF AC=EF∴△ ACK≌△ EFH，

∴FH=CK=1，HE=AK=23， ∵抛物线的对称轴为x=-1， ∴ F点的横坐标为0或-2， ∵点F在直线AB上，

∴当F点的横坐标为0时，则F（0，∴E到y轴的距离为EH-OF=23-∴ E（-1，-23），此时点E在直线AB下方， 3234343=，即E的纵坐标为-， 33343）； 3当F点的横坐标为-2时，则F与A重合，不合题意，舍去； ②当AC为平行四边形的对角线时， ∵ C（-3,0），且A（-2，23）， ∴线段AC的中点坐标为（-2.5， 3）， 设E（-1，t），F（x，y）， 则x-1=2×（-2.5），y+t=23， ∴x= -4，y=23-t，

23-t=-232343×（-4）+，解得t=-， 33343103），F（-4，）；

334323）、（0，）或E（-1，33∴E（-1，-综上可知存在满足条件的点F，此时E（-1，--43103），F（-4，）

33

【点睛】

本题是对二次函数的综合知识考查，熟练掌握二次函数，几何图形及辅助线方法是解决本题的关键，属于压轴题

2．如图，抛物线y＝0）．

（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标； （2）判断△ABC的形状，证明你的结论；

（3）点M是抛物线对称轴上的一个动点，当MC+MA的值最小时，求点M的坐标．

12

x+bx﹣2与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且A（﹣1，2

【答案】（1）抛物线的解析式为y＝

251233x-x﹣2，顶点D的坐标为 （，﹣）；222835，﹣）． 24（2）△ABC是直角三角形，证明见解析；（3）点M的坐标为（【解析】 【分析】

（1）因为点A在抛物线上，所以将点A代入函数解析式即可求得答案；

（2）由函数解析式可以求得其与x轴、y轴的交点坐标，即可求得AB、BC、AC的长，由勾股定理的逆定理可得三角形的形状；

（3）根据抛物线的性质可得点A与点B关于对称轴x3对称，求出点B，C的坐标，根2据轴对称性，可得MA＝MB，两点之间线段最短可知，MC+MB的值最小．则BC与直线

3交点即为M点，利用得到系数法求出直线BC的解析式，即可得到点M的坐标． 2【详解】

x（1）∵点A（﹣1，0）在抛物线y解得：by1212xbx﹣2上，∴（1）b×（﹣1）﹣2＝0，223123，∴抛物线的解析式为yxx﹣2． 222123113225xx﹣2（x2﹣3x﹣4 ）（x），∴顶点D的坐标为 2222283225）． 8（，（2）当x＝0时y＝﹣2，∴C（0，﹣2），OC＝2． 当y＝0时，＝5．

∵AB2＝25，AC2＝OA2+OC2＝5，BC2＝OC2+OB2＝20，∴AC2+BC2＝AB2．∴△ABC是直角三

123xx﹣2＝0，∴x1＝﹣1，x2＝4，∴B （4，0），∴OA＝1，OB＝4，AB22角形．

（3）∵顶点D的坐标为 （，∵抛物线y32253），∴抛物线的对称轴为x． 82123x+bx﹣2与x轴交于A，B两点，∴点A与点B关于对称轴x对称． 22123xx﹣2＝﹣2，则点C22∵A（﹣1，0），∴点B的坐标为（4，0），当x＝0时，y的坐标为（0，﹣2），则BC与直线x3交点即为M点，如图，根据轴对称性，可得：2MA＝MB，两点之间线段最短可知，MC+MB的值最小．

设直线BC的解析式为y＝kx+b，把C（0，﹣2），B（4，0）代入，可得：b2，

4kb01k1解得：2，∴yx﹣2．

2b2313535）． 时，y2，∴点M的坐标为（，222424【点睛】

当x本题考查了待定系数法求二次函数解析式、一次函数的解析式、直角三角形的性质及判定、轴对称性质，解决本题的关键是利用待定系数法求函数的解析式．

3．某市实施产业精准扶贫，帮助贫困户承包荒山种植某品种蜜柚．已知该蜜柚的成本价为6元/千克，到了收获季节投入市场销售时，调查市场行情后，发现该蜜柚不会亏本，且每天的销售量y（千克）与销售单价x（元）之间的函数关系如图所示． （1）求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；

（2）当该品种蜜柚定价为多少时，每天销售获得的利润最大？最大利润是多少？ （3）某村农户今年共采摘蜜柚12000千克，若该品种蜜柚的保质期为50天，按照（2）的销售方式，能否在保质期内全部销售完这批蜜柚？若能，请说明理由；若不能，应定销售价为多少元时，既能销售完又能获得最大利润？

【答案】（1）y＝﹣20x+500，（x≥6）；（2）当x＝15.5时，w的最大值为1805元；（3）当x＝13时，w＝1680，此时，既能销售完又能获得最大利润． 【解析】 【分析】

（1）将点（15，200）、（10，300）代入一次函数表达式：y＝kx+b即可求解； （2）由题意得：w＝y（x﹣6）＝﹣20（x﹣25）（x﹣6），∵﹣20＜0，故w有最大值，即可求解；

（3）当x＝15.5时，y＝190，50×190＜12000，故：按照（2）的销售方式，不能在保质期内全部销售完；由50（500﹣20x）≥12000，解得：x≤13，当x＝13时，既能销售完又能获得最大利润． 【详解】

解：（1）将点（15，200）、（10，300）代入一次函数表达式：y＝kx+b得：

20015kb， 30010kb解得：k20，

b500即：函数的表达式为：y＝﹣20x+500，（x≥6）；

（2）设：该品种蜜柚定价为x元时，每天销售获得的利润w最大， 则：w＝y（x﹣6）＝﹣20（x﹣25）（x﹣6）， ∵﹣20＜0，故w有最大值， 当x＝﹣

b31＝＝15.5时，w的最大值为1805元； 2a2（3）当x＝15.5时，y＝190， 50×190＜12000，

故：按照（2）的销售方式，不能在保质期内全部销售完； 设：应定销售价为x元时，既能销售完又能获得最大利润w， 由题意得：50（500﹣20x）≥12000，解得：x≤13， w＝﹣20（x﹣25）（x﹣6）， 当x＝13时，w＝1680，

此时，既能销售完又能获得最大利润． 【点睛】

本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方

案．其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值）.

4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于A（﹣1，0）B（3，0）两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点． （1）求抛物线的解析式和直线AC的解析式；

（2）请在y轴上找一点M，使△BDM的周长最小，求出点M的坐标；

（3）试探究：在拋物线上是否存在点P，使以点A，P，C为顶点，AC为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；直线AC的解析式为y=3x+3；（2）点M的坐标为（0，3）；

（3）符合条件的点P的坐标为（【解析】

分析：（1）设交点式y=a（x+1）（x-3），展开得到-2a=2，然后求出a即可得到抛物线解析式；再确定C（0，3），然后利用待定系数法求直线AC的解析式；

（2）利用二次函数的性质确定D的坐标为（1，4），作B点关于y轴的对称点B′，连接DB′交y轴于M，如图1，则B′（-3，0），利用两点之间线段最短可判断此时MB+MD的值最小，则此时△BDM的周长最小，然后求出直线DB′的解析式即可得到点M的坐标； （3）过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P，如图2，利用两直线垂直一次项系数互为负倒数设直线PC的解析式为y=-

7201013，）或（，﹣）， 39391x+b，把C点坐标代入求出b得到直线PC的解析式为3y＝x22x31y=-x+3，再解方程组得此时P点坐标；当过点A作AC的垂线交抛物13y＝x33线于另一点P时，利用同样的方法可求出此时P点坐标． 详解：（1）设抛物线解析式为y=a（x+1）（x﹣3）， 即y=ax2﹣2ax﹣3a， ∴﹣2a=2，解得a=﹣1， ∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3； 当x=0时，y=﹣x2+2x+3=3，则C（0，3）， 设直线AC的解析式为y=px+q，

pq0p3把A（﹣1，0），C（0，3）代入得，解得，

q3q3∴直线AC的解析式为y=3x+3；

（2）∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4， ∴顶点D的坐标为（1，4），

作B点关于y轴的对称点B′，连接DB′交y轴于M，如图1，则B′（﹣3，0），

∵MB=MB′，

∴MB+MD=MB′+MD=DB′，此时MB+MD的值最小， 而BD的值不变，

∴此时△BDM的周长最小， 易得直线DB′的解析式为y=x+3， 当x=0时，y=x+3=3， ∴点M的坐标为（0，3）； （3）存在．

过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P，如图2，

∵直线AC的解析式为y=3x+3， ∴直线PC的解析式可设为y=﹣把C（0，3）代入得b=3， ∴直线PC的解析式为y=﹣

1x+b， 31x+3， 37y＝x22x3xx07203P解方程组，解得或，则此时点坐标为（，）； 12039y3yy＝x339过点A作AC的垂线交抛物线于另一点P，直线PC的解析式可设为y=﹣x+b， 把A（﹣1，0）代入得

11+b=0，解得b=﹣， 3311x﹣， 33∴直线PC的解析式为y=﹣

10y＝x22x3xx1103P解方程组，解得或，则此时点坐标为（，﹣1113y03yy＝x33913）. 9综上所述，符合条件的点P的坐标为（

7201013，）或（，﹣）. 3939点睛：本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求函数解析式，理解两直线垂直时一次项系数的关系，通过解方程组求把两函数的交点坐标；理解坐标与图形性质，会运用两点之间线段最短解决最短路径问题；会运用分类讨论的思想解决数学问题．

5．在平面直角坐标系中，有两点Aa,b、Bc,d，若满足：当ab时，ca，

db2；当ab时，ca，db，则称点为点的“友好点”.

（1）点4,1的“友好点”的坐标是_______.

（2）点Aa,b是直线yx2上的一点，点B是点A的“友好点”. ①当B点与A点重合时，求点A的坐标.

②当A点与A点不重合时，求线段AB的长度随着a的增大而减小时，a的取值范围. 【答案】（1）4,1；（2）①点A的坐标是2,0或1,1；②当a1或时，AB的长度随着a的增大而减小； 【解析】 【分析】

（1）直接利用“友好点”定义进行解题即可；（2）先利用 “友好点”定义求出B点坐标，A点又在直线yx2上，得到ba2；①当点A和点B重合，得bb2．解出即可，②当点A和点B不重合， a1且a2．所以对a分情况讨论，1°、当a1或

3a22331a2时，ABbba3a2a，所以当a≤时，AB的长度随

22422231着a的增大而减小，即取a1．2°当1a2时，ABbba+3a2a，当

24222a33时，AB的长度随着a的增大而减小，即取a2． 综上，当a1或223a2时，AB的长度随着a的增大而减小． 2【详解】

（1）点4,1，4＞1，根据“友好点”定义，得到点4,1的“友好点”的坐标是4,1 （2）Q点Aa,b是直线yx2上的一点，

ba2．

Qaa2，根据友好点的定义，点B的坐标为Ba,b2，

①当点A和点B重合，bb2． 解得b0或b1． 当b0时，a2；当b1时，a1，

点A的坐标是2,0或1,1．

②当点A和点B不重合，a1且a2．

231当a1或a2时，ABbb2a23a2a． 24当a≤

3时，AB的长度随着a的增大而减小， 22取a1．

31当1a2时， ABbba+3a2a ．

2422当a取

3时，AB的长度随着a的增大而减小， 23a2． 23a2时，AB的长度随着a的增大而减小． 2综上，当a1或【点睛】

本题属于阅读理解题型，结合二次函数的基本性质进行解题，第二问的第二小问的关键是求出AB的长用a进行表示，然后利用二次函数基本性质进行分类讨论

6．红星公司生产的某种时令商品每件成本为20元，经过市场调研发现，这种商品在未来40天内的 日销售量(件)与时间(天)的关系如下表：

时间(天) 日销售量(件) 1 94 3 90 6 84 10 76 36 24 … … 未来40天内，前20天每天的价格y1(元/件)与t时间(天)的函数关系式为：y1=t+25(1≤t≤20且t为整数)；后20天每天的价格y2(原/件)与t时间(天)的函数关系式为：y2=—t+40(21≤t≤40且t为整数).下面我们来研究 这种商品的有关问题.

(1)认真分析上表中的数量关系，利用学过的一次函数、二次函数 、反比例函数的知识确定一个满足这些数据之间的函数关系式；

(2)请预测未来40天中那一天的销售利润最大，最大日销售利润是多少？

(3)在实际销售的前20天中该公司决定每销售一件商品就捐赠a元利润(a＜4)给希望工程，公司通过销售记录发现，前20天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t的增大而增大，求a的取值范围.

【答案】（1）y=﹣2t+96；（2）当t=14时，利润最大，最大利润是578元；（3）3≤a＜4． 【解析】

分析：（1）通过观察表格中的数据日销售量与时间t是均匀减少的，所以确定m与t是一次函数关系，利用待定系数法即可求出函数关系式；

（2）根据日销售量、每天的价格及时间t可以列出销售利润W关于t的二次函数，然后利用二次函数的性质即可求出哪一天的日销售利润最大，最大日销售利润是多少； （3）列式表示前20天中每天扣除捐赠后的日销售利润，根据函数的性质求出a的取值范围 ．

详解：（1）设数m=kt+b，有

析式故所求函数的解析式为m=-2t+96． （2）设日销售利润为P， 由P=（-2t+96）

=t2-88t+1920=（t-44）2-16，

,解得

∴m=-2t+96，经检验，其他点的坐标均适合以上

∵21≤t≤40且对称轴为t=44，

∴函数P在21≤t≤40上随t的增大而减小，

∴当t=21时，P有最大值为（21-44）2-16=529-16=513（元），

答：来40天中后20天，第2天的日销售利润最大，最大日销售利润是513元. （3）P1=（-2t+96）=-+（14+2a）t+480-96n，

∴对称轴为t=14+2a， ∵1≤t≤20，

∴14+2a≥20得a≥3时，P1随t的增大而增大， 又∵a＜4， ∴3≤a＜4．

点睛：解答本题的关键是要分析题意根据实际意义准确的求出解析式，并会根据图示得出所需要的信息．同时注意要根据实际意义准确的找到不等关系，利用不等式组求解．

7．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2＝0有两个实数根．（1）求k的取值范围；

（2）设x11，x2是方程两根，且x11，求k的值． 1x2k1【答案】（1）k≥﹣11+4；（2）k＝52． 【解析】 【分析】

（1）根据方程有两个实数根可以得到△≥0，从而求得k的取值范围；（的关系将两根之和和两根之积代入代数式求k的值即可. 【详解】

解：（1）△＝（2k+1）2﹣4k2＝4k2+4k+1﹣4k2＝4k+1 ∵△≥0 ∴4k+1≥0 ∴k≥﹣

14； （2）∵x1，x2是方程两根， ∴x1+x2＝2k+1 x1x2＝k2， 又∵1x111， 1x2k∴x1x2x1， 1x2k1即

2k1k21k1 ， 解得：k1512,k1522， 又∵k≥﹣

14 ， 2）利用根与系数 即：k＝

15． 2【点睛】

本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，根的判别式等知识，牢记“两根之和等于bc ，两根之积等于”是解题的关键. aa

8．如图，抛物线y=ax2+6x+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C．直线y=x﹣5经过点B，C．

（1）求抛物线的解析式；

（2）过点A的直线交直线BC于点M．

①当AM⊥BC时，过抛物线上一动点P（不与点B，C重合），作直线AM的平行线交直线BC于点Q，若以点A，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的横坐标； ②连接AC，当直线AM与直线BC的夹角等于∠ACB的2倍时，请直接写出点M的坐标．

【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣x2+6x﹣5；（2）①P点的横坐标为4或

5+41或217132375-41；②点M的坐标为（，﹣）或（，﹣）．

66662【解析】

分析：（1）利用一次函数解析式确定C（0，-5），B（5，0），然后利用待定系数法求抛物线解析式；

（2）①先解方程-x2+6x-5=0得A（1，0），再判断△OCB为等腰直角三角形得到

∠OBC=∠OCB=45°，则△AMB为等腰直角三角形，所以AM=22，接着根据平行四边形的性质得到PQ=AM=22，PQ⊥BC，作PD⊥x轴交直线BC于D，如图1，利用∠PDQ=45°得到PD=2PQ=4，设P（m，-m2+6m-5），则D（m，m-5），讨论：当P点在直线BC上方时，PD=-m2+6m-5-（m-5）=4；当P点在直线BC下方时，PD=m-5-（-m2+6m-5），然后分

别解方程即可得到P点的横坐标；

②作AN⊥BC于N，NH⊥x轴于H，作AC的垂直平分线交BC于M1，交AC于E，如图2，利用等腰三角形的性质和三角形外角性质得到∠AM1B=2∠ACB，再确定N（3，-2）， AC的解析式为y=5x-5，E点坐标为（解析式为y=-

15，-），利用两直线垂直的问题可设直线EM1的22115112x+b，把E（，-）代入求出b得到直线EM1的解析式为y=-x-，则52255y＝x5解方程组112得M1点的坐标；作直线BC上作点M1关于N点的对称点M2，

y＝x55如图2，利用对称性得到∠AM2C=∠AM1B=2∠ACB，设M2（x，x-5），根据中点坐标公式

13+x得到3=6，然后求出x即可得到M2的坐标，从而得到满足条件的点M的坐标．

2详解：（1）当x=0时，y=x﹣5=﹣5，则C（0，﹣5）， 当y=0时，x﹣5=0，解得x=5，则B（5，0）， 把B（5，0），C（0，﹣5）代入y=ax2+6x+c得

25a30c0a1，解得， c5b5∴抛物线解析式为y=﹣x2+6x﹣5；

（2）①解方程﹣x2+6x﹣5=0得x1=1，x2=5，则A（1，0）， ∵B（5，0），C（0，﹣5）， ∴△OCB为等腰直角三角形， ∴∠OBC=∠OCB=45°， ∵AM⊥BC，

∴△AMB为等腰直角三角形， ∴AM=22AB=×4=22， 22∵以点A，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，AM∥PQ， ∴PQ=AM=22，PQ⊥BC，

作PD⊥x轴交直线BC于D，如图1，则∠PDQ=45°，

∴PD=2PQ=2×22=4，

设P（m，﹣m2+6m﹣5），则D（m，m﹣5）， 当P点在直线BC上方时，

PD=﹣m2+6m﹣5﹣（m﹣5）=﹣m2+5m=4，解得m1=1，m2=4， 当P点在直线BC下方时，

PD=m﹣5﹣（﹣m2+6m﹣5）=m2﹣5m=4，解得m1=综上所述，P点的横坐标为4或5+415-41，m2=， 225+415-41或； 22②作AN⊥BC于N，NH⊥x轴于H，作AC的垂直平分线交BC于M1，交AC于E，如图2，

∵M1A=M1C， ∴∠ACM1=∠CAM1， ∴∠AM1B=2∠ACB， ∵△ANB为等腰直角三角形， ∴AH=BH=NH=2， ∴N（3，﹣2），

易得AC的解析式为y=5x﹣5，E点坐标为（设直线EM1的解析式为y=﹣把E（

15，﹣， 221x+b， 5151512，﹣）代入得﹣+b=﹣，解得b=﹣， 221025112x﹣ 55∴直线EM1的解析式为y=﹣

13xyx513176解方程组，则M1（，﹣）； 112得17yx66y556作直线BC上作点M1关于N点的对称点M2，如图2，则∠AM2C=∠AM1B=2∠ACB， 设M2（x，x﹣5），

13+x∵3=6

223∴x=，

6∴M2（

237，﹣）. 661317237，﹣）或（，﹣）． 6666综上所述，点M的坐标为（

点睛：本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、等腰直角的判定与性质和平行四边形的性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质；会运用分类讨论的思想解决数学问题．

9．如图，已知抛物线

A，且与y轴交于点C（0，5）。

的图象与x轴的一个交点为B（5，0），另一个交点为

（1）求直线BC与抛物线的解析式；

（2）若点M是抛物线在x轴下方图象上的动点，过点M作MN∥y轴交直线BC于点N，求MN的最大值；

（3）在（2）的条件下，MN取得最大值时，若点P是抛物线在x轴下方图象上任意一点，以BC为边作平行四边形CBPQ，设平行四边形CBPQ的面积为S1，△ABN的面积为S2，且S1=6S2，求点P的坐标。 【答案】（1）（2）

（3）P的坐标为（－1，12）或（6，5）或（2，－3）或（3，－4） 【解析】 【分析】

（1）由B（5，0），C（0，5），应用待定系数法即可求直线BC与抛物线的解析式。 （2）构造MN关于点M横坐标的函数关系式，应用二次函数最值原理求解。

（3）根据S1=6S2求得BC与PQ的距离h，从而求得PQ由BC平移的距离，根据平移的性质求得PQ的解析式，与抛物线【详解】

解：（1）设直线BC的解析式为将B（5，0），C（0，5）代入，得∴直线BC的解析式为将B（5，0），C（0，5）代入∴抛物线的解析式

。

。

。

。

，得

，得

。

，

，得

。

联立，即可求得点P的坐标。

（2）∵点M是抛物线在x轴下方图象上的动点，∴设M∵点N是直线BC上与点M横坐标相同的点，∴N

∵当点M在抛物线在x轴下方时，N的纵坐标总大于M的纵坐标。 ∴

∴MN的最大值是

。

。

，B（5，0），∴A（1，0）。∴AB=4。 。 。

，即

。

。

（3）当MN取得最大值时，N∵∴

由勾股定理可得，

的对称轴是

设BC与PQ的距离为h，则由S1=6S2得：

如图，过点B作平行四边形CBPQ的高BH，过点H作x轴的垂线交点E ，则

BH=

，EH是直线BC沿y轴方向平移的距离。

易得，△BEH是等腰直角三角形， ∴EH=

。

或

当

时，与，解得

当

时，与

，解得

4）。

综上所述，点P的坐标为（－1，12）或（6，5）或（2，－3）或（3，－4）。

或

联立，得

。此时，点P的坐标为（－1，12）或（6，5）。

。

∴直线BC沿y轴方向平移6个单位得PQ的解析式：

联立，得 或

。此时，点P的坐标为（2，－3）或（3，－

10．如图，已知抛物线yax2bxc(a0)的对称轴为直线x1，且抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，其中A(1,0)，C(0,3).

（1）若直线ymxn经过B、C两点，求直线BC和抛物线的解析式；

（2）在抛物线的对称轴x1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出点M的坐标；

（3）设点P为抛物线的对称轴x1上的一个动点，求使BPC为直角三角形的点P的坐标.

2【答案】（1）抛物线的解析式为yx2x3，直线的解析式为y=x+3.（2）

M(1,2)；（3）P的坐标为(1,2)或(1,4)或(1,317)或(1,317).

22【解析】

分析：（1）先把点A，C的坐标分别代入抛物线解析式得到a和b，c的关系式，再根据抛物线的对称轴方程可得a和b的关系，再联立得到方程组，解方程组，求出a，b，c的值即可得到抛物线解析式；把B、C两点的坐标代入直线y=mx+n，解方程组求出m和n的值即可得到直线解析式；

（2）设直线BC与对称轴x=-1的交点为M，此时MA+MC的值最小．把x=-1代入直线y=x+3得y的值，即可求出点M坐标；

（3）设P（-1，t），又因为B（-3，0），C（0，3），所以可得BC2=18，PB2=（-1+3）

2

+t2=4+t2，PC2=（-1）2+（t-3）2=t2-6t+10，再分三种情况分别讨论求出符合题意t值即可求

出点P的坐标．

b2a1a1详解：（1）依题意得：abc0，解得：b2，

c3c3∴抛物线的解析式为yx22x3. ∵对称轴为x1，且抛物线经过A1,0， ∴把B3,0、C0,3分别代入直线ymxn，

3mn0m1得，解之得：，

n3n3∴直线ymxn的解析式为yx3.

（2）直线BC与对称轴x1的交点为M，则此时MAMC的值最小，把x1代入直线yx3得y2，

∴M1,2.即当点M到点A的距离与到点C的距离之和最小时M的坐标为1,2. （注：本题只求M坐标没说要求证明为何此时MAMC的值最小，所以答案未证明

MAMC的值最小的原因）.

（3）设P1,t，又B3,0，C0,3，

∴BC218，PB213t24t2，PC21t3t26t10， ①若点B为直角顶点，则BC2PB2PC2，即：184t2t26t10解得：

222t2，

②若点C为直角顶点，则BC2PC2PB2，即：18t26t104t2解得：

t4，

③若点P为直角顶点，则PB2PC2BC2，即：4t2t26t1018解得：

t1317317. ，t222综上所述P的坐标为1,2或1,4或1,3173171,或. 22点睛：本题综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法求函数（二次函数和一次函数）的解析式、利用轴对称性质确定线段的最小长度、难度不是很大，是一道不错的中考压轴题．

11．如图，在直角坐标系xOy中，二次函数y=x2+（2k﹣1）x+k+1的图象与x轴相交于O、A两点．

（1）求这个二次函数的解析式；

（2）在这条抛物线的对称轴右边的图象上有一点B，使△AOB的面积等于6，求点B的坐标；

（3）对于（2）中的点B，在此抛物线上是否存在点P，使∠POB=90°？若存在，求出点P的坐标，并求出△POB的面积；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）y=x2﹣3x。 （2）点B的坐标为：（4，4）。 （3）存在；理由见解析； 【解析】 【分析】

（1）将原点坐标代入抛物线中即可求出k的值，从而求得抛物线的解析式。 （2）根据（1）得出的抛物线的解析式可得出A点的坐标，也就求出了OA的长，根据△OAB的面积可求出B点纵坐标的绝对值，然后将符合题意的B点纵坐标代入抛物线的解析式中即可求出B点的坐标，然后根据B点在抛物线对称轴的右边来判断得出的B点是否

符合要求即可。

（3）根据B点坐标可求出直线OB的解析式，由于OB⊥OP，由此可求出P点的坐标特点，代入二次函数解析式可得出P点的坐标．求△POB的面积时，求出OB，OP的长度即可求出△BOP的面积。 【详解】

解：（1）∵函数的图象与x轴相交于O，∴0=k+1，∴k=﹣1。 ∴这个二次函数的解析式为y=x2﹣3x。 （2）如图，过点B做BD⊥x轴于点D，

令x2﹣3x=0，解得：x=0或3。∴AO=3。

1AO•BD=6。∴BD=4。 2∵点B在函数y=x2﹣3x的图象上，

∴4=x2﹣3x，解得：x=4或x=﹣1（舍去）。

又∵顶点坐标为：（ 1.5，﹣2.25），且2.25＜4， ∴x轴下方不存在B点。

∴点B的坐标为：（4，4）。 （3）存在。

∵△AOB的面积等于6，∴

∵点B的坐标为：（4，4），∴∠BOD=45°，BO若∠POB=90°，则∠POD=45°。 设P点坐标为（x，x2﹣3x）。 ∴xx3x。

若xx23x，解得x=\"4\" 或x=0（舍去）。此时不存在点P（与点B重合）。 若xx3x，解得x=\"2\" 或x=0（舍去）。 当x=2时，x2﹣3x=﹣2。 ∴点P 的坐标为（2，﹣2）。 ∴OP2424242。

2222222。

∵∠POB=90°，∴△POB的面积为：

11PO•BO=×42×22=8。 22

12．在平面直角坐标系xOy中（如图）．已知抛物线y=﹣和点B（0，

12

x+bx+c经过点A（﹣1，0）25），顶点为C，点D在其对称轴上且位于点C下方，将线段DC绕点D按顺2时针方向旋转90°，点C落在抛物线上的点P处． （1）求这条抛物线的表达式； （2）求线段CD的长；

（3）将抛物线平移，使其顶点C移到原点O的位置，这时点P落在点E的位置，如果点M在y轴上，且以O、D、E、M为顶点的四边形面积为8，求点M的坐标．

【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣标为（0，【解析】

125x+2x+；（2）线段CD的长为2；（3）M点的坐2277）或（0，﹣）． 22【分析】（1）利用待定系数法求抛物线解析式；

19（x﹣2）2+，则根据二次函数的性质得到C点坐标和抛物229线的对称轴为直线x=2，如图，设CD=t，则D（2，﹣t），根据旋转性质得∠PDC=90°，

2（2）利用配方法得到y=﹣

9915﹣t），然后把P（2+t，﹣t）代入y=﹣x2+2x+得到关于t2222的方程，从而解方程可得到CD的长；

DP=DC=t，则P（2+t，

95），D点坐标为（2，），利用抛物线的平移规律确定E点坐标2215为（2，﹣2），设M（0，m），当m＞0时，利用梯形面积公式得到•（m++2）•2=8

22（3）P点坐标为（4，

当m＜0时，利用梯形面积公式得到得到对应的M点坐标．

【详解】（1）把A（﹣1，0）和点B（0，

15•（﹣m++2）•2=8，然后分别解方程求出m即可2251）代入y=﹣x2+bx+c得 221bc0b22，解得5，

5cc22∴抛物线解析式为y=﹣（2）∵y=﹣∴C（2，

125x+2x+； 2219（x﹣2）2+， 229），抛物线的对称轴为直线x=2， 29﹣t）， 2如图，设CD=t，则D（2，

∵线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°，点C落在抛物线上的点P处， ∴∠PDC=90°，DP=DC=t， ∴P（2+t，

9﹣t）， 2915159﹣t）代入y=﹣x2+2x+得﹣（2+t）2+2（2+t）+=﹣t， 222222整理得t2﹣2t=0，解得t1=0（舍去），t2=2， ∴线段CD的长为2；

把P（2+t，

（3）P点坐标为（4，

95），D点坐标为（2，）， 229）移到原点O的位置， 29∴抛物线向左平移2个单位，向下平移个单位，

2∵抛物线平移，使其顶点C（2，

99）向左平移2个单位，向下平移个单位得到点E， 22∴E点坐标为（2，﹣2）， 设M（0，m），

而P点（4，

1577•（m++2）•2=8，解得m=，此时M点坐标为（0，）；

22221577当m＜0时，•（﹣m++2）•2=8，解得m=﹣，此时M点坐标为（0，﹣）；

222277综上所述，M点的坐标为（0，）或（0，﹣）．

22当m＞0时，

【点睛】本题考查了二次函数的综合题，涉及到待定系数法、抛物线上点的坐标、旋转的性质、抛物线的平移等知识，综合性较强，正确添加辅助线、运用数形结合思想熟练相关知识是解题的关键.

13．如图1，抛物线C:yax2bx经过点A(4,0)、B(1,3)两点，G是其顶点，将抛物线C绕点O旋转180o，得到新的抛物线C'．

（1）求抛物线C的函数解析式及顶点G的坐标； （2）如图2，直线l:ykx12经过点A，D是抛物线C上的一点，设D点的横坐标为5m（m2），连接DO并延长，交抛物线C'于点E，交直线l于点M，

DE2EM，求m的值；

（3）如图3，在（2）的条件下，连接AG、AB，在直线DE下方的抛物线C上是否存在点P，使得DEPGAB？若存在，求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．

2【答案】（1）yx4x，顶点为：G(2,4)；（2）m的值为﹣3；（3）存在，点

P的横坐标为：【解析】 【分析】

773737或． 44（1）运用待定系数法将A(4,0)、B(1,3)代入yax2bx中，即可求得a和b的值和抛物线C解析式，再利用配方法将抛物线C解析式化为顶点式即可求得顶点G的坐标； （2）根据抛物线C绕点O旋转180o，可求得新抛物线C'的解析式，再将A(4,0)代入

ykx12中，即可求得直线l解析式，根据对称性可得点E坐标，过点D作DH//y轴5ME1，再证MD3交直线l于H，过E作EK//y轴交直线l于K，由DE2EM，即可得明MEK∽

MDH，即可得DH3EK，建立方程求解即可；

（3）连接BG，易证ABG是Rt，ABG90o，可得

1tanDEPtanGAB，在x轴下方过点O作OHOE，在OH上截取

31OHOE2，过点E作ETy轴于T，连接EH交抛物线C于点P，点P即为

3所求的点；通过建立方程组求解即可． 【详解】

16a4b02A(4,0)B(1,3)（1）将、代入yaxbx中，得 ab3a1解得

b4∴抛物线C解析式为：yx24x，

配方，得：yx4x(x2)4，∴顶点为：G(2,4)；

22（2）∵抛物线C绕点O旋转180o，得到新的抛物线C'． ∴新抛物线C'的顶点为：G'(2,4)，二次项系数为：a'1 ∴新抛物线C'的解析式为：y(x2)24x24x

12123中，得04k，解得k， 555312∴直线l解析式为yx，

55将A(4,0)代入ykx∵D(m,m24m)，

∴直线DO的解析式为y(m4)x，

由抛物线C与抛物线C'关于原点对称，可得点D、V关于原点对称， ∴E(m,m24m)

如图2，过点D作DH//y轴交直线l于H，过E作EK//y轴交直线l于K，

12312)，K(m,m)， 555312171222m，∴DHm4m(m)m5555则H(m,m353121712EKm24m(m)m2m，

5555∵DE2EM

ME1， MD3∵DH//y轴，EK//y轴

∴

∴DH//EK ∴

MEK∽MDH EKME1，即DH3EK ∴

DHMD3171217122m3(m2m) ∴m55552解得：m13，m2，

5∵m2

∴m的值为：﹣3； （3）由（2）知：m3，

∴D(3,3)，E(3,3)，OE32，

如图3，连接BG，在ABG中，∵AB(14)(30)18，BG22，

222AG220

∴AB2BG2AG2

∴ABG是直角三角形，ABG90o， ∴tanGABBG21， AB323∵DEPGAB ∴tanDEPtanGAB1， 31OE2， 3在x轴下方过点O作OHOE，在OH上截取OH过点E作ETy轴于T，连接EH交抛物线C于点P，点P即为所求的点； ∵E(3,3)， ∴EOT45o ∵EOH90o ∴HOT45o

∴H(1,1)，设直线EH解析式为ypxq，

1p3pq32则，解得

3pq1q2∴直线EH解析式为y13x， 2277377313xx12yx44解方程组，， 22，得2y735y735yx4x1288∴点的横坐标为：773737 P4或

4．【点睛】

本题考查了二次函数图象和性质，待定系数法求函数解析式，旋转变换，相似三角形判定和性质，直线与抛物线交点，解直角三角形等知识点；属于中考压轴题型，综合性强，难度较大．

14．抛物线

与x轴交于A，B两点（OA＜OB），与y轴交于点C．

（1）求点A，B，C的坐标；

（2）点P从点O出发，以每秒2个单位长度的速度向点B运动，同时点E也从点O出发，以每秒1个单位长度的速度向点C运动，设点P的运动时间为t秒（0＜t＜2）． ①过点E作x轴的平行线，与BC相交于点D（如图所示），当t为何值时，最小，求出这个最小值并写出此时点E，P的坐标；

的值

②在满足①的条件下，抛物线的对称轴上是否存在点F，使△EFP为直角三角形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）A（2，0），B（4，0），C（0，2）；（2）①t=1时，1，此时OP=2，OE=1，∴E（0，1），P（2，0）；②F（3，2），（3，7）． 【解析】

试题分析：（1）在抛物线的解析式中，令y=0，令x=0，解方程即可得到结果； （2）①由题意得：OP=2t，OE=t，通过△CDE∽△CBO得到

有最小值1，即可求得结果；

②存在，求得抛物线的对称方程为x=3，设F（3，m），当△EFP为直角三角形时，①当∠EPF=90°时，②当∠EFP=90°时，③当∠PEF=90°时，根据勾股定理列方程即可求得结果．

试题解析：（1）在抛物线的解析式中，令y=0，即∴C（0，2）；

（2）①由题意得：OP=2t，OE=t，∵DE∥OB，∴△CDE∽△CBO，∴

，即

，解得：

，

，即

，求得有最小值

，∵OA＜OB，∴A（2，0），B（4，0），在抛物线的解析式中，令x=0，得y=2，

，∴DE=4﹣2t，

∴时，

=

=

=

，∵0＜t＜2，

始终为正数，且t=1

有最小

有最大值1，∴t=1时，有最小值1，即t=1时，

值1，此时OP=2，OE=1，∴E（0，1），P（2，0）； ②存在，∵抛物线

=

，

=

当△EFP为直角三角形时， ①当∠EPF=90°时，②当∠EFP=90°时，

，即，即

，解得：m=2， ，解得；m=0或，解得：m=7，

的对称轴方程为x=3，设F（3，m），∴，

，

m=1，不合题意舍去，∴当∠EFP=90°时，这种情况不存在， ③当∠PEF=90°时，

综上所述，F（3，2），（3，7）．

考点：1．二次函数综合题；2．动点型；3．最值问题；4．二次函数的最值；5．分类讨论；6．压轴题．

，即

123x+x﹣2与x轴交于A，B两点（点A22在点B的左侧），与y轴交于点C，直线l经过A，C两点，连接BC． （1）求直线l的解析式；

15．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=

（2）若直线x=m（m＜0）与该抛物线在第三象限内交于点E，与直线l交于点D，连接OD．当OD⊥AC时，求线段DE的长；

（3）取点G（0，﹣1），连接AG，在第一象限内的抛物线上，是否存在点P，使∠BAP=∠BCO﹣∠BAG？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）y=3211398x2；（2）DE=；（3）存在点P（，），使298125∠BAP=∠BCO﹣∠BAG，理由见解析.

【解析】 【分析】

（1）根据题目中的函数解析式可以求得点A和点C的坐标，从而可以求得直线l的函数解析式；

（2）根据题意作出合适的辅助线，利用三角形相似和勾股定理可以解答本题；

（3）根据题意画出相应的图形，然后根据锐角三角函数可以求得∠OAC=∠OCB，然后根据题目中的条件和图形，利用锐角三角函数和勾股定理即可解答本题． 【详解】 （1）∵抛物线y=

123x+x-2， 22∴当y=0时，得x1=1，x2=-4，当x=0时，y=-2，

123x+x-2与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C， 22∴点A的坐标为（-4，0），点B（1，0），点C（0，-2）， ∵直线l经过A，C两点，设直线l的函数解析式为y=kx+b，

∵抛物线y=

14kb＝0k＝，得2， b＝2b＝2即直线l的函数解析式为y=−

1x−2； 2（2）直线ED与x轴交于点F，如图1所示，

由（1）可得，

AO=4，OC=2，∠AOC=90°， ∴AC=25， ∴OD=4245， 525∵OD⊥AC，OA⊥OC，∠OAD=∠CAO， ∴△AOD∽△ACO， ∴

ADAO＝， AOAC即

AD485＝，得AD=， 4255∵EF⊥x轴，∠ADC=90°， ∴EF∥OC， ∴△ADF∽△ACO， ∴

AFDFAD＝＝， AOOCAC解得，AF=∴OF=4-∴m=-当m=-∴EF=

816，DF=， 55164=， 554， 54143472时，y=×（−）2+×（-）-2=-，

525252572， 2572832−＝； 25525∴DE=EF-FD=

（3）存在点P，使∠BAP=∠BCO-∠BAG，

理由：作GM⊥AC于点M，作PN⊥x轴于点N，如图2所示，

∵点A（-4，0），点B（1，0），点C（0，-2）， ∴OA=4，OB=1，OC=2，

OC21OB1＝＝，tan∠OCB=＝，AC=25， OA42OC2∴∠OAC=∠OCB，

∵∠BAP=∠BCO-∠BAG，∠GAM=∠OAC-∠BAG， ∴∠BAP=∠GAM，

∴tan∠OAC=

∵点G（0，-1），AC=25，OA=4， ∴OG=1，GC=1，

∴AG=17，解得，GM=∴AM=AC•GMCG•OA25?GM14＝，即， ＝222225， 525295，

AG2GM2=(17)2()5525GM25＝∴tan∠GAM=， AM9595∴tan∠PAN=

2， 9设点P的坐标为（n，∴AN=4+n，PN=

123n+n-2）， 22123n+n-2， 22123nn22， ∴22 ＝n4913解得，n1=，n2=-4（舍去），

9131398当n=时，n2+n-2=，

922811398∴点P的坐标为（，），

9811398即存在点P（，），使∠BAP=∠BCO-∠BAG．

981【点睛】

本题是一道二次函数综合题，解答本题的关键是明确题意，作出合适的辅助线，找出所求问题需要的条件，利用三角形相似、锐角三角函数和二次函数的性质解答．