2017版数学大一轮复习练习3.2曲线的切线.doc

第16课 曲线的切线

【自主学习】

(本课时对应学生用书第39~42页)

自主学习 回归教材

1π1. (选修2-2P26习题5改编)曲线y=2x-cos x在x=6处的切线方程为 . π3【答案】x-y-12-2=0

π3π11ππ12-2=x-6，化简【解析】设f(x)=2x-cos x，则f'6=2+sin 6=1，故切线方程为y-π3可得x-y-12-2=0.

π1，2处的切线与直线ax-y+1=0互相垂2. (选修2-2P22例3改编)已知曲线f(x)=xsin x+1在点直，那么实数a的值为 . 【答案】-1

π【解析】f'(x)=sin x+xcos x，当x=2时， f'(x)=1，所以a=-1.

13. (选修2-2P20练习7改编)若直线y=2x+b是曲线y=ln x(x>0)的一条切线，则实数b的值

为 . 【答案】ln 2-1

11x【解析】设切点为(x0，ln x0)，则切线斜率k=0=2，所以x0=2.又因为切点(2，ln 2)在切线

1y=2x+b上，所以b=ln 2-1.

4. (选修2-2P16习题3改编)设函数f(x)=g(x)+x2，曲线y=g(x)在点(1，g(1))处的切线方程为y=2x+1，则曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为 . 【答案】4

【解析】因为曲线y=g(x)在点(1，g(1))处的切线方程为y=2x+1，所以g'(1)=2.又f'(x)=g'(x)+2x，所以f'(1)=g'(1)+2=4，故切线的斜率为4.

1. 导数的几何意义

导数f'(x0)的几何意义就是曲线y=f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，即k=f'(x0)，相应地，切线方程为y-f(x0)=f'(x0)(x-x0).

2. 解与曲线的切线有关的问题的一般步骤：第一步，设出切点坐标(x0，y0)；第二步，计算切线的斜率为k=f'(x0)；第三步，写出切线方程y-y0=f'(x0)(x-x0)；第四步，将问题转化为函数与方程问题求解.

【要点导学】

要点导学 各个击破

过曲线上点的切线方程

2例1 已知曲线S：y=-3x3+x2+4x及点P(0，0)，求过点P的曲线S的切线方程.

【思维引导】本题考查导数的几何意义和导数的运算，这类题比较常见.本题要注意点与曲线的位置关系.

【解答】设过点P的切线与曲线S切于点Q(x0，y0)，则过点Q的曲线S的切线斜率为k=y'

|xx02x0=-2+2x0+4，

y0x又当x0≠0时，kPQ=0， y02xx0所以-2+2x0+4=0. ①

因为点Q在曲线S上，

23x02x所以y0=-3+0+4x0. ②

232-x0x04x032x0x0将②代入①得-2+2x0+4=， 433x02x化简，得3-0=0，所以x0=4， 3535则k=8，过点P的切线方程为y=8x.

当x0=0时，则k=4，过点P的切线方程为y=4x，

35所以过点P的曲线S的切线方程为y=4x或y=8x.

【精要点评】曲线在某点处的切线斜率是该曲线对应的函数在该点处的导数值，这是导数的几何意义.在此题中，点P凑巧在曲线S上，求过点P的切线方程，却并非说切点就是点P.

14变式 已知曲线f(x)=3x3+3.

(1)求曲线在点P(2，4)处的切线方程； (2)求曲线过点P(2，4)的切线方程.

【思维引导】曲线y=f(x)“过点P”与“在点P处”的切线是不相同的，在点P处的切线是以P为切点；过点P的切线，点P不一定是切点，需要设出切点的坐标.

【解答】(1)因为f'(x)=x2，

所以在点P(2，4)处的切线的斜率k=f'(2)=4，

所以曲线在点P(2，4)处的切线方程为y-4=4(x-2)，即4x-y-4=0.

13414x0，x033，则切线的斜率(2)设曲线f(x)=3x+3与过点P(2，4)的切线相切于点A3134x02xx033k=f'(x0)=，所以切线方程为y--=(x-x0)，

20234x02x03即y=x-+3.

因为点P(2，4)在切线上，

234xx303所以4=2-+，

20即

3x0-3

2x0+4=0，

所以(x0+1)(x0-2)2=0， 解得x0=2或-1，

故所求的切线方程为4x-y-4=0或x-y+2=0.

【精要点评】解决此类问题，一定要分清楚是“在某点”还是“过某点”处的切线.在某点处的切线比较好求，过某点处的切线，一般要设出切线坐标，然后通过解方程的方法解出该切点坐标，最后利用点斜式求出直线方程.

过某点的曲线的切线方程

10-2，e作函数y=f(x)图象的切线，则切线的方程例2 已知函数f(x)=xln x，过点A为 .

【思维引导】点A不在曲线y=f(x)上，故先设切点，利用切线过点A，建立方程确定切点坐标，最后利用点斜式求出直线方程.

12【答案】x+y+e=0

【解析】设切点为T(x0，y0)，则kAT=f'(x0)，

x0ln?x01x02e=ln x0+1，即e2x0+ln x0+1=0. 所以

1设h(x)=e2x+ln x+1，则h'(x)=e2+x，

当x>0时，h'(x)>0，所以h(x)在(0，+∞)上是单调增函数，所以h(x)=0最多只有一个根.

111122222又he=e×e+ln e+1=0，所以x0=e.

12由f'(x0)=-1得切线方程是x+y+e=0.

【精要点评】对于曲线的切线问题，一定要注意题目所给的条件；当已知切点位置时，可以直接求导数，然后将切点的横坐标代入，即可以得到切线的斜率；当已知切线经过某一个点时，应该设出切点，求解出切线方程，再利用切线经过切点求解.

变式 已知曲线C：f(x)=x3-ax+a，若过曲线C外一点A(1，0)引曲线C的两条切线，它们的倾斜角互补，则实数a的值为 .

27【答案】 8

【解析】设切点坐标为(t，t3-at+a). 由题意知，f'(x)=3x2-a， 切线的斜率为k=y'|x=t=3t2-a， ①

所以切线方程为y-(t3-at+a)=(3t2-a)(x-t)， ②

3将点(1，0)代入②式，得-(t3-at+a)=(3t2-a)(1-t)，解得t=0或t=2. 327分别将t=0和t=2代入①式，得k=-a和k=4-a， 27由题意得它们互为相反数，故a=8.

导数几何意义的应用

1例3 在抛物线f(x)=2x2上求一点P，使点P到直线 x-y-1=0的距离最短，并求出这个

最短距离.

【思维引导】设P(x0，y0)，利用数形结合知与直线x-y-1=0平行的抛物线的切线对应的切点即为所求.

【解答】由题知当点P在与直线x-y-1=0平行的抛物线的切线上时，点P到直线的距离最短.

因为f'(x)=x，设点P(x0，y0)，

11，则f'(x0)=x0=1，所以切点为2.

11--11222=22=4. 因为切点离直线最短，所以最短距离d=【精要点评】本题利用抛物线解题有两种方法，一是设与直线x-y-1=0平行且与抛物线

1相切的方程为x-y+m=0，将y=2x2与x-y+m=0联立方程组，且把方程组转化为关于x的一元二

|x0-y0-1|2求次方程，利用此方程中Δ=0求出m的值；二是设P(x0，y0)，由点到直线的距离得d=解.利用二次函数的性质求解较麻烦，所以利用导数求切点比较直观简单.

【高频考点·题组强化】

b1.(2016·苏州期中)已知函数f(x)=ax+x(a，b∈R，b>0)的图象在点P(1，f(1))处的切线与直线1，2x+2y-1=0垂直，且函数f(x)在区间上单调递增，那么b的最大值为 .

2【答案】3

1b-22=-1，所以a-b=2，所【解析】函数f(x)的定义域为{x|x≠0}，f'(x)=a-x，由题意知f'(1)·

1bb2，222x以a=b+2.又f'(x)=a-≥0在上恒成立，所以a≥x≥4b，所以b+2≥4b，解得b≤3，即

2b的最大值为3.

12.(2015·全国卷改编)已知函数f(x)=x3+ax+4，问：当a为何值时，x轴为曲线y=f(x)的切线? 13x0ax00，423x0a0，【解答】设曲线y=f(x)与x轴相切于点(x0，0)，则f(x0)=0，f'(x0)=0，即解

133得x0=2，a=-4.所以当a=-4时，x轴为曲线y=f(x)的切线.

ax23. (2015·汇龙中学模拟)已知函数f(x)=xb，且f(x)的图象在x=1处与直线y=2相切.

(1)求函数f(x)的解析式；

(2)若P(x0，y0)为函数f(x)图象上的任意一点，直线l与f(x)的图象切于点P，求直线l的斜率k的取值范围.

a(x2b)-ax(2x)ab-ax22222(xb)(xb)【解答】(1)对函数f(x)求导，得 f'(x)==.

因为f(x)的图象在x=1处与直线y=2相切，

ab-a0，1b0，f'(1)0，a2，f(1)2，所以即1b

4x2所以a=4，b=1，所以f(x)=x1.

4-4x222(x1)(2)由(1)知f'(x)=，

2214-4x0-22222(x1)x1(x1)00， 所以直线l的斜率k=f'(x0)=0=4

12x1，t∈(0，1]， 0令t=

11t-则k=4(2t2-t)=84-2， 14-2，. 所以k∈

2b4. 设函数f(x)=ax-x，曲线y=f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x-4y-12=0.

(1)求函数f(x)的解析式；

(2)求证：曲线y=f(x)上任意一点处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形的面积为定值，并求出此定值.

7【解答】(1)方程7x-4y-12=0可化为y=4x-3， 1b2当x=2时，y=2，又f'(x)=a+x，

b12a-，22a1，ab7，44解得b3，于是 3所以f(x)=x-x.

32(2)设点P(x0，y0)为曲线上任意一点，由f'(x)=1+x知，曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为312x0y-y0=·(x-x0)，

331x-02x0x0(x-x0). 即y-=6x令x=0，得y=-0，

6-0，x0从而得切线与直线x=0的交点坐标为.

令y=x，得y=x=2x0，从而得切线与直线y=x的交点坐标为(2x0，2x0)，

16x0×所以点P(x0，y0)处的切线与直线x=0，y=x所围成的三角形的面积S=2×|2x0|=6.

故曲线y=f(x)上任一点处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形的面积为定值，此定值为6.

15. 设函数f(x)=ax+xb(a，b∈Z)，曲线y=f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y=3.

(1)求函数f(x)的解析式；

(2)求证：函数y=f(x)的图象是一个中心对称图形，并求其对称中心；

(3)求证：曲线y=f(x)上任一点的切线与直线x=1和直线y=x所围成的三角形的面积为定值，并求出此定值.

12(xb)【解答】(1)f'(x)=a-，

由题知

12a3，2ba-120，(2b)9a，4a1，

b-8.

b-1或3 解得

1因为a，b∈Z，所以f(x)=x+x-1.

11(2)已知函数y1=x，y2=x都是奇函数，所以函数g(x)=x+x也是奇函数，其图象是以原点为对

称中心的中心对称图形.

1而f(x)=x-1+x-1+1，

故函数f(x)的图象是以点(1，1)为对称中心的中心对称图形.

11x，x002x0-1(x-1)0(3)在曲线上任取一点，由f'(x0)=1-知，过此点的切线方程为

21x0-x011-2(x-1)x-10(x-x0). 0y-=

x01x011，x-1x-10. 令x=1，得y=0，切线与直线x=1的交点为令y=x，得y=2x0-1，切线与直线y=x的交点为(2x0-1，2x0-1)， 直线x=1与直线y=x的交点为(1，1)，

1x0+1112x-1x-1从而所围成的三角形的面积S=20·|2x0-1-1|=2·0·|2x0-2|=2，

所以所围成的三角形的面积为定值2.

1.(2015·南通二调)在平面直角坐标系xOy中，若曲线y=ln x 在x=e(e为自然对数的底数)处的切线与直线ax-y+3=0互相垂直，则实数a的值为 . 【答案】-e

1【解析】因为y=ln x，所以y'=x，则曲线y=ln x在x=e(e为自然对数的底数)处的切线的斜率1为y'|x=e=e.又因为曲线y=ln x在x=e(e为自然对数的底数)处的切线与直线ax-y+3=0垂直，所以1e×a=-1，解得a=-e.

b2.(2014·江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，若曲线y=ax2+x(a，b为常数)过点P(2，-5)，且该

曲线在点P处的切线与直线7x+2y+3=0平行，则a+b的值为 . 【答案】-3

b

-54a，2a-1，b4a-b-7，242解得b-2，【解析】y'=2ax-x，由题意得故a+b=-3.

3.若曲线f(x)=ax3+ln x存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是 . 【答案】(-∞，0)

11【解析】f'(x)=3ax2+x，因为存在垂直于y轴的切线，则f'(x)=0在(0，+∞)上有解，即3ax2+x=01133有正解，则3a=-x.因为-x<0，所以3a<0，即a<0时，方程有正解，所以实数a的取值范围

是(-∞，0).

4.已知两条曲线y=sin x，y=cos x，问：这两条曲线是否存在一个公共点，使得在这一点处，两条曲线的切线互相垂直?并说明理由.

【解答】设两条曲线的一个公共点为P(x0，y0)，则在点P处两条曲线的切线斜率分别为k1=cos x0，k2=-sin x0，要使两条切线互相垂直，即使cos x0·(-sin x0)=-1，得sin 2x0=2，这与|sin x|≤1矛盾，故不可能.因此不存在这样的公共点，使得在这一点处的两条曲线的切线互相垂直.

【融会贯通】

融会贯通 能力提升

已知函数f(x)=x3+x-16.

(1)求曲线y=f(x)在点(2，-6)处的切线的方程；

(2)若直线l为曲线y=f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标；

1(3)如果曲线y=f(x)的某一切线与直线y=-4x+3垂直，求切点坐标与切线方程.

【思维引导】

【规范解答】(1)由函数f(x)的解析式可知点(2，-6)在曲线y=f(x)上， 所以f'(x)=(x3+x-16)'=3x2+1，

所以在点(2，-6)处的切线的斜率为k=f'(2)=13，.....................................2分 所以切线的方程为y-(-6)=13(x-2)，即y=13x-32.......................................5分 (2)方法一：设切点为(x0，y0)， 则直线l的斜率为f'(x0)=3所以直线l的方程为y=(3

2x0+1， +1)(x-x0)+

3x02x0+x0-16...................................... 7分

又因为直线l过点(0，0)， 所以0=(3整理得

3x02x0+1)(-x0)+

3x0+x0-16，

=-8，所以x0=-2，

所以y0=(-2)3+(-2)-16=-26，f'(-2)=3×(-2)2+1=13，

所以直线l的方程为y=13x，切点坐标为(-2，-26)....................................10分

方法二：设直线l的方程为y=kx，切点坐标为(x0，y0)，

3x0-16y0-0x0x0x-0则k=0=.

2x0又因为k=f'(x0)=3+1，

3x0x0-162xx00所以=3+1，解得x0=-2，............................................ 7分

所以y0=(-2)3+(-2)-16=-26，k=3×(-2)2+1=13，

所以直线l的方程为y=13x，切点坐标为(-2，-26)....................................10分

x(3)因为曲线f(x)的某一切线与直线y=-4+3垂直，

所以该切线的斜率k=4.

设切点的坐标为(x0，y0)，则f'(x0)=3

2x0+1=4， .....................................12分

x01，x0-1，y0-14y0-18，所以x0=±1，所以或

故切线方程为y-(-14)=4(x-1)或y-(-18)=4(x+1)，即y=4x-18或y=4x-14.....................16分 【精要点评】利用导数研究曲线的切线问题，一定要熟练掌握以下三点：

(1)函数在切点处的导数值是切线的斜率，即已知切点坐标可求切线斜率，已知斜率可求切点坐标.

(2)切点既在曲线上，又在切线上，切线还有可能和曲线有其他的公共点.

(3)曲线y=f(x)“在”点P(x0，y0)处的切线与“过”点P(x0，y0)的切线的区别：曲线y=f(x)在点P(x0，y0)处的切线是指点P为切点，若切线斜率存在时，切线斜率为k=f'(x0)，是唯一的一条切线；曲线y=f(x)过点P(x0，y0)的切线，是指切线经过点P，点P可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条.

趁热打铁，事半功倍.请老师布置同学们完成《配套检测与评估》中的练习第31~32页.

【检测与评估】

第16课 曲线的切线

一、 填空题

1．已知曲线f(x)=ax2+3x-2在点(2，f(2))处的切线的斜率为7，那么实数a的值为 .

2．(2014·广东卷)曲线y=-5ex+3在点(0，-2)处的切线方程为 .

3．(2015·南师附中调研)若曲线f(x)=2ax3-a在点(1，a)处的切线与直线2x-y+1=0平行，则实数a的值为 .

4．(2014·青岛一中模拟)已知a为实数，函数f(x)=x3+ax2+(a-3)x的导函数为f'(x)，若f'(x)是偶函数，则曲线y=f(x)在原点处的切线方程为 .

π5．(2015·如东模拟)已知函数f(x)=f'(0)cos x+sin x，则函数f(x)的图象在x0=2处的切线方程

为 .

1-1a，a2-2处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则实数6．若曲线y=x在点a= .

7．设P是函数y=x(x+1)图象上异于原点的动点，且该图象在点P处的切线的倾斜角为θ，则θ的取值范围是 .

8．(2015·通州模拟)已知曲线C1：y=x2与C2：y=-(x-2)2，直线l与C1，C2都相切，则直线l的方程为 .

二、 解答题

9．对于函数f(x)=x3+ax2-9x-1，当曲线y=f(x)斜率最小的切线与直线12x+y=6平行时，求实数a的值.

t10．已知曲线f(x)=x+x(t>0)和点P(1，0)，过点P作曲线y=f(x)的两条切线PM，PN，切点分

别为M(x1，y1)，N(x2，y2).

(1)求证：x1，x2为关于x的方程x2+2tx-t=0的两根. (2)设MN=g(t)，求函数g(t)的表达式.

x2111．已知曲线y=x(x>0).

(1)求曲线在x=2处的切线方程；

(2)求曲线上的点到直线3x-4y-11=0的距离的最小值.

三、 选做题

12．设曲线y=(ax-1)ex在点A(x0，y1)处的切线为l1，曲线y=(1-x)e-x在点B(x0，y2)处的切线为l2．若

30，存在x0∈2，使得l1⊥l2，求实数a的取值范围.

【检测与评估答案】

第16课 曲线的切线

1．1 【解析】因为f'(x)=2ax+3，由题意知2a×2+3=7，解得a=1．

2．5x+y+2=0 【解析】因为y'=-5ex，所以所求切线的斜率k=-5e0=-5，所以切线方程是y-(-2)=-5(x-0)，即5x+y+2=0.

113．3 【解析】由题意得f'(x)=6ax2，所以6ax2|x=1=2，所以a=3.

4．y=-3x 【解析】因为f'(x)=3x2+2ax+(a-3)，又f'(x)为偶函数，所以a=0，所以f(x)=x3-3x，f'(x)=3x2-3，所以f'(0)=-3，所以曲线y=f(x)在原点处的切线方程为y=-3x.

π5．y=-x+1+2 【解析】因为f'(x)=-f'(0)sin x+cos x，则f'(0)=-f'(0)·sin 0+cos 0，所以f'(0)=1，πππ所以f(x)=cos x+sin x，所以f'2=-1，f2=1，所以切线方程为y=-x+1+2.

1-31-31-31222-xaa26． 64 【解析】由题知x>0，y'=-2，所以k=-2，切线方程为y-a=-2(x-a).令

11-3-1391a2a2a2x=0，得y=2；令y=0，得x=3a.所以三角形的面积S=2·3a·2=4=18，解得a=64．

11ππ13x，2x≥3，当且仅当x=3时，取等号，7．32 【解析】由题意得tan θ=y'=ππ，32. 所以θ∈

8．y=0或y=4x-4 【解析】设两个切点的坐标依次为(x1，

x12)，(x2，-(x2-2)2).由题意得

2x1-2x24，22x1-[-(x2-2)]2x1，x1-x2

x10，x12，x0，x2解得2或2从而切线方程为y=0或y=4x-4．

2aax3-9-3， 9． 由题意知f'(x)=3x2+2ax-9=32a2a即当x=-3时，函数f'(x)取得最小值-9-3.

因为曲线y=f(x)斜率最小的切线与直线12x+y=6平行，

a2所以-9-3=-12，即a2=9，

所以a=±3．

ttxx10．(1)由题意可知y1=x1+1，y2=x2+2.

t2因为f'(x)=1-x，

ttx11-2

xx11所以切线PM的方程为y-=(x-x1).

又切线PM过点P(1，0)，

tt

x11-2

xx11所以0-=(1-x1)，

即

x12+2tx1-t=0. ①

2x2同理，由切线PN也过点P(1，0)，得

+2tx2-t=0. ②

由①②可得x1，x2是关于x的方程x2+2tx-t=0的两根.

x1x2-2t，xx-t.(2)由(1)知12

2t2tt2[(x1x2)-4x1x2]11-(x1-x2)x1-x2-2x1x2x1x220t20t， MN===2220t20t(t>0). 所以g(t)=

x211211．(1)设f(x)=x，则f'(x)=1-x， 132所以k=f'(2)=1-2=4.

2215又因为f(2)=2=2，

53所以所求切线方程为y-2=4(x-2)，

即3x-4y+4=0.

x21(2)由题知曲线y=x(x>0)与直线3x-4y-11=0不相交，所以设曲线在点(x0，y0)处的切线与135122，2x直线3x-4y-11=0平行.因为y'=1-x，令1-0=4，解得x0=2，所以切点坐标为2，所以52，距离的最小值为点2到直线3x-4y-11=0的距离，即为3．

-ex-(1-x)exx-21-xx2xxxxxx(e)e12．由y=(ax-1)e，得y'=ae+(ax-1)e=(ax+a-1)e.由y=，得y'==e. x0-2x0x0由题意知(ax0+a-1)e·e=-1，即(ax0+a-1)(x0-2)=-1在

30，2上有解，方程可化为

113x-2x-2ax0+a-1=-0.设f(x0)=ax0+a-1，g(x0)=-0，作图可知1≤a≤2.

x0-3x0-33220，x-x-2x-x-22上的值域即可) 0000(另法：方程可化为a=，求函数t(x0)=在x0∈