初二数学(上)期末复习知识点

初二数学（上）期末复习知识点

因式分解

1. 因式分解：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解；注意：因式分解与乘法是相反的两个转化.

2．因式分解的方法：常用“提取公因式法”、“公式法”、“分组分解法”、“十字相乘法”. 3．公因式的确定：系数的最大公约数·相同因式的最低次幂. 4. 思想方法提炼

（1）直接用公式。如：x－4＝（x＋2）（x－2） a4ab4b2

22(a2b)2

（2）提公因式后用公式。如：ab2－a＝a（b2－1）＝a（b+1）（b－1） （3）整体用公式。如： (2ab)(a2b)22[(2ab)(a2b)][(2ab)(a2b)](3ab)(a3b)

222222（4）连续用公式。如：(abc)4ab222222

2222 (abc2ab)(abc2ab) [(ab)c][(ab)c] (abc)(abc)(abc)(abc)

（5）化简后用公式。如： （a＋b）2－4ab ＝a2＋b2＋2ab－4ab＝（a－b）2 （6）变换成公式的模型用公式。如：

2222 x2xyy2x2y1(xy)2(xy)1(xy1) 2. 注意事项小结

（1）分解因式应首先考虑能否提取公因式，若能则要一次提尽。然后再考虑运用公式法

（2）要熟悉三个公式的形式特点。灵活运用对多项式正确的因式分解。

（3）对结果要检验（1）看是否丢项（2）看能否再次提公因式或用公式法进行分解，分解到不注意公式：a+b=b+a； a-b=-(b-a)； (a-b)2=(b-a)2； (a-b)3=-(b-a)3. 5．因式分解的公式：

(1)平方差公式： a2-b2=（a+ b）（a- b）；

(2)完全平方公式： a2+2ab+b2=(a+b)2, a2-2ab+b2=(a-b)2. 6．因式分解的注意事项：

（1）选择因式分解方法的一般次序是：一 提取、二 公式、三 分组、四 十字； （2）使用因式分解公式时要特别注意公式中的字母都具有整体性； （3）因式分解的最后结果要求分解到每一个因式都不能分解为止； （4）因式分解的最后结果要求每一个因式的首项符号为正； （5）因式分解的最后结果要求加以整理；

（6）因式分解的最后结果要求相同因式写成乘方的形式.

7．因式分解的解题技巧：（1）换位整理，加括号或去括号整理；（2）提负号；（3）全

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变号；（4）换元；（5）配方；（6）把相同的式子看作整体；（7）灵活分组；（8）提取分数系数；（9）展开部分括号或全部括号；（10）拆项或补项.

8．完全平方式：能化为（m+n）2的多项式叫完全平方式；对于二次三项式x2+px+q，

pq有“ x2+px+q是完全平方式  2”.能分解为止。

2【典型例题】

例1.

解：x(xy)[(xy)(xy)]

分解因式：x(xy)(xy)x(xy)2

x(xy)(xyxy)x(xy)(2y)2xy(xy) 例2. x16y2244

22 解：(x)(4y)33 例3. xyxy

(x4y)(x4y)2222 (x4y)(x2y)(x2y)

22解：xy(xy)xy(xy)(xy)22 例4. (x3y)4x

22

解：(x3y2x)(x3y2x)

(3x3y)(3yx)3(xy)[(x3y)] 3(xy)(x3y)2

2 例5. 25m20m(m3n)4(m3n)2

2 解：(5m)25m2(m3n)[2(m3n)] [5m2(m3n)]9(m2n)2222

(3m6n)22 [3(m2n)]

2 [5m2m6n]

2 例6. (x1)6(x1)9 解：(x13)22

2 (x4)22 (x2)(x2)222

例7. 分解因式16a4b12bc9c2

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精析：后三项提负号后是完全平方式。和原来的16a2正好可继续用平方差公式分解因式。 解：16a4b12bc9c16a(4b12bc9c) (4a)(2b3c)22222222

(4a2b3c)(4a2b3c)

点评：分组时，要注意各项的系数以及各项次数之间的关系，这一点可以启示我们对下一步分解的预测是提公因式还是应用公式等。 b. 用整体思想分解因式，在分解因式时，

要建立一种整体思想和转化的思想。

一. 填空题

32332x18x__________ 1. 12xy18xy的公因式是___________ 2. 分解因式：

22 3. 若A3x5y，By3x，则A2ABB_________

2 4. 若x6xt是完全平方式，则t＝________ 222 5. 因式分解：9a4b4bcc_________

322 6. 分解因式：ac4abc4abc_________

7. 若

|x2|xxy214y20，则x＝_______，y＝________

22 8. 若a99，b98，则a2abb5a5b_________

9. 计算12.7980.1250.1254.798________

10. 运用平方差公式分解：a－_______＝（a＋7）（a－_____） 11. 完全平方式 12. 若

2224x29y2()2

a、b、c，这三个数中有两个数相等，则

2a(bc)b(ca)c(ab)_________

3223 13. 若ab5，ab14，则aababb__________

二. 选择题（每小题3分，共27分）

14. 下列各式从左到右的变形为分解因式的是（ ） A. 18xy2323xy6 B. (m2)(m3)mm6

2322 C. x8x9(x3)(x3)8x D. mm6(m2)(m3) 15. 多项式3xy6xy3xy22提公因式3xy后另一个多项式为（ ）

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A. x2y B. x2y1 C. x2y D. x2y1

2D. xx6

16. 下列多项式中不含有因式(x1)的是（ ）

322 A. 2x3x1 B. x4x5 C. x8x7

17. 下列各式进行分解因式错误的是（ ）

A. 96(xy)(xy)2(3xy)2

B. 4(ab)212a(ab)9a2(a2b)2

C. (ab)22(ab)(ac)(ac)2(bc)2

D. (mn)22(mn)1(mn1)2

18. (a)ma(a)m1的值是（ ）

A. 1

B. -1

C. 0

D. (1)m1 19. 把3an215an145an分解因式是（ ）

A. 3an(a25a15)

B. 3an(a25a115)

1 C. 2

D. 3an1(a515a)

20. 若n为任意整数，(n11)2n2的值总可以被k整除，则k等于（ A. 11

B. 22

C. 11或22

D. 11的倍数

21. 下列等式中一定正确的是（ ）

A. (ab)n(ba)n B. (ab)n(ba)n

C. (ba)n(ab)n D. (ab)n(ab)n

22. 多项式8m2n310m3n22m2n2被2m2n2除，所得的商为（ ） A. 4n5m1 B. 4n5m1 C. 4n5m1 D. 4n5m

三. 解答题

23. 把下列各式分解因式

（1）m2(mn)24(nm)2 （2）x244xy4y2

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）

（3）(3x4x3)(2xx7)

2222

（4）

xx3214x （5）x(x1)x(x1)x(x1)x1

32

24. 计算（每小题5分，共10分）

2992281002004220042002

32 （2）20042004200532 （1）2101

25. 已知mn3，

mn233223，求mnmnmn的值。（10分）

26. 选择适当的方法分解下列多项式（每小题5分共10分）

（1）x9y4z6xy4xz12yz 分式

A222 （2）(a5a4)(a5a6)120

221．分式：一般地，用A、B表示两个整式，A÷B就可以表示为B的形式，如果B中含

A有字母，式子B 叫做分式.

2．对于分式的两个重要判断：（1）若分式的分母为零，则分式无意义，反之有意义；（2）若分式的分子为零，而分母不为零，则分式的值为零；注意：若分式的分子为零，而分母也为零，则分式无意义. 3．分式的基本性质与应用：

（1）若分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不为零的整式，分式的值不变； （2）注意：在分式中，分子、分母、分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变；

分子分母分子分母分子分母分子分母即

（3）繁分式化简时，采用分子分母同乘小分母的最小公倍数的方法，比较简单. 4．分式的约分：把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分；注意：分式约分前经常需要先因式分解.

5．最简分式：一个分式的分子与分母没有公因式，这个分式叫做最简分式；注意：分

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式计算的最后结果要求化为最简分式.

acac,bdbd6．分式的乘除法法则：

nna bcdadadbcbc.

aan.（n为正整数）b7．分式的乘方：b.

8．负整指数计算法则：

1（1）公式： a0=1(a≠0), a-n=a (a≠0)； （2）正整指数的运算法则都可用于负整指数计算；

a（3）公式：bnnbananm，bbamn；

（4）公式： （-1）-2=1， （-1）-3=-1.

9．分式的通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分；注意：分式的通分前要先确定最简公分母. 10．最简公分母的确定：系数的最小公倍数·相同因式的最高次幂. 11．同分母

acbcabc;abcd与异分母的分式加减法法则：

adbdbcbdadbcbd.

12．含有字母系数的一元一次方程：在方程ax+b=0(a≠0)中,x是未知数,a和b是用字母表示的已知数，对x来说，字母a是x的系数，叫做字母系数，字母b是常数项，我们称它为含有字母系数的一元一次方程.注意：在字母方程中,一般用a、b、c等表示已知数，用x、y、z等表示未知数.

13．公式变形：把一个公式从一种形式变换成另一种形式，叫做公式变形；注意：公式变形的本质就是解含有字母系数的方程.特别要注意：字母方程两边同时乘以含字母的代数式时，一般需要先确认这个代数式的值不为0.

14．分式方程：分母里含有未知数的方程叫做分式方程；注意：以前学过的，分母里不含未知数的方程是整式方程.

15．分式方程的增根：在解分式方程时，为了去分母，方程的两边同乘以了含有未知数的代数式，所以可能产生增根，故分式方程必须验增根；注意：在解方程时，方程的两边一般不要同时除以含未知数的代数式，因为可能丢根.

16．分式方程验增根的方法：把分式方程求出的根代入最简公分母（或分式方程的每个分母），若值为零，求出的根是增根，这时原方程无解；若值不为零，求出的根是原方程的解；注意：由此可判断，使分母的值为零的未知数的值可能是原方程的增根. 17．分式方程的应用：列分式方程解应用题与列整式方程解应用题的方法一样，但需

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要增加“验增根”的程序. 1. 分式：分母中含有字母

下列各式13x12y，1xy，15a，4xy，xx2，x2x中，分式的个数是

（ ）

A. 1个

B. 2个

C. 3个

D. 4个

在4.51x2112x21x，x2，，73x2y，2x3y3z，x1中，是分式的有 A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个

2. 分式有意义、无意义或等于零的条件：

（1）分式有意义的条件：分母不等于零 （2）分式无意义的条件：分母等于零

（3）分式等于零的条件：分母不等于零时，分子等于零 （1）当1 例2.

x时，分式x2x1有意义。

（2）当x时，分式x29x3的值为零。（3）若分式x3x2无意义，则x。（4）当x时，分式53的值为正数。

x2

122 解：（1）

（2）3 （3）2

（4）

3

练习：下列分式中，无论x取何值，一定有意义的是（ A ）

A.xB.x21C.xx2 x21(x1)3(x1)3D.x1

3. 分式的基本性质：

分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。（1）x1) 例3.

32x(2x3()2x3

23（2）约分：12ab6(ab)22(ab)(bc)(ca) (cb)(ac)(ba)

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（）

4x5y

A. 缩小到原来的一半

（3）分式2x的分子与分母同时缩小到原来的一半，那么分式的值（）

B. 不变 C. 增加到原来的2倍 D. 无法确定

a(xy)a(xy)ab(ba)b2 （4）下列各式中正确的是（ ）

A.C.a(xy)a(xy)18bc12abc32034ab3B.D.11ba （3）B

（4）B

解：（1）1－x，x－1 练习：

（2）3，－1



（1）当x,y满足关系式（2）已知x3y，则x2y3125时，x2y5(yx)2(xy)。52。2x3y的值为2（3）已知A.2z4(z0)，那么C.122x3yzzx2xyzD.112222的值为（）B.2

解：（1）xy0 （2）9 3）C （3）解析：

令x2y3z4k

4. 分式的乘除法法则：

分式乘分式，用分子的积做积的分子，分母的积做积的分母。 分式除以分式，用除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。

（1）3m(n)xy2xymn（2）6xy243x4y3 例4. 解

：（

2

原式3mnxymnxy72

（

）

3y1

4）

3

原式6xy4y3x24xy3x278xy

5. 分式的加减法法则：

（1）同分母分式相加减：分母不变，把分子相加减。

（2）异分母分式相加减：先通分，变为同分母的分式，然后再加减。

（3）最简公分母：数字的最小公倍数，所有因式的次数最高的（公因式：数字的

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最大公约数、相同字母次数最低的）。

例5.

（1）2x92193x

21原式解：

(x3)(x3)3(3x)

233(x3)(x3)x33(x3)(x3)6x33(x3)(x3)x33(x3)(x3)1

3(x3)

（2）1xyxy(xy)2

原式xyxy 解：

(xy)2(xy)2

xyxy(xy)2

2y(xy)2

（3）2315

a33aaa29

原式2a15 解：

a33a3(a3)(a3) 2(a3)3(a3)a15 (a3)(a3)(a3)(a3)(a3)(a3)

（4）xy2x2xy 原式(xy)(xy)2x2 解：

xyxy

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2a63a9a15(a3)(a3)0(a3)(a3)0

x2y222x22xyxyxyx2y2

（5）(xx2xx2xy)4x2x

（用两种方法）

]2x4x原式[x(x2)(x2)(x2)22x(x2)(x2)(x2) 解（一）：

x2xx2x(x2)(x2)(x2)4x4x(x2)(x2)1x2

(x2)4x

解（二）：

原式xx2(x2)4xxx2(x2)4x 4x24(x2)1x2x24(x2)4(x2)x2x24(x2)44(x2)1x2（6）先化简再求值：

(xxx1)x1x4x4x(x1)x122 x2xx4x]22，其中x12。

xx2当x12时原式[x1(x2)2(x2)(x2)x(x2) 解：

x1xxxx1x1(x2)2(x2)(x2)x(x2)

原式12122

11413

6. 分式方程的解法：

（1）基本思想：把分式方程转化成为整式方程。

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（2）步骤：

<1> 去分母：方程两边都乘以最简公分母，化为整式方程。 <2> 解这个整式方程。

<3> 验根：把求出的整式方程的根代入最简公分母。 （3）分式方程的应用——列分式方程解应用题 <1> 审题

1x2<2> 设未知数

2x2

<3> 找相等关系，列分式方程 <6> 写答案

<4> 解分式方程 <5> 检验 例6.

（1）4x4x21 解：x24x(x2)(x2)2x2 方程两边同乘以(x2)(x2)得：

x24x2(x2)x24x2x4x4x2x423x6x2

检验：把x2代入(x2)(x2)0 x2是原方程的增根 原方程无解

（2）2x33272x6

2解：x33272(x3) 方程两边同乘以2(x3)得：

43(x3)743x973x7493x6

x2

检验：把x2代入2(x3)0

x2是原方程的根

（3）一个工人加工300个零件后，由于改进了操作方法，工作效率提高为原来的1.5倍，再加工300个零件，提前2小时完成，问前后两种方法每小时各加工多少个零件？ 解：设改进前每小时加工x个，则改进后每小时加工1.5x个

300x3001.5x2 解得：x=50 经检验：x=50是所列方程的根。

改进后每小时加工501.575（个）

答：前一种方法每小时加工50个零件，后一种方法每小时加工75个零件。 （4）甲、乙两地相距160km，一辆长途汽车从甲地开出3小时后，一辆小轿车也从甲

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地开出，结果小轿车比长途汽车晚20分钟到达乙地，又已知小轿车的速度是长途汽车的3倍，求两车的速度。

解：设长途汽车的速度为x千米/时，则小轿车的速度为3x千米/时

20分钟13小时160131603x x3 解得：x=40 经检验：x=40是所列

方程的根。

小轿车的速度为403120（千米/时）

答：长途汽车的速度为40千米/时，小轿车的速度为120千米/时。 （5）结合3题的方程编写一道应用题：

行程问题：A、B两地相距300千米，一人骑自行车从A地出发2小时后另一人骑摩托车也从A地出发，结果两人同时到达。已知摩托车的速度是自行车的1.5倍，求两车的速度。

【模拟试题三】

一. 填空题

x4x52 1. 当x=3时，分式x7x10的值是__________。

2 2. 在解分式方程的时候，有时会产生使得原分式方程分母为零的解，我们称它为原方程的_____________。

2x 3. 当x___________时，分式x1有意义。

5xy34(mn)29p22 4. 化简：

20xy23(mn)=____________；=_____________；p3p=__________。

二. 选择题

8 5. 下列各式x A. 1个

2，ab2，x23y，1x3y，x3中属于分式的有（ ）

B. 2个 C. 3个 D. 4个

m3m2 6. 分式9m化简的结果是（ ）

m A. m3 B. m3

mmmC. m3 D. 3m

7. 一项工程由m个人做需5天完成，现增加2个人（假定每个人的工作效率是相同的），完成这项工程需要（ ）

525m5 A. m2天 B. 5m天 C. m2天 D. 2m天

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1 8. 已知x0，则x112x13x1等于（ ）

511 A. 2x

2 B. 6x C. 6x D. 6x

4(x1)2 9. 把6(x2x1)化为最简分式为（ ）

2(x1)2 A. 3(x2x1) B.

67x213x22(x1) C. 3

D. 3(x1)

2 10. 使分式2x5的值是负数的x取值范围是（ ）

A.

x67

(B.

ax67b

)a C. x0 的值（ ）

D. 不能确定

11. 如果ab0，则ab A. 大于1

abbaB. 等于1

C. 小于1 D. 以上都有可能

12. 如果可化为一元一次方程的分式方程有增根，那么以下判断错误的是（ ） A. 方程只有一个增根

三. 计算题

6xy24B. 分式方程无解

C. 方程还有异于增根的根 D. 增根代入最简公分母，最简公分母值为零

3x4y322 14. x9 13.

193x2 15. a333aa15a92

四. 先化简，再求值

x4y22216、

x4xy4y2，其中x2，y12

3aab22 17. 9a6abb2，其中a8，b12

五. 解方程

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2 18. x421x24 19. 2x1212x5

六. 列方程解应用题

20. 一组学生计划租车去春游，与车主商定租金为120元，后因参加春游的学生数增加

1了4，这样每名学生少摊了3元。问去春游的学生共有几人？

21. 甲、乙两地相距80km，一辆公共汽车从甲地开往乙地，1小时后，一辆小汽车也从甲地开往乙地。由于小汽车的速度是公共汽车的3倍，结果小汽车比公共汽车早20分钟到达乙地，求两车的速度。 数的开方

1．平方根的定义：若x2=a,那么x叫a的平方根，（即a的平方根是x）；注意：（1）a叫x的平方数，（2）已知x求a叫乘方，已知a求x叫开方，乘方与开方互为逆运算. 2．平方根的性质：

（1）正数的平方根是一对相反数； （2）0的平方根还是0； （3）负数没有平方根.

3．平方根的表示方法：a的平方根表示为也可以认为是一个数开二次方的运算.

4．算术平方根：正数a的正的平方根叫a的算术平方根，表示为平方根还是0.

5．三个重要非负数：a2≥0 ,|a|≥0，0.

6．两个重要公式： （1） a2a和a.注意：

a可以看作是一个数，

a.注意：0的算术

a≥0 注意：非负数之和为0，说明它们都是

2a; (a≥0)

a（2）

(a0)aaa(a0) .

7．立方根的定义：若x3=a,那么x叫a的立方根，（即a的立方根是x）.注意：（1）a

- 14 -

叫x的立方数；（2）a的立方根表示为8．立方根的性质：

（1）正数的立方根是一个正数； （2）0的立方根还是0； （3）负数的立方根是一个负数. 9．立方根的特性：

33a；即把a开三次方.

a3a.

10．无理数：无限不循环小数叫做无理数.注意：和开方开不尽的数是无理数. 11．实数：有理数和无理数统称实数.

有理数实数无理数12．实数的分类：（1）

正有理数0负有理数有限小数与无限循环小数正无理数无限不循环小数负无理数（2）

.

13．数轴的性质：数轴上的点与实数一一对应.

14．无理数的近似值：实数计算的结果中若含有无理数且题目无近似要求，则结果应该用无理数表示；如果题目有近似要求，则结果应该用无理数的近似值表示.注意：（1）近似计算时，中间过程要多保留一位；（2）记忆21.414 三角形

几何A级概念：（要求深刻理解、熟练运用、主要用于几何证明） 1．三角形的角平分线定义： 三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线.（如图） 2．三角形的中线定义： 在三角形中，连结一个顶点和它的对边的中点的线段叫做三角形的中线.（如图） - 15 -

BDCA正实数实数0负实数31.732

52.236.

几何表达式举例： (1) ∵AD平分∠BAC ∴∠BAD=∠CAD (2) ∵∠BAD=∠CAD ∴AD是角平分线 几何表达式举例： (1) ∵AD是三角形的中线 ∴ BD = CD (2) ∵ BD = CD

A∴AD是三角形的中线 BDC 几何表达式举例： (1) ∵AD是ΔABC的高 ∴∠ADB=90° (2) ∵∠ADB=90° 3．三角形的高线定义： 从三角形的一个顶点向它的对边画垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高线. （如图） ※4．三角形的三边关系定理： 三角形的两边之和大于第三边，三角形的两边之差小于第三边.（如图） 5．等腰三角形的定义： 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形. （如图） 6．等边三角形的定义： 有三条边相等的三角形叫做等边三角形. （如图） ABDC ∴AD是ΔABC的高 几何表达式举例： (1) ∵AB+BC＞AC ∴„„„„„ (2) ∵ AB-BC＜AC ABC ∴„„„„„ 几何表达式举例： (1) ∵ΔABC是等腰三角形 ∴ AB = AC (2) ∵AB = AC ABC ∴ΔABC是等腰三角形 几何表达式举例： (1)∵ΔABC是等边三角形 ∴AB=BC=AC (2) ∵AB=BC=AC ABC ∴ΔABC是等边三角形 几何表达式举例： (1) ∵∠A+∠B+∠C=180° ∴„„„„„„„ ∴∠A+∠B=90° ∴„„„„„„„ 7．三角形的内角和定理及推论： （1）三角形的内角和180°；（如图） （2）直角三角形的两个锐角互余；（如图） （如图） 角. BCA（3）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；(2) ∵∠C=90° ※（4）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内(3) ∵∠ACD=∠A+∠B (4) ∵∠ACD ＞∠A ∴„„„„„„„ CBBCDAA（1） （2） （3）（4） 8．直角三角形的定义： - 16 -

几何表达式举例：

有一个角是直角的三角形叫直角三角形.（如图） A(1) ∵∠C=90° ∴ΔABC是直角三角形 (2) ∵ΔABC是直角三角形 CB ∴∠C=90° 几何表达式举例： (1) ∵∠C=90° CA=CB ∴ΔABC是等腰直角三角形 (2) ∵ΔABC是等腰直角三角形 9．等腰直角三角形的定义： 腰直角三角形.（如图） A两条直角边相等的直角三角形叫等 CB ∴∠C=90° CA=CB 几何表达式举例： (1) ∵ΔABC≌ΔEFG ∴ AB = EF „„„ (2) ∵ΔABC≌ΔEFG ∴∠A=∠E „„„ 10．全等三角形的性质： （1）全等三角形的对应边相等；（如图） （2）全等三角形的对应角相等.（如图） BAECFG 几何表达式举例： (1) ∵ AB = EF ∵ ∠B=∠F 又∵ BC = FG ∴ΔABC≌ΔEFG (2) „„„„„„ (3)在RtΔABC和RtΔEFG中 ∵ AB=EF 又∵ AC = EG ∴RtΔABC≌RtΔEFG 11．全等三角形的判定： “SAS”“ASA”“AAS”“SSS”“HL”. （如图） CG （1）（2） BFAE （3） FBCGAE12．角平分线的性质定理及逆定理： （1）在角平分线上的点到角的两边 距离相等；（如图） （2）到角的两边距离相等的点在角平分线上.（如图） - 17 -

OEBDCA几何表达式举例： (1)∵OC平分∠AOB 又∵CD⊥OA CE⊥OB ∴ CD = CE (2) ∵CD⊥OA CE⊥OB 又∵CD = CE ∴OC是角平分线

13．线段垂直平分线的定义： 垂直于一条线段且平分这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线.（如图） E几何表达式举例： (1) ∵EF垂直平分AB ∴EF⊥AB OA=OB BAO(2) ∵EF⊥AB OA=OB ∴EF是AB的垂直平分线 几何表达式举例： (1) ∵MN是线段AB的垂直平分F14．线段垂直平分线的性质定理及逆 定理： （1）线段垂直平分线上的点和这条线段的两个端点的距离相等；（如图） （2）和一条线段的两个端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.（如图） 15．等腰三角形的性质定理及推论： ACBNMP线 ∴ PA = PB (2) ∵PA = PB ∴点P在线段AB的垂直平分线上 几何表达式举例： （1）等腰三角形的两个底角相等；（即等边对等角）（如图） (1) ∵AB = AC （2）等腰三角形的“顶角平分线、底边中线、底边上的高”∴∠B=∠C 三线合一；（如图） （3）等边三角形的各角都相等，并且都是60°.（如图） A(2) ∵AB = AC 又∵∠BAD=∠CAD ∴BD = CD AAAD⊥BC „„„„„„ (3) ∵ΔABC是等边三角形 CBC （1） BDC （2） B（3） ∴∠A=∠B=∠C =60° 几何表达式举例： ∴ AB = AC (2) ∵∠A=∠B=∠C 16．等腰三角形的判定定理及推论： 也相等；（即等角对等边）（如图） （2）三个角都相等的三角形是等边三角形；（如图） （1）如果一个三角形有两个角都相等，那么这两个角所对边(1) ∵∠B=∠C （3）有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形；（如图） ∴ΔABC是等边三角形 （4）在直角三角形中，如果有一个角等于30°，那么它所对(3) ∵∠A=60° 的直角边是斜边的一半.（如图） A又∵AB = AC ∴ΔABC是等边三角形 AA(4) ∵∠C=90°∠B=30° 1BBC（1）BC（2）（3）C- 18 -

（4） ∴AC =2AB

17．关于轴对称的定理 （1）关于某条直线对称的两个图形是全等形；（如图） （2）如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线.（如图） 18．勾股定理及逆定理： 的平方和等于斜边c的平方，即a2+b2=c2；（如图） （2）如果三角形的三边长有下面关系: a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.（如图） MAOCFE几何表达式举例： (1) ∵ΔABC、ΔEGF关于MN轴对称 ∴ΔABC≌ΔEGF GNB(2) ∵ΔABC、ΔEGF关于MN轴对称 ∴OA=OE MN⊥AE 几何表达式举例： (1) ∵ΔABC是直角三角形 ∴a2+b2=c2 (2) ∵a2+b2=c2 ∴ΔABC是直角三角形 A（1）直角三角形的两直角边a、b CB 几何表达式举例： ∵ΔABC是直角三角形 ∵D是AB的中点 119．RtΔ斜边中线定理及逆定理： （1）直角三角形中，斜边上的中线 是斜边的一半；（如图） （2）如果三角形一边上的中线是这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.（如图）

CBAD∴CD = 2AB (2) ∵CD=AD=BD ∴ΔABC是直角三角形 几何B级概念：（要求理解、会讲、会用，主要用于填空和选择题） 一 基本概念：

三角形、不等边三角形、锐角三角形、钝角三角形、三角形的外角、全等三角形、角平分线的集合定义、原命题、逆命题、逆定理、尺规作图、辅助线、线段垂直平分线的集合定义、轴对称的定义、轴对称图形的定义、勾股数. 二 常识：

1．三角形中，第三边长的判断： 另两边之差＜第三边＜另两边之和.

2．三角形中，有三条角平分线、三条中线、三条高线，它们都分别交于一点，其中前两个交点都在三角形内，而第三个交点可在三角形内，三角形上，三角形外.注意：三角形的角平分线、中线、高线都是线段.

3．如图，三角形中，有一个重要的面积等式，即：若CD⊥AB，BE⊥CA，则CD·AB=BE·CA. 4．三角形能否成立的条件是：最长边＜另两边之和.

5．直角三角形能否成立的条件是：最长边的平方等于另两边的平方和. 6．分别含30°、45°、60°的直角三角形是特殊的直角三角形.

BCDEA- 19 -

7．如图，双垂图形中，有两个重要的性质，即： （1） AC·CB=CD·AB ； （2）∠1=∠B ，∠2=∠A .

8．三角形中，最多有一个内角是钝角，但最少有两个外角是钝角. 边是对应边.

10．等边三角形是特殊的等腰三角形.

AD12CB9．全等三角形中，重合的点是对应顶点，对应顶点所对的角是对应角，对应角所对的

11．几何习题中，“文字叙述题”需要自己画图，写已知、求证、证明. 12．符合“AAA”“SSA”条件的三角形不能判定全等.

13．几何习题经常用四种方法进行分析：（1）分析综合法；（2）方程分析法；（3）代入分析法；（4）图形观察法.

14．几何基本作图分为：（1）作线段等于已知线段；（2）作角等于已知角；（3）作已知角的平分线；（4）过已知点作已知直线的垂线；（5）作线段的中垂线；（6）过已知点作已知直线的平行线.

15．会用尺规完成“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”、“HL”、“等腰三角形”、“等边三角形”、“等腰直角三角形”的作图.

16．作图题在分析过程中，首先要画出草图并标出字母，然后确定先画什么，后画什么；注意：每步作图都应该是几何基本作图.

17．几何画图的类型：（1）估画图；（2）工具画图；（3）尺规画图. ※18．几何重要图形和辅助线： （1）选取和作辅助线的原则：

① 构造特殊图形，使可用的定理增加； ② 一举多得；

③ 聚合题目中的分散条件，转移线段，转移角； ④ 作辅助线必须符合几何基本作图. （2）已知角平分线.（若BD是角平分线）

① 在BA上截取BE=BC构造全等，转移线 ② 过D点作DE∥BC交AB于E，构造等腰三段和角； BCBCEDEDA角形 . A （3）已知三角形中线（若AD是BC的中线）

① 过D点作DE∥AC交AB于 ② 延长AD到E，使DE=AD ③ ∵AD是中线 E，构造中位线 ； BDCBDCAE连结CE构造全等，转移线段和角； BDCA∴SΔABD= SΔADC （等底等高的三角形等面积） A- 20 -

E

(4) 已知等腰三角形ABC中，AB=AC ① 作等腰三角形ABC底边的中线AD （顶角的平分线或底边的高）构造全 等三角形；

（5）其它 作等边三角形ABC 一边 的平行线DE，构造新的等边三角形； BDEABBDCBDC ② 作等腰三角形ABC一边的平行线DE，构造 新的等腰三角形. AAAEDEBC ② 作CE∥AB，转移角； ③ 延长BD与AC交于E， AE不规则图形转化为规则图形； CDDAECBC

④ 多边形转化为三角 ⑤ 延长BC到D，使CD=BC， ⑥ 若a∥b,AC,BC是角平 形； AE连结AD，直角三角形转化为等腰三角形； DA分线,则∠C=90°. BAaCb O

BCBCD 1、下列条件中，不能判定三角形全等的是 （ ） A.三条边对应相等 B.两边和一角对应相等 C.两角的其中一角的对边对应相等 D.两角和它们的夹边对应相等 2、下列说法中,错误的是( )

A. .全等三角形的对应高相等 B.全等三角形的周长相等 C.面积相等的三角形全等; D.面积不等的三角形不全等 3、在△ABC和△A′B′C′,如果满足条件( ),可得△ABC≌△A′B′C′. A.AB=A′B′,AC=A′C′,∠B=∠B′; B.AB=A′B′,BC=B′C′,∠A=∠A′ C.AC=A′C′,BC=B′C′,∠C=∠C′; D.AC=A′C′,BC=B′C′,∠B=∠B′ 4、在△ABC和△A’B’C’中, AB=A’B’, ∠B=∠B’, 补充条件后仍不一定能保证

△ABC≌△A’B’C’, 则补充的这个条件是( )

A．BC=B’C’ B．∠A=∠A’ C．AC=A’C’ D．∠C=∠C’

- 21 -

5、如图1所示,已知AB=CD,AD=CB,AC、BD相交于O,则图中全等三角形有( ) A.2对 B.3对 C.4对 D.5对

AOB(1)CAE(2)CDDB

DAEBC （3） （4）

6、如图2所示,在△ABC中,∠C=90°,DE⊥AB于D,BC=BD,结果AC=3cm,那么AE+DE=( )

A.2cm B.3cm C.4cm D.5cm

7、.如图3，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是（ ）

（A）带①去 （B）带②去 （C）带③去 （D）带①和②去

8、如图4在△ABD和△ACE都是等边三角形，则ΔADC≌ΔABE的根据是（ ） A. SSS B. SAS C. ASA D. AAS

9、如图5所示，在下列条件中，不能作为判断△ABD≌△BAC的条件是； ( ) A. ∠D＝∠C，∠BAD＝∠ABC C．BD＝AC，∠BAD＝∠ABC

第5题

E

B F 第6题

C

B．∠BAD＝∠ABC，∠ABD＝∠BAC

D A D．AD＝BC，BD＝AC

10、如图6，E、B、F、C四点在一条直线上，EB=CF，∠A=∠D，再添一个条件仍

不能证明△ABC≌△DEF的是( )

A.AB=DE B. DF∥AC C. ∠E=∠ABC D. AB∥DE

11、如图7所示，△ABE和△ADC是△ABC分别沿着AB，AC边翻折180°形成的，若∠1∶∠2∶∠3=28∶5∶3，则∠α的度数为（ ）

A．80° B．100° C．60° D．45°．

12、如图8， AD是△ABC的中线，E，F分别是AD和AD延长线上的点，且DE连结BF，CE．下列说法：①CE＝BF；②△ABD和△ACD面积相等；③BF∥CE；④△BDF≌△CDE．其中正确的有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

B E D

F

- 22 -

DF，

A C

13、如图9所示,点C、F在BE上,∠1=∠2,BC=EF,请补充条件:___________(写出一个即可),使△ABC≌△DEF.

D 3 E 4 1 2B A A B C'A'AE C 图11

D BCC 图10

（12） 14、如图12，在平面上将△ABC绕B点旋转到△A’BC’的位置时，AA’∥BC，∠ABC=70°，则∠CBC’为________度.

15、如图10, 已知：∠1 =∠2 , ∠3 =∠4 , 要证BD =CD , 需先证△AEB ≌△A EC , 根据是_________再证△BDE ≌△__ ____ , 根据是__ ________．

16、已知：如图11 , ACBC于C , DEAC于E , ADAB于A , BC =AE．若AB = 5 , 则AD =___________．

17、如图所示,已知点A、E、F、D在同一条直线上,AE=DF,BF⊥AD,CE⊥AD, 垂足分别为F、E,BF=CE,求证:AB∥CD.

AEB

18、已知：，AE=AC， AD=AB，∠EAC=∠DAB， 求证：△EAD≌△CAB．

19、 如图，△ABC的边BC的中垂线DF交△BAC的 外角平分线AD于D, F为垂足, DE⊥AB于E，且AB>AC， 求证：BE－AC=AE．

- 23 -

A E C D

FCD

B

D A B

F

C

20、如图，已知AB＝DC，AC＝DB，BE＝CE,求证：AE＝DE.

21、如图，∠ABC＝90°，AB＝BC，D为AC上一点，分别过A.C作BD的垂线，垂足分别为E.F,求证：EF＝CF－AE.

22、如右图，已知BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE、CF相交于点D，若BD=CD. 求证：AD平分∠BAC.

23、如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时， （1）写出图中一对全等的三角形，并写出它们的所有对应角； （2）设∠AED的度数为x，∠ADE的度数为y，那么∠1，∠2 的度数分别是多少？（用含有x或y的代数式表示）

（3）∠A与∠1+∠2之间有一种数量关系始终保持不变，请找出这个规律．

- 24 -

A D B E C A E D F B C B 1 A C 2 E A′

D

数据的收集与处理

1. 为了一定的目的而对考察对象进行的全面调查，称为普查。

其中所要考察对象的全体称为总体，组成总体的每一个考察对象称为个体。 2. 从总体中抽取部分个体进行调查，这种调查称为抽样调查，其中从总体中抽取的一部分个体叫做总体的一个样本。（抽样时要注意样本的代表性和广泛性） 3. 抽查与普查的优缺点：

优点：（1）抽样调查只考察总体中的一部分个体，因此它的优点是调查范围小，节省时间、人力、物力和财力。

（2）普查能获得较准确的信息。 缺点：（1）抽查结果不如普查结果准确。

（2）普查花费的时间较长，浪费时间、人力、物力和财力。 ［例题］

1. 为了了解某校小学生的体能情况，对该校一个年级的部分学生进行一分钟跳绳次数测试，这个问题中，总体是____________________，个体是____________________，样本是____________________。

答案：某校一年级小学生一分钟跳绳次数的全体；每个小学生一分钟跳绳次数；一个年级部分学生一分钟跳绳次数。

2. 今年我市共有8万名初中毕业生参加升学考试，为了了解这8万名考生的数学成绩，从中抽取了2000名考生的数学成绩进行统计分析，以下说法中正确的是（ B ） A. 8万名考生是总体 B. 每名考生的数学成绩是个体 C. 2000名考生是总体的一个样本 D. 以上都不对

3. 下列调查各属于哪种调查方式？把答案写在后面的括号内。

（1）为了了解八年级学生的视力情况，在该年级中抽取了100名学生进行视力检查测试；（ ）

（2）为了调查学校的男女生比例，调查统计了各班男、女生人数；（ ） （3）为了考察同一型号的一批炮弹的杀伤半径，从中任意抽取210枚进行调查分析。（ ）

答案：（1）抽查；（2）普查；（3）抽查

4. 下列抽样调查中，结果能否较准确地反映总体的情况，为什么？

（1）某商场为了了解10月份的营业情况，从10月2日开始连续调查了5天的营业情况；

（2）某公司为了了解自己产品的普及率，在市区某火车站对100名流动人员进行调查分析。

答案：（1）不能，10月2日～6日是国庆假，商品卖的多。 （2）不能。流动人口远远少于固定人口。

（二）频数、频率以及频数分布直方图

- 25 -

1. 每个对象出现的次数为频数。

2. 每个对象出现的次数与总次数的比值为频率。 3. 画频数分布直方图的方法：

（1）找最大值与最小值，计算最大值与最小值的差（即极差）。 （2）决定组数和组距：

当数据在100个以内时，通常按照数据的多少分成5～12组； 当极差能被5～12的整数整除时，商作为组距，组数应加1组。 例：24÷6＝4，组距为4，组数为6＋1。

当极差不能被5～12的整数整除时，进位取整，商作组距，除数作组数。 例：（23＋1）÷6＝4，组距为4，组数为6。 （3）确定分点：

可采用半开半闭区间，也可适当减小最小值和加大最大值以保证组距相等。 （4）列频数分布表（唱票法）。 （5）画频数分布直方图。

［例题］ 1. 某校九年级一班在体育考试中，全班所有学生得分的情况如下表所示：

分数段 18分以下 18～20分 21～23分 24～26分 27～29分 30分 人数 2 3 12 20 18 10 那么该班共有________人，得分在27～30分之间人数的频率是________，从上表中，你能获取的信息是________________________。（写出一个即可）

28 答案：65；65；18分以下的人最少

2. 某班50名学生在一次数学考试中，分数在90～100分的频率是0.16，则该班在这个分数段的人数是____________。 答案：8人

3. 某同学抛掷硬币50次，得到的结果制作统计图如图所示，则这50次抛硬币中，正面朝上的频率是（ ）

A. 0.44 B. 0.56 C. 0.22 D. 0.28 答案：A

4. 未成年人思想道德建设越来越受到社会的关注。某青少年研究所随机调查了该市某校100名学生寒假中所花零花钱的钱数（钱数取整元数），以便引导学生树立正确的消费观，根据调查数据制成了频率分布表和频率分布直方图（如图）。 分组 0.5～50.5 50.5～_____ 100.5～150.5 _____～200.5 200.5～250.5 250.5～300.5 合计 频数 _____ 20 _____ 30 10 5 100 频率 0.1 0.2 _____ 0.3 0.1 0.05 _____ - 26 -

（1）补全频率分布表；

（2）在频率分布直方图中，长方形ABCD的面积是__________，这次调查的样本容量是__________；

（3）研究所认为，应对消费150元以上的学生提出勤俭节约的建议，试估计应对该校1000名学生中约多少名学生提出这项建议？ 答案：（1）

分组 0.5～50.5 50.5～100.5 100.5～150.5 150.5～200.5 200.5～250.5 250.5～300.5 合计 频数 10 20 25 30 10 5 100 频率 0.1 0.2 0.25 0.3 0.1 0.05 1

（2）0.25；100 （3）10000.30.10.0510000.45450（名） （三）方差：各个数据与平均数之差的平方的平均数，即

S21nx1xx2x„xnx2222

其中，x是x1，x2，„xn的平均数，S是方差。

标准差就是方差的算术平方根。

［例题］ 1. 一组数1，2，3，4，5的方差是________。 答案：2 提示：

x3，S2152210122222

平均数 135 135 2. 甲、乙两班举行电脑汉字输入速度的比赛，参赛学生每分钟输入汉字的个数经统计计算后填入下表：

班级 甲 乙 参加人数 55 55 中位数 149 151 方差 19 11 某同学根据此表分析得出如下结论：（1）甲、乙两班学生成绩的平均水平相同；（2）乙班优秀人数多于甲班优秀人数（每分钟输入汉字≥150个为优秀）；（3）甲班成绩的波动情况比乙班成绩的波动大。上述结论中正确的是（ ）

A. （1）（2）（3） B. （1）（2） C. （1）（3）D. （2）（3） 答案：A 3. 甲、乙两人在同样的条件下练习射击，每人打5发子弹，命中环数如下： 甲：6，8，9，9，8；乙：10，7，7，7，9则两人射击成绩稳定程度关系是（ ） A. 甲比乙稳定 B. 乙比甲稳定 C. 甲、乙稳定程度相同 D. 无法比较

- 27 -

答案：A 提示：

S乙2x甲8，x乙822

2S甲215228201102265

152111125

S甲2S乙，甲稳定2

一、选择题：

1. 某中学举行的一次运动会上，参加男子跳高决赛的12名运动员的成绩如下所示： 成绩（单位：数） 1.60 人数 1 1.65 3 1.70 2 1.75 4 1.80 1 1.85 1 这12名运动员决赛成绩的众数、中位数依次是（ ）

A. 1.75米，1.70米 B. 1.70米，1.75米 C. 1.75米，1.725米 D. 1.725米，1.75米

2. 在某次数学测验中，随机抽取了10份试卷，其成绩如下： 85，81，89，81，72，82，77，81，79，83 则这组数据的众数，平均数与中位数分别为（ ） A. 81，82，81 B. 81，81，76.5 C. 83，81，77 3. 甲、乙两位同学一起研究这样一道物理题：

“将m1克温度为t1的冷水与m2克（m1≠m2）温度为t2的热水混合，如果不计热量损

tt1t22 D. 81，81，81

失，求混合后的温水温度t。”甲根据平均数的知识想

tm1t1m2t2，乙根据加权平均数的

m1m2知识猜想，可以断定（ ）

A. 甲的猜想正确，乙的猜想不正确 B. 甲的猜想不正确，乙的猜想正确

C. 甲、乙二人的猜想都正确 D. 甲、乙二人的猜想都不正确

4. 甲、乙、丙、丁四支足球队在世界杯预选赛中进球数分别为，9，9，x，7。若这组数据的众数与平均数恰好相等，则这组数据的中位数为（ ） A. 10 （ ）

A. 这一批灯管是总体 B. 10只灯管是总体的一个样本 C. 每只灯管是个体 D. 10只灯管的使用寿命是总体的一个样本 6. 已知样本为101，98，102，100，99，则样本方差为（ ） A. 2

B. 2

C. 0

D. 1

B. 9

C. 8

D. 7

5. 为了检查一批灯管的使用寿命，从中抽取了10只进行检测，以下说法正确的是

7. 已知甲、乙两名学生在一年里数学学科平均分相等，但他们的方差不等，正确评价他们的学习情况是（ ）

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A. 因为他们的平均分相等，所以学习水平一样

B. 成绩虽然一样，方差较大的，说明潜力大，学习态度踏实 C. 表面上看这两位同学平均成绩一样，但方差小的学习成绩稳定

D. 平均分相等，方差不等，说明学习水平不一样，方差较小的同学，学习成绩不稳定，忽高忽低

8. 为了了解一批数据在各个范围内所占的比例大小，将这批数据分组，落在各小组里的数据个数叫做（ ） A. 频率 A. 1、n

B. 样本 C. 频数

D. 频数累计

D. 1、1

9. 在对n个数据进行分组整理的过程中，各组频数之和与频率之和等于（ ）

B. n、1 C. n、n

10. 某校有500名学生参加毕业会考，其数学成绩在90分～100分之间的共有180人，则这个分数段的频率为（ ） A. 180 样本的（ ） A. 平均数

B. 方差 C. 标准差

D. 频数分布

12. 如果将所给一组数据的每一个数都减去同一个常数，这组数（ ）

A. 平均数与方差都改变 B. 平均数改变，方差不变 C. 平均数不变，方差改变 D. 平均数与方差都不变 二、填空题

13. 计算样本8，9，10，1，12的平均数是__________，方差是__________，标准差是__________。 14. 已知一个样本方差为__________。

2 15. 已知x1，x2，x3的平均数x10，方差S2，那么x11，x21，x31的

B. 500 C. 0.18 D. 0.36

11. 要了解某市初三学生的身高在某一范围内的学生所占比例有多少，需要知道相应

S21n[(x18)(x28)„(xn8)]222，则这个样本的平均数

平均数是__________，方差是__________。

16. 一组数据中的__________差、__________差、__________差都可以反映它的稳定（离散）程度。

17. 已知在一次选举班长的投票中，45名同学中有35名同学同意李强同学当班长，这个事件中，频数是__________，频率是__________。

18. 一组数据的最大值与最小值的差（极差）为23，如果确定组距为4，则这组数据应分为__________组。

19. 某商店三、四月份出售同一品牌各种规格的空调销售台数如下表，根据表中数据回答：

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规格 台数 月份 三月 四月 12台 16台 20台 30台 8台 14台 4台 8台 1匹 1.2匹 1.5匹 2匹

（1）商店平均每月销售空调___________（台）；（2）商店出售的各种规格的空调中，众数是_______（匹）；

（3）在研究六月份进货时，商店经理决定_________（匹）的空调要多进；___（匹）的空调要少进。 三、解答题

20. 为了从甲、乙两名学生中选拔一人参加射击比赛，对他们的射击水平进行了检测，两人在相同的条件下各射击10发子弹，命中的环数如下：

甲：7，8，6，8，6，5，9，10，7，4 乙：9，5，7，8，7，6，8，6，7，7 现在假如你是一名教练，请你设计一个较为合理的选拔方案。

21. 为了加强市区交通秩序管理，交警部门在十字路口安装了红绿灯实行交通管制，以下数据是某十字路口处，十个相同的时间段（即绿灯亮一次的持续时间，红、绿灯间隔40秒）内南北方向机动车辆通过的数据：15、22、15、17、18、15、19、15、20、14。求：（1）该组数据的众数和中位数各是多少？ （2）试估计1小时内南北方向通过该路口的车辆有多少？

22. 育才学校方便学生中午在校就餐，与某饮食服务公司联系为学生供应价格不等的6种盒饭（每人只限一份）。如图是某一天销售情况统计图，条形根上的百分数是销售该

种盒饭占总销售量的百分数，如果这一天销售了150份盒饭。（1）试求出这一天学生购买盒饭所付费的平均数和中位数。

（2）如果饮食公司加工各种盒饭的成本如下表所示，这一天的销售中，饮食公司赢利多少元？ 单价（元） 成本（元） 2 1.8 3 2.4 4 3 5 3.8 6 4.2 7 4.5 23. 某校抽检64个学生的体重如下，（单位：kg） 38 32 39 40 35 45 37 38 40 29 39 41 37 42 39 34 36 39 33 42 36 44 33 29 40 35 39 37 46 39 31 39 36 42 38 41 36 44 38 34 38 38 41 39 39 34 36 48 30 31 37 42 42 45 34 33 48 43 41 35 39 44 43 44列出频数分布表，画出频数分布直方图。

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