高三数学一轮专题训练：1 集合与 函数
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。满分150分。考试时间120分钟。 第一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项
中，只有一项是符合题目要求的．)
1．已知集合M＝{－1,0,1}，N＝{x|x＝ab，a，b∈M且a≠b}，则集合M与集合N的关系是( )
A．M＝N B．MN C．NM
D．M∩N＝∅
2．已知全集U＝R，集合A＝{x|x2－2x－3>0}，B＝{x|2 D．[1，＋∞) 3．函数f(x)＝log1 2x－x的一个零点落在下列哪个区间( ) A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4) 4.已知a是函数f(x)＝2x－log1 2x的零点，若0 C．f(x0)>0 D．f(x0)的符号不确定 4．函数f(x)＝－x＋3a， x<0 ax， x≥0 (a>0且a≠1)是R上的减函数，则a的取值范围是( A．(0,1) B．[1 3，1) C．(0，1 3 ] D．(0，2 3 ] .若函数f(x)＝|x|(x－b)在[0,2]上是减函数，则实数b的取值范围是( ) A．(－∞，4] B ．(－∞，2] C．[2，＋∞) D．[4，＋∞) 5．函数f(x)＝log2(3x＋1)的值域为( ) A．(0，＋∞) B．[0，＋∞) C．(1，＋∞) D．[1，＋∞) 函数y＝16－4x的值域是( ) 第 1 页 共 15 页 ) A．[0，＋∞) B．[0,4] C．[0,4) D．(0,4) 1m 6．若关于x的方程logx＝在区间(0,1)上有解，则实数m的取值范围是( ) 21－mA．(0,1) C．(－∞，1)∪(2，＋∞) B．(1,2) D．(－∞，0)∪(1，＋∞) 10.3111 7．设a＝log2，b＝log，c＝2，则( ) 323A．a＜b＜c C．b＜c＜a B．a＜c＜b D．b＜a＜c 8．设函数f(x)定义在实数集上，它的图象关于直线x＝1对称，且当x≥1时，f(x)＝3x －1，则有( ) 132A．f3 9．定义某种运算S＝a⊗b，运算原理如框图所示，则式子2⊗lne＋2⊗3的值为( ) A．13 C．8 B．11 D．4 fx＋f－x10设偶函数f(x)在(0，＋∞)上为减函数，且f(2)＝0，则不等式>0的解集为 x( ) A．(－2,0)∪(2，＋∞) C．(－∞，－2)∪(2，＋∞) B．(－∞，－2)∪(0,2) D．(－2,0)∪(0,2) 11．已知函数f(x)＝loga(x＋b)的大致图象如图，其中a、b为常数，则函数g(x)＝ax＋b的大致图象是( ) 第 2 页 共 15 页 若指数函数f(x)＝ax(a>0，a≠1)图象上的任意一点P(x0，y0)处的导数都大于零，则函数xax y＝的图象的大致形状是( ) |x| 12．已知函数f(x)＝x2－4x＋3，集合M＝{(x，y)|f(x)＋f(y)≤0}，集合N＝{(x，y)|f(x)－f(y)≥0}，则集合M∩N的面积是( ) π A. 4C．π π B. 2D．2π 第 3 页 共 15 页 第Ⅱ 二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上．) 13．已知函数f(x)对任意实数x都有f(x＋3)＝－f(x)，又f(4)＝－2，则f()＝________. 14．已知f(x)＝logax，(a>0且a≠1)满足f(9)＝2，则f(3a)＝________. 函数y＝ax1(a>0，且a≠1)的图象恒过定点A，若点A在一次函数y＝mx＋n的图象上， － 11 其中m，n>0，则＋的最小值为________． mn Fn，2 15．定义：F(x，y)＝yx(x>0，y>0)，已知数列{an}满足：an＝(n∈N*)，若对任意 F2，n正整数n，都有an≥ak(k∈N*，k为常数)成立，则ak的值为________． 16．用二分法求方程x3－2x－5＝0在区间[2,3]上的近似解，取区间中点x0＝2.5，那么下一个有解区间为________． (理)设函数f(x)＝|x|x＋bx＋c，给出下列4个命题： ①b＝0，c>0时，方程f(x)＝0只有一个实数根； ②c＝0时，y＝f(x)是奇函数； ③y＝f(x)的图象关于点(0，c)对称； ④函数f(x)至多有2个零点． 上述命题中的所有正确命题的序号是________． 三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．) 17．(本小题满分12分已知集合A＝{x|x2－2x－3≤0，x∈R}，B＝{x|x2－2mx＋m2－4≤0，x∈R，m∈R}． (1)若A∩B＝[0,3]，求实数m的值； (2)若A⊆∁RB，求实数m的取值范围． x－2x－a2－2已知全集U＝R，非空集合A＝{x|<0}，B＝{x|<0}． x－3a＋1x－a1 (1)当a＝时，求(∁UB)∩A； 2 (2)命题p：x∈A，命题q：x∈B，若q是p的必要条件，求实数a的取值范围． 18．(本小题满分12分)(已知函数f(x)＝exk－x，(x∈R) － (1)当k＝0时，若函数g(x)＝ 1 的定义域是R，求实数m的取值范围； fx＋m (2)试判断当k>1时，函数f(x)在(k,2k)内是否存在零点． 19．(本小题满分12分)(·山东高青一中模拟)已知关于x的二次函数f(x)＝ax2－4bx＋1. 第 4 页 共 15 页 (1)已知集合P＝{－1,1,2,3,4,5}，Q＝{－2，－1,1,2,3,4}，分别从集合P和Q中随机取一个数作为a和b，求函数y＝f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数的概率； x＋y－8≤0 (2)在区域x>0内随机任取一点(a，b)．求函数y＝f(x)在区间[1，＋∞)上是增 y>0函数的概率． 20．(本小题满分12分)(·广东省中山市四校联考)“5·12”汶川大地震是华人心中永远的痛！在灾后重建中拟在矩形区域ABCD内建一矩形(与原方位一样)的汶川人民纪念广场(如图)，另外△AEF内部有一废墟作为文物保护区不能占用，经测量AB＝100m，BC＝80m，AE＝30m，AF＝20m，如何设计才能使广场面积最大？ 21．(本小题满分12分)某机床厂2007年年初用98万元购进一台数控机床，并立即投入生产使用，第一年的维修保养费用为12万元，从第二年开始，每年所需维修保养费用比上一年增加4万元，该机床使用后，每年的总收入为50万元，设使用x年后数控机床的盈利额为y万元． (1)写出y与x之间的函数关系式； (2)从第几年开始，该机床开始盈利(盈利额为正值)； (3)使用若干年后，对机床的处理方案有两种：①当年平均盈利额达到最大值时，以30万元价格处理该机床；②当盈利额达到最大值时，以12万元价格处理该机床． 问用哪种方案处理较为合理？请说明你的理由． 1－mx 22．(本小题满分12分)(文)已知函数f(x)＝loga(a>0，且a≠1)的图象关于原点对 x－1称． (1)求m的值； (2)判断f(x)在(1，＋∞)上的单调性，并利用定义证明 1 设函数f(x)是定义在[－1,0)∪(0,1]上的奇函数，当x∈[－1,0)时，f(x)＝2ax＋2(a∈R)． x(1)求函数f(x)的解析式； (2)若a>－1，试判断f(x)在(0,1]上的单调性； (3)是否存在实数a，使得当x∈(0,1]时，f(x)有最大值－6. 第 5 页 共 15 页 详解答案 1[答案] C [解析] ∵a、b∈M且a≠b，∴a＝－1时，b＝0或1，x＝0或－1；a＝0时，无论b取何值，都有x＝0；a＝1时，b＝－1或0，x＝－1或0.综上知N＝{0，－1}，∴NM. [点评] 给出集合，考查集合运算的理解运用是考查集合的主要命题方式． 2（文）[答案] C [解析] A＝{x|x<－1或x>3}，∁UA＝{x|－1≤x≤3}， (∁UA)∩B＝{x|2 11 [解析] ∵f(1)·f(2)＝－1×＝－<0，∴选B. 223（理）[答案] B [解析] ∵函数f(x)＝2x＋log2x在(0，＋∞)上单调递增，且这个函数有零点，∴这个零点是唯一的，根据函数的单调递增性知，在(0，a)上这个函数的函数值小于零，即f(x0)<0. [点评] 在定义域上单调的函数如果有零点，则只能有唯一的零点，并且以这个零点为分界点把定义域分成两个区间，在其中一个区间内函数值都大于零，在另一个区间内函数值都小于零． 4（文）[答案] B [解析] f(x)在R上单调递减， 0 33a≥1. 4（理）[答案] D 2 x x≥0 [解析] 排除法，b＝0时，f(x)＝|x|·x＝2，在[0,2]上不是减函数，排除A、 －x x<02 x－2x x≥0 B；b＝2时，f(x)＝|x|(x－2)＝2在[0,2]上不是减函数，排除C，故选D. －x＋2x x<0 5（文）[答案] A [解析] 3x>0⇒3x＋1>1⇒log2(3x＋1)>log21＝0，选A. 5（理）[答案] C [解析] 令u＝16－4x，则y＝u，u≥0， 第 6 页 共 15 页 因为4x>0，－4x<0，所以0≤16－4x<16 ∴y＝u∈[0,4)，故选C. 6[答案] A [分析] 要使方程有解，只要 m1m在函数y＝logx(0 1 [解析] ∵x∈(0,1)，∴logx>0， 2∴ m >0，∴0 11 [解析] ∵log2 ∵log>log＝1，∴b>1； 232210.3 ∵2<1，∴0 11 ，则logx1＋logx2＋„＋logx＝log(x1×x2ׄ×x)＝log＝－1，故选B. 201120118[答案] B [解析] ∵f(x)的图象关于直线x＝1对称，x≥1时，f(x)＝3x－1为增函数，故当x<1时，311111223112 1＋＝f1－＝f，∵<<，∴f>f>f，即f ab＋1，a≥b， [解析] 由框图知S＝a⊗b＝ ba＋1，a ∵lne＝1，3＝3，∴2⊗lne＝2⊗1＝2×(1＋1)＝4， 1－12⊗3＝2⊗3＝3×(2＋1)＝9， 1－1∴2⊗lne＋2⊗3＝13，故选A. 10[答案] B [解析] ∵f(x)在(0，＋∞)上为减函数，且f(2)＝0， 第 7 页 共 15 页 fx＋f－xfx ∴0 xx x>0x<0 ∴或，∴0 11（文）[答案] B [解析] 由图象可知，f(x)为减函数且0 11（理）[答案] C ax，x>0xax [解析] 由题可知，f(x)＝a是单调递增函数，所以a>1，又因为y＝＝x， |x|－a，x<0 x 画图知其图象的大致形状为C. [点评] 考查指对函数的图象与性质是常见命题方式，解答此类问题关键是准确把握指数函数y＝ax与对数函数y＝logax的基本性质与图象特征，再结合平移等其他知识综合考察后作出判断，请再练习下题： 练习;(·辽宁沈阳二中阶段检测)若函数f(x)＝kax－ax(a>0且a≠1)在(－∞，＋∞)上是单 － 调递增的奇函数，则g(x)＝loga(x＋k)的图象是( ) [答案] C [分析] 先根据函数f(x)＝kax－ax(a>0且a≠1)是奇函数确定k值，再根据其单调性确 － 定a值的范围，然后按照函数图象的变换方法进行判断． [解析] ∵函数f(x)＝kax－ax(a>0且a≠1)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)对于任意x∈R恒 － 成立，即kax－ax＝ax－kax对于任意x∈R恒成立，即(k－1)(ax＋ax)＝0对于任意x∈R恒 － － － 成立，故只能是k＝1，此时函数f(x)＝ax－ax，由于这个函数单调递增，故只能是a>1.函数 － g(x)＝loga(x＋1)的图象是把函数y＝logax的图象沿x轴左移一个单位得到的，故正确选项为C. [点评] 本题可以利用奇函数在x＝0处有定义时，f(0)＝0直接求出k值． 12[答案] C 第 8 页 共 15 页 [解析] 由题意得f(x)＋f(y)＝x2－4x＋3＋y2－4y＋3＝(x－2)2＋(y－2)2－2，故集合M＝{(x，y)|(x－2)2＋(y－2)2≤2}，同理可得集合N＝{(x，y)|(x－2)2－(y－2)2≥0}，则集合M∩N11 所描述的图形为如图阴影部分．可求得S＝2×r2α＝2× 22π ×(2)2×＝π. 2 13[答案] 2 [解析] ∵f(x＋3)＝－f(x)，∴f(x＋6)＝f(x)， ∴f(x)的周期为6， ∵＝6×335＋1，∴f()＝f(1)＝－f(4)＝2. 14(文)[答案] 3 [解析] ∵f(9)＝2，∴loga9＝2，∴a＝3，∴f(3a)＝log33a＝a＝3. 14（理）[答案] 4 [解析] 当x＝1时，y＝a11＝1，∴A(1,1)，由题意知，m＋n＝1，m>0，n>0， － 1111nm＋(m＋n)＝2＋＋ ∴＋＝mnmnmn≥2＋2nm1 ·＝4等号在m＝n＝时成立， mn2 11 ∴＋的最小值为4. mn8 15[答案] 9 2n [解析] 由F(x，y)的定义知，an＝2(n∈N*)．∵对任意正整数n，都有an≥ak成立，∴ n8 ak为数列{an}中的最小项，由指数函数与幂函数的增大速度及a1＝2，a2＝1，a3＝，a4＝1 98 知，当a>4时，恒有an>1，∴对∀n∈N*，有an≥a3＝成立． 9 16（文 ）[答案] [2,2.5] 45 [解析] 令f(x)＝x3－2x－5，∵f(2)＝－1<0，f(2.5)＝>0，∴f(x)在区间[2,2.5]内有零点． 816（理）[答案] ①②③ [解析] 当b＝0时，f(x)＝x|x|＋c＝0，结合图形知f(x)＝0只有一个实数根，故①正确；当c＝0时，f(x)＝x|x|＋bx，f(－x)＝－f(x)，故y＝f(x)是奇函数，故②正确；y＝f(x)的图象可由奇函数f(x)＝x|x|＋bx向上或向下平移|c|而得到，y＝f(x)的图象与y轴交点为(0，c)，故函数y＝f(x)的图象关于点(0，c)对称，故③正确；方程|x|x－5x＋6＝0有三个解－6、2、3，即三个零点，故④错误． 第 9 页 共 15 页 17（文）[解析] A＝{x|－1≤x≤3} B＝{x|m－2≤x≤m＋2}． (1)∵A∩B＝[0,3]， m－2＝0m＝2∴，，∴m＝2. m＋2≥3m≥1 (2)∁RB＝{x|x 9 x－4x－21519 17（理）[解析] (1)当a＝时，A＝{x|<0}＝{x|2 x－x－22195 ∴(∁UB)∩A＝{x|x≤或x≥}∩{x|2 ＝{x|≤x<}． 42 (2)若q是p的必要条件，即p⇒q，可知A⊆B， 由a2＋2>a，得B＝{x|a 3A＝{x|2 1 当3a＋1＝2，即a＝时， 3A＝∅，符合题意； 1 当3a＋1<2，即a<时， 3A＝{x|3a＋1 223a＋2≥2 13－5 综上，a∈[－，]． 22 18（文）[解析] (1)当k＝0时，f(x)＝ex－x，f ′(x)＝ex－1， 令f ′(x)＝0得，x＝0，当x<0时f ′(x)<0，当x>0时，f ′(x)>0， ∴f(x)在(－∞，0)上单调减，在[0，＋∞)上单调增． ∴f(x)min＝f(0)＝1， ∵对∀x∈R，f(x)≥1，∴f(x)－1≥0恒成立， 第 10 页 共 15 页 ∴欲使g(x)定义域为R，应有m>－1. (2)当k>1时，f(x)＝exk－x，f ′(x)＝exk－1>0在(k,2k)上恒成立． － － ∴f(x)在(k,2k)上单调增． 又f(k)＝ekk－k＝1－k<0， － f(2k)＝e2kk－2k＝ek－2k，令h(k)＝ek－2k， － ∵h′(k)＝ek－2>0，∴h(k)在k>1时单调增， ∴h(k)>e－2>0，即f(2k)>0， ∴由零点存在定理知，函数f(x)在(k,2k)内存在零点． (理)(·厦门三中阶段测试)已知f(x)＝lnx＋x2－bx. (1)若函数f(x)在其定义域内是增函数，求b的取值范围； (2)当b＝－1时，设g(x)＝f(x)－2x2，求证函数g(x)只有一个零点． 18（理）[解析] (1)∵f(x)在(0，＋∞)上递增， 1 ∴f ′(x)＝＋2x－b≥0，对x∈(0，＋∞)恒成立， x1 即b≤＋2x对x∈(0，＋∞)恒成立， x1 ＋2xmin， ∴只需b≤x 12 ∵x>0，∴＋2x≥22，当且仅当x＝时取“＝”， x2∴b≤22， ∴b的取值范围为(－∞，22]． (2)当b＝－1时，g(x)＝f(x)－2x2＝lnx－x2＋x，其定义域是(0，＋∞)， 1 ∴g′(x)＝－2x＋1 x 2x2－x－1x－12x＋1＝－＝－， xx2x＋1x－1 令g′(x)＝0，即－＝0， x∵x>0，∴x＝1， 当0 ∴函数g(x)在区间(0,1)上单调递增，在区间(1，＋∞)上单调递减， ∴当x≠1时，g(x) ∴函数f(x)＝ax2－4bx＋1的图象的对称轴为x＝， a 第 11 页 共 15 页 要使f(x)＝ax2－4bx＋1在区间[1，＋∞)上为增函数， 2b 当且仅当a>0且≤1，即2b≤a. a若a＝1，则b＝－2，－1； 若a＝2，则b＝－2，－1,1； 若a＝3，则b＝－2，－1,1； 若a＝4，则b＝－2，－1,1,2； 若a＝5，则b＝－2，－1,1,2. 所求事件包含基本事件的个数是2＋3＋3＋4＋4＝16. 164 ∴所求事件的概率为＝. 369 (2)由条件知a>0，∴同(1)可知当且仅当2b≤a且a>0时， 函数f(x)＝ax2－4bx＋1在区间[1，＋∞)上为增函数， 依条件可知试验的全部结果所构成的区域 a＋b－8≤0 a，b|a>0，为△OAB，所求事件构成区域为如图阴影部分． b>0 a＋b－8＝0168 ，， 由得交点D33a－2b＝0. 18×8×231 ∴所求事件的概率为P＝＝. 13×8×82 x 20[解析] 建立如图所示的直角坐标系，则E(30,0)，F(0,20)，∴线段EF的方程是＋ 30y ＝1(0≤x≤30) 20 在线段EF上取点P(m，n)，作PQ⊥BC于点Q，PR⊥CD于点R，设矩形PQCR的面积为S， 则S＝|PQ|·|PR|＝(100－m)(80－n) mmn 1－， 又∵＋＝1(0≤m≤30)，∴n＝20303020 第 12 页 共 15 页 2m 80－20＋ ∴S＝(100－m)3218050 ＝－(m－5)2＋(0≤m≤30) 33 |EP|30－55∴当m＝5m时，S有最大值，此时＝＝. |PF|51 故当矩形广场的两边在BC、CD上，一个顶点在线段EF上，且这个顶点分EF成51时，广场的面积最大． 21[解析] (1)y＝50x－[12x＋＝－2x2＋40x－98.(x∈N*) (2)解不等式－2x2＋40x－98>0得， 10－51 98y98 2x＋≤40－22×98＝12， (3)①∵＝－2x＋40－＝40－xxx98 当且仅当2x＝，即x＝7时，等号成立． x ∴到2014年，年平均盈利额达到最大值，机床厂可获利12×7＋30＝114万元． ②y＝－2x2＋40x－98＝－2(x－10)2＋102， 当x＝10时，ymax＝102. 故到2017年，盈利额达到最大值，机床厂可获利102＋12＝114万元． 因为两种方案机床厂获利总额相同，而方案①所用时间较短，故方案①比较合理． 22（文）[解析] (1)∵f(x)的图象关于原点对称， ∴f(－x)＝－f(x)， 1＋mxx－1∴loga＝loga，∴1－m2x2＝1－x2， －x－11－mx∴(m2－1)x2＝0， 此式对定义域内任意x都成立，∴m2－1＝0， 显然m＝1不成立，∴m＝－1. (2)f(x)＝loga x＋1 ， x－1 xx－1 ×4]－98 2 当a>1时，f(x)在(1，＋∞)上单调递减； 当0 x1＋1x2＋12x2－x1 －＝>0， x1－1x2－1x1－1x2－1∴ x1＋1x2＋1 >>0. x1－1x2－1 x1＋1x2＋1 当a>1时，loga>loga，即f(x1)>f(x2)， x1－1x2－1∴f(x)在(1，＋∞)上单调递减． x1＋1x2＋1 当0 即f(x1) x ∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x) 1 ∴当x∈(0,1]时，f(x)＝2ax－2， x ∴f(x)＝1 2ax＋x x∈[－1，0 21 2ax－2 x∈0，1] x . 12 a＋3， (2)当x∈(0,1]时，∵f ′(x)＝2a＋3＝2xx1 ∵a>－1，x∈(0,1]，∴a＋3>0. x即f ′(x)>0. ∴f(x)在(0,1]上是单调递增函数． (3)当a>－1时，f(x)在(0,1]上单调递增．f(x)max＝f(1)＝2a－1＝－6， 5 ∴a＝－(不合题意，舍去)， 2 31当a≤－1时，由f ′(x)＝0得，x＝－. a如下表可知fmax(x)＝f x f ′(x) f(x) 第 14 页 共 15 页 31 ＝－6，解出a＝－22. －a31－，＋∞ a－ 3－∞，－1 a＋ 31－ a0 极大值 此时x＝ 2∈(0,1) 2 ∴存在a＝－22，使f(x)在(0,1]上有最大值－6. 第 15 页 共 15 页 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容