洛南县第二中学校2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

洛南县第二中学校2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

班级__________ 姓名__________ 分数__________

一、选择题

1． “互联网”时代，倡导读书称为一种生活方式，调查机构为了解某小区老、中、青三个年龄阶 段的阅读情况，拟采用分层抽样的方法从该小区三个年龄阶段的人群中抽取一个容量为50的样本进行调 查，已知该小区有老年人600人，中年人600人，青年人800人，则应从青年人抽取的人数为（ ） A．10 B．20 C．30 D．40 2． 已知抛物线C：y24x的焦点为F，定点A(0,2)，若射线FA与抛物线C交于点M，与抛 物线C的准线交于点N，则|MN|:|FN|的值是（ ）

A．(52):5 B．2:5 C．1:25 D．5:(15)

3． 已知a(2,1)，b(k,3)，c(1,2)c(k,2)，若(a2b)c，则|b|（ ）

A．35 B．32 C．25 D．10 【命题意图】本题考查平面向量的坐标运算、数量积与模等基础知识，意在考查转化思想、方程思想、逻辑思维能力与计算能力．

4． 设全集U={1，2，3，4，5}，集合A={2，3，4}，B={2，5}，则B∪（∁UA）=（ ） A．{5} B．{1，2，5} 5． “

C．{1，2，3，4，5} D．∅

”是“A=30°”的（ ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件

D．既不充分也必要条件

''6． 函数f(x)在定义域R上的导函数是f(x)，若f(x)f(2x)，且当x(,1)时，(x1)f(x)0，

设af(0)，bf(2)，cf(log28)，则（ ）

A．abc B．abc C．cab D．acb

7． 如图所示是一样本的频率分布直方图，则由图形中的数据，可以估计众数与中位数分别为（ ）

A．10 13 B．12.5 12 C．12.5 13 D．10 15

8． 已知f（x）是定义在R上周期为2的奇函数，当x∈（0，1）时，f（x）=3x﹣1，则f（log35）=（ ）

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A． B．﹣ C．4 D．

9． 已知函数f（x）是R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=x3﹣2x2，则x＜0时，函数f（x）的表达式为f（x）=（ ） A．x3+2x2

B．x3﹣2x2 C．﹣x3+2x2 D．﹣x3﹣2x2

10．已知函数，，若，则（ ）

A1 B2 C3 D-1

11．下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）

x22A、f(x)x与f(x) B、f(x)x1 与f(x)(x1)

x C、f(x)x与

f(x)3x3 D、f(x)x与f(x)(x)2

+

取得最小值时，实数a的值是（ ）

12．设a，b∈R且a+b=3，b＞0，则当A．

B．

C．

或 D．3

二、填空题

13．计算sin43°cos13°﹣cos43°sin13°的值为 ．

14．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x4)f(x)，且x(0,2)15．运行如图所示的程序框图后，输出的结果是

7)的值为 ▲ ．时f(x)x21，则f(

2216．设集合 Ax|2x7x150,Bx|xaxb0,满足

AB,ABx|5x2,求实数a__________.

17．设p：实数x满足不等式x2﹣4ax+3a2＜0（a＜0），q：实数x满足不等式x2﹣x﹣6≤0，已知￢p是￢q的必要非充分条件，则实数a的取值范围是 ．

18．若命题“∃x∈R，x2﹣2x+m≤0”是假命题，则m的取值范围是 ．

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三、解答题

19．已知函数f（x）=cosx（sinx+cosx）﹣． （1）若0＜α＜

，且sinα=

，求f（α）的值；

（2）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间．

20．如图，已知椭圆C

，点B坐标为（0，﹣1），过点B的直线与椭圆C的另外一个交

点为A，且线段AB的中点E在直线y=x上． （1）求直线AB的方程；

（2）若点P为椭圆C上异于A，B的任意一点，直线AP，BP分别交直线y=x于点M，N，直线BM交椭圆C于另外一点Q． ①证明：OM•ON为定值； ②证明：A、Q、N三点共线．

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21．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=，AC=3，BC=2，P是△ABC内一点．

（1）若P是等腰三角形PBC的直角顶角，求PA的长； （2）若∠BPC=

，设∠PCB=θ，求△PBC的面积S（θ）的解析式，并求S（θ）的最大值．

22．某校高一数学兴趣小组开展竞赛前摸底考试．甲、乙两人参加了5次考试，成绩如下： 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 甲的成绩 乙的成绩 82 75 87 90 86 91 80 74 90 95 （Ⅰ）若从甲、乙两人中选出1人参加比赛，你认为选谁合适？写出你认为合适的人选并说明理由； （Ⅱ）若同一次考试成绩之差的绝对值不超过5分，则称该次考试两人“水平相当”．由上述5次摸底考试成绩统计，任意抽查两次摸底考试，求恰有一次摸底考试两人“水平相当”的概率．

23．已知、、是三个平面，且c，a，b，且abO．求证：、

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、三线共点．

24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数f(x)xa(aR).

（1）当a1时，解不等式f(x)2x11；

（2）当x(2,1)时，x12xa1f(x)，求的取值范围.

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洛南县第二中学校2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案） 一、选择题

1． 【答案】B 【解析】

试题分析：设从青年人抽取的人数为x,考点：分层抽样． 2． 【答案】D 【解析】

x800,x20，故选B． 50600600800

考点：1、抛物线的定义； 2、抛物线的简单性质.

【 方法点睛】本题主要考查抛物线的定义和抛物线的简单性质，属于难题.与焦点、准线有关的问题一般情况下都与拋物线的定义有关，解决这类问题一定要注意点到点的距离与点到直线的距离的转化：（1）将抛物线上的点到准线距转化为该点到焦点的距离；（2）将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，使问题得到解决.本题就是将M到焦点的距离转化为到准线的距离后进行解答的. 3． 【答案】A 【

解

析

】

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4． 【答案】B

【解析】解：∵CUA={1，5}

∴B∪（∁UA）={2，5}∪{1，5}={1，2，5}． 故选B．

5． 【答案】B 【解析】解：“A=30°”⇒“故选B

【点评】本题考查充要条件的判断和三角函数求值问题，属基本题．

6． 【答案】C 【解析】

”，反之不成立．

考点：函数的对称性，导数与单调性．

可或缺的重要一环，因此掌握函数的图象的性质是我们在平常学习中要重点注意的，如函数f(x)满足：

【名师点睛】函数的图象是研究函数性质的一个重要工具，通过函数的图象研究问题是数形结合思想应用的不

f(ax)f(ax)或f(x)f(2ax)，则其图象关于直线xa对称，如满足f(2mx)2nf(x)，

则其图象关于点(m,n)对称．

7． 【答案】C

【解析】解：众数是频率分布直方图中最高矩形的底边中点的横坐标， ∴中间的一个矩形最高，故10与15的中点是12.5，众数是12.5

而中位数是把频率分布直方图分成两个面积相等部分的平行于Y轴的直线横坐标 第一个矩形的面积是0.2，第三个矩形的面积是0.3，故将第二个矩形分成3：2即可 ∴中位数是13

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故选：C．

【点评】用样本估计总体，是研究统计问题的一个基本思想方法．频率分布直方图中小长方形的面积=组距×

，各个矩形面积之和等于1，能根据直方图求众数和中位数，属于常规题型．

8． 【答案】B

【解析】解：∵f（x）是定义在R上周期为2的奇函数， ∴f（log35）=f（log35﹣2）=f（log3），

x

∵x∈（0，1）时，f（x）=3﹣1

∴f（log3）═﹣ 故选：B

9． 【答案】A

【解析】解：设x＜0时，则﹣x＞0，

323232

因为当x＞0时，f（x）=x﹣2x所以f（﹣x）=（﹣x）﹣2（﹣x）=﹣x﹣2x，

又因为f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（﹣x）=﹣f（x），

32

所以当x＜0时，函数f（x）的表达式为f（x）=x+2x，故选A．

10．【答案】A

【解析】g（1）=a﹣1， 若f[g（1）]=1， 则f（a﹣1）=1， 即5|a﹣1|=1，则|a﹣1|=0， 解得a=1 11．【答案】C 【解析】

试题分析：如果两个函数为同一函数，必须满足以下两点：①定义域相同，②对应法则相同。

选项A中两个函数定义域不同，选项B中两个函数对应法则不同，选项D中两个函数定义域不同。故选C。 考点：同一函数的判定。 12．【答案】C

【解析】解：∵a+b=3，b＞0， ∴b=3﹣a＞0，∴a＜3，且a≠0． ①当0＜a＜3时，

+

=

=

+

=f（a），

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f′（a）=当减． ∴当a=时，②当a＜0时，f′（a）=当递减．

﹣

+=，

时，f′（a）＜0，此时函数f（a）单调递

时，f′（a）＞0，此时函数f（a）单调递增；当

+ +

取得最小值． =﹣（=﹣

）=﹣（

+，

时，f′（a）＜0，此时函数f（a）单调

）=f（a），

时，f′（a）＞0，此时函数f（a）单调递增；当

∴当a=﹣时，综上可得：当a=故选：C．

+取得最小值．

+

取得最小值．

或时，

【点评】本题考查了导数研究函数的单调性极值与最值、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．

二、填空题

13．【答案】

【解析】解：sin43°cos13°﹣cos43°sin13°=sin（43°﹣13°）=sin30°=， 故答案为．

14．【答案】2 【解析】1111]

试题分析：f(x4)f(x)T4,所以f(7)f(1)f(1)2. 考点：利用函数性质求值 15．【答案】 0

【解析】解：模拟执行程序框图，可得程序框图的功能是计算并输出S=sin

+sin

+…+sin

的值，

．

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由于sin所以S=sin

周期为8， +sin

+…+sin

=0．

故答案为：0．

【点评】本题主要考查了程序框图和算法，考查了正弦函数的周期性和特殊角的三角函数值的应用，属于基本知识的考查．

16．【答案】a【解析】

7,b3 2考

点：一元二次不等式的解法；集合的运算.

【方法点晴】本题主要考查了集合的综合运算问题，其中解答中涉及到一元二次不等式的解法、集合的交集和集合的并集的运算、以及一元二次方程中韦达定理的应用，试题有一定的难度，属于中档试题，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，同时考查了转化与化归思想的应用，其中一元二次不等式的求解是解答的关键. 17．【答案】

．

22

【解析】解：∵x﹣4ax+3a＜0（a＜0）， ∴（x﹣a）（x﹣3a）＜0， 则3a＜x＜a，（a＜0）， 由x﹣x﹣6≤0得﹣2≤x≤3，

2

∵￢p是￢q的必要非充分条件， ∴q是p的必要非充分条件， 即

，即

≤a＜0，

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故答案为：

18．【答案】 m＞1 ．

2

【解析】解：若命题“∃x∈R，x﹣2x+m≤0”是假命题，

2

则命题“∀x∈R，x﹣2x+m＞0”是真命题，

即判别式△=4﹣4m＜0， 解得m＞1， 故答案为：m＞1

三、解答题

19．【答案】

【解析】解：（1）∵0＜α＜∴cosα=

，

，且sinα=

，

∴f（α）=cosα（sinα+cosα）﹣， =

×（

+

）﹣

=．

（2）f（x）=cosx（sinx+cosx）﹣． =sinxcosx+cos2x﹣ =sin2x+cos2x =∴T=由2kπ﹣

sin（2x+

=π， ≤2x+

≤2kπ+

，k∈Z，得kπ﹣

，kπ+

≤x≤kπ+

，k∈Z，

），

∴f（x）的单调递增区间为[kπ﹣

20．【答案】

]，k∈Z．

【解析】（1）解：设点E（t，t），∵B（0，﹣1），∴A（2t，2t+1），

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∵点A在椭圆C上，∴

整理得：6t2

+4t=0，解得t=﹣

或t=0（舍去）， ∴E（﹣，﹣），A（﹣

，﹣

），

∴直线AB的方程为：x+2y+2=0； （2）证明：设P（x0，y0），则

，

①直线AP方程为：y+=（x+），

联立直线AP与直线y=x的方程，解得：xM=直线BP的方程为：y+1=

，

联立直线BP与直线y=x的方程，解得：xN=∴OM•ON=|xM|

|xN|

=2•|

|•|

=||

=|=||

=

．

②设直线MB的方程为：y=kx﹣1（其中k==联立，整理得：（1+2k2）x2

﹣4kx=0，

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，

，

|

|

，

），精选高中模拟试卷

∴xQ=，yQ=，

∴kAN===1﹣，kAQ==1﹣，

要证A、Q、N三点共线，只需证kAN=kAQ，即3xN+4=2k+2， 将k=

代入，即证：xM•xN=

，

，

由①的证明过程可知：|xM|•|xN|=而xM与xN同号，∴xM•xN=即A、Q、N三点共线．

，

【点评】本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，考查求直线的方程、线段乘积为定值、三点共线等问题，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．

21．【答案】

【解析】解：（1）∵P为等腰直角三角形PBC的直角顶点，且BC=2， ∴∠PCB=∵∠ACB=

，PC=

，

，

=5，

，∴∠ACP=

222

在△PAC中，由余弦定理得：PA=AC+PC﹣2AC•PC•cos

整理得：PA=；

，∠PCB=θ，

（2）在△PBC中，∠BPC=∴∠PBC=

﹣θ，

=sin（

由正弦定理得：∴PB=

sinθ，PC=

=﹣θ），

=．

sin（

，

∴△PBC的面积S（θ）=PB•PCsin则当θ=

时，△PBC面积的最大值为

﹣θ）sinθ=sin（2θ+）﹣，θ∈（0，），

【点评】此题考查了正弦、余弦定理，以及三角形面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．

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22．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）解法一： 依题意有

，

答案一：∵答案二：∵

∴从稳定性角度选甲合适．

乙的成绩波动大，有爆发力，选乙合适．

（注：按（Ⅱ）看分数的标准，5次考试，甲三次与乙相当，两次优于乙，所以选甲合适．

解法二：因为甲5次摸底考试成绩中只有1次90，甲摸底考试成绩不低于90的概率为； 乙5次摸底考试成绩中有3次不低于90，乙摸底考试成绩不低于90的概率为． 所以选乙合适．

（Ⅱ）依题意知5次摸底考试，“水平相当”考试是第二次，第三次，第五次，记为A，B，C．“水平不相当”考试是第一次，第四次，记为a，b．

从这5次摸底考试中任意选取2次有ab，aA，aB，aC，bA，bB，bC，AB，AC，BC共10种情况． 恰有一次摸底考试两人“水平相当”包括共aA，aB，aC，bA，bB，bC共6种情况． ∴5次摸底考试成绩统计，任意抽查两次摸底考试，恰有一次摸底考试两人“水平相当”概率

．

【点评】本题主要考查平均数，方差，概率等基础知识，运算数据处理能力、运算求解能力、应用意识，考查化归转化思想、或然与必然思想．

23．【答案】证明见解析． 【解析】

考点：平面的基本性质与推论．

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24．【答案】（1）xx1或x1；（2）(,2]. 【解析】

题解析：（1）因为f(x)2x11，所以x12x11， 即x12x11，

当x1时，x12x11，∴x1，∴x1，从而x1；

当

12x1时，1x2x11，∴3x3，∴x1，从而不等式无解；当x12时，1x2x11，∴x1，从而x1；

综上，不等式的解集为xx1或x1.

（2）由x12xa1f(x)，得x1xa2xa1， 因为x1xaxax12xa1，

所以当(x1)(xa)0时，x1xa2xa1； 当(x1)(xa)0时，x1xa2xa1

记不等式(x1)(xa)0的解集为A，则(2,1)A，故a2， 所以的取值范围是(,2].

考点：1.含绝对值的不等式；2.分类讨论.

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试