三角函数有理式积分

基础知识导学

1. 定义

三角函数有理式是指由三角函数和常数经过有限次四则运算所构成的函数，记作：R (sin x,cos x)

2.  R (sin x,cos x)dx 的求法

 R (sin x,cos x)dx 化为熟悉的积分；

（1） 利用三角恒等式和变量代换，把

（2）利用下面三种函数代换，把三角函数原积分转化为新变量 t 的有理函数积分，而有理函数的积分已经解决，所以三角有理式的积分也就解决了。

三种变量代换 ① 对

 R (sin x,cos x)dx，利用万能公式，

2t 1  t

1  t 2

，cos x= 2

x

即令 t = tg ，则 sin x=

2

，dx= 2 1  t

2

1  t

2

dt

② 对

 R (sin x)cos xdx 或 R (cos x) sin xdx  R (sinx, cosx) dx 或 R (tg x) dx

2

2

令 t = sin x 或 t = cos x

③ 对令 t = tg x

重点难点突破

1. 在计算三角函数有理式的积分时，要注意分析被积函数的特点，充分利用三角函数恒等式，达到简化

计算的目的。

2. 下面的变量代换是根据上述三种变量代换和三角有理式的具体形式得到的一些代换，在计算中常常用到。

① 形如

 sin x cos x dx 的积分

m

n

如果 m，n 中至少有一个为奇数时，若 m 为奇数，则令 cos x = t ；若 n 为奇数，则令 sin x = t 如果 m，n 皆为偶数，则作变换 sin2 x=

1  cos 2x

2

,cos2 x=

1  cos 2x

2

② 形如

 tg x dx,和 ctg x dx 的积分，其中 m 为正整数

m

m

利用 tg 2x= sec2x－1， ctg 2x= csc2x－1 降低正切或余切函数的幂指数。 ③ 形如

 tg xsecx dx,和 ctg x cscx dx，其中 n 为正偶数

m

n

m

n

利用 sec2x=1+tg 2x，csc2x =1 +ctg 2x 降低正切或余切函数的幂指数。 ④ 形如

 sin mx cos nx dx，  cos mx cos nx dx，  sin mx sin nxdx 的积分

利用积化和差公式

sin α cos β= [sin (α+β)+sin (α－β)]

1 1

2 2

cosα cos β= [cos (α+β)+cos (α－β)]

sin α sin β=

1

2

[cos (α－β)－cos (α+β)]

3. 利用万能公式，总可以把三角函数有理式的积分化为有理函数的积分，但是对待具体问题要具体分析

被积函数的特点，不要千篇一律地都用万能公式，因为对于具体的三角函数有理式的积分而言，万能代换不一定是最好的方法。

解题方法指导

例 1 求不定积分 cos x  sin xdx

cos x  sin x

解法一：凑微分法

cos x  sin x= (cos x  sin x)= d (cos x  sin x) =ln|sin x+cos x |+C

dx   cos x  sin xdx  cos x  sin x cos x  sin x

解法二：利用三角恒等式

cos x  sin x= cos 2 x  sin 2 x= cos 2x

 cos x  sin x dx  (cos x  sin x) 2 dx 1  sin 2dxx

1 1 d (1  sin 2x) = = ln|1+sin2 x |+C

2

解法三：配方化简



1  sin 2x

2

(cos x  sin x) 2 1  sin 2x cos x  sin x

dx  cos x  sin xdx = cos 2 x  sin 2 xdx = cos 2x

 =

1 dx  sin 2xdx

cos 2x  cos 2x

= ln| tg2x+sec2x |+ 1 1

2 2

ln| cos2 x |+C

解法四：万能代换

x

令 t = tg ，则 sin x=

2t 1  t

1  t 2

，cos x= 2

2 1  t

dt，代入并化简得： 2

2 1  t

2

，dx=

cos x  sin x = 1  2t  t 2 1 = 1  t

 cos x  sin xdx  1  2t  t 2 • 1  t 2 dt 2 2 2

= d (1  2t  t ) 



1  2t  t 2

  t 

dt

221  2t  t 1  t  

d (1  t 2 ) = ln|1+2t－t2 |－ln| 1+t2 | +C

1  t 2

= ln 1  2t  t +C= ln| sin x+cos x |+C

1  t 2

2

学习方法建议

1. 本章的重点是原函数与不定积分的概念、基本积分公式、换元积分法与分部积分法．难点是第一换元

积分法，既基本又灵活，必须多下工夫，除了熟记积分基本公式外，还要熟记一些常用的微分关系式．如

1 1

e x dx  d(e x ) ，  d( ln x) ， dx  2d x ，

x x sin xdx  d( cos x) , sec2 xdx  d( tan x) 等等．

2. 不定积分计算要根据被积函数的特征灵活运用积分方法．在具体的问题中，常常是各种方法综合使用

针对不同的问题采用不同的积分方法．

如 (arcsin x) dx ，先换元，令t  arcsin x ，再用分部积分法即可，



2

 (arcsin x)

2

dx =  t 2 cos tdt ，也可多次使用分部积分公式．

3. 求不定积分比求导数要难得多，尽管有一些规律可循，但在具体应用时，却十分灵活，因此应通过

多做习题来积累经验，熟悉技巧，才能熟练掌握．