2018年全国初中数学联赛试题

说明：评阅试卷时，请依据本评分标准．第一试，选择题和填空题只设7分和0分两档；第

二试各题，请按照本评分标准规定的评分档次给分．如果考生的解答方法和本解答 不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相 应的分数．

第一试(A)

一、选择题：(本题满分42分，每小题7分)

a21. 设二次函数y=x+2ax+的图象的顶点为A，与x轴的交点为B，C．当△ABC为

22等边三角形时，其边长为( )

A．6 B．22 C．23 D．32

2. 如图，在矩形ABCD中，BAD的平分线交BD于点E，AB=1，CAE=15，则BE=( )

A．

3. 设p，q均为大于3的素数，则使p2+5pq+4q2为完全平方数的素数对(p，q)的个数为

( )

A．1 B．2 C．3 D．4

4. 若实数a，b满足a−b=2，

23 B． C．2−1 D．3−1

23(1−a)b2−(1+b)a2=4，则a5−b5=( )

A．46 B．64 C．82 D．128

5. 对任意的整数x，y，定义x@y=x+y−xy，则使得(x@y)@z+(y@z)@x+(z@x)@y=0的整数组(x，y，z)的个数为( )

A．1 B．2 C．3 D．4 6. 设M=111+++201820192020+11，则的整数部分是( ) 2050MA．60 B．61 C．62 D．63

二、填空题：(本题满分28分，每小题7分)

7. 如图，在平行四边形ABCD中，BC=2AB，CE⊥AB于E，F为AD的中点，若AEF=48，则B= ．

8. 若实数x，y满足x3+y3+

9. 没有重复数字且不为5的倍数的五位数的个数为 ．

a5+b5+c510. 已知实数a，b，c满足a+b+c=0，a+b+c=1，则= ．

abc222115(x+y)=，则x+y的最大值为 ． 42

第一试(B)

一、选择题：(本题满分42分，每小题7分)

1. 满足(x2+x−1)x+2=1的整数x的个数为( )

A．1 B．2 C．3 D．4

2. 已知x1，x2，x3(x1x2x3)为关于x的方程x3−3x2+(a+2)x−a=0的三个实数根，

22则4x1−x12+x2=( ) +x3A．5 B．6 C．7 D．8

3. 已知点E，F分别在正方形ABCD的边CD，AD上，CD=4CE，EFB=FBC，则

tanABF= ( )

A．C．

13 B． 2523 D． 224. 方程3+9+x=3x的实数根的个数为( )

A．0 B．1 C．2 D．3

5. 设a，b，c为三个实数，它们中任何一个数加上其余两数之积的2017倍都等于2018，

则这样的三元数组(a，b，c)的个数为( )

A．4 B．5 C．6 D．7

6. 已知实数a，b满足a3−3a2+5a=1，b3−3b2+5b=5，则a+b=( )

A．2 B．3 C．4 D．5

二、填空题：(本题满分28分，每小题7分)

7. 已知p，q，r为素数，且pqr整除pq+qr+rp−1，则p+q+r= ．

8. 已知两个正整数的和比它们的积小1000，若其中较大的数是完全平方数，则较小的

数为 ．

9. 已知D是△ABC内一点，E是AC的中点，AB=6，BC=10，BAD=BCD，

EDC=ABD，则DE= ．

10. 已知二次函数y=x2+2(m+2n+1)x+(m2+4n2+50)的图象在x轴的上方，则满足条

件的正整数对(m，n)的个数为 ．

第二试(A)

一、(本题满分20分)设a，b，c，d为四个不同的实数，若a，b为方程x2−10cx−11d=0的根，

c，d为方程x2−10ax−b=0的根，求a+b+c+d的值．

二、(本题满分25分)如图，在扇形OAB中，AOB=90，OA=12，点C在OA上，AC=4，

点D为OB的中点，点E为弧AB上的动点，OE与CD的交点为F． (1)当四边形ODEC的面积S最大时，求EF； (2)求CE+2DE的最小值．

三、(本题满分25分)求所有的正整数m，n，使得

m3+n3−m2n2(m+n)2是非负整数．

第二试(B)

1119++一、(本题满分20分)若实数a，b，c满足(a+b+c)=，求

a+b−5cb+c−5ac+a−5b5111(a+b+c)++的值．

abc

二、(本题满分25分)如图，点E在四边形ABCD的边AB上，△ABC和△CDE都是等腰直角三

角形，AB=AC，DE=DC． (1)证明：AD∥BC；

(2)设AC与DE交于点P，如果ACE=30，求

DP． PE

三、(本题满分25分)设x是一个四位数，x的各位数字之和为m，x+1的各位数字之和为n，并

且m与n的最大公约数是一个大于2的素数．求x．