2010立体几何理科高考试题精选

69、（2010广东理数）18.（本小题满分14分）

如图5，¼ABC是半径为a的半圆，AC为直径，点E为»AC的中点，点B和点C为线段AD的三等分点．平面AEC外一点F满足FBDF5a，FE=6a ．

图5

（1）证明：EB⊥FD；

（2）已知点Q,R分别为线段FE,FB上的点，使得BQ与平面RQD所成二面角的正弦值．

22FE,FRFB,求平面BED33

（2）设平面BED与平面RQD的交线为DG.

由BQ=

22FE,FR=FB知, QR||EB. 33而EB平面BDF，∴QR||平面BDF， 而平面BDF平面RQD= DG， ∴QR||DG||EB.

由（1）知，BE平面BDF，∴DG平面BDF， 而DR平面BDF， BD平面BDF， ∴DGDR,DGDQ，

∴RDB是平面BED与平面RQD所成二面角的平面角． 在RtBCF中，CFBF2BC2(5a)2a22a，

sinRBDFC2a212，cosRBD1sinRBD． BF5a55

52a35229．

sinRDB2929a3故平面BED与平面RQD所成二面角的正弦值是

小题共14分）

229．65、（2010北京理数）（16）（本29 如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，CE⊥AC,EF∥AC,AB=2，CE=EF=1. （Ⅰ）求证：AF∥平面BDE； （Ⅱ）求证：CF⊥平面BDE； （Ⅲ）求二面角A-BE-D的大小。

证明：（I） 设AC与BD交与点G。 因为EF//AG，且EF=1，AG=

1AC=1. 2 所以四边形AGEF为平行四边形. 所以AF//平面EG，

因为EG平面BDE，AF平面BDE， 所以AF//平面BDE.

（II）因为正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面 相互垂直，且CEAC， 所以CE平面ABCD.

如图，以C为原点，建立空间直角坐标系C-xyz. 则C（0，0，0），A（2，2，0），B（0，2，0）.

22 所以CF(,,1)，BE(0,2,1)，

22DE(2,0,1).

所

以

C0F0 ,CFDE101B 所以CFBE,CFDE. 所以CFBDE.

22(III) 由（II）知，CF(,,1)是平面BDE的一个法向量.

22 设平面ABE的法向量n(x,y,z),则nBA0，nBE0.

即(x,y,z)(2,0,0)0

(x,y,z)(0,2,1)0所以x0,且z 令y1,则z2y,

2. 所以n(0,1,2).

nCF3 从而cosn,CF。 |n||CF|2 因为二面角ABED为锐角，

所以二面角ABED的大小为

.78、（2010福建理数） 6

概率为p。

（i）当点C在圆周上运动时，求p的最大值；

（ii）记平面A1ACC1与平面B1OC所成的角为(0<90)，当p取最大值时，求cos的值。

【命题意图】本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，以及几何体的体积、几何概型等基础知识，考查空间想象能力、运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、必然与或然思想。

【解析】（Ⅰ）因为AA1平面ABC，BC平面ABC，所以AA1BC，

因为AB是圆O直径，所以BCAC，又ACAA1A，所以BC平面A1ACC1， 而BC平面B1BCC1，所以平面A1ACC1平面B1BCC1。

（Ⅱ）（i）设圆柱的底面半径为r，则AB=AA1=2r，故三棱柱ABC-A1B1C1的体积为

1V1=ACBC2r=ACBCr，又因为AC2BC2=AB2=4r2，

2AC2+BC22所以ACBC=2r，当且仅当AC=BC=2r时等号成立，

2233从而V12r，而圆柱的体积V=r2r=2r，

V12r31=,当且仅当AC=BC=2r，即OCAB时等号成立， 故p=

V2r3所以p的最大值是

1。

（ii）由（i）可知，p取最大值时，OCAB，于是以O为坐标原点，建立空间直角坐标系O-xyz（如图），则C（r，0，0），B（0，r，0），B1（0，r，2r）， 因为BC平面A1ACC1，所以BC=(r,-r,0)是平面A1ACC1的一个法向量，

rx0x0nOC设平面B1OC的法向量n=(x,y,z)，由，故， 得ry2rz0y2znOB1取z1得平面B1OC的一个法向量为n=(0,-2,1)，因为0<90， nBC所以cos|cosn,BC|=|n||BC|

2r10。

552r