2017-2018学年陕西省西安市西北八年级（上）期末数学试卷
一、选择题．
1．下列实数中的无理数是（ ） A．
B．
C．
D．
2．不等式6﹣3x＞0的解集在数轴上表示为（ ） A．C．
B．D．
3．若一个正比例函数的图象经过A（3，﹣6），B（m，﹣4）两点，则m的值为（ ）
A．2 B．8 C．﹣2 D．﹣8
4．3）一次函数y=k1x+b1的图象与y=k2x+b2的图象相交于点P（﹣2，，则方程组的解是（ ） A．
B．
C．
D．
5．若△ABC的三边a、b、c满足（a﹣b）2+|a2+b2﹣c2|=0，则△ABC是（ ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形
6．如图，在5×5的正方形网格中，从在格点上的点A，B，C，D中任取三点，所构成的三角形恰好是直角三角形的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．若点M（﹣7，m）、N（﹣8，n）都在函数y=﹣（k2+2k+4）x+1（k为常数）的图象上，则m和n的大小关系是（ ） A．m＞n
B．m＜n
C．m=n
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D．不能确定
知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根
8．小莹和小博士下棋，小莹执圆子，小博士执方子．如图，棋盘中心方子的位置用（﹣1，0）表示，右下角方子的位置用（0，﹣1）表示．小莹将第4枚圆子放入棋盘后，所有棋子构成一个轴对称图形．她放的位置是（ ）
A．（﹣2，1） B．（﹣1，1） C．（1，﹣2） D．（﹣1，﹣2）
9．如图，在平面直角坐标系xOy中，O为坐标系原点，A（3，0），B（3，1），C（0，1），将△OAB沿直线OB折叠，使得点A落在点D处，OD与BC交于点E，则OD所在直线的解析式为（ ）
A．
B．
C．
D．
10．如图，点M是直线y=2x+3上的动点，过点M作MN垂直于x轴于点N，y轴上是否存在点P，使得△MNP为等腰直角三角形，则符合条件的点P有（提示：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）（ ）
A．2个
B．3个 C．4个 D．5个
二、填空题（共6小题，每小题3分，共计18分）
11．已知方程2x2n﹣1﹣3y3m﹣n+1=0是二元一次方程，则m= ，n= ．
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12．已知点P（3，a）关于y轴的对称点为Q（b，2），则a+b= ．
13．对于命题“如果∠1+∠2=90°，那么∠1=∠2”，能说明它是假命题的反例是 ．
14．若y=++4，则x2+y2的平方根是 ．
15．如图，在△ABC中，AB、AC的垂直平分线l1、l2相交于点O，若∠BAC等于84°，则∠OBC= ．
16．如图，一次函数y=，的图象向下平移2个单位后得直线l，直线l交x轴于
点A、交y轴于点B，在线段AB上有一动点P（不与点A、B重合），过点P分别作PE⊥x轴点E，PF⊥y轴于点F，当线段EF的长最小时，点P的坐标为 ．
三、解答题：（共7道题，共计52分） 17．（8分）（1）计算：（2）解方程组：
18．（4分）如图，已知△ABC（AC＜BC），用尺规在BC上确定一点P，使PA+PC=BC．
19．（6分）某中学为使高一新生入校后及时穿上合身的校服，现提前对某校九年级三班学生即将所穿校服型号情况进行了摸底调查，并根据调查结果绘制了如图两个不完整
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的统计图（校服型号以身高作为标准，共分为6个型号）：
根据以上信息，解答下列问题： （1）该班共有 名学生； （2）补全条形统计图；
（3）该班学生所穿校服型号的众数为 ，中位数为 ；
（4）如果该校预计招收新生1500名，根据样本数据，估计新生穿170型校服的学生大约有多少名？
20．（7分）如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，点F在AC上，且BD=DF． （1）求证：CF=EB；
（2）请你判断AE、AF与BE之间的数量关系，并说明理由．
21．（8分）某厂工人小王某月工作的部分信息如下：
信息一：工作时间：每天上午8：00～12：00，下午14：00～18：00，每月25天； 信息二：生产甲、乙两种产品，并且按规定每月生产甲产品的件数不少于45件． 生产产品件数与所用时间之间的关系见下表： 生产甲产品件数（件）
10 15
生产乙产品件数（件）
10 20
所用总时间（分）
500 900
信息三：按件计酬，每生产一件甲产品可得6元，每生产一件乙产品可得10元． 根据以上信息，回答下列问题：
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（1）小王每生产一件甲种产品，每生产一件乙种产品分别需要多少分？ （2）小王该月最多能得多少元？此时生产甲、乙两种产品分别多少件？
22．（9分）甲、乙两人相约周末登花果山，甲、乙两人距地面的高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数图象如图所示，根据图象所提供的信息解答下列问题：
（1）甲登山上升的速度是每分钟 米，乙在A地时距地面的高度b为 米；
（2）若乙提速后，乙的登山上升速度是甲登山上升速度的3倍，请求出乙登山全程中，距地面的高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数关系式； （3）登山多长时间时，甲、乙两人距地面的高度差为70米？
23．（10分）（1）如图1，点D、E分别是等边△ABC边AC、AB上的点，连接BD、CE，若AE=CD，求证：BD=CE．
（2）如图2，在（1）问的条件下，点H在BA的延长线上，连接CH交BD延长线于点F．若BF=BC， ①求证：EH=EC；
②请你找出线段AH、AD、DF之间的数量关系，并说明理由．
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参考答案与试题解析
一、选择题．
1．下列实数中的无理数是（ ） A．
B．
C．
D．
【分析】直接化简各数，进而利用无理数的定义分析得出答案． 【解答】解：A、B、C、D、
=2
=2，不是无理数，故此选项错误；
，是无理数，故此选项正确；
，不是无理数，故此选项错误； =3，不是无理数，故此选项错误；
故选：B．
【点评】此题主要考查了无理数的定义，正确把握相关定义是解题关键． 2．不等式6﹣3x＞0的解集在数轴上表示为（ ） A．C．
B．D．
【分析】依次移项，系数化为1，即可求得一元一次不等式的解集，再将解集在数轴上表示出来即可．
【解答】解：移项得：﹣3x＞﹣6， 系数化为1得：x＜2， 即不等式的解集为：x＜2， 不等式的解集在数轴上表示如下：
故选：A．
【点评】本题考查了解一元一次不等式和在数轴上表示不等式的解集，正确掌握解一元一次不等式和在数轴上表示不等式解集的方法是解题的关键．
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3．若一个正比例函数的图象经过A（3，﹣6），B（m，﹣4）两点，则m的值为（ ）
A．2 B．8 C．﹣2 D．﹣8
【分析】运用待定系数法求得正比例函数解析式，把点B的坐标代入所得的函数解析式，即可求出m的值．
【解答】解：设正比例函数解析式为：y=kx， 将点A（3，﹣6）代入可得：3k=﹣6， 解得：k=﹣2，
∴函数解析式为：y=﹣2x，
将B（m，﹣4）代入可得：﹣2m=﹣4， 解得m=2， 故选：A．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征．解题时需灵活运用待定系数法建立函数解析式，然后将点的坐标代入解析式，利用方程解决问题． 4．3）一次函数y=k1x+b1的图象与y=k2x+b2的图象相交于点P（﹣2，，则方程组的解是（ ） A．
B．
C．
D．
【分析】根据二元一次方程组的解即为两直线的交点坐标解答．
【解答】解：∵一次函数y=k1x+b1的图象l1与y=k2x+b2的图象l2相交于点P（﹣2，3），
∴方程组故选：A．
的解是．
【点评】本题主要考查了一次函数与二元一次方程组的关系，函数解析式与图象的关系，满足解析式的点就在函数的图象上，在函数的图象上的点，就一定满足函数解析式．函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解．
5．若△ABC的三边a、b、c满足（a﹣b）2+|a2+b2﹣c2|=0，则△ABC是（ ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形
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D．等腰三角形或直角三角形
【分析】首先根据题意由非负数的性质可得，进而得到a=b，a2+b2=c2，根据勾股定理逆定理可得△ABC的形状为等腰直角三角形． 【解答】解：∵（a﹣b）2+|a2+b2﹣c2|=0， ∴a﹣b=0，a2+b2﹣c2=0， 解得：a=b，a2+b2=c2，
∴△ABC的形状为等腰直角三角形； 故选：C．
【点评】此题主要考查了勾股定理逆定理以及非负数的性质，关键是掌握勾股定理的逆
定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．
6．如图，在5×5的正方形网格中，从在格点上的点A，B，C，D中任取三点，所构成的三角形恰好是直角三角形的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】先求出每边的平方，得出AB2+AC2=BC2，AD2+CD2=AC2，BD2+AB2=AD2，根据勾股定理的逆定理得出直角三角形即可．
【解答】解：
理由是：连接AC、AB、AD、BC、CD、BD， 设小正方形的边长为1，
由勾股定理得：AB2=12+22=5，AC2=22+42=20，AD2=12+32=10，BC2=52=25，CD2=12+32=10，BD2=12+22=5，
∴AB2+AC2=BC2，AD2+CD2=AC2，BD2+AB2=AD2，
∴△ABC、△ADC、△ABD是直角三角形，共3个直角三角形， 故选：C．
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【点评】本题考查了勾股定理的逆定理和勾股定理，能熟记勾股定理的逆定理的内容是解此题的关键，注意：如果两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．
7．若点M（﹣7，m）、N（﹣8，n）都在函数y=﹣（k2+2k+4）x+1（k为常数）的图象上，则m和n的大小关系是（ ） A．m＞n
B．m＜n
C．m=n
D．不能确定
【分析】根据一次函数的变化趋势即可判断m与n的大小． 【解答】解：∵k2+2k+4=（k+1）2+3＞0 ∴﹣（k2+2k+4）＜0，
∴该函数是y随着x的增大而减少， ∵﹣7＞﹣8， ∴m＜n， 故选：B．
【点评】本题考查一次函数的性质，解题的关键是判断k2+2k+4与0的大小关系，本题属于中等题型．
8．小莹和小博士下棋，小莹执圆子，小博士执方子．如图，棋盘中心方子的位置用（﹣1，0）表示，右下角方子的位置用（0，﹣1）表示．小莹将第4枚圆子放入棋盘后，所有棋子构成一个轴对称图形．她放的位置是（ ）
A．（﹣2，1） B．（﹣1，1） C．（1，﹣2） D．（﹣1，﹣2）
【分析】首先确定x轴、y轴的位置，然后根据轴对称图形的定义判断．
【解答】解：棋盘中心方子的位置用（﹣1，0）表示，则这点所在的横线是x轴，右下角方子的位置用（0，﹣1），则这点所在的纵线是y轴，则当放的位置是（﹣1，1）时构成轴对称图形． 故选：B．
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【点评】本题考查了轴对称图形和坐标位置的确定，正确确定x轴、y轴的位置是关键．
9．如图，在平面直角坐标系xOy中，O为坐标系原点，A（3，0），B（3，1），C（0，1），将△OAB沿直线OB折叠，使得点A落在点D处，OD与BC交于点E，则OD所在直线的解析式为（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据矩形的性质结合折叠的性质可得出∠EOB=∠EBO，进而可得出OE=BE，设点E的坐标为（m，1），则OE=BE=3﹣m，CE=m，利用勾股定理即可求出m值，再根据点E的坐标，利用待定系数法即可求出OD所在直线的解析式． 【解答】解：∵A（3，0），B（3，1），C（0，1），O（0，0）， ∴四边形OABC为矩形， ∴∠EBO=∠AOB． 又∵∠EOB=∠AOB， ∴∠EOB=∠EBO， ∴OE=BE．
设点E的坐标为（m，1），则OE=BE=3﹣m，CE=m， 在Rt△OCE中，OC=1，CE=m，OE=3﹣m， ∴（3﹣m）2=12+m2， ∴m=，
∴点E的坐标为（，1）．
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设OD所在直线的解析式为y=kx， 将点E（，1）代入y=kx中， 1=k，解得：k=，
∴OD所在直线的解析式为y=x． 故选：C．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、翻折变换、等腰三角形的性质以及勾股定理，利用勾股定理求出点E的坐标是解题的关键．
10．如图，点M是直线y=2x+3上的动点，过点M作MN垂直于x轴于点N，y轴上是否存在点P，使得△MNP为等腰直角三角形，则符合条件的点P有（提示：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】分点M在第一象限，第二象限，第三象限讨论，根据等腰直角三角形的性质和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得P点坐标，即可求P点个数． 【解答】解：设N坐标为（x，0） 若点M在第三象限，则x＜0
若∠MNP=90°，MN=NP，则P（0，0）
若∠NMP=90°，MN=MP，则四边形MNOP是正方形， ∴ON=MP=﹣x，MN=PO=﹣x
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∴M（x，x） ∴x=2x+3 ∴x=﹣3 ∴P（0，﹣3）
若∠MPN=90°，MP=NP， 过点P作PE⊥MN， ∴PE=ON=﹣x，MN=﹣2x， ∴M（x，2x） ∴2x=2x+3
方程无解，即这样的P点不存在． 若点M在第二象限，则x＜0
若∠MNP=90°，MN=NP，则P（0，0）
若∠NMP=90°，MN=MP，则四边形MNOP是正方形 ∴ON=MP=﹣x，MN=PO=﹣x ∴M（x，﹣x） ∴﹣x=2x+3 ∴x=﹣1 ∴P（0，1）
若∠MPN=90°，MP=NP， 过点P作PE⊥MN， ∴PE=ON=﹣x，MN=﹣2x， ∴M（x，﹣2x） ∴﹣2x=2x+3 ∴x=﹣ ∴P（0，）
当点P在第一象限则x＞0 ∵M（x，2x+3） ∴x≠2x+3，
∴∠MNP≠90°，∠NMP≠0
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若∠MPN=90°，MP=NP， 过点P作PE⊥MN， ∴PE=ON=x，MN=2x， ∴M（x，2x） ∴2x=2x+3
方程无解，则这样的P点不存在．
故P（0，0），（0，1），（0，﹣3），（0，），符合条件的点P有4个点 故选：C．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形的性质，分类思想．利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求P点坐标是本题的关键．
二、填空题（共6小题，每小题3分，共计18分） 11．已知方程2x2n﹣1﹣3y3m﹣n+1=0是二元一次方程，则m=
，n= 1 ．
【分析】根据二元一次方程的定义，转化为关于m、n的二元一次方程组即可． 【解答】解：∵方程2x2n﹣1﹣3y3m﹣n=0是关于x、y的二元一次方程， ∴解得
， ．
故答案为：m=，n=1．
【点评】本题考查了二元一次方程的定义，解答此题，关键是利用指数为1建立方程组．
12．已知点P（3，a）关于y轴的对称点为Q（b，2），则a+b= ﹣1 ．
【分析】根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”求出a、b，然后相加计算即可得解．
【解答】解：∵点P（3，a）关于y轴的对称点为Q（b，2）， ∴a=2，b=﹣3， ∴a+b=2+（﹣3）=﹣1． 故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点
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的坐标规律：（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数．
13．对于命题“如果∠1+∠2=90°，那么∠1=∠2”，能说明它是假命题的反例是 ∠1=70°，∠2=20° ．
【分析】说明某命题为假命题，可举反例，但反例要满足命题的条件，不符合结论． 【解答】解：当∠1=70°，∠2=20°时，∠1+∠2=90°，但∠1≠∠2， 所以∠1=70°，∠2=20°可以说明它是假命题． 故答案为：∠1=70°，∠2=20°（答案不唯一）．
【点评】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．也考查了逆命题． 14．若y=
+
+4，则x2+y2的平方根是 ±5 ．
【分析】根据二次根式有意义的条件即可求出x与y的值． 【解答】解：由题意可知：∴x=3， ∴y=4 ∴x2+y2=25
∴25的平方根为：±5 故答案为：±5
【点评】本题考查二次根式有意义的条件，解题的关键是正确理解二次根式有意义的条件，本题属于基础题型．
15．如图，在△ABC中，AB、AC的垂直平分线l1、l2相交于点O，若∠BAC等于84°，则∠OBC= 6° ．
【分析】连接OA，根据三角形内角和定理得到∠ABC+∠ACB=96°，根据线段垂直平分线的性质得到OA=OB，OA=OC，根据等腰三角形的性质计算即可． 【解答】解：连接OA，
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∵∠BAC=84°， ∴∠ABC+∠ACB=96°，
∵l1、l2分别是AB、AC的垂直平分线， ∴OA=OB，OA=OC，
∴OB=OC，∠OBA=∠OAB，∠OCA=∠OAC， ∴∠OBA+∠OCA=∠BAC=84°， ∴∠OBC+∠OCB=12°， ∴∠OBC=6°， 故答案为：6°．
【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等． 16．如图，一次函数y=
，的图象向下平移2个单位后得直线l，直线l交x轴于
点A、交y轴于点B，在线段AB上有一动点P（不与点A、B重合），过点P分别作PE⊥x轴点E，PF⊥y轴于点F，当线段EF的长最小时，点P的坐标为 （﹣
，
） ．
【分析】利用勾股定理和一次函数图象上点的坐标特征，列出二次函数关系式，结合二次函数最值的求法解答．
【解答】解：由已知条件得到直线l解析式为：y=设P（a，
），
﹣2，即y=
，
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所以EF2=a2+（）2=a2+
a+．
当EF取最小值时，a=﹣=﹣，此时， =，
即P（﹣，）， ，
）．
故答案是：（﹣
【点评】考查了一次函数图象与几何变换，解题时，利用了二次函数最值的求法，熟记二次函数顶点坐标公式是解题的关键．
三、解答题：（共7道题，共计52分） 17．（8分）（1）计算：（2）解方程组：
【分析】（1）根据二次根式的运算法则以及负整数指数幂的意义即可求出答案． （2）根据二元一次方程组的解法即可求出答案． 【解答】解：（1）原式==3﹣2+2﹣5+3=﹣2+3
﹣﹣（﹣2）﹣（5﹣）
（2）原方程组化为：①×3得：9x﹣6y=21 ③ ③﹣②得：7x=14， x=2
将x=2代入3x﹣2y=7 ∴y=
∴方程组的解为
【点评】本题考查学生的运算能力，解题的关键是熟练运用运算法则，本题属于基础题型．
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18．（4分）如图，已知△ABC（AC＜BC），用尺规在BC上确定一点P，使PA+PC=BC．
【分析】作线段AB的垂直平分线交BC于点P，则点P即为所求． 【解答】解：如图，点P即为所求．
【点评】本题考查的是作图﹣复杂作图，熟知线段垂直平分线的作法与性质是解答此题的关键．
19．（6分）某中学为使高一新生入校后及时穿上合身的校服，现提前对某校九年级三班学生即将所穿校服型号情况进行了摸底调查，并根据调查结果绘制了如图两个不完整的统计图（校服型号以身高作为标准，共分为6个型号）：
根据以上信息，解答下列问题： （1）该班共有 50 名学生； （2）补全条形统计图；
（3）该班学生所穿校服型号的众数为 165和170 ，中位数为 170 ；
（4）如果该校预计招收新生1500名，根据样本数据，估计新生穿170型校服的学生大约有多少名？
【分析】（1）根据穿165型的人数与所占的百分比列式进行计算即可求出学生总人数；
（2）求出175、185型的人数，然后补全统计图即可； （3）根据众数的定义以及中位数的定义解答；
（4）总人数乘以样本中穿170型校服的学生所占比例可得．
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【解答】解：（1）该班共有的学生数为15÷30%=50（人）， 故答案为：50；
（2）175型的人数为50×20%=10（人），则185型的人数为50﹣3﹣15﹣10﹣5﹣5=12，
（3）该班学生所穿校服型号的众数为165和170，中位数为170； 故答案为：165和170，170；
（4）1500×=450（人），
所以估计新生穿170型校服的学生大约450名．
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．除此之外，本题也考查了平均数、中位数、众数的认识．
20．（7分）如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，点F在AC上，且BD=DF． （1）求证：CF=EB；
（2）请你判断AE、AF与BE之间的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）根据角平分线的性质得到DC=DE，根据直角三角形全等的判定定理得到Rt△DCF≌Rt△DEB，根据全等三角形的性质定理得到答案；
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（2）根据全等三角形的性质定理得到AC=AE，根据（1）的结论得到答案． 【解答】证明：（1）∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∠C=90°， ∴DC=DE，
在Rt△DCF和Rt△DEB中，
，
∴Rt△DCF≌Rt△DEB， ∴CF=EB； （2）AF+BE=AE． ∵Rt△DCF≌Rt△DEB， ∴AC=AE， ∴AF+FC=AE， 即AF+BE=AE．
【点评】本题考查的是角平分线的性质和三角形全等的判定和性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键，注意直角三角形全等的判定方法． 21．（8分）某厂工人小王某月工作的部分信息如下：
信息一：工作时间：每天上午8：00～12：00，下午14：00～18：00，每月25天； 信息二：生产甲、乙两种产品，并且按规定每月生产甲产品的件数不少于45件． 生产产品件数与所用时间之间的关系见下表： 生产甲产品件数（件）
10 15
生产乙产品件数（件）
10 20
所用总时间（分）
500 900
信息三：按件计酬，每生产一件甲产品可得6元，每生产一件乙产品可得10元． 根据以上信息，回答下列问题：
（1）小王每生产一件甲种产品，每生产一件乙种产品分别需要多少分？ （2）小王该月最多能得多少元？此时生产甲、乙两种产品分别多少件？
【分析】（1）设生产一件甲种产品需x分，生产一件乙种产品需y分，根据表中数据得出方程组，求出方程组的解即可；
（2）设生产甲种产品用x分，则生产乙种产品用（25×8×60﹣x）分，则生产甲种产
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品件，生产乙种产品
，即可求出答案．
件，根据题意得出W
总额
=6×+10×
【解答】（1）解：设生产一件甲种产品需x分，生产一件乙种产品需y分，由题意得：
即解这个方程组得：x=20，y=30，
即生产一件甲产品需要20分，生产一件乙产品需要30分；
（2）解：设生产甲种产品用x分，则生产乙种产品用（25×8×60﹣x）分，则生产甲种产品
件，生产乙种产品
+10×
件，
所以W总额=6×=﹣∵
x+4000， ≥45，
∴x≥900，
由一次函数的增减性，当，x=900时，W取得最大值，此时W=﹣（元）， 此时甲有
=45（件），乙有：
=370（件），
×900+4000=3970
所以小王该月最多能得3970元，此时生产甲种产品45件，上产乙种产品370件． 【点评】本题考查了一次函数的应用，解此题的关键是能根据题意列出算式，即得出方程组和一次函数解析式，此题综合性比较强，有一定的难度，用了转化思想． 22．（9分）甲、乙两人相约周末登花果山，甲、乙两人距地面的高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数图象如图所示，根据图象所提供的信息解答下列问题： （1）甲登山上升的速度是每分钟 10 米，乙在A地时距地面的高度b为 30 米； （2）若乙提速后，乙的登山上升速度是甲登山上升速度的3倍，请求出乙登山全程中，距地面的高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数关系式； （3）登山多长时间时，甲、乙两人距地面的高度差为70米？
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【分析】（1）根据速度=高度÷时间即可算出甲登山上升的速度；根据高度=速度×时间即可算出乙在A地时距地面的高度b的值；
（2）分0≤x＜2和x≥2两种情况，根据高度=初始高度+速度×时间即可得出y关于x的函数关系；
（3）当乙未到终点时，找出甲登山全程中y关于x的函数关系式，令二者做差等于70得出关于x的一元一次方程，解之即可求出x值；当乙到达终点时，用终点的高度﹣甲登山全程中y关于x的函数关系式=70，得出关于x的一元一次方程，解之可求出x值．综上即可得出结论．
【解答】解：（1）甲登山上升的速度是：（300﹣100）÷20=10（米/分钟）， b=15÷1×2=30． 故答案为：10；30；
（2）当0≤x＜2时，y=15x；
当x≥2时，y=30+10×3（x﹣2）=30x﹣30． 当y=30x﹣30=300时，x=11．
∴乙登山全程中，距地面的高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数关系式为y=
；
（3）甲登山全程中，距地面的高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数关系式为y=10x+100（0≤x≤20）．
当10x+100﹣（30x﹣30）=70时，解得：x=3； 当30x﹣30﹣（10x+100）=70时，解得：x=10； 当300﹣（10x+100）=70时，解得：x=13．
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答：登山3分钟、10分钟或13分钟时，甲、乙两人距地面的高度差为70米． 【点评】本题考查了一次函数的应用以及解一元一次方程，解题的关键是：（1）根据数量关系列式计算；（2）根据高度=初始高度+速度×时间找出y关于x的函数关系式；（3）将两函数关系式做差找出关于x的一元一次方程．
23．（10分）（1）如图1，点D、E分别是等边△ABC边AC、AB上的点，连接BD、CE，若AE=CD，求证：BD=CE．
（2）如图2，在（1）问的条件下，点H在BA的延长线上，连接CH交BD延长线于点F．若BF=BC， ①求证：EH=EC；
②请你找出线段AH、AD、DF之间的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）只要证明△ACE≌△CBD即可； （2）①想办法证明∠H=∠ECH即可；
②结论：AD=AH+DF．如图2﹣1中，在射线EB上截取EM=DF．只要证明AD=BE，BM=AH即可解决问题；
【解答】（1）证明：如图1中，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠BCD=∠ABC=60°，AC=BC， ∵AE=CD，
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∴△ACE≌△CBD， ∴BD=EC．
（2）①证明：如图2中，
∵△ACE≌△CBD， ∴∠ACE=∠CBD， ∵∠ABC=∠ACB=60°， ∴∠ABD=∠ECB， ∵BF=BC， ∴∠BFC=∠BCF，
∴∠FBH+∠H=∠BCE+∠ECH， ∴∠H=∠ECH， ∴EH=EC．
②解：结论：AD=AH+DF．
理由：如图2﹣1中，在射线EB上截取EM=DF．
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∵BD=CE=EH，BF=BD+DF=BC=AB， ∴HM=EH+EM=BF=BC=AB， ∴AH=BM，
∵AD=BE=BM+EM，BM=AH，EM=DF， ∴AD=AH+DF．
【点评】本题考查三角形综合题、等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
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