高一三角函数知识点整理

高一三角函数知识点整

理

-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

§04. 三角函数 知识要点

1. ①与（0°≤＜360°）终边相同的角的集合（角与角的终边重合）：|k360,kZ ▲y②终边在x轴上的角的集合： |k180,kZ 23sinxsinx③终边在y轴上的角的集合：|k18090,kZ

41④终边在坐标轴上的角的集合：|k90,kZ cosxcosx⑤终边在y=x轴上的角的集合：|k18045,kZ cosxcosx⑥终边在yx轴上的角的集合：|k18045,kZ 14sinxsinx⑦若角与角的终边关于x轴对称，则角与角的关系：360k 32⑧若角与角的终边关于y轴对称，则角与角的关系：SIN\\COS三角函数值大小关系图360k180 1、2、3、4表示第一、二、三、四象限一半所在区域180k ⑨若角与角的终边在一条直线上，则角与角的关系：

⑩角与角的终边互相垂直，则角与角的关系：360k90 2. 角度与弧度的互换关系：360°=2 180°= 1°=0.01745 1=57.30°=57°18′ 注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零. 、弧度与角度互换公式： 1rad＝180°≈57.30°=57°18ˊ． 1°＝≈

180x0.01745（rad）

113、弧长公式：l||r. 扇形面积公式：s扇形lr||r2

224、三角函数：设是一个任意角，在的终边上任

y取（异于原点的）一点P（x,y）P与原点的距离为

a的终边P（x,y)rr，则 siny； cosx； tany；

rrxcotxy； secr；. cscr.

xoyx5、三角函数在各象限的符号：（一全二正弦，三切四余弦）

++ox--正弦、余割y-+o-+x余弦、正割y-+ox+-正切、余切OyyPTMAx6、三角函数线

16. 几个重要结论:(1)y(2)y 正弦线：MP; 余弦线：OM; 正切线：

sinx>cosxOx|sinx|>|cosx||cosx|>|sinx|O|cosx|>|sinx|x2

cosx>sinx|sinx|>|cosx|(3) 若 o7. 三角函数的定义域： 三角函数 f(x)sinx f(x)cosx f(x)tanx f(x)cotx f(x)secx f(x)cscx 定义域 x|xR x|xR 1x|xR且xk,kZ 2x|xR且xk,kZ 1x|xR且xk,kZ 2x|xR且xk,kZ tan coscot cossin8、同角三角函数的基本关系式：sintancot1 cscsin1 seccos1

sin2cos21 sec2tan21 csc2cot21

9、诱导公式：

把k 的三角函数化为的三角函数，概括为：2“奇变偶不变，符号看象限” 三角函数的公式：（一）基本关系

公式组一sinx·cscx=1cosx·secx=1tanx·cotx=1tanx=x=sinxcosx公式组二 公式组三 sin2x+cos2x=1sin(2kx)sinxsin(x)sinx cosxsinxcos(2kx)cosxcos(x)cosx22k2x)tanxtan(x=secx1+tan

tan(x)tanxcot(x)cotx

公式组四 公式组五 公式组六 sin(x)sinxsin(2x)sinxsin(x)sinxcos(x)cosxcos(2x)cosxcos(x)cosx

tan(x)tanxtan(2x)tanxtan(x)tanxcot(x)cotxcot(2x)cotxcot(x)cotx 1+cot2x=csc2xcot(2kx)cotx（二）角与角之间的互换

公式组一 公式组二

cos()coscossinsin sin22sincos

cos()coscossinsin cos2cos2sin22cos2112sin2

3

sin()sincoscossin tan2sin()sincoscossin sin2tan1tan2

21cos 2tan()tan()tantan1cos cos

1tantan22tantan

1tantantan21cossin1cos1cos1cossin公式组三 公式组四 公式组五 1sin15cos75sinsin22 1sincossinsinsin21tan221coscoscoscos1tan222 cos1sinsincoscos21tansinsin22sincos2222tansinsin2cossin222 tancoscos2coscos221tan22coscos2sinsin2622622tansincos4,sin75cos154,tan15cot7523,tan75cot1523.

1cos()sin21sin()cos21tan()cot21cos()sin21tan()cot21sin()cos2

10. 正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质： ycosx ytanxysinx ycotx定义域 R R [1,1] [1,1] 值域 周期性 2 1x|xR且xk,kZ2 x|xR且xk,kZR  奇函数 （A、＞0） R yAsinx 2 R  奇函数 A,A 2 奇偶性 奇函数 偶函数 当0,非奇非偶 当0,奇函数 4

单调性 [22k,[2k1,2k]2k,k22k,k1上为减函数（kZ） 2k]上为增函数；[；上为增函数[2k,上为增函数（kZ） 2k1] 2k2k2k2k2(A),12(A)2(A),32(A)232k]22k,上为减函数（kZ） 上为减函数 （kZ） 上为增函数； 上为减函数（kZ） 注意：①ysinx与ysinx的单调性正好相反；ycosx与ycosx的单调性也同样相反.一般地，若yf(x)在[a,b]上递增（减），则yf(x)在[a,b]上递

y减（增）.

②ysinx与ycosx的周期是.

▲③ysin(x)或ycos(x)（0）的周期Tytanx22.

Ox的周期为2（TT2，如图，翻折无效）. ④ysin(x)的对称轴方程是xk2ycos(x)的对称轴方程是xk（kZ（kZ），对称中心（k,0）；），对称中心（k1,0）；

2ytan(x)的对称中心（

ycos2x原点对称ycos(2x)cos2x

k,0）. 2⑤当tan·tan1,k(kZ)；tan·tan1,k(kZ).

22⑥ycosx与ysinx2k是同一函数,而y(x)是偶函数，则 21y(x)sin(xk)cos(x).

2⑦函数ytanx在R上为增函数.（×） [只能在某个单调区间单调递增. 若在整个定义域，ytanx为增函数，同样也是错误的].

5

⑧定义域关于原点对称是f(x)具有奇偶性的必要不充分条件.（奇偶性的两个条件：一是定义域关于原点对称（奇偶都要），二是满足奇偶性条件，偶函数：f(x)f(x)，奇函数：f(x)f(x)）

奇偶性的单调性：奇同偶反. 例如：ytanx是奇函数，ytan(x1)是非奇

3非偶.（定义域不关于原点对称）

奇函数特有性质：若0x的定义域，则f(x)一定有f(0)0.（0x的定义域，则无此性质）

⑨ysinx不是周期函数；ysinx为周期函数（T）； ▲y▲yycosxy是周期函数（如图）；ycosx为周期函数（T）； 1cos2x的周期为（如图），并非所有周期函数都有最小正周期，例x1/22y=cos|x|图象如：

yf(x)5f(xk),kR.

y=|cos2x+1/2|图象⑩yacosbsina2b2sin()cos 有a2b2y.

11、三角函数图象变换法则

ba

例题讲解

一．求值与化简

1.基本概念与公式（正用、逆用）

例1．已知锐角终边上一点的坐标为2sin3,2cos3,求角=（ ） （A）3 （B）3 （C）3 （D）3 22

例2．sin50(13tan10)．

例3．化简：cos20cos40cos80.

117sin例4．化简：sinsin

242412

6

例5．化简：2sin812cos82

(3tan123)csc12例7．求值：．．

4cos2122cos10例8．化简(tan103)

sin50

cos40sin50(13tan10)例9． ；

sin701cos40 例10．若

311112,化简cos2 22222

例11．求tan12tan33tan12tan33的值

例12．求tan()tan()3tan()tan()的值

6666

例13．求(1tan1)(1tan2)(1tan3)(1tan45)的值

2.齐次式

例1．已知tan2,求下列各式的值。

4sin2cos（1）

5cos3sin

7

2sin23cos2（2）1sin2sincos

（3）sincos

（4）2sin23sincos5cos2

例2．已知tantan11，求下列各式的值：

（1）sin3cossincos；（2）sin2sincos2

3.sincos,sincos关系问题

例1．已知sincos18,(4,2)，求cossin的值．

例2．已知2x0,sinxcosx15. （I）求sinx－cosx的值；3sin2x22sinx2cosx2cos2x2tanxcotx的值.

例3．已知0,,sincos15,求下列各式的值。

⑴sincos ⑵sincos ⑶tancot ⑷tan

8

（Ⅱ）求

例4．已知sincosm，求sin3cos3的值。

3.求：sin4cos4的值． 例5．已知：sincos3

4.整体代换（凑角）问题

sin7cos15sin8例1．不查表，求的值：

cos7sin15sin8

例2.已知：tan()

例3．已知

21,tan()，求：tan()的值. 52444sin()的值．

3335,0，cos()，sin()，求444541311例4．已知tan(),tan，且,0,，求2的值．

27

111)，求的值。 例5．已知,为锐角，cos,cos(714

101例6．已知tan，sin，,均为锐角，求2的值。

107

9

例7．已知tan()11，tan，且,0,，求2的值 27

二．图像与性质 1.图像问题

例1．已知函数yAsin(x)(A0,)的

3一段图象如图所示；（1）求函数的解析式；

8 （2）求这个函数的单调递增区间．  O x 例2．作出ycotxsinx的图像。 8 -2 1例3．根据正弦函数的图像求满足sinx的x范

2围。

例4．若函数y2cosx(0x2)的图像和直线y2围成一个封闭的平面图形，则这个封闭图形的面积为

例5．求函数yAsin(x)(A0,0) 的解析式．

例7．已知f(x)Asin(x)(A0,0) 图象如图

（1）求f(x)的解析式；

（2）若g(x)与f(x)图象关于直线x2对称，求g(x)解析式．

y 2 例8.分析y3sin(2x3)可由ysinx的图像如何变换得到。

10

例9．把函数ysin(2x)的图象向右平移个单位，再把所得图象上各点

48的横坐标

1缩短到原来的，得到怎样的解析式？

2

例10．要得到ysin(2x)的图象，只要将ysin2x的图象进行怎样的平

3移？

例11．简述将y2cos(2x)1的图象变换为ycosx的图象的过程．

4

例12．把函数ycosx3sinx的图象向左平移m个单位，所得的图象关于y轴对称，则m的最小值是（ ）

25A． B． C． D．

3663例13．把函数ysin(2x)的图形向左平移，所得图形对应的函数是

48（ ）

A．奇函数 B．偶函数

C．既是奇函数也是偶函数 D．既不是奇函数也不是偶函数 2.性质问题

例1．已知函数f(x)2cosxsin(x)3sin2xsinxcosx

3 （1）求函数f(x)的最小正周期； （2）写出函数f(x)的单调区间； （3）函数f(x)图象经过如何移动可得到函数ysinx的图象。

例2．已知函数f(x)2sinx(sinxcosx)，求函数f(x)的最小正周期和最大值．

11



例3．关于函数f(x)4sin(2x)xR，下列命题正确的是

3________________

（1）f(x1)f(x2)0，可知x1x2是的整数倍；（2）f(x)表达式可改写为y4cos(2x)；（3）yf(x)图象关于点(,0)对称；（4）yf(x)662cosx图象关于x对称．例4．设0x，则函数y的最小值是

6sinx（ ）

（A）3 （B）2 （C）3 （D）23

5例5．函数ysin(2x)的图像的一条对称轴方程为（ ）

25 A.x B.xC.xD.x2484

例6．求函数y(sinxcosx)22cos2x的最小正周期．

例9．函数ycos(2xA．x2)的图象的一条对称轴方程是 （ ）

2 B．x4 C．x8 D．x

例10．已知函数f(x)2cosxsin(x)3sin2xsinxcosx

3（1） 求函数f(x)的最小正周期；（2）求函数f(x)的最大值和最小值；

（3）求函数f(x)的递增区间． 课后作业

高一数学三角函数测试题

一、选择题

1．下列转化结果错误的是 （ ）

310A． 6730化成弧度是rad B. 化成度是-600度

837C．150化成弧度是rad D. 化成度是15度

61212

是 （ ） 2A．第一象限角 B. 第二象限角 C. 第二或第四象限角 D．第一或第三象限角

2．已知是第二象限角，那么

3．已知sin0,tan0，则1sin2化简的结果为 （ ） A．cos B. cos C．cos D. 以上都不对 4．函数ycos(2xA．x2)的图象的一条对称轴方程是 （ ）

2 B. x4 C. x8 D. x

5．已知x(D. 24 737724 B.  C. ,0)，sinx,则tan2x= ( )A．

252424711,tan()，则tan()的值为 （ ） 24342A．2 B. 1 C. D. 2

2cosxsinx7．函数f(x)的最小正周期为 （ ）A．1 B. C. 2

cosxsinx2D. 

x8．函数ycos()的单调递增区间是 （ ）

234242A．2k,2k(kZ) B. 4k,4k(kZ)

33332828C．2k,2k(kZ) D. 4k,4k(kZ)

33336．已知tan()9．函数y3sinxcosx，x[3 D.

,]的最大值为 （ ）A．1 B. 2 C.

223 210．若、均为锐角，且2sinsin()，则与的大小关系为 （ ）

A． B.  C.  D. 不确定 二、填空题）

13

个单位，然后向下平移2个单位后

32所得的函数解析式为________________________________

12．已知tan()2，则13sincos2cos2=_______________

4513．函数y2sin3x(x)与函数y=2的图像围成一个封闭图形，这个

66封闭图形的面积是_________________________ 11．把函数ysin(2x)先向右平移



14．给出下列命题：

3 2①存在实数,使sincos1 ②存在实数，使sincos35③函数ysin(x)是偶函数 ④x是函数ysin(2x)的一条对称

284轴方程

⑤若、是第象限的角，且，则sinsin

3⑥若、(,)，且tancot，则

22其中正确命题的序号是________________________________ 三、解答题15．(12分）已知角终边上一点P（－4，3），求

cos()sin()2的值 119cos()sin()22

11x3cosx，求： 22（1）函数y的最大值，最小值及最小正周期； （2）函数y的单调递增区间

16．（14分）已知函数ysin14

17．（14分）求证：

sin(2)sin 2cos()sinsin118．（14分）已知sinxcosx(0x)，求tanx的值

5

19．（12分） 已知tan、tan是方程x233x40的两根，且

22求的值

20．（14分）如下图为函数yAsin(x)c(A0,0,0)图像的一部分

、(,)，

15

（1）求此函数的周期及最大值和最小值

（2）求与这个函数图像关于直线x2对称的函数解析式

16