知识要点梳理
一、四则混合运算的顺序
同级运算(只含有加减，或只含有乘除)，从左到右依次计算；含有两级的运算，先算二级(乘除)，后算一级(加减)；算式里有括号的，要先算小括号里面的，再算中括号，最后算中括号外面的。
二、四则混合运算定律
1.加法交换律:a+b=b+a，即交换两个加数的位置，和不变。
2.加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c)，即先把前两个数相加或者先把后两个数相加和不变。 3.乘法交换律:a×b=b×a，即交换两个因数的位置，积不变。
4.乘法结合律:(a×b)×c=a×(b×c)，即前两个数先乘，或后两个数先乘积不变。 5.乘法分配律:(a±b)×c=a×c±b×c，即两个数的和与一个数相乘，可以先把它们与这个数分别相乘，再相加。逆运算:a×b±a×c=a×(b±c)。
6.减法性质:a-b-c=a-(b+c)，即一个数连续减去两个数可用这个数减去这两个数的和。 7.除法性质:a÷b÷c=a÷(b×c)，即一个数连续除以两个数，可以用这个数除以这两个除数的积。
三、分数运算几种常用的间算方法
1.裂项公式:这是对分配律的逆向运用，常用的方法是分数拆项，主要有以下几种形式: (1)分子、分母分别为两个相邻自然数的和与积时：n×(n+1)=n+n+1 (2)分母为两个相邻自然数的积时:
1
n×(n+1)
n+(n+1)
1
1
=−
n
11
n+1
1
1
1
1
(3)分母是差为a（a≠0）的两个自然数的积时：n×(n+a)=(n−n+1)×a 2.数字变形法:这是一种从数字特点出发，创新变形，巧妙地运用运算性质，根据规律达到简算目的的方法，如:
1997
较接近1，可将其转化为1−1998，然后根据情况运用适当的方法。 1998
1
考点精讲分析
典例精讲
考点1四则混合运算顺序的运用
【例1】计算：23÷[(26−1.6×1.25)×15]
【精析】本题含有小括号中括号，按照运算顺序，先算小括号里面的乘法后算减法，再算中括号，最后算中括号外面的除法。此外要掌握小数分数的互化。 【答案】23÷[(26−1.6×1.25)×15] =23÷[(26−2)×15] =23÷[6×5] =×
38
1542
1
8
2
1
3
2
1
3
213
=10
【归纳总结】掌握有括号的混合运算顺序是解题的关键，其次要会小数与分数的互化。 考点2应用加法运算律的简便运算 【例2】计算:4.75-9.63+(8.25-1.37)
【精析】先去掉小括号，使4.75和8.25相加凑整，再运用减法的性质:a-b-c=a-(b+c), 使运算过程简便。
【答案】原式=4.75+8.25-9.63-1.37 =13-(9.63+1.37) =13-11 =2
【归纳总结】熟练掌握去括号和减法的性质是解本题的关键。 考点3 应用乘法运算律的简便运算
【例3】计算：333387×79+790×66661
2
4
1
1
【精析】可把分数化成小数后，利用积的变化规律和乘法分配律使计算简便。 【答案】原式=333387.5×79+790×66661.25 =33338.75×790+790×66661.25 =(33338.75+66661.25)×790 =100000×790 =79000000
【归纳总结】做此类题，先把分数化成小数后，利用积的变化规律和乘法分配律使计算简便。
考点4 拆分法计算分数运算
【例4】计算:99+976+9512+9320+9130+8942+8756+8572+8390+81110 【精析】本题属于典型的带分数计算，一般分成分数加整数，整数部分99+97+95+^利用等差数列求和公式，分数部分是典型的列项公式的应用，分项计算再合并即可。 【答案】(99+97+95+∙∙∙+85+83+81)+(+
6
1
1
1
1
1
1
1
1121
1
1
1
1
1
1
1
1
1
+
120
+
1
130
+∙∙∙+
1
190
+
1
110
)
=(99+81)×10÷2+(2−3+3−3+4−4+∙∙∙+5−9+10−11) =900+(−
21
111
1
)
=900 22
9
【归纳总结】根据各项的特点，把分数拆开，把通项公式写成前后能消去的形式，消去中间部分。
考点5 混合简便运算
【例5】计算：（1）2356÷2356（2）2+
21
142−11
23562357
+
1
162−11
+∙∙∙+
1
1
1002−11
1
1
1
1
1
1
1
1
1
（3）(1+2+3+4)×(2+3+4+5)×(1+2+3+4+5)×(2+3+4)
【精析】(1)此题构思巧妙，新颖别致。要仔细观察，抓住特点，巧妙解答，若按常规算法太复杂，这里面把除数化为假分数时，分子不必算出来，其分子部分2356×2357+2356=2356×2358，其中2356可与被除数中的2356约分。
(2)本题难点忽略1=1，将其中一项利用平方差公式展开再利用裂项公式：
1
1
1
1
1
1
1
1
2
1
n×(n+a)
=
(n−n+1)×a得：22−1=(2−1)×(2+1)=1×3=(1−2)×2以此类推本题就解出来了。 (3)这道题算式都较长，要进行简算，就得整体观察，寻找规律，合理分组变换。数字可分为四个数群，将每一数群中相同的几个数可用一个字母来表示，使算式相同。 【答案】（1）2356÷23562357 =2356÷
2356×2357+2356
23572357
2356
=2356×2356×2357+2356 =2356×2356×(2357+1) =
23572358
2357
1
1
1
1
（2）22+42−1+62−1+∙∙∙+1002−1 =
1111
+++∙∙∙+ (2−1)×(2+1)(4−1)×(4+1)(6−1)×(6+1)(100−1)×(100+1)1
1
1
1
=1×3+3×5+5×7+∙∙∙+99×101 =2×(1−3+3−3+5−7+∙∙∙+99−101) =×(1−
21
1101
1
1
1
1
1
1
1
1
)
=
50
101
1
1
1
1
1
1
1
（3）设2+3+4=a，2+3+4+5=b， 原式=(1+a)×b−(1+b)×a =b+ab−a−ab =b−a=5 【归纳总结】熟练掌握常用方法:变形约分法，裂项消项法，整体代换法。 名题精析
【例】(西安某铁一中分班)9+99+999+9999 4
4
4
4
3
3
3
3
1
【精析】本题不难看出，碰到9要凑整十整百数，将9写成10−即可，以此类推，都可以4
4
31
写成一个整数减一个分数4，然后整数与整数结合分数与分数结合。 【答案】94+994+9994+99994 =10−+100−+1000−+10000− 4
4
4
4
1
1
1
1
3
3
3
3
1
=11110−1 =11109
【归纳总结】本题凑整法比较实用，把一个分数写成一个整数减另一个分数。
毕业升学训练
一、填空题
1.用字母表示加法结合律是（ ）， 乘法分配律是( )。 2.根据运算定律填写。
680-173-27=680-(173 27 ) (28× )×4=28×(25× ) 125×99=125×(100- ) 18×a-a×8= × .
3.在横线上填上合适的数，在切里填上合适的运算符号。 316+58+42=316+（ ○ ） 298-35+165=298-（ ○ ） 100÷25÷4=100÷（ ○ ） 56×19+44×19=（ ○ ）
4.指出下列各题的简便运算运用了什么运算定律或运算性质。 (1)436+(564+329)=1000+329
( ) (2)78×101=78×(100+1)=7800+78
( ) 5.在□里填上适当的数。 （1）1÷[(6-2.8)×□]=0.125 （2）1÷(×□−)=3
556.算式÷×÷×=
4
6
2
8
5
1
7
5
3
7
825
4
1
中有一个运算符号写错了，把他改成正确的算式是：
（ ）。
7.若A××B=C×75%=E÷=D÷,则A，B，C，D，E从小到大依次是（ ）＜（ ）
5
3
2
4
2
3
＜（ ）＜（ ）＜（ ）。
8.小明在计算5.a+b.9时，错算成了8.a+b.6，结果是10，那么5.a+b.9=( )。 9.在下面式子中的○里填上合适的运算符号，使等式成立。 (1)[50.8-(20+9.6○0.4)]×5=34 (2)16.2×[(47−200×700)○17]=8.1
1
1
2
(3)14.7○[(1.6+1.9)×1.4]=3 (4)7×8-100÷=(20○4.5) ○2 (5)÷[○(+)]=2 2384(6)15○[25×(10○5)]=63 二、判断题
1.A÷B÷C=A÷(B×C)( ) 2.78×99=78×100-99 ( ) 3.24+42+76+58=(24+76)+(42+58)( )
4.整数乘法运算律，对小数乘法也同样适用。（ ） 三、计算题 1.计算。
(1)123+35+367 (2)301×43 (3)125×48 (4)56×32+68×56 2.脱式计算(能简算的要简算)
(1)42−13−13 (2)(4+6−3)×12 (3)[1−(4−1.75×2)]÷3.5
316
7
1
1
1
8
4
3
1
2
1
2
1
1
(4)84
41916
×1.375+105
67
15
56
519
×0.9
14
45
13
34
12
23
3.求71×+61×+51×+41×+31×−1的值。
冲刺提升
一、填空题
1.(西安高新某中入学)计算:7÷14×
114
=（ ）
5
2.(西安某工大附中分班)1与一个数的倒数的差是7，这个数是（ ）。
3.(西安某工大附中分班)用4.02乘以一个两位数，得到的乘积是一个整数，那么这个乘积的10倍是( )。
4.(西安高新某中入学)如果2016×2017=2017−a，则a=（ ）。
5. (西安某铁一中分班)小英比小明小5岁，今年他们的年龄和是老师年龄的一半，再过巧
2015
年，他们的年龄和等于老师的年龄，今年小英的年龄是( )岁。 二、(西安某交大附中入学)计算题 1.9999+999+99+3
2.(22016×54+72016×5.75)÷572 3.31+3131+313131+31313131 4.85÷[7.8+4×(2.75+1.25)]
5.(1++∙∙∙+)×(2+3∙∙∙+2016)−(1+2+∙∙∙+2016)×(2+3∙∙∙+2015) 22015
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
4
1
1
302
121212
17171717
1
3
2015
1
8
8
8
1
5.混合运算和简便运算
毕业升学训练
一、1.(a+b)+c=a+(b+c) (a+b)c=ac+bc 2.+ 25 4 1 a 10 3.58 + 42 35 - 165 25 × 4 56 + 44 4.加法结合律 乘法分配律 5.（1）2.5 （2）
32
6. ÷÷÷×= 7. E A B C D 8.7.3 9.÷ ÷ ÷ - × ×
4
6
2
8
525
175378
÷ +
二、1.√ 2.× 3.√ 4.√
三、1.【解析】(1) 123 +35+367
=123+367+35
=490+35
= 525
(2)301×43 =(300+1) ×43 =300×43+1×43
=12900+43
=12943
(3)125×48
=125×8×6 = 1000×6 =6000
（4）56×32+68×56 =56×（32+68） =56×100
=5600
2.【解析】（1）42-
1313
6
7
6
-
7
=42-（13+13）
=42-1 =41 （2）（+ - ）×12
4
6
3
1
1
1
=×12+×12−×12
4
6
3
111
=3+2-4
=1
（3）[1-(4 -1.75×2)]÷3.5
31
=[1-(4 -3.5)]÷3.5
3
1
=[1+3.5-4]×
3
7
12
=
1
21
4
5
（4）84×1.375+105
194
118
19
×0.9
5
9
=（84+）×+（105+）× 19
19
10
=115.5+ +94.5+ 38
38
119
=115.5+94.5+（ =210+ 1910
1138
+
9
38
）
=210 19
10
3.【解析】71×+61×+51×+41××31× -1
6
7
5
6
4
5
3
4
2
3
1615141312
=（70+）× +（60+）×+……+（30+）× – 1
6
7
2
3
76
6556
32
=70×+×+60× + ×+……+30×+×-1
76
7
6
5
6
3
2
3
676565232
=60+50+40+30+20+1×5-1 =204
冲刺提升
一、1. 2. 或 3.2010 4.
28
2
12
1
7
7
20172016
5.5
二、1.【解析】原式=999++99++9+
99
9
9
99
818181
=1000+100+10 =1110
2.【解析】原式=5.75×10÷57.5=1 3.【解析】原式=+
311
+ + 31×1010101 31×10131×10101
3
12
17
101×312×1010117×1010101
=31+31+31+31 =31 33
1
4.【解析】原式=8.8÷（7.8+×4）
4
1
=8.8÷8.8 =1 5.【解析】设+……+
212
131
112015
=B =A
++⋯+
2016
原式=（1+B）A-(1+A)B = A+AB-B-AB =A-B =
12016
35
三、【解析】由题意得甲数=15×÷50%=18
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