北京市石景山区2013届高三上学期期末考试数学文科试题Word版含答案

石景山区2012—2013学年第一学期期末考试试卷

高三数学（文）

本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后上交答题卡.2013

第一部分（选择题 共40分）

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题

目要求的一项．

1．设集合U1,2,3,4，A1,2,B2,4,则（CUA）B（ ）

A． 1,2

B． 2，3,4

Z2Z1C．3,4 D．1,2,3,4

2. 若复数Z1i, Z23i,则

A． 13i

（ ）

B．2i C．13i D．3i

3．AC为平行四边形ABCD的一条对角线，AB(2,4),AC(1,3),则AD（ ）

A．(2,4) B．(3,7) C．(1,1) D．(1,1)

4．下列函数中，既是偶函数，又是在区间(0,)上单调递减的函数是（ ）

A．ylnx

B．yx

2C．ycosx D．y2|x|

5．设m,n是不同的直线，,是不同的平面，下列命题中正确的是（ ）

A．若m//,n,mn，则 B．若m//,n,mn，则// C．若m//,n,m//n，则⊥ D．若m//,n,m//n，则//

高三数学（文科）第1页（共11页）

开始 输入x x>2 6．执行右面的框图，若输出结果为3， 则可输入的实数x值的个数为（ ）

A．1 C．3

7．某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积是（ ） A．

83B．2 D．4

是 否 y=x-12y=log2x 输出y 结束 B．4 D．

43

2

2 2 3 1 正（主）视图 侧（左）视图 C．2

3 俯视图 8. 在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为k，

即k5nknZ，k0,1,2,3,4．给出如下四个结论： ① 20133； ② 22；

③ Z0∪1∪2∪3∪4；

④ 整数a,b属于同一“类”的充要条件是“ab0”． 其中，正确结论的个数为（ ）．

A．1 B．2 C．3 D．4

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第二部分（非选择题 共110分）

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分． 9. 不等式x5x60的解集为 .

10．直线x+y0被圆x2+4x+y20截得的弦长为 ．

yx，11．已知不等式组yx，表示的平面区域S的面积为4，则a ；

xa2若点P(x,y)S，则z2xy 的最大值为 . 12． 在等比数列{an}中，a1=12,a4=-4，则公比q= ；

a1+a2+a3+L+an= ．

13．在ABC中，若a2,B60,b12127，则c ．

14. 给出定义：若m< xm+ (其中m为整数)，则m叫做离实数x最近的整数，

记作{x}，即{x}=m. 在此基础上给出下列关于函数f(x)=x{x}的四个命题： ①y=f(x)的定义域是R，值域是(11,]； 22②点(k,0)是y=f(x)的图像的对称中心，其中kZ； ③函数y=f(x)的最小正周期为1； ④ 函数y=f(x)在(13,]上是增函数． 22 则上述命题中真命题的序号是 ．

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三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题共13分）

已知函数f(x)sin2x(sinxcosx)cosx．

（Ⅰ）求f(x)的定义域及最小正周期； （Ⅱ）求f(x)在区间6，上的最大值和最小值．

4

16．（本小题共14分）

如图1，在RtABC中，C90，BC3，AC6．D、E分别是AC、AB上的点，且DE//BC，将ADE沿DE折起到A1DE的位置，使A1DCD，如图2． （Ⅰ）求证： BC//平面A1DE； （Ⅱ）求证： BC平面A1DC；

（Ⅲ） 当D点在何处时，A1B的长度最小，并求出最小值．

图1

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A1 A D C D C

E B E B

图2

17．（本小题共13分）

一个盒子中装有4张卡片，每张卡片上写有1个数字，数字分别是1､2､3､4．现从盒子中随机抽取卡片．

（Ⅰ）若一次抽取3张卡片，求3张卡片上数字之和大于7的概率；

（Ⅱ）若第一次抽1张卡片，放回后再抽取1张卡片，求两次抽取中至少一次抽到

数字3的概率．

18．（本小题共13分）

已知函数f(x)=lnxax+1,aR是常数．

（Ⅰ）求函数y=f(x)的图象在点P(1,f(1))处的切线l的方程； （Ⅱ）证明函数y=f(x)(x1)的图象在直线l的下方； （Ⅲ）若函数y=f(x)有零点，求实数a的取值范围．

19．（本小题共14分）

32 已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为l:y=x+m交椭圆于不同的两点A、B．

，长轴长为45，直线（Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）求m的取值范围；

（Ⅲ）若直线l不经过椭圆上的点M(4,1)，求证：直线MA、MB的斜率互为相反数．

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20．（本小题共13分）

定义：如果数列{an}的任意连续三项均能构成一个三角形的三边长，则称{an}为“三角形”数列．对于“三角形”数列{an}，如果函数yf(x)使得bnf(an)仍为一个“三角形”数列，则称yf(x)是数列{an}的“保三角形函数”(nN*)．

（Ⅰ）已知{an}是首项为2，公差为1的等差数列，若f(x)kx(k1)是数列{an}的

“保三角形函数”，求k的取值范围；

（Ⅱ）已知数列{cn}的首项为2013，Sn是数列{cn}的前n项和，且满足

4Sn+13Sn8052，证明{cn}是“三角形”数列；

（Ⅲ）若g(x)lgx是（Ⅱ）中数列{cn}的“保三角形函数”，问数列{cn}最多有多少项?

(解题中可用以下数据 :lg20.301,

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lg30.477,lg20133.304)

石景山区2012—2013学年第一学期期末考试

高三数学（文）参考答案

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．

题号 答案

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．

题号 答案 9 10 22 1 B 2 A 3 D 4 D 5 C 6 C 7 B 8 C 11 2；6 12 -2；2n-113 1214 ①③ 2,3 - 3 (9题、11题第一空2分,第二空3分) 三、解答题共6小题，共80分． 15．（本小题共13分）

（Ⅰ）因为cosx0，所以xk+2,kZ.

所以函数f(x)的定义域为{x｜xk+f(x)sin2（xsinxcosx）cosx2,kZ} „„„„„2分

=2xsin2n ２sinxsix+cxosxsin2 + 2sin(x24-) 1 „„„„„5分

T „„„„„7分

72x-（Ⅱ）因为x，所以- „„„„„9分 124464当2x-时，即x时，f(x)的最大值为2； „„„„„11分

444当2x-4-2时，即x8时，f(x)的最小值为-2+1. „„„13分

16．（本小题共14分）

（Ⅰ）证明：DE//BC,DE面A1DE,BC面A1DE

BC//面A1DE „„„„„„„„„„4分

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（Ⅱ）证明： 在△ABC中，C90,DE//BC,ADDE

A1DDE.又A1DCD,CDDED,A1D面BCDE.

由BC面BCDE,A1DBC.

BCCD,CDBCC,BC面A1DC. „„„„„„„„„„9分

（Ⅲ）设DCx则A1D6x

由（Ⅱ）知，△A1CB，△A1DC均为直角三角形． A1B=A1BA1CBC2222A1DDCBC2222 x3(6x)22x12x45 „„„„„„12分

当x=3时,A1B 的最小值是33．

即当D为AC中点时, A1B的长度最小,最小值为33．„„„„„„„14分 17．（本小题共13分）

（Ⅰ）设A表示事件“抽取3张卡片上的数字之和大于7”，任取三张卡片，三张卡片上的

数字全部可能的结果是(1,2,3)，(1,2,4)，(1,3,4)，(2,3,4)． 其中数字之和大于7的是(1,3,4)，(2,3,4)， 所以P(A)12． „„„„„„„6分

（Ⅱ）设B表示事件“至少一次抽到3”，

第一次抽1张，放回后再抽取一张卡片的基本结果有：

(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)

(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)，共16个基本结果．

事件B包含的基本结果有(1,3)(2,3)(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(4,3)， 共7个基本结果．

所以所求事件的概率为P(B)

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716． „„„„„„„13分

18.（本小题共13分） （Ⅰ）f(x)=1xa „„„„„„„2分

f(1)=a+1，kl=f(1)=1a，所以切线 l 的方程为

yf(1)=kl(x1)，即y=(1a)x． „„„„„„„4分

（Ⅱ）令F(x)=f(x)(1-a)x=lnxx+1，x>0，则

F(x)=1x1=1x(1x)， 解F(x)=0得x=1.

x F(x) F(x) (0 , 1) 1 (1 , )  ↗ 0 最大值 ↘ F(1)<0，所以x>0且x1，F(x)<0，f(x)<(1a)x，

即函数y=f(x)(x1)的图像在直线 l 的下方． „„„„„„„9分 （Ⅲ）y=f(x)有零点，即f(x)=lnxax+1=0有解，a=令 g(x)=lnx+1xlnx+1xlnxx2 .

，g(x)=(lnx+1x)=1(lnx+1)x2=，

解g(x)=0得x=1. „„„„„„„11分

则g(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+)上单调递减， 当x=1时，g(x)的最大值为g(1)=1，

所以a1. „„„„„„„13分

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19．（本小题共14分）

（Ⅰ）由题意知,2a45，又因为e，解得a=25,b=5,c=15 2故椭圆方程为

x2320y25x21． „„„„„„„4分

（Ⅱ）将yxm代入

20y2221并整理得5x8mx4m200，

522解得5m5． „„„„„„„7分 =(8m)-20(4m-20)>0，（Ⅲ）设直线MA,MB的斜率分别为k1和k2，只要证明k1k20．

设A(x1,y1)，B(x2,y2)，

8m5则x1x2,x1x2y21x244m2052． „„„„„„„9分

k1k2y11x14(y11)(x24)(y21)(x14)(x14)(x24)分子(x1m1)(x24)(x2m1)(x14)2x1x2(m5)(x1x2)8(m1)2(4m20)52

8m(m5)58(m1)0所以直线MA、MB的斜率互为相反数． „„„„„„„14分20．（本小题共13分）

（Ⅰ）显然ann1,anan1an2对任意正整数都成立，即{an}是三角形数列．

因为k1，显然有f(an)f(an1)f(an2)，

nn1n2k由f(an)f(an1)f(an2)得kk

解得

1-52高三数学（文科）第10页（共11页）

所以当k(1,125)时，

xf(x)k是数列{an}的保三角形函数. „„„„„„„3分

（Ⅱ）由4sn13sn8052，得4sn3sn18052，

两式相减得4cn13cn0，所以cn201334n1 „„„„„„„5分

经检验，此通项公式满足4sn13sn8052. 显然cncn1cn2,

（）+2013(）因为cn1cn22013443n3n121162013（34）n1cn,

所以{cn}是三角形数列. „„„„„„„8分

3（Ⅲ）g(cn)lg[20134n13]=lg2013+(n-1)lg,

4所以g(cn）是单调递减函数. 由题意知，lg2013+(n-1)lg（n-1）lg由①得

343>0①且lgcn1lgcnlgcn2②, 4>-lg2013，解得n27.4,

由②得nlg34>-lg2013，解得n26.4.

即数列{bn}最多有26项. „„„„„„„13分 【注：若有其它解法，请酌情给分．】

高三数学（文科）第11页（共11页）