1、假设政府对一个每月收入400美元的贫困家庭进行补贴。有三种方案：第一，允许该家庭购买400美元的食品券，单位美元食品券的价格为0.5；第二，政府直接发给该家庭200美元的食品券补贴；第三，政府直接发给该家庭200美元的货币补贴。画出三种方案下该家庭的预算线，解释该家庭的最优选择，并分析三种方案的优劣。 解： Y（美元） A E E C
U 200 E U
U D
F（美元） 200 400 B
如上图所示，横轴表示花费在食品上的货币数量，纵轴表示花费在其他商品上的货币量，初始预算线为CD。
第一种补贴方案下，该家庭可以用200美元购买400美元的食品券，因此预算线变为折线CE1B，最优选择为E1点，效用水平为U1；
第二种补贴方案下，政府直接发放给该家庭200美元食品券补贴，因此预算线变为CE2B，最优选择为E2点，效用水平为U2；
第三种补贴方案下，政府直接发放给该家庭200美元的货币补贴，因此预算线直接平移到AB，最优选择为E3点，效用水平为U3。
综上所述，因为U3>U2>U1,所以对于该家庭而言，第三种方案最好，第二种方案次之，第一种方案最差。
2、请画出以下各位消费者对两种商品（咖啡和热茶）的无差异曲线。 （1）消费者A喜欢喝咖啡，对喝热茶无所谓； （2）消费者B喜欢1杯热茶和1杯咖啡一起喝；
（3）消费者C认为，在任何情况下，1杯热茶和2杯咖啡是无差异的； （4）消费者D喜欢喝咖啡，讨厌喝热茶。
解：（1） （2） U1 U2 U3 U1 U2 U3 热茶 热茶
咖啡 咖啡 （3） （4） 热茶 热茶 U1 U2 U3
U3 U2
U1
323121咖啡 咖啡 3、写出下列情形的效用函数，画出无差异曲线，并在给定价格（p1，p2）和收入（m）的情形下求最优解。
（1）x1=一元纸币，x2=五元纸币。𝑈(𝑥)=𝑥1+5𝑥2
（2）x1=一杯咖啡，x2=一勺糖, 消费者喜欢在每杯咖啡加两勺糖。
m2m1x2ux1,x2minx1,x2x1p12p2，p12p2 2，
解：（1）当p1/p2>0.2时，x1=0, x2=m/p2；
当p1/p2=0.2时，(x1,x2)={(x1,x2)|p1x1+p2x2=m,x1>0,x2>0} 当p1/p2<0.2时，x1=m/p1, x2=0
1
x1=x2=m
2（2）{ p1x1+p2x2=m
m2m
解得：x1=p+2p, x2=p+2p 1
2
1
2
4、假设某消费者的效用函数为：𝑈(𝑥1,𝑥2)=𝑙𝑛𝑥1+𝑥2
试问：给定商品1和商品2 的价格为𝑝1和𝑝2，如果该消费者的收入𝐼足够高，则收入的变化是否会导致该消费者对商品1的消费，并解释原因。 解：该消费者追求效用最大化，则有：
𝑀𝑎𝑥𝑙𝑛𝑥1+𝑥2 𝑥1,𝑥2
s.t. 𝑝1𝑥1+𝑝2𝑥2=𝐼
则拉格朗日辅助函数为：
𝐿=𝑙𝑛𝑥1+𝑥2−𝜆(𝑝1𝑥1+𝑝2𝑥2−𝐼) 效用最大化的一阶条件为：
∂L1
=−λp1=0
∂x1x1
∂L
=1−λp2=0
∂x 2
∂L
=𝑝1𝑥1+𝑝2𝑥2−𝐼=0{∂λ解上述方程可得： x1=p2/p1
所以，如果消费者的收入足够高，则收入的变化不会导致该消费者对商品1消费的变化。
5、一个消费者被观察到当他面临的价格为𝑝1=2,𝑝2=6时，购买量为𝑞1=20,𝑞2=10；另一次，当他面临的价格为𝑝1=3,𝑝2=5时，他的购买量为𝑞1=18,𝑞2=4。请问他的行为符合显示性偏好弱公理吗？请解释原因。
解：他的行为符合显示性偏好弱公理。显示偏好弱公理指的是如果（x1,x2）被直接显示偏好于（y1,y2），且（x1,x2）和（y1,y2）不相同，那么，（y1,y2）就不可能被直接显示偏好于（x1,x2）。换句话说，假定一个消费束（x1,x2）是按价格（p1,p2）购买的，另一个消费束是按价格（q1,q2）购买的，只要有p1x1+p2x2>=p1y1+p2y2,就不可能再有q1x1+q2x2>=q1y1+q2y2。
在本题中，当价格（2,6）时，20*2+10*6>18*2+4*6说明消费者有能力购买（18,4）这个消费束，却选择了（20,10）这个消费束。这表明，在价格为（2,6）时，（20,10）比（18,4）更受该消费者偏好；当价格为（3,5）时，他选择了消费束（18,4），并且3*18+5*4<3*20+5*10,说明在价格为（3,5）时，消费者（20,10）是该消费者支付不起的。所以他的行为符合显示偏好弱公理。
6、我们用𝑥1和𝑥2表示消费者对商品𝑋1和𝑋2的消费数量。现在给定消费者的效用函数为
𝛼𝛽
𝑈(𝑥1,𝑥2)=𝑥1𝑥2，两种商品的价分别为𝑝1和𝑝1，消费者的收入为𝑚。 （1）求该消费者将收入的多大比例分别用于消费𝑋1和𝑋2； （2）求消费者对𝑋1和𝑋2的需求函数；
（3）当消费者均衡时，两种商品的需求价格弹性是多少？ 解：（1）消费者追求效用最大化，则有：
𝛼𝛽
𝑀𝑎𝑥𝑥1𝑥2 𝑥1,𝑥2
s.t. 𝑝1𝑥1+𝑝2𝑥2=𝑚
效用最大化时，边际效用之比等于价格之比，则有：
𝜕𝑈/𝜕𝑋1𝑃1
= 𝜕𝑈/𝜕𝑋2𝑃2
𝛼
解得： 𝛼𝑥2𝑝2=𝛽𝑥1𝑝1 ，𝑥1𝑝1=𝑚 , 𝑥2𝑝2=
𝛼+𝛽
𝛽𝛼+𝛽
𝑚
则收入用于商品1的比例为：𝛼/(𝛼+𝛽) 收入用于商品2的比例为：𝛽/(𝛼+𝛽)
（2）由（1）可知两种商品各自的需求函数为：
𝛼𝑚
𝑥1(𝑝1,𝑝2,𝑚)=, 𝑥2(𝑝1,𝑝2,𝑚)=
𝛼+𝛽𝑝1
𝛽𝑚
𝛼+𝛽𝑝2
7、在下列效用函数形式里，哪些是效用函数的单调变换？
22（3）商品1的需求价格弹性为：
𝑝1𝜕𝑥1𝑝1𝛼𝑚1
𝜀1=−=−(−2)=1 𝑥1𝜕𝑝1𝑥1𝛼+𝛽𝑝1
同理，商品2的需求价格弹性为：
𝜀2=1
（1）u2v13 ；（2）u1/v；（3）u1/v；（4）ulnv
（5）ue；（6）uv；（7）uv，对于v0；（8）uv，对于v0 解：（1）、（4）、（5）、（7）
8、某人的效用函数为𝑈=𝑥𝑦，购买𝑋和𝑌两种商品，月收入为120元，𝑝𝑥=2,𝑝𝑦=3。 （1）为获得最大的效用，应如何选择商品𝑋和𝑌的组合； （2）货币的边际效用和总效用各是多少；
（3）𝑋的价格提高30%，𝑌的价格不变，他必须增加多少收入才能保持原有效用不变。 解：（1）由效用最大化原则有：
𝑀𝑎𝑥𝑥𝑦 𝑥,𝑦
v222s.t. 2𝑥+3𝑦=120
拉格朗日函数为：L=xy−λ(2𝑥+3𝑦−120) 效用最大化的一阶条件为：
∂L
=y−2λ=0
∂x ∂L
=x−3λ=0
∂y
∂L
=2𝑥+3𝑦−120=0{∂λ解得：x=30,y=20
（2）总效用为：U=xy=20×30=600
MUMU
货币的边际效用为：λ=PX=PY=10 （3）若𝑋的价格提高阶条件为：
30%，则p′x
X
Y
=2×1.3=2.6。在新的价格之下，效用最大化的一
∂L
=y−2λ=0
∂x ∂L
=x−3λ=0
∂y
∂L
=2.6𝑥+3𝑦−𝑚=0{∂λ再加上方程：U=xy=600,可解得m=2.6×20+3×30=142
则收入应增加：Δm=142−120=22
201000
9、假设某个学生的月收入为𝑚=1000元，他对面包的需求函数为𝑥(𝑝,𝑚)=𝑝+𝑚，面包的价格为𝑝=4。
（1）当面包的价格从𝑝=4上升到𝑝′=5时，为使该学生仍然买得起原来的面包消费量，他的收入应该增加多少；
（2）请计算面包价格上升的斯勒茨基（Slutsky）替代效应； （3）请计算收入效应。
201000
解：（1）该学生对面包的需求函数为𝑥(𝑝,𝑚)=+，当𝑚=1000，p=4时，该学生对面包的需求量为：𝑥=
204
+
10001000
𝑝𝑚
=6。
当价格从p=4上升到p’=5时，让使得该学生仍然买得起原来的面包消费量x=6，他的收入应该增加𝛥𝑚=𝑥×𝛥𝑝=6×(5−4)=6。
（2）为了使得该学生买得起原来的面包消费量，该学生所需的收入水平为：𝑚′=𝑚+𝛥𝑚=1000+6=1006。将新的价格p′=5和新的收入水平m′=1006带入到需求函
201000
数，可得：x′(p′,m′)=+=4.994。所以可得slutsky替代效应为：𝛥𝑥𝑠=
51006
′′
𝑥(𝑝,𝑚)−𝑥(𝑝,𝑚)=4.994−6=−1.006
（3）收入效应反映的是因收入变化所导致的需求量的变化。所以当价格为p′=5,收
201000
入m=1000代入需求方程，可得x(p′,m)=+=5,所以，收入效应为：Δxn=
51000
x(p′,m)−x(p′,m′)=5−4.994=0.006
10、Dudley的效用函数是U(C,R)=C−(12−R)2，其中R是他每天拥有的闲暇时间。他每天有16小时可用在工作和闲暇上，每天有20美元的非劳动收入。消费品的价格是每单位1美元。
(a) 如果Dudley每天愿意工作多少个小时都可以，并且工资是每小时10美元，他将会选择多少小时的闲暇？选择工作多少小时呢？
(b) 如果Dudley的非劳动收入降到每天5美元，而他的工资还是每小时10美元，他将会选择工作多少小时？
(c) 假设Dudley必须对他所有的收入支付20%的收入税，并假设他的税前工资还是10美元一小时，税前非劳动收入还是每天20美元。他将会选择工作多少小时？ 解：（1）由消费等于收入恒等式，有：
C=m+w∗L
其中，C表示消费，m表示非劳动收入，L表示劳动时间，W表示工资水平。 又由题意可得： R=16−L
将C和R代入到效用方程中可得：U(C，R)=m+w∗L−(L−4)2 当m=20,W=10时，U(C，R)=20+10L−(L−4)2
∂U
=10−2(L−4)=0 ∂L
解得：L=9
（2）如果m=5，W=10，U(C，R)=5+10L−(L−4)2
∂U
=10−2(L−4)=0 ∂L解得：L=9
（3）如果征收20%的收入税，则
m=20×(1−0.2)=16,W=10×(1−0.2)=8, U(C，R)=16+8L−(L−4)2
∂U
=8−2(L−4)=0 ∂L 解得：L=8
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