相似三角形知识点归纳(全)8号

知识点1 有关相似形的概念

(1)形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形.

(2)如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多 边形．相似多边形对应边长度的比叫做相似比(相似系数)．

知识点2 比例线段的相关概念、比例的性质

（1）定义： 在四条线段a,b,c,d中，如果a和b的比等于c和d的比，那么这四条线段a,b,c,d叫做成比例线段，简称比例线段．

注：①比例线段是有顺序的，如果说a是b,c,d的第四比例项，那么应得比例式为：

bd． caab(交换内项)cd，ac②dc， 核心内容：adbc (交换外项)bdbadb(同时交换内外项)ca．（2）黄金分割：把线段AB分成两条线段AC,BC(ACBC)，且使AC是AB和BC的比例中项，即ACABBC，叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，其中

2AC51ACBC51长短51AB≈0.618AB．即 简记为：＝＝ 2ABAC2全长20

注：①黄金三角形：顶角是36的等腰三角形

②黄金矩形：宽与长的比等于黄金数的矩形 （3）合、分比性质：

acabcd． bdbd

注：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间

badcacac发生同样和差变化比例仍成立．如：等等．

abcdbdabcd acem(bdfn0)， bdfnacema． 那么

bdfnb（4）等比性质：如果

ABCDEF

知识点3 比例线段的有关定理

平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所截得的对应线段成比例. 已知AD∥BE∥CF,

可得

ABDEABDEBCEFBCEFABBC等. 或或或或BCEFACDFABDEACDFDEEFA特别在三角形中： 由DE∥BC可得：

ADAEBDECADAE 或或DBECADEAABACBDEC

知识点4 相似三角形的概念

（1）定义：对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形．相似用符号“∽”表示，读作“相似于” ．相似三角形对应边的比叫做相似比(或相似系数)．相似三角形对应角相等，对应边成比例．

注：①对应性：即把表示对应顶点的字母写在对应位置上 ②顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的．

③两个三角形形状一样，但大小不一定一样． ④全等三角形是相似比为1的相似三角形．

（2）三角形相似的判定方法

1、平行法：（图上）平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似.

2、判定定理1：简述为：两角对应相等，两三角形相似． AA

3、判定定理2：简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．SAS 4、判定定理3：简述为：三边对应成比例，两三角形相似．SSS 5、判定定理4：直角三角形中，“HL” 全等与相似的比较： 三角形全等 两角夹一边对应相等(ASA) 两角一对边对应相等(AAS) 两边与夹角对应相等(SAS) 三边对应相等(SSS)、(HL） 三角形相似 两角对应相等 两边对应成比例，且夹角相等 三边对应成比例 “HL” （3）射影定理： 如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC上的高，

2

则∽＝＝＞AD=BD·DC，

2

∽＝＝＞AB=BD·BC ，

2

∽＝＝＞AC=CD·BC .

B

ADC知识点5 相似三角形的性质

(1)相似三角形对应角相等，对应边成比例．

(2)相似三角形周长的比等于相似比．

(3)相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比． (4)相似三角形面积的比等于相似比的平方．

知识点6 相似三角形的几种基本图形：

（1） 如图：称为“平行线型”的相似三角形（有“A型”与“X型”图） ADE AE D CCBB(3)(1)

(2) 如图：其中∠1=∠2，则△ADE∽△ABC称为“斜交型”的相似三角形。（有“反A共角型”、

“反A共角共边型”、 “蝶型”） DAA

1

EE 4E1A

D 1D22C2 CBCBB(3)一线三等角的变形:

知识点7 等积式证明题常用方法归纳：

(1)总体思路:“等积”变“比例”，“比例”找“相似” (2)找相似：通过“横找”“竖看”寻找三角形，即横向看或纵向寻找的时候一共各有三个不同的字母，并且这几个字母不在同一条直线上，能够组成三角形，并且有可能是相似的，则可证明这两个三角形相似，然后由相似三角形对应边成比例即可证的所需的结论.

(3)找中间比：若没有三角形(即横向看或纵向寻找的时候一共有四个字母或者三个字母，但这几个字母在同一条直线上)，则需要进行“转移”(或“替换”)，常用的“替换”方法有这样的三种：等线段代换、等比代换、等积代换.

即：找相似找不到，找中间比。方法：将等式左右两边的比表示出来。

(4) 添加辅助线：若上述方法还不能奏效的话，可以考虑添加辅助线(通常是添加平行线)构成 比例. 注：添加辅助平行线是获得成比例线段和相似三角形的重要途径。平面直角坐标系中通常是作垂线（即得平行线）构造相似三角形或比例线段。

知识点8 相似多边形的性质

(1)相似多边形周长比，对应对角线的比都等于相似比．

(2)相似多边形中对应三角形相似，相似比等于相似多边形的相似比． (3)相似多边形面积比等于相似比的平方．

注意：相似多边形问题往往要转化成相似三角形问题去解决，因此，熟练掌握相似三角形知识是基础和关键．

知识点9 位似图形有关的概念与性质

（1） 位似图形是相似图形的特例，位似图形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点. （2） 位似图形一定是相似图形，但相似图形不一定是位似图形. （3） 位似图形的对应边互相平行或共线. （4）位似图形具有相似图形的所有性质.

位似图形的性质：

 位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比.

在平面直角坐标系中，如果位似是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标比等于k或-k.（若位似中心不是原点，则向坐标轴作垂直构造直角三角形，利用相似解决或是先平移到原点，求出对应点的坐标再平移回去）

知识点一：平行线成比例定理 典型例题

BE3AE交BD于点F，例1、如图，平行四边形ABCD中E是BC上的一点，，

EC4BE 及DF的值。BF6cm，求DA

A

D

F

例2.如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相

O，E是CD的中点，AE交BD于F，则DF:FO＝_____。

BEC交于

跟踪练习1：如图，平行四边形ABCD中，O1、O2、O3为对角线BD上三点，且BO1＝O1O2＝

O2O3＝O3D，连结AO1并延长交BC于点E，连结EO3并延长交AD于F，则AD:FD等于（ ）。

A、19:2； B、9:1； C、8:1； D、7:1

2、如图，在平行四边形ABCD中R在BC的延长线上，AR交BD于P，交CD于Q，若DQ∶

CQ＝4:3，则AP∶PR＝

PQCRAD

B3、(2015•XX株洲,第7题3分)如图，已知AB、CD、EF都与BD垂直，垂足分别是B、D、F，且AB＝1，CD＝3，那么EF的长是

( )

1234A．B．C．D．

3345

CABEF第7题图

D4、（2015•XXXX,第9题3分）如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，DE∥AC，若S△BDE：S△CDE=1：3，则S△DOE：S△AOC的值为（ ） A．B．

5、（2015•XXXX,第5题3分）如图，∥∥，两条直线与这三条平行线分别交于点A、B、C和D、E、F．已知（ ） A．

B．

C．

D．

，则

的值

为

C． D．

知识点二、相似三角形的判定

典型例题

例1、如图，CD是Rt△ABC斜边上的中线，过点D垂直于直线AB的直线交BC与点F，交

AC的延长线于点E，求证：CD2DEDF

E

C

F

BAD

例2、在⊿ABC中，AD是∠BAC的外角平分线，CE∥AB，求证AB•DEAD•AC

FAEBCD例3、如图，在⊿ABC中，AD是角平分线，E是AD上的一点，且CE = CD，求证：AB•AEAC•AD

AEBDC例4、已知，如图，在△ABC中，∠C=600，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，试说明△CDE∽△CBA。

A

E

B C D

课后自我练习

1.如图，在△ABC中，AD为中线，CF为任意直线且交AD于点E，交AB于点F，

求证：

ADAEDEBAE2AF = EDFBFEADC2. 如图，已知ABACBC，试说明：AB·EC＝AC·BD。

DEABC3. 在△ABC中，M是AC边的中点，且AE= 求证: BC=2CD

1BA，连接EM，并延长交BC的延长线于D， 44.已知，如图，F为 ABCD边DC延长线上一点，连结AF，交BC于G，交BD于E，试说

明AE2=EG·EF

5、已知：在△ABC中，∠BAC=900 AD⊥BC于F ， 求证： EF2=AE·AC

D C

F E G A B ⊥BC于D，P为AD中点，BP延长线交AC于E，EF