三角形中线的应用

教材学情分析：

学生在学习了三角形、平行四边形之后，掌握了全等三角形、平行四边形及特殊的平行四边形的相关性质和判定，可以证明简单的线段相等和角相等以及相关的方法.但对较复杂的几何证明题，大多数的学生还是显得力不从心.有些学生因此还产生困惑：定义、性质、定理都会背，就是不会做题，一遇到稍复杂的几何题就无从下手.通过深入了解发现，有很多同学对于几何证明题中许多辅助线的作法及相关规律没有掌握，不能灵活应用.其实在几何中，一些特殊的线或线段，就能给我们提示思考方法和解题思路，掌握这些特殊线或线段的应用，对于我们提高解题能力、总结解题方法、解决实际问题都有很大帮助.“三角形中线的应用”就是巧妙利用三角形中线（有时候是中点）的性质和特点，归纳总结与三角形中线有关题型的解题方法.

教学目标：

知识与技能：理解三角形中线的定义、性质.

过程与方法：让学生在解题过程中掌握三角形中线的应用规律，归纳几何解题的技巧. 情感态度与价值观：学生在合作交流中，培养有条理的思维方法，积累数学活动经验，体验用中线的相关性质解决问题后的成功感.

教学重难点：

重点：应用三角形中线相关性质解题.

难点：结合不同条件，在具体题目中应用中线、中点的特点作辅助线.

教学设计思想：

三角形的中线，很可能大多数学生只知道中线把对边分成两条相等的线段，可能还有部分学生会想到中线分三角形为两个面积相等的三角形.本节课是想让学生通过具体的问题，归纳在特殊的三角形中的中线的特点及其应用.有些题目有些难度，在课前把学案发给学生，让他们通过预习探究先解决简单的问题，不能解决的问题在课堂上通过老师的点拨和几何画板的演示，让学生找出解决问题的思路和方法，最后进行总结归纳.

教学过程：

A复习引入：已知△ABC中，AD是中线，你能得到哪些结论？ 老师：根据图形说你能得到哪些结论，说得越多越好. 学生：1、线段BD=线段CD

CB 2、△ABD与△ACD的面积相等. D以上两条是学生最容易想到的，其实在特殊三角形中， 图１

三角形的中线还有很多特殊的性质，看来还是要通过具体的问题，让学生在解决实际问题的过程中去归纳总结.

应用精选：

１、一根长为a 的木棍AB斜靠在墙上，设木棍的中点为P，当木棍A端下滑时： （１）点P到点O的距离是否变化，为什么？

（２）当木棍滑到什么位置时，△ABC的面积最大？

A先让学生独立思考，第一问难度不大，主要是想让学生归纳： 在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半.在特殊的三 角形中，中线还有更特殊的性质. P学生一：点P到点O的距离不变，根据是在直角三角形中 斜边上的中线等于斜边的一半. C第二问有一定的难度，通过几何画板演示，当线段AB在滑 动的过程中，△AOB的面积变化情况.同进提醒同学们注意，在 OBB O 线段AB滑动过程中，线段AB是不会变化的，把它当三角形的 图2 底边，观察AB边上高OC的变化情况.

学生二：当OC与中线OP重合时，即AB与墙面成450时，三角形的面积最大. 点评： 本题主要是想让学生注意在直角三角形中，斜边上的中线的特殊性.

２、在Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，O为BC的中点，M、N是AB、AC上的动点，且AN=BM.判断△OMN的形状，并证明你的结论.

通过前一题应该有启发：有斜边上的中点，联想到斜 C边上的中线.所以辅助线问题应该是能够解决.

学生一：△OMN是等腰三角形.因为有斜边上的中点，连

O接AO，就可以证明△AON与△BOM全等，从而得到OM=ON.

N学生二：还可以证明∠MON=900，从而证明△OMN是等腰 直角三角形. BAM点评：学生通过上题可能掌握了直角三角形中斜边上的中线性质， 图3 但在等腰直角三角形中，斜边上的中线还有“三线合一”的性质.

３、在□ABCD中，对角线AC、BD相交于O点，且BD=2AB，E、F分别是OA、BC的中点.

（１）求证：EF=BF

（２）如果AC=BD，G是BD上的一点，且BD：GD=4：1，试判断四边形EBFG的形状，并说明理由.

AD EO老师：本题要充分利用平行四边形的性质，再结合

E、F是中点这一条件，在相关三角形中就会有中线， 再利用三角形中线的性质来解决问题. BCF学生分析思路： 图4

学生一：平行四边形的对角线互相平分，所以OB=OD，

且BD=2AB，得到AB=OB，那么BE为等腰△ABO的底边上的中线，所以BE⊥AO，进一步得

A到△BEC为直角三角形，EF为斜边BC上的中线， D从而得到：EF=BF EO学生二：在平行四边形基础上，AC=BD，所以四边

形ABCD是距形.又因为BD：GD=4：1，可以得到G

点为OD的中点，那么EG为△AOD的中位线，结合第一

B问的结论，可以得到四边形EBFG是菱形. CF点评： 本题是想充分利用等腰三角形底边上的中线的性质， 图5

得到垂直.同时也提醒学生注意，当在一个三角形中有两边 的中点时，就要想到三角形的中位线性质.

A４、已知AD为△ABC的中线，求证：AB+AC＞2AD.

老师：通过此题的辅助线的作法，归纳思路.就是利用 中线的特点构造全等三角形. CBD学生：延长AD到E，使DE=AD，连接CE，得到 △ABD全等于△ECD，把AB转化到△ACE中来，再

E利用三角形三边之间的关系可以得到：AB+AC＞2AD

图6 老师：题中的辅助线也可以通过过C点作AB的平

行线与AD的延长线相交得到.

探究：菱形ABCD中，∠A=110°，E、F分别是AB、BC的中点，EH⊥CD， 求∠FHC的度数.

本题有一定的难度，根据学生探究情况，适当提示，

AD连接EF并延长，与DC的延长线相交于G点.再观察

有没有全等三角形.

学生： 连接EF并延长，与DC的延长线相交于点 EG，即可证明EF=GF，而EH⊥CD，所以在Rt△EHG

H 中，HF为斜边上的中线，FH=FG，从而把∠FHC转

CBF化到∠G上来.再利用菱形的相关性质，得到∠B=700，

∠BEF=∠BFE=550 ，所以∠G=550 ，∠FHC=550

老师：本题作辅助线的基本思想是把中线延长一倍，寻 G找全等三角形.但在实际操作过程中，可能是通过延长来 图7 达到这个目的.所以要灵活掌握，活学活用.以上几个例

题都是充分利用三角形的中线的性质，特别是等腰三角形、

直角三角形、等腰直角三角形中线的特点，掌握相关作辅助线的作法，达到化难为易的目的.

５、已知AD是△ABC的中线，BE是△ABD的中线.△ABC的面积等于20，BD=５，求Ｅ点到BC的距离.（本题难度不大，学生应该能够解决.）

学生：因为AD是△ABC的中线，所以△ABD的面积 A等于10，又BE是△ABD的中线，△BDE的面积等于5， 且BD=5，所以图中BD边上的高h=2.而E点到BC的 E距离即为h的长度.

h点评： 本题即是利用三角形的中线把三角形的分成两个

CBD面积相等的三角形，原理是等底等高.

图8

６、已知O点是△ABC的重心.AO⊥CO，且AO=3，CO=4，求BO的长.

老师：根据重心的定义及性质来思考.

学生： 因三角形的重心是三角形三条中线的交点， A所以延长BO与AC边的交点D就是AC边的中点.且 AO⊥CO，OD就是直角三角形斜边上的中线，所以

DOD=

15AC=.根据重心的性质，OB=2OD，所以 22OB图9

CBO=5.

点评： 本题利用重心的定义及性质，结合直角三角形斜 边上的中线的特点来解题.难度并不大.主要是培养学生

逆向思维的方法，学生都知道三角形三条中线相交一点，这点叫重心，如果先知道重心，那么延长BO与AC边的交点就应当是AC边的中点，培养学生逆向思维的方法.（延长BO与AC的交点就是AC边的中点）

归纳小结：

复习引入时的提问，学生当时归纳三角形中线的特点肯定有不完整的地方，现在通过 解决以上的题目，基本上能完整归纳出三角形中线的特点.特别是等腰三角形底边上的中线、直角三角形斜边上的中线以及等腰直角三角形斜边上中线的性质，在以上题目中有较多的应用.具体为：

1、线段BD=线段CD

A2、△ABD与△ACD的面积相等.

3、等腰三角形中底边的中线垂直于底边（三线合一）. 4、直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半.

5、等腰直角三角形斜边上的中线分原直角三角形为两个

CBD等腰直角三角形.

图１ 6、重心的应用.

课后反思：

本节课是想通精选例题，集中了三角形中线的应用，让学生掌握中线在解题中的一些技

巧.在复习引入时让学生回答由三角形中线得到哪些结论时，一般学生都只能得到中线平分某一边，或是中线分三角形得到两个面积相等的三角形.这时老师不必先补充还有哪些性质，可通过解决精选例题逐步来回答这些问题.

本节课精选的例题要想在一节课内完成有一定的困难， AD必须让学生在课前通过小组合作学习分析前三题的解题思 路，在课堂上再通过学生发言、老师点拨，进一步完善前

E三题的解题过程.第4题后的探究题有一定的难度，通过 对比第4题的辅助线的作法，实际上课时也还学生提出另

H外的辅助线的作法，即延长HF与EB的延长线相交于点 BCFG，如右图. 并让一名学生上台展示完整的解题过程. G 通过本节课学生对三角形中线应用的探究，能够形成 图10 一定的技能，提高了解题的能力，加深了对三角形中线的 认识，达到了教学目标.

宜都市西湖中学 黄 勇