三年级整数的速算与巧算

知识框架

一、加减法中的速算与巧算

速算巧算的核心思想和本质：凑整。常用的思想方法总结如下：

（1） 分组凑整法．把几个互为“补数”的减数先加起来，再从被减数中减去，或先减去那些与被减数

有相同尾数的减数．“补数”就是两个数相加，如果恰好凑成整十、整百、整千……，就把其中的一个数叫做另一个数的“补数”．

（2） 加补凑整法．有些算式中直接凑整不明显，这时可“借数”或“拆数”凑整．

（3） 数值原理法．先把加在一起为整十、整百、整千……的数相加，然后再与其它的数相加． （4） “基准数”法，基准当几个数比较接近于某一整数的数相加时，选这个整数为“基准数”（要注

意把多加的数减去，把少加的数加上）

二、乘法凑整

思想核心：先把能凑成整十、整百、整千的几个乘数结合在一起，最后再与前面的数相乘，使得运算简便。例如：425100，81251000，520100

123456799111111111 （去8数，重点记忆） 711131001（三个常用质数的乘积，重点记忆） 理论依据：乘法交换率：a×b=b×a 乘法结合率：(a×b) ×c=a×(b×c) 乘法分配率：(a+b) ×c=a×c+b×c

积不变规律：a×b=(a×c) ×(b÷c)=(a÷c) ×(b×c)

三、乘、除法混合运算的性质

（1） 商不变性质：被除数和除数乘（或除）以同一个非零数，其商不变．即：

ab(an)(bn)(am)(bm)　　m0，n0

（2） 在连除时，可以交换除数的位置，商不变．即：abcacb

（3） 在乘、除混合运算中，被乘数、乘数或除数可以连同运算符号一起交换位置（即带着符号搬家）．

例如：abcacbbca

（4） 在乘、除混合运算中，去掉或添加括号的规则

Page 1 of 15

去括号情形：①括号前是“×”时，去括号后，括号内的乘、除符号不变．即

a(bc)abc　　　a(bc)abc

②括号前是“÷”时，去括号后，括号内的“×”变为“÷”，“÷”变为“×”．即

a(bc)abc　　　a(bc)abc

添加括号情形：加括号时，括号前是“×”时，原符号不变；括号前是“÷”时，原符号“×”变为“÷”，“÷”变为“×”．即

abca(bc)　　　abca(bc)abca(bc)　　　abca(bc)

（5） 两个数之积除以两个数之积，可以分别相除后再相乘．即

(ab)(cd)(ac)(bd)(ad)(bc)

上面的三个性质都可以推广到多个数的情形．

例题精讲

一、加减速算

【例 1】 计算：

（1）117＋229＋333＋471＋528＋622 （2）（1350＋249＋468）＋（251＋332＋1650） （3）756－248－352

（4）894－89－111－95－105－94

【考点】分组凑整 【难度】☆ 【题型】解答

【解析】在这个例题中，主要让学生掌握加、减法分组凑整的方法。几个数相加，可以先把可以凑整的几

个数分成一组；一个数连续减去两个数，可以先把后两个数相加凑整，再用这个数减去后两个数的和．具体分析如下：

（1）原式＝（117＋333）＋（229＋471）＋（528＋622）

＝450＋700＋1150 ＝（450＋1150）＋700 ＝1600＋700 ＝2300

（2）原式＝1350＋249＋468＋251＋332＋1650

＝（1350＋1650）＋（249＋251）＋（468＋332） ＝3000＋500＋800 ＝4300

（3）原式＝756－（248＋352）

Page 2 of 15

＝756－600 ＝156

（4）原式＝（894－94）－（89＋111）－（95＋105）

＝800－200－200 ＝400

【答案】（1）2300； （2）4300； （3）156； （4）400。

【巩固】计算：57911131517192123 ．

【考点】分组凑整 【难度】☆ 【题型】填空 【解析】原式（723）（515）（911）（1317）（1921） 140 【答案】140

【例 2】 计算：991972 ．

【考点】分组凑整 【难度】☆ 【题型】填空 【解析】原式9919711 9911917 100207 127 【答案】127。

【巩固】同学们，你们有什么好办法又快又准的算出下面各题的答案？把你的好方法讲一讲！小老师！

⑴ 1847192862813664 ⑵ 1234567887661594322 ⑶ 200077415923 ⑷ 617271438315771

【考点】分组凑整 【难度】☆ 【题型】解答 【解析】☆ 原式1847(1928628)(13664)18471300200347；

☆ 原式(12348766)(56784322)15920159； ☆ 原式2000(77234159)1800；

☆ 原式(61783)(27171)(43157)700200200700；

【答案】（1）347； （2）20159； （3）1800； （4）700。

二、加补凑整

Page 3 of 15

也当一次 【例 3】 计算：（1）298＋396＋495＋691＋799＋21

（2）195＋196＋197＋198＋199＋15 （3）98－96－97－105＋102＋101 （4）399＋403＋297－501

【考点】加补凑整 【难度】☆☆ 【题型】解答 【解析】在这个例题中，主要让学生掌握加法运算加补凑整的方法．具体分析如下：

（1）（法1）：原式＝298＋396＋495＋691＋799＋2＋4＋5＋9＋1

＝（298＋2）＋（396＋4）＋（495＋5）＋（691＋9）＋（799＋1） ＝300＋400＋500＋700＋800 ＝2700

（法2）：原式＝（300－3）＋（400－4）＋（500－5）＋（700－9）＋（800－1）＋21

＝300＋400＋500＋700＋800－3－4－5－9－1＋21 ＝2700

（2）（法1）：原式＝（195＋5）＋（196＋4）＋（197＋3）＋（198＋2）＋（199＋1）

＝200＋200＋200＋200＋200 ＝1000

（法2）：原式＝（200－5）＋（200－4）＋（200－3）＋（200－2）＋（200－1）＋15

＝200＋200＋200＋200＋200 ＝1000

（3）原式＝（100－2）－（100－4）－（100－3）－（100＋5）＋（100＋2）＋（100＋1）

＝100－100－100－100＋100＋100－2＋4＋3－5＋2＋1 ＝3

（4）原式＝（400－1）＋（400＋3）＋（300－3）－（500＋1）

＝400－1＋400＋3＋300－3－500－1 ＝598

注：在（1）中，在加100时多加了1，所以要减去，这样保证结果不变，所以“多加的要减去”；（2）中，少加了2，在后面要加上，所以“少加的要加上”；（3）中，多减了2，所以要加上，所以“多减的要加上”；（4）中，少减了3，后面要再减去3，所以“少减的要再减”． 【答案】（1）2700； （2）1000； （3）3； （4）598。

【巩固】计算：11192199319994199995所得和数的数字之和是多少？ 【考点】加补凑整 【难度】☆☆ 【题型】解答 【解析】原式(209)(2008)(20007)(200006)(2000005) (20200200020000200000)(98765) 22222035

Page 4 of 15

=222185

故所得数字之和等于22218520.

【答案】20。

【例 4】 199+298+397+496+595+20=___________。

【考点】加补凑整 【难度】☆☆ 【题型】填空 【解析】199+298+397+496+595+20

=20013002400350046005202003004005006002012345200020152005【答案】2005。

【巩固】计算：10192973996__________．

【考点】加补凑整 【难度】☆ 【题型】填空 【解析】根据凑整的原则将10进行拆分为

10192973996

=2+19+1+2973+39964=2+20+300+4000=4322

【答案】4322。

【例 5】 同学们，你们有什么好办法又快又准的算出下面各题的答案？把你的好方法讲一讲！ 也当一次

小老师！

⑴ 19999919999199919919 1 ⑵88939517

【考点】加补凑整 【难度】☆☆ 【题型】解答 【解析】☆（法一）：

由于此题的各个加数恰好接近整十、整百、整千……把每个加数加上1后就凑成了整十、整百、整千……然后从总和中减去5个补数的和．

原式(2000001)(200001)(20001)(2001)(201)2222205222215 （法二）：

把加数19分解成151111，然后运用加法交换律和结合律进行巧算 原式199999199991999199151111

(1999991)(199991)(19991)(1991)15 20000020000200020015 222215．

☆ 原式88911395511301．(没有凑整的条件，我们可以创造凑整的条件)

【答案】（1）222215； （2）1301。

Page 5 of 15

【巩固】计算：（1）9+99+999+……+999999999

（2）191991999......199...99

1999个9【考点】加补凑整 【难度】☆☆ 【题型】解答

【解析】（1）本题可以把所有的加数均看成整十、整百、整千……的数，最后再进行补数

原式＝10+100+1000+……+10000000000-9 ＝1111111110-9 ＝1111111101

（2）原式＝202002000......200...00(11...1)

1999个01999个1＝222...201999

1999222...2000022201999

1996222...20221

19962【答案】（1）1111111101； （2）22...20221。

1996个2

三、基准数

【例 6】 下面这道题怎样算比较简便呢？看谁算的快！ 7876838277807985

【考点】基准数 【难度】☆☆ 【题型】解答

【解析】当我们把几个比较接近的数相加时，可以先选一个与这些数都比较接近的数作为“基准数”，把加

法转化成乘法，以达到简化运算的目的，然后再把原来每个数与基准数的差距“多退少补”，修正过来．原式(802)(804)(803)(802)(803)80(801)(805)

80824323015 640

【答案】640。

【巩固】计算：500501502503

【考点】基准数 【难度】☆☆ 【题型】填空 【解析】根据加法凑整的原则50050150250350041232006 【答案】2006

【例 7】 ⑴29839649569179921

⑵989697105102101

Page 6 of 15

【考点】基准数 【难度】☆☆ 【题型】填空 【解析】☆（法一）：原式=29839649569179924591

=(2982)(3964)(4955)(6919)(7991) =300400500700800 =2700

（法二）：原式=(3002)(4004)(5005)(7009)(8001)21 =3004005007008002459121 =2700

☆原式=(1002)(1004)(1003)(1005)(1002)(1001)

=100100100100100100243521 =3

【答案】☆2700； ☆3。

【巩固】下面这道题怎样算比较简便呢？看谁算的快！

276285291280277

【考点】基准数 【难度】☆☆ 【题型】解答

【解析】当许多大小不同，但彼此又比较接近的数相加时，可以选择一个合适的数，最好是整十、整百、

整千的数作为基准数，再把大于基准数的加数分成基准数与某数的和，把小于基准数的加数写成基准数减去某数的差的形式．本题中的数都接近或等于280，所以取280为基准数，可得下面解法．原式(2804)(2805)(28011)(2800)(2803)2805(511)(43)1409 .

【答案】1409。

四、乘5、15、25、125

【例 8】 下面这些题你会算吗？

⑴125(408) ⑵(1004)25

【考点】乘法凑整之乘5的倍数 【难度】☆☆ 【题型】解答 【解析】☆125(408)125401258500010006000

☆(1004)251002542525001002400

【答案】☆6000 ☆2400

【巩固】用简便方法计算下面各题．

（1）125(804) （2）(1008)25

【考点】乘法凑整之乘5的倍数 【难度】☆☆ 【题型】解答 【解析】（1）125(804)1258012541000050010500

（2）(1008)251002582525002002300

Page 7 of 15

【答案】☆10500； ☆2300。

五、乘9、99、999

【例 9】 下面各题怎样算简便呢？

⑴129 ⑵1299 ⑶12999

【考点】乘法凑整之乘9、99、999 【难度】☆☆ 【题型】解答 【解析】⑴利用公式，可以得出结果：12912012108；

⑵12991200121188，此题也可用小技巧：“去1添补”法，“补”就是“补数”，和为整十或整百或整千的两个数都可称为互补数.注意：只适用于“两位数乘99”． 12×　　99=118812去1是1112的补数是88

☆12999120001211988，此题可用小技巧：“去1添补,中间隔9”法. 注意：只适用于“两位数乘999”．

12×　　999=1198812去1是11中间隔912的补数是88

【答案】☆108 ☆1188 ☆11988

【巩固】相信你能快速的计算下面各题，我们一起来做做吧．

⑴239 ⑴3399 ⑴259999

【考点】乘法凑整之乘9、99、999 【难度】☆☆ 【题型】解答

【解析】利用乘法分配律的公式，可以得出结果，也可以记住下面的小技巧：一个数9，在该数后添0，

再减此数；一个数×99，在该数后添00，再减此数；一个数×999，在该数后添000，再减此数…… ☆23923023207

☆339933100333267，此题也可用小技巧：“去1添补”法，“补”就是“补数”，和为整十或整百或整千的两个数都可称为互补数.注意：只适用于“两位数乘99”．

33×　　99=326733去1是3233的补数是67

☆25999925000025249975，此题也可用小技巧：“去1添补，中间隔99”法，“补”就是“补数”，和为整十或整百或整千的两个数都可称为互补数.注意：只适用于“两位数乘9999”． 25×　　9999=24997525去1是24中间隔9925的补数是75

Page 8 of 15

【答案】☆207； ☆3267； ☆249975。

六、乘11、111、101

【例 10】 请你计算出下式结果，并总结规律．快点算吧！

第一组： ⑴37101 ⑴85101

⑴79101 ⑴2310101 ⑴4910101 ⑴69101010101

第二组： ⑴1231001 ⑴2871001

⑴3951001001 ⑴456710001

⑴3985100010001 ⑴438691000010000100001

【考点】乘法凑整之乘11、111、101 【难度】☆☆ 【题型】解答 【解析】第一组：☆371013737

☆851018585

☆791017979 （有2个“1”，结果就有2组“79” ） ☆2310101232323（有3个“1”，结果就有3组“23” ） ☆4910101494949

☆691010101016969696969（有几个“1”，结果就有几个“69” ） 第二组：☆1231001123123

☆2871001287287

☆3951001001395395395 （被乘数是3位数，乘数的1和1之间就夹了2个0） ☆45671000145674567

☆3985100010001398539853985

☆43869100001000010000143869438694386943869（被乘数是n位数，乘数1之间就夹了“n1”个0）

【答案】第一组：☆371013737

☆851018585

☆791017979 ☆2310101232323 ☆4910101494949 ☆691010101016969696969

第二组：☆1231001123123

☆2871001287287

☆3951001001395395395 ☆45671000145674567

☆3985100010001398539853985

☆43869100001000010000143869438694386943869

Page 9 of 15

【巩固】怎样才能算得又对又快？

⑴68101 ⑴74201 ⑴2561002 ⑴154601

【考点】乘法凑整之乘11、111、101 【难度】☆☆ 【题型】解答 【解析】☆681016800686868

☆742017420074148007414874

☆256100225610002562256000512256512 ☆1546011546001549240015492554

【答案】 ⑴6898； ⑴14874； ⑴256512； ⑴92554。

七、除法

【例 11】 小朋友们，下面的计算方法可要听仔细啦．

⑴(8172)9 ⑴(20461069735)3 ⑴29150950 ⑴22595

【考点】除法凑整 【难度】☆☆ 【题型】解答

【解析】不同的算式有不同的特点,要学会挑选好办法去速算.我们刚刚学习了除法的运算定律,观察每个算

式的特点,选择不同的定律进行计算.

☆我们一眼就可以看出8199,7298 ,所以运用除法的分配律可以简便运算. (8172)98197299817

☆括号里三个数都很大,运用除法的分配律后可以使数变小,简便了我们的运算. (20461059735)32046310593735368235324584

☆291和9都不是50的倍数,但是它们的和却是50的倍数,运用除法分配律的逆运算,就可以得出结果啦. 29150950(2919)50300506

☆这是一个连除, 2259计算起来会比较复杂,但是2255相比较就会简单一些,根据连除的性质: 交换除数的位置，商不变,得到比较简便的运算: 22595225594595．

【答案】☆17； ☆84； ☆6； ☆5。

【巩固】同学们，来个接力赛比一下吧．

648080 (18927)9 (497210)7 242483 400165 3101710 257247 (5408172)9 712854 2400154 350025 (1107788)11

【考点】除法凑整 【难度】☆☆ 【题型】解答

【解析】依次为：81、24、41、101、5、2、7、43、132、40、140、25 【答案】81、24、41、101、5、2、7、43、132、40、140、25

Page 10 of 15

八、乘除混合

【例 12】 聪明的你一定能顺利的通过最后一关吧．

⑴13658 ⑴4032(89) ⑴125(1610) ⑴2560(104) ⑴246052 ⑴527155 ⑴(5424)(94) 【考点】乘除法混合 【难度】☆☆ 【题型】解答

【解析】根据我们刚刚学过的乘、除法混合运算的性质,根据算式不同的特征选择不同的性质进行巧算, 可

以减少计算时间并大大提高正确率,不信你就试试吧!

☆利用带着符号搬家, abcacbbca，136581368517585； ☆利用去括号的性质, a(bc)abc，4032(89)403289504956； ☆利用去括号的性质, a(bc)abc，125(1610)12516101258210200 ☆利用去括号的性质, a(bc)abc，2560(104)25601041024； ☆利用添括号的性质, abca(bc)，2460522460(52)246010246； ☆利用添括号的性质, abca(bc)，527155527(155)52731581； ☆利用两个数之积除以两个数之积的性质, (ab)(cd)(ac)(bd)(ad)(bc) (5424)(94)(549)(244)6636．

【答案】☆85； ☆56； ☆200； ☆1024； ☆246； ☆1581； ☆36。

【巩固】你会应用计算性质吗？

⑴384128 ⑴2352(78) ⑴1200(412) ⑴1250(108)

⑴2250753 ⑴636357 ⑴(12656)(718) 【考点】乘除法混合 【难度】☆☆ 【题型】解答

【解析】☆原式=3848124812480482576 （2）原式=235278336842

☆原式=120041212001241004400 （4）原式=125010812581000 ☆原式=2250(753)225022510 （6）原式=636(357)63653180 ☆原式=(12618)(567)7856

【答案】☆576； ☆42； ☆400； ☆1000； ☆10； ☆3180； ☆56。

课堂检测

1、 (1997年“全国小学数学奥林匹克”竞赛试题)计算： 199719979971997971997719971997997977．

【考点】加补凑整 【难度】☆☆☆ 【题型】解答 【解析】（法一）：

原式(199720003)(99720003)(9720003)(720003)(20003)(10003)

Page 11 of 15

(1003)(103)

19972000997200097200072000200010001001083 3099111024

30991086

（法二）：

原式1000000090000002900000370000410005900690778

100000001800000027000002800005000540063056

30991086

【答案】30991086。

2、 四年级一班第一小组有10名同学，某次数学测验的成绩(分数)如下：86，78，77，83，91，74，92，

69，84，75 ．求这10名同学的总分．

【考点】基准数 【难度】☆☆ 【题型】解答

【解析】通常的做法是将这10个数直接相加，但这些数杂乱无章，直接相加既繁且易错．观察这些数不

难发现，这些数虽然大小不等，但相差不大．我们可以选择一个适当的数作“基准”，比如以“80”作基准，使计算简便化．这10个数与80的差如下：6，2，3，3，11，6，12，11，4，5，其中“”号表示这个数比80小．于是得到：总和8010(6233116121145) 8009809．

这道题所用的方法就叫做加法的基准数法．这种方法适用于加数较多，而且所有的加数相差不大的情况．考虑到基准数与加数个数的乘法能够方便地计算出来，所以基准数应尽量选取整十、整百且大小在中间部分的数．

【答案】809。

3、 下面这道题怎样算比较简便呢？看谁算的快！

2625

【考点】乘法凑整之乘5的倍数 【难度】☆ 【题型】解答

【解析】26不能被4整除，但26可以拆成642，这样2625，可转化为6425再加上225，这样

就可速算了． 原式（642）25

642522560050650

【答案】650。

4、 计算：123456789876543219 【考点】乘法凑整之乘9、99、999 【难度】☆☆ 【题型】填空 【解析】原式1111111119

Page 12 of 15

2 999999999111111111

111111111000000000111111111 111111110888888889 【答案】111111110888888889

5、 1000001999999 ．

【考点】乘法凑整之乘11、111、101 【难度】☆☆ 【题型】填空

【解析】原式（10000001）999999999999000000999999999999999999．另，可由叠数的性质 直接得出答案为999999999999． 【答案】 99999999999。

6、 ⑴123155； ⑴1251625 ⑴5600 ⑴ 450546 （257）【考点】乘除法混合 【难度】☆☆ 【题型】解答 【解析】☆ 利用“添括号”的性质，123155123（155）1233369

☆ 利用“带着符号搬家”可以简便运算，1251625125251651680 ☆ 利用“去括号”以及“带着符号搬家”可以简便运算， 5600（257）5600257（56007）258002532

☆ 利用“添括号”的性质，450546450（546）450950

【答案】☆369； ☆80； ☆32； ☆50。

家庭作业

1、 （2＋4＋6＋……＋2006）－（1＋3＋5+7+……2005）＝ 【考点】分组凑整 【难度】☆☆ 【题型】填空 【解析】原式＝（2-1）+（4-3）+（6-5）+……+（2006-2005） ＝1+1+1+……+1 ＝1×（2006÷2） ＝1003 【答案】1003。

2、 某小组有20人，他们的数学成绩分别是：87、91、94、88、93、91、89、87、92、86、90、92、88、

90、91、86、89、92、95、88，求这个组的平均成绩？ 【考点】基准数 【难度】☆☆☆ 【题型】解答

【解析】选90为基准数，平均成绩90(314231132422141252)20

9012089.95．

【答案】89.95。

3、 算式1234567898765432163值的各位数字之和为 。

Page 13 of 15

【考点】乘法凑整之乘9、99、999 【难度】☆☆ 【题型】填空 【解析】123456789876543216311111111111111111179

777777777999999999

777777777(10000000001) 777777777000000000777777777 777777776222222223

所以它的各位数字之和为78628381。

【答案】81。

4、 请你用简便方法计算出来．

⑴8005 ⑴34020 ⑴364070

【考点】除法凑整 【难度】☆☆ 【题型】解答

【计算】我们知道在计算乘法时，都喜欢计算25、254、1258，其实在计算除法时，巧妙的运用这

些规律也能够使计算变得简单；还可以运用商不变的性质进行速算． ☆8005(8002)(52)160010160 ☆34020(34010)(2010)34217 ☆364070(364010)(7010)364752

【答案】☆160； ☆17； ☆52。

5、 巧算下列各题：

⑴ 220357；⑵ 720129；⑶ 22501515；⑷ 120 （108）【考点】乘除法混合 【难度】☆☆ 【题型】解答 【解析】⑴ 原式220（357）22051100

⑵ 原式7209128012960 ⑶ 原式2250（1515）225022510 ⑷ 原式12010812896

【答案】☆1100； ☆960； ☆10； ☆96。

教学反馈

Page 14 of 15

学生对本次课的评价 ○特别满意 ○满意 ○一般 家长意见及建议 家长签字：

Page 15 of 15