2015年安徽省安庆市枞阳县浮山中学高考数学模拟最后一卷
（理科）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中．只有一项是符合题目要求的．
1．若复数z满足z（1+i）=1﹣i（i是虚数单位），则z的共轭复数=（ ） A． ﹣i B． C． i D．
2．某几何体的三视图如图，其中俯视图是半个圆，则该几何体的表面积为（ ）
A．
3．在极坐标系中，过点（2，
）且垂直于极轴的直线的极坐标方程是（ ）
B．
C．
D．
A． ρ=sinθ B． ρ=cosθ C． ρsinθ= D． ρcosθ= 4．图1是某高三学生进入高中三年来的数学考试成绩茎叶图，第1次到14次的考试成绩依次记为A1，A2，…，A14．图2是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个算法流程图．那么算法流程图输出的结果是（ ）
A． 7 B． 8 C． 9 D． 10
5．已知“命题p：∃x∈R，使得ax+2x+1＜0成立”为真命题，则实数a满足（ ）
2
A． 0，1） B． （﹣∞，1） C． 1，+∞） D． （﹣∞，1]
6．若函数f（x）=（k﹣1）a﹣a（a＞0，a≠1）在R上既是奇函数，又是减函数，则g（x）=loga（x+k）的图象是（ ）
x
﹣x
A． B．
C．
D．
7．等比数列{an}的首项为1，公比为q，前n项和记为S，由原数列各项的倒数组成一个新数列{
}，则{
}的前n项之和S′是（ ）
A． B．
C． D．
8．若实数x，y满足，则z=3
x+2y
的最大值是（ ）
A． 0 B． 1 C．
n
D． 9
*
9．若二项式（2﹣x）（n∈N）的展开式中所有项的系数的绝对值之和是a，所有项的二项式系数之和是b，则 A． 2 B．
的最小值是（ ）
C． D．
10．有7张卡片分别写有数字1，1，1，2，2，3，4，从中任取4张，可排出的四位数有（ ）个．
A． 78 B． 102 C． 114 D． 120
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置 11．设全集U=R，A={x|
＜0}，B={y=cosx，x∈A}，则A∩B= ．
12．椭圆
=1上的一点P到两焦点的距离的乘积为m，则当m取最大值时，点P的坐
标是 ．
13．已知直线AB：x+y﹣6=0与抛物线y=x及x轴正半轴围成的阴影部分如图所示，若从Rt△AOB区域内任取一点M（x，y），则点M取自阴影部分的概率为 ．
2
14．在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若
，
则角B的值为
15．设O为△ABC所在平面上一点，则下列说法中正确的有 （填上正确命题的序号） ①若②若
=
，则O为△ABC的垂心；
=
，则点O是△ABC的内心；
③若O在△ABC内部，且3，则=；
④若O在△ABC内部，且=，则S△ABO：S△BCO：S△ACO=3：1；2．
三、解答题：本大题共6小题．共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．解答写在答题卡上的指定区域内．
16．已知f（x）的定义域为[﹣π，π]，且f（x）为偶函数，且当x∈[0，π]时，f（x）=2sin（x+
）．
（1）求f（x）的解析式及f（x）的单调增区间；
（2）若[f（x）]﹣f（x）=0，求x的所有可能取值．
17．如图，四边形ABCD中（图1），E是BC的中点，DB=2，DC=1，BC=（图1）沿直线BD折起，使二面角A﹣BD﹣C为60°（如图2） （1）求证：AE⊥平面BDC；
（2）求直线AE与平面ADC所成角的正弦值．
2
，AB=AD=，将
18．已知数列{an}为等比数列，其前n项和为Sn，已知a1+a4=﹣Sn，Sn+2，Sn+1成等差数列；
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）已知bn=n（n∈N+），记
，若（n﹣1）≤m（Tn﹣n
2
，且对于任意的n∈N有
*
﹣1）对于n≥2恒成立，求实数m的范围．
19．如图，一个小球从M处投入，通过管道自上而下落A或B或C．已知小球从每个叉口落入左右两个管道的可能性是相等的．某商家按上述投球方式进行促销活动，若投入的小球落到A，B，C，则分别设为l，2，3等奖．
（I）已知获得l，2，3等奖的折扣率分别为50%，70%，90%．记随变量ξ为获得k（k=1，2，3）等奖的折扣率，求随机变量ξ的分布列及期望Εξ；
（II）若有3人次（投入l球为l人次）参加促销活动，记随机变量η为获得1等奖或2等奖的人次，求P（η=2）．
20．如图，过点N（0，1）和M（m，﹣1）（m≠0）的动直线l与抛物线C：x=2py交于P、Q两点（点P在M、N之间），O为坐标原点． （1）若p=2，m=2，求△OPQ的面积S；
（2）对于任意的动直线l，是否存在常数p，总有∠MOP=∠PON？若存在，求出p的值；若不存在，请说明理由．
2
21．已知函数f（x）=lnx﹣mx，g（x）=
2
+x，m∈R令F（x）=f（x）+g（x）．
（Ⅰ）当m=时，求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）若关于x的不等式F（x）≤mx﹣1恒成立，求整数m的最小值； （Ⅲ）若m=﹣2，正实数x1，x2满足F（x1）+F（x2）+x1x2=0，证明：x1+x2
．
2015年安徽省安庆市枞阳县浮山中学高考数学模拟最后
一卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中．只有一项是符合题目要求的．
1．若复数z满足z（1+i）=1﹣i（i是虚数单位），则z的共轭复数=（ ） A． ﹣i B． C． i D．
考点： 复数代数形式的乘除运算． 专题： 计算题．
分析： 由z（1+i）=1﹣i，得到z=解答： 解：∵z（1+i）=1﹣i， ∴z=
=
=﹣i，
=﹣i，由此能求出z的共轭复数．
∴z的共轭复数=i． 故选C．
点评： 本题考查复数的代数形式的乘除运算，是基础题．解题时要认真审题，注意共轭复数的概念的灵活运用．
2．某几何体的三视图如图，其中俯视图是半个圆，则该几何体的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
考点： 由三视图求面积、体积． 专题： 空间位置关系与距离．
分析： 利用三视图判断几何体的形状，通过三视图是数据，求出几何体的表面积即可． 解答： 解：由三视图可知几何体底面半径为1，高为的圆锥的一半，圆锥的母线长为：2．
所以所求几何体的表面积为：S表=S侧+S底=π•1•1++=．
故选C．
点评： 本题主要考查关于“几何体的三视图”与“几何体的直观图”的相互转化的掌握情况，同时考查空间想象能力．
3．在极坐标系中，过点（2，
）且垂直于极轴的直线的极坐标方程是（ ）
D． ρcosθ=
A． ρ=sinθ B． ρ=cosθ C． ρsinθ=
考点： 简单曲线的极坐标方程． 专题： 坐标系和参数方程．
分析： 根据直线上的任意一点（ρ，θ）满足ρcosθ=2×cos坐标方程．
，化简可得所求直线的极
解答： 解：由题意可得，直线上的任意一点（ρ，θ）满足ρcosθ=2×cos，
化简可得 ρcosθ=， 故选：D．
点评： 本题主要考查求简单曲线的极坐标方程，属于基础题． 4．图1是某高三学生进入高中三年来的数学考试成绩茎叶图，第1次到14次的考试成绩依次记为A1，A2，…，A14．图2是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个算法流程图．那么算法流程图输出的结果是（ ）
A． 7 B． 8 C． 9 D． 10
考点： 茎叶图；循环结构． 专题： 阅读型．
分析： 根据流程图可知该算法表示统计14次考试成绩中大于等于90的人数，结合茎叶图可得答案．
解答： 解：分析程序中各变量、各语句的作用， 再根据流程图所示的顺序，可知：
该程序的作用是累加14次考试成绩超过90分的人数； 根据茎叶图的含义可得超过90分的人数为10个 故选D
点评： 本题主要考查了循环结构，以及茎叶图的认识，解题的关键是弄清算法流程图的含义，属于基础题．
5．已知“命题p：∃x∈R，使得ax+2x+1＜0成立”为真命题，则实数a满足（ ） A． 0，1） B． （﹣∞，1） C． 1，+∞） D． （﹣∞，1]
考点： 特称命题；命题的否定． 专题： 计算题．
分析： q为真命题，通过对二次项系数的讨论求出a的范围化简命题． 解答： 解：由题意，p为真命题．（1）当a=0时成立； （2）a＜0时恒成立； （3）a＞0时，有
，解得0＜a＜1
2
综上，a＜1， 故选B．
点评： 本题考查命题的真假判断与应用，解决二次函数注意对二次项系数的讨论、复合命题的真假与构成其简单命题的真假关系．
6．若函数f（x）=（k﹣1）a﹣a（a＞0，a≠1）在R上既是奇函数，又是减函数，则g（x）=loga（x+k）的图象是（ ）
x
﹣x
A． B． C．
D．
考点： 奇偶性与单调性的综合；对数函数的图像与性质． 专题： 数形结合．
分析： 根据函数是一个奇函数，函数在原点出有定义，得到函数的图象一定过原点，求出k的值，根据函数是一个减函数，看出底数的范围，得到结果．
解答： 解：∵函数f（x）=（k﹣1）a﹣a（a＞0，a≠1）在R上是奇函数， ∴f（0）=0 ∴k=2，
又∵f（x）=a﹣a为减函数， 所以1＞a＞0，
所以g（x）=loga（x+2）
x
﹣x
x
﹣x
定义域为x＞﹣2，且递减， 故选：A
点评： 本题考查函数奇偶性和单调性，即对数函数的性质，本题解题的关键是看出题目中所出现的两个函数性质的应用．
7．等比数列{an}的首项为1，公比为q，前n项和记为S，由原数列各项的倒数组成一个新数列{
}，则{
}的前n项之和S′是（ ）
A． B． C． D．
考点： 数列的求和．
专题： 等差数列与等比数列．
分析： 对q分类讨论，利用等比数列的通项公式及其前n项和公式计算出即可． 解答： 解：q=1时，an=1，S=n，
=1，S′=n，∴S′=
．
当q≠1时，an=q
n﹣1
，.=，∴S′===．
综上可知：S′=．
故选：D．
点评： 本题考查了分类讨论方法、等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
x+2y
8．若实数x，y满足，则z=3的最大值是（ ）
A． 0 B． 1 C． D． 9
考点： 简单线性规划．
专题： 不等式的解法及应用．
分析： 作出不等式组对应的平面区域，设m=x+3y，利用m的几何意义，利用数形结合，先求出m的最大值，即可得到结论．
解答： 解：作出不等式组对应的平面区域如图： 设m=x+2y，则z=3
x+2y
=3，
m
由m=x+2y得y=﹣x+m，
平移直线y=﹣x+m，由图象可知当直线y=﹣x+m经过点B（0，1）时， 直线的截距最大，此时m最大． 此时mmax=0+2=2，
2
即zmax=3=9， 故选：D．
点评： 本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键．先求出指数幂m=x+3y的最值是解决本题的关键．
9．若二项式（2﹣x）（n∈N）的展开式中所有项的系数的绝对值之和是a，所有项的二项式系数之和是b，则 A． 2 B．
的最小值是（ ）
n
*
C． D．
考点： 二项式系数的性质；二项式定理的应用． 专题： 不等式的解法及应用；二项式定理．
分析： 取x=﹣1求得a，由二项式系数的性质求得b，然后利用函数的单调性求得最小值．
解答： 解：取x=﹣1，得a=3， 又b=2，∴
n
n
的
，
∴=≥．
故选：B．
点评： 本题考查了二项式定理、函数的单调性，考查了计算能力，属于基础题． 10．有7张卡片分别写有数字1，1，1，2，2，3，4，从中任取4张，可排出的四位数有（ ）个．
A． 78 B． 102 C． 114 D． 120
考点： 排列、组合的实际应用． 专题： 计算题；排列组合．
分析： 根据题意，分四种情况讨论：①、取出的4张卡片种没有重复数字，即取出的4张卡片中的数字为1、2、3、4，②、取出的4张卡片种有2个重复数字，则2个重复的数字为1或2，③若取出的4张卡片为2张1和2张2，④、取出的4张卡片种有3个重复数字，则重复的数字为1，分别求出每种情况下可以排出四位数的个数，由分类计数原理计算可得答案．
解答： 解：根据题意，分四种情况讨论：
①、取出的4张卡片种没有重复数字，即取出的4张卡片中的数字为1、2、3、4， 此时有A4=24种顺序，可以排出24个四位数；
②、取出的4张卡片种有2个重复数字，则2个重复的数字为1或2，
若重复的数字为1，在2、3、4中取出2个，有C3=3种取法，安排在四个位置中，有A4=12种情况，剩余位置安排数字1， 可以排出3×12=36个四位数，
同理，若重复的数字为1，也可以排出36个重复数字； ③、若取出的4张卡片为2张1和2张2，
在4个位置安排两个1，有C4=6种情况，剩余位置安排两个2， 则可以排出6×1=6个四位数；
④、取出的4张卡片种有3个重复数字，则重复的数字为1，
在2、3、4中取出1个卡片，有C3=3种取法，安排在四个位置中，有C4=4种情况，剩余位置安排1，
可以排出3×4=12个四位数；
则一共有24+36+36+6+12=114个四位数； 故选C．
点评： 本题考查排列组合的运用，解题时注意其中重复的数字，要结合题意，进行分类讨论．
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置 11．设全集U=R，A={x|
＜0}，B={y=cosx，x∈A}，则A∩B= （cos2，1] ．
1
1
2
2
2
4
考点： 交集及其运算． 专题： 集合．
分析： 求出A中不等式的解集确定出A，求出B中y的范围确定出B，找出A与B的交集即可．
解答： 解：由A中不等式变形得：（x﹣2）（x+1）＜0， 解得：﹣1＜x＜2，即A=（﹣1，2），
由B中y=cosx，x∈A，得到cos2＜cosx≤1，即B=（cos2，1]， 则A∩B=（cos2，1]， 故答案为：（cos2，1]
点评： 此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键． 12．椭圆
=1上的一点P到两焦点的距离的乘积为m，则当m取最大值时，点P的坐
标是 （﹣3，0）或（3，0） ．
考点： 椭圆的标准方程． 专题： 计算题；压轴题． 分析： 根据|PF1|•|PF2|≤的坐标．
解答： 解：记椭圆的二焦点为F1，F2， 有|PF1|+|PF2|=2a=10 则知m=|PF1|•|PF2|≤
=25
，当|PF1|=|PF2|时m最大，进而求出点p
当且仅当|PF1|=|PF2|=5，即点P位于椭圆的短轴的顶点处时， m取得最大值25．
∴点p的坐标为（﹣3，0）或（3，0） 故答案为：（﹣3，0）或（3，0）
点评： 本题主要考查了椭圆的标准方程的性质．灵活运用椭圆的第一定义是解这道题的关键．
13．已知直线AB：x+y﹣6=0与抛物线y=x及x轴正半轴围成的阴影部分如图所示，若从Rt△AOB区域内任取一点M（x，y），则点M取自阴影部分的概率为
．
2
考点： 几何概型；定积分在求面积中的应用． 专题： 计算题；图表型．
分析： 欲求所投的点落在阴影内部的概率，利用几何概型解决，只须利用定积分求出阴影图的面积，最后利用它们的面积比求得即可概率． 解答： 解：由定积分可求得阴影部分的面积为 S=∫0xdx+∫2（6﹣x）dx ==
，
22
6
又Rt△AOB的面积为：
所以p==． ．
故答案为：
点评： 本题考查了利用定积分求面积以及几何摡型知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．
14．在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若则角B的值为
或
，
考点： 余弦定理的应用． 专题： 计算题．
分析： 先根据余弦定理进行化简，进而得到sinB的值，再由正弦函数的性质可得到最后答案． 解答： 解：∵∴B=
或
，∴cosB×tanB=sinB=
故选B．
点评： 本题主要考查余弦定理的应用．考查计算能力．
15．设O为△ABC所在平面上一点，则下列说法中正确的有 ①③④ （填上正确命题的序号） ①若②若
=
，则O为△ABC的垂心；
=
，则点O是△ABC的内心；
③若O在△ABC内部，且3，则=；
④若O在△ABC内部，且=，则S△ABO：S△BCO：S△ACO=3：1；2．
考点： 向量在几何中的应用． 专题： 综合题；平面向量及应用．
分析： ①将已知向量等式变形，利用向量的运算法则化简，再利用向量垂直的充要条件判断出两个向量垂直得到两条线垂直，判断出O为垂心．
②根据向量的减法，利用数量积运算和题意代入式子进行化简，证出OC⊥AB，同理可得OB⊥AC，OA⊥BC，即证出O是△ABC的垂心． ③取BC的中点O，若O在△ABC内部，且3
，OD=AD，可得
=；
④延长OB到点E，使得利用
△BOC
=2，分别以=3
，为邻边作平行四边形OAFE，则+2=，
=，可得，从而可得S△ABC=2S△AOB．同理可得：S△ABC=3S△AOC，S△ABC=6S
．
，则（
﹣
）•
=0，∴
⊥
，∴CA⊥OB，
解答： 解：①若
同理OA⊥BC，∴O是△ABC的垂心，正确； ②设
=，
=，
=，则
=
2
2
2
=﹣，=﹣，==•
=﹣．
，
，即（﹣）•
=0，
由题可知，
2
∴||+|﹣|=||+|﹣|，化简可得•∴不正确；
③取BC的中点O，若O在△ABC内部，且3
，∴
⊥
，即OC⊥AB．同理可得OB⊥AC，OA⊥BC．∴O是△ABC的垂心，
，OD=AD，则=，正确；
④延长OB到点E，使得则∵又
=2
，∴+2
=
， =，∴=2
=2，分别以，为邻边作平行四边形OAFE．
=3
=
．
，∴S△ABC=2S△AOB．
．∴
同理可得：S△ABC=3S△AOC，S△ABC=6S△BOC． ∴S△ABO：S△BCO：S△ACO=3：1；2 故答案为：①③④．
点评： 本题考查了向量在几何中应用，主要利用向量的线性运算以及数量积进行化简证明，特别证明垂直主要根据题意构造向量利用数量积为零进行证明．
三、解答题：本大题共6小题．共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．解答写在答题卡上的指定区域内．
16．已知f（x）的定义域为[﹣π，π]，且f（x）为偶函数，且当x∈[0，π]时，f（x）=2sin（x+
）．
（1）求f（x）的解析式及f（x）的单调增区间；
（2）若[f（x）]﹣f（x）=0，求x的所有可能取值．
考点： 由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；函数的零点与方程根的关系． 专题： 三角函数的图像与性质．
分析： （1）根据偶函数满足f（﹣x）=f（x），求出当x∈[﹣π，0]时的解析式，即可得到f（x）的解析式，画出函数图象，易得f（x）的单调增区间； （2）若[f（x）]﹣f（x）=0，则f（x）=0或f（x）=解答： 解：（1）当x∈[﹣π，0]时，﹣x∈[0，π]， f（﹣x）=2sin（﹣x+
）
22
，进而可得x的取值
由于f（x）为偶函数，则f（﹣x）=f（x）， 故f（x）=2sin（﹣x+
）x∈[﹣π，0]
即f（x）=．
画出f（x）的图象
由图象可以易得f（x）的单调增区间为[﹣π，﹣分）
（2）方程等价于f（x）=0或f（x）=当x=当0或
时f（x）=0； 时f（x）=
，
﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分） ]和[0，
]．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6
，
综上可知x的所有可能取值为0，
点评： 本题考查的知识点是正弦型函数的图象和性质，函数的图象，熟练掌握正弦型函数
的图象和性质，是解答的关键．
17．如图，四边形ABCD中（图1），E是BC的中点，DB=2，DC=1，BC=（图1）沿直线BD折起，使二面角A﹣BD﹣C为60°（如图2） （1）求证：AE⊥平面BDC；
（2）求直线AE与平面ADC所成角的正弦值．
，AB=AD=，将
考点： 直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判定． 专题： 综合题；空间位置关系与距离；空间角．
分析： （1）先根据条件得到BD⊥平面AEM；进而通过求边长得到AE⊥ME；即可得到结论； （2）先建立空间直角坐标系，求出平面ADC的法向量的坐标，再代入向量的夹角计算公式即可．
解答： （1）证明：如图1取BD中点M，连接AM，ME． ∵AB=AD=， ∴AM⊥BD
∵DB=2，DC=1，BC=， 222
DB+DC=BC，
∴△BCD是BC为斜边的直角三角形，BD⊥DC， ∵E是BC的中点，∴ME为△BCD的中位线 ∴ME∥CD，ME=CD， ∴ME⊥BD，ME=，
∴∠AME是二面角A﹣BD﹣C的平面角， ∴∠AME=60°…（3分）
∵AM⊥BD，ME⊥BD且AM、ME是平面AME内两相交于M的直线， ∴BD⊥平面AEM∵AE⊂平面AEM， ∴BD⊥AE
∵AB=AD=，DB=2，
∴△ABD为等腰直角三角形， ∴AM=BD=1，
∴AAE=AM+ME﹣2AM•ME•cos∠AME=， ∴AE=
22
2
2
，
2
2
∴AE+ME=1=AM， ∴AE⊥ME=M，
∴BD∩ME，BD⊂平面BDC，ME⊂面BDC， ∴AE⊥平面BDC …（6分）
（2）解：如图2，以M为原点MB为x轴，ME为y轴，建立空间直角坐标系M﹣xyz， 则由（1）及已知条件可知B（1，0，0），E（0，，0），A（0，，C（﹣1，1，0）， ∴
=（1，，
），
=（0，1，0），
=（0，0，﹣
），…（8分）
），D（﹣1，0，0），
设平面ACD的法向量为=（x，y，z）
则，∴=（，0，﹣2），
设直线AE与平面ADC所成角为α，则sinα== …（10分）
∴直线AE与平面ADC所成角的正弦值为 …（12分）
点评： 本题主要考察线面垂直的证明以及二面角的求法．一般在证明线面垂直时，先转化为证明线线垂直．进而得到线面垂直．
18．已知数列{an}为等比数列，其前n项和为Sn，已知a1+a4=﹣Sn，Sn+2，Sn+1成等差数列；
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）已知bn=n（n∈N+），记
，若（n﹣1）≤m（Tn﹣n
2
，且对于任意的n∈N有
*
﹣1）对于n≥2恒成立，求实数m的范围．
考点： 等比数列的通项公式；数列的求和；数列与函数的综合． 专题： 等差数列与等比数列．
分析： （Ⅰ）设出等比数列的公比，利用对于任意的n∈N+有Sn，Sn+2，Sn+1成等差得2S3=S1+S2，代入首项和公比后即可求得公比，再由已知列{an}的通项公式可求；
（Ⅱ）把（Ⅰ）中求得的an和已知bn=n代入
2
，代入公比后可求得首项，则数
整理，然后利用错位相减法求Tn，把Tn
代入（n﹣1）≤m（Tn﹣n﹣1）后分离变量m，使问题转化为求函数的最大值问题，分析函数的单调性时可用作差法．
解答： 解：（Ⅰ）设等比数列{an}的公比为q， ∵对于任意的n∈N+有Sn，Sn+2，Sn+1成等差， ∴2整理得：
∵a1≠0，∴，2+2q+2q=2+q． ∴2q+q=0，又q≠0，∴q=又把q=所以，（Ⅱ）∵bn=n，
，∴
代入后可得
2
2
． ．
． ， ．
； ，
∴．
．
∴=
∴
2
．
若（n﹣1）≤m（Tn﹣n﹣1）对于n≥2恒成立，
2n+1
则（n﹣1）≤m[（n﹣1）•2+2﹣n﹣1]对于n≥2恒成立，
2n+1
也就是（n﹣1）≤m（n﹣1）•（2﹣1）对于n≥2恒成立， ∴m≥
对于n≥2恒成立，
令，
∵=
∴f（n）为减函数，∴f（n）≤f（2）=．
∴m．
2
所以，（n﹣1）≤m（Tn﹣n﹣1）对于n≥2恒成立的实数m的范围是[）．
点评： 本题考查了等比数列的通项公式，考查了错位相减法求数列的前n项和，考查了数列的函数特性，训练了利用分离变量法求参数的取值范围，解答此题的关键在于判断分离变量后的函数的单调性，利用了比较大小的基本方法﹣作差法． 此题属中高档题．
19．如图，一个小球从M处投入，通过管道自上而下落A或B或C．已知小球从每个叉口落入左右两个管道的可能性是相等的．某商家按上述投球方式进行促销活动，若投入的小球落到A，B，C，则分别设为l，2，3等奖．
（I）已知获得l，2，3等奖的折扣率分别为50%，70%，90%．记随变量ξ为获得k（k=1，2，3）等奖的折扣率，求随机变量ξ的分布列及期望Εξ；
（II）若有3人次（投入l球为l人次）参加促销活动，记随机变量η为获得1等奖或2等奖的人次，求P（η=2）．
考点： 离散型随机变量的期望与方差；二项分布与n次独立重复试验的模型． 专题： 概率与统计．
分析： （Ⅰ）解：由题意知随变量ξ为获得k等奖的折扣，则ξ的可能取值是50%，70%，90%，结合变量对应的事件和等可能事件的概率公式写出变量的分布列，做出期望．
（2）根据第一问可以得到获得一等奖或二等奖的概率，根据小球从每个叉口落入左右两个管道的可能性是相等的．可以把获得一等奖或二等奖的人次看做符合二项分布，根据二项分布的概率公式得到结果．
解答： 解：（Ⅰ）解：随变量量ξ为获得k（k=1，2，3）等奖的折扣，则ξ的可能取值是50%，70%，90% P（ξ=50%）=
，P（ξ=70%）=
，P（ξ=90%）=
∴ξ的分布列为 ξ 50% 70% 90% P
×50%+×70%+
90%=．
+=
．
∴Εξ=
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知，获得1等奖或2等奖的概率为由题意得η～（3，则P（η=2）=C3（
2
） ）（1﹣
2
）=．
点评： 本题主要考查随机事件的概率和随机变量的分布列、数学期望、二项分布等概念，同时考查抽象概括、运算求解能力和应用意识，是一个综合题．
20．如图，过点N（0，1）和M（m，﹣1）（m≠0）的动直线l与抛物线C：x=2py交于P、Q两点（点P在M、N之间），O为坐标原点． （1）若p=2，m=2，求△OPQ的面积S；
（2）对于任意的动直线l，是否存在常数p，总有∠MOP=∠PON？若存在，求出p的值；若不存在，请说明理由．
2
考点： 直线与圆锥曲线的综合问题．
专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程；圆锥曲线中的最值与范围问题．
分析： （1）由直线l的方程与抛物线方程组成方程组，表示出点P、Q的坐标，计算△OPQ的面积S的值；
（2）假设存在点P满足条件，根据M、P、N三点共线以及∠MOP=∠PON， 得出点P到y轴距离与到直线OM的距离相等，求出p的值是常数．
解答： 解：（1）由题意，直线l的方程为y=﹣x+1．设点P（x1，y1），Q（x2，y2）， 由
，得x+4x﹣4=0，
2
则x1+x2=﹣4，x1x2=﹣4，
∴S=|ON|•|x1﹣x2| ===2
；﹣﹣﹣﹣﹣（6分）
；
（2）设点P（x0，y0），则y0=
由M、P、N三点共线，得m=；﹣﹣﹣（7分）
由∠MOP=∠PON，
得点P到y轴距离与到直线OM：x+my=0距离相等， 即|x0|=
2
，
2
∴即m
+m=+m+2mx0y0，
=m+2x0y0；﹣﹣﹣﹣（9分）
把y0=，m==代入，
得=•+，
即
2
=+，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分）
∴4p=+2p﹣，
解得p=；
故存在常数p=，总有∠MOP=∠PON．﹣﹣﹣（13分）
点评： 本题考查了直线方程与抛物线方程的综合应用问题，也考查了角平分线的应用问题以及根与系数的应用问题，考查了运算能力与推理证明的能力，是综合性题目．
21．已知函数f（x）=lnx﹣mx，g（x）=
2
+x，m∈R令F（x）=f（x）+g（x）．
（Ⅰ）当m=时，求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）若关于x的不等式F（x）≤mx﹣1恒成立，求整数m的最小值； （Ⅲ）若m=﹣2，正实数x1，x2满足F（x1）+F（x2）+x1x2=0，证明：x1+x2
．
考点： 导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性． 专题： 函数的性质及应用；导数的综合应用．
分析： （1）先求函数的定义域，然后求导，通过导数大于零得到增区间；
（2）不等式恒成立问题转化为函数的最值问题，应先求导数，研究函数的单调性，然后求函数的最值；
（3）联系函数的F（x）的单调性，然后证明即可．注意对函数的构造． 解答： 解：（1）
2
．
由f′（x）＞0得1﹣x＞0又x＞0，所以0＜x＜1．所以f（x）的单增区间为（0，1）． （2）令
x+1．
所以=．
当m≤0时，因为x＞0，所以G′（x）＞0所以G（x）在（0，+∞）上是递增函数， 又因为G（1）=﹣
．
所以关于x的不等式G（x）≤mx﹣1不能恒成立． 当m＞0时，
令G′（x）=0得x=，所以当（x）＜0． 因此函数G（x）在故函数G（x）的最大值为令h（m）=
，因为h（1）=
是增函数，在
． ，h（2）=
．
是减函数．
．
时，G′（x）＞0；当
时，G′
又因为h（m）在m∈（0，+∞）上是减函数，所以当m≥2时，h（m）＜0． 所以整数m的最小值为2．
（3）当m=﹣2时，F（x）=lnx+x+x，x＞0． 由F（x1）+F（x2）+x1x2=0，即化简得
令t=x1x2，则由φ（t）=t﹣lnt得φ′（t）=
．
．
．
2
可知φ′（t）在区间（0，1）上单调递减，在区间（1，+∞）上单调递增．所以φ（t）≥φ（1）=1． 所以
，即
成立．
点评： 本题考查了利用导数研究函数的单调性的基本思路，不等式恒成立问题转化为函数最值问题来解的方法．属于中档题，难度不大．
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