抛物线的切线及其性质初探

由均值不等式，得ｔａｎ　≤芜　譬・　因为　为锐角，所以　的最大值是３０。．当且仅当　Ｙ。－－－３，即　一±　时取得最大值．　撼物线的锄线　３利用定义与平面几何性质破解　例４（２０１１年广东卷）设动圆Ｃ与２个定圆　致慕犍凌翱攘　（ｚ＋　）　＋　一４，（ｘ－４ｉ－）　＋ｙ　一４中的一个内切，　另一个外切．　（１）求动圆Ｃ的圆心的轨迹Ｌ的方程．　◇北京　李锋　于海龙　童嘉森。（特级教师）　（２）已知点Ｍ（竽，竿），Ｆ（　，０），且点Ｐ为　中学教材中比较透彻地研究了直线与圆相切问　Ｌ上动点，求Ｉ　ｌ　ＭＰ　ｌ—Ｉ　ＦＰＩ　Ｉ的最大值及此时点Ｐ的　题，对于直线与其他曲线，特别是圆锥曲线相切的问　坐标．　题教材并未介绍，但这并不意味着高中学生对这个问　解　（１）设圆心Ｃ（ｘ，　），由题设条件知　题没有解决办法，特别是在引进了导数这一工具性知　Ｉ　而一　两Ｉ：４，　识后，对于一些简单的圆锥曲线的切线问题我们就有　了一定的解决办法．本文就抛物线的切线及其性质问　化简，得Ｌ的方程为Ｘ　２一ｙ２—１．　．　题进行一个初步的讨论．　（２）将ｚ　：　＝－－２（ｘ－－　），代人Ｌ的方程，得　例１如右图，已知抛物　），　线３７。＝４ｙ的焦点为Ｆ，ＡＢ是　１５ｘｚ－３２Ｖｃｆｚ３８４＝０．解得　＝詈　，ｚ。＝　．　抛物线的焦点弦，过Ａ、Ｂ　２点　．　从而ｚ　与Ｌ的交点是Ｔ１（＿鲁－　，一詈　）和Ｔ　分别作抛物线的切线，设其交　，０　点为Ｍ．证明　（嚣　，　）．　（１）点Ｍ征抛物线的准线上；　（２）葡．　为定值．　ｙ　证明（１）设Ａ（ｚ　，　），Ｂ（ｘｚ，ｙ￣），Ｈｔ　３，　一譬，　、　：譬，由已知，焦点Ｆ（。，１）．　／　ｏ。　设直线ＡＢ的方程为：Ｙ—ｋｘ＋１，则由　图２　｛ｚｙ　－＝：ｋｘ４　＋，　得ｚ　４忌ｚ一４一ｏ，所以　ｚ一４．　如图２所示，因丁　在线段ＭＦ外，　在线段ＭＦ　由　一　１　ｚ　求导得ｙＰ一÷ｚ，所以过Ａ，Ｂ　２点的　内，故　切线方程分别为：　－　ｌ　Ｉ　ＭＴ　１一Ｉ　ＦＴ　ｌ　Ｉ＝Ｉ　ＭＦＩ＝２，　一　Ｉ１　ＭＴ　１一Ｉ　ＦＴ。ｌ　Ｉ＜ｌ　ＭＦＩ一２．　号　～）＋萼，　若点Ｐ不在直线ＭＦ上，在ＡＭＦＰ中有　一『１ＭＰｆ—ｆ　ＦＰ　Ｉ【＜ｆＭＦＩ：２．　专　Ｘ－Ｘ２）＋譬，　故ｆ　ｆ　ＭＰｌ—ｆ　ＦＰｆ　ｆ只在Ｔ　点取得最大值２．　即　＝　１￣点　利用圆锥曲线的定义和平面几何中的对称　２￣１Ｘ－　Ｔ，　：丢ｚ　ｚ一譬．　评　关系Ｚ角形－由上式可得２（　１一Ｘ２）ｚ：ｚ：一．２７１．显然　ｌ≠　－、Ｚ边关系、两点之间线段最短　等来处理，可使求最值问题的解答过程简捷明快．　２，故　（４５者单位：甘肃省会宁县头寨中学）　ｚ一—　一ｘ￣－ｆ－ｘｚ一——，．），一　±　一堕：盟．　，一　，．　’—　一一　丁一一１　一一～　“人”的结构就是相互支撑，“众”人的事业需要每个人的参与．　因此Ｍ（　丝，一１）．　Ｙｏ）；　证明　设切点Ａ（ｚ　，Ｙ。），Ｂ（　，Ｙ　），设切点弦　由于抛物线准线方程为　一一１，故点Ｍ在抛物　线的准线上．　ＡＢ所在直线的斜率为ｋ．　由命题１可知切线ＰＡ、ＰＢ的方程分别为Ｙ　Ｙ—　ｐ（ｘ＋　１）和Ｙ２　＝ｐ（ｘ＋ｚ２）．　（２）　ｃｉ．　＝（华，一２）．（　：一　，＿１　ｚ；～　将Ｐ（ｘ。，Ｙ。）代入切线ＰＡ、ＰＢ的方程得　扣　一　＋　－０．　因此，ＦＭ・ＡＢ为定值，其值为０．　Ｙ１　０一ｐ（ｘｏ＋ｚ１），　Ｙ２Ｙｏ—ｐ（ｘｏ＋Ｘ２），　①　②　彝　方程．本例中还涉及到了设而不求的方法．　由本例我们可以得到以下２个推广：　裹　晏　由式①②说明点Ａ（ｚ　，Ｙ，），Ｂ（　。，　。）均在直线　ＹＹｏ—ｐ（ｘ。＋ｚ）上，因此切点弦ＡＢ所在的直线方程　为Ｙ　０　—ｐ（ｘ＋　０）．　同理过抛物线ｚ　：２　（　＞０）外一点Ｐ（ｘ。，Ｙ。）　推广１过抛物线ｚ　一２ｐｙ（ｐ＞０）的焦点Ｆ的　直线交抛物线于Ａ、Ｂ　２点，过Ａ、Ｂ　２点的切线交于　点Ｍ，则点Ｍ在抛物线的准线上，且ＦＭ上ＡＢ．　推广２过抛物线Ｙ。一２ｐｘ（户＞０）的焦点Ｆ的　直线交抛物线于Ａ、Ｂ　２点，过Ａ、Ｂ　２点的切线交于　引２条切线，则切点弦所在的直线方程是　ｚ０ｚ—Ｐ（Ｙ＋Ｙ０）．　命题３　抛物线Ｙ。一２ｐｘ（　＞０）与直线Ａｘ＋　Ｂ　＋Ｃ一０相切的条件是ｐＢ。＝２ＡＣ．　过抛物线上一点的切线方程与切点弦方程一致，　点Ｍ，则点Ｍ在抛物线的准线上，且ＦＭｊ＿ＡＢ．　可看作２切点重合时的极端情况．　可根据判别式法证明，请同学们自己完成．　与抛物线的切线有关的结论还有如下几个命题：　命题１　抛物线Ｙ。一２ｐｘ（　＞Ｏ）上一点Ｐ（　。，　。根据以上结论我们可以更方便地解决与抛物线　的切线有关的问题．　●　；）处的切线方程是Ｙ。．），一ｐ（ｘ＋ｚ。）；　抛物线　一２ｐｙ（ｐ￣Ｏ）上一点Ｐ（ｚ。，Ｙ。）处的切　例２　（２００８年山东高考题改编）设过抛物线　线方程是ｚｏ　—ｐ（　＋　。）；　。一２ｐｘ（ｐ￣＞Ｏ）上２点Ｐ（ｘ１，Ｙ１），Ｑ（ｘ２，　２）的２条切　证明　设过Ｐ（ｘ。，ｊ，。）的切线ｌ为Ｙ—Ｙ。一ｋ（ｚ～　。线交于点Ｍ，求证：Ｐ、Ｍ、Ｑ　３点的横坐标成等比数　）（忌≠０），代入抛物线　。一２ｐｘ（乡＞０），消去　，整　列，纵坐标成等差数列．　证明　设Ｍ（ｘ。，　。），则由命题２知切点弦ＰＱ　所在直线方程为Ｙ。　：户（ｚ＋ｚ。），与抛物线方程　一　２ｐｘ（ｐ￣Ｏ）联立，消去ｚ，得Ｙ　一２ｙ。　＋２ｐｘ。一０．　由一元二次方程根与系数关系可知Ｙ　＋Ｙ　一　理得　３，＋　一２ｐｘｏ　１０’　因为直线Ｚ与抛物线相切，所以　△一（一　４（　一２ｐｘｏ）：０，　２ｙ。，Ｙ　・Ｙｚ一２ｐｘ。，则可知Ｐ、Ｍ、Ｑ　３点的纵坐标成等　差数列．　因为Ｐ、Ｑ两点均在抛物线上，所以Ｙ　：＝＝２ｐｘ　，　整理得２ｘ。ｋ。一２ｙ。是＋　一０，解得　，　一２　０±￣／４　：一８ｘｏＰ　———　一　；一２ｐｘ２，两式相乘得（　１・Ｙ２）　一ＣＰ　１　２，所以　。一ｚ：，即Ｐ、Ｍ、Ｑ　３点的横坐标成等比数列．　以上我们对于抛物线的切线及其性质问题做了　个初步的讨论，抛物线的切线存在着许多有趣的性　又点Ｐ在抛物线上，所以Ｙ　一２ｐｘ。，代入得ｋ—　Ｙｏ一＿Ｐ，所以抛物线Ｙ。一２ｐｘ（ｐ￣Ｏ）上一点Ｐ（　。，　一山ｎ　Ｖ　ｎ　Ｙ。）处的切线方程是Ｙ。　—　（　＋　。）．　同理抛物线　一２ｐｙ（ｐ￣Ｏ）上一点Ｐ（－ｚ。，Ｙ。）处　质，同时对于椭圆、双曲线也可以按照上述的方法进　行讨论，也会得到相类似的结论，留给有兴趣的读者　继续思考．　１．北京市三里屯一中　的切线方程是ｚ。ｚ一户（　＋　。）．　命题２　过抛物线Ｙ　：２　ｚ（户＞０）外一点Ｐ（ｘ。，　Ｙ。）引２条切线，则切点弦所在的直线方程是　。Ｙ—　Ｐ（　４－ｚ０）；　（作者单位：２．北京市怀柔区第一中学）　３．北京市第八十中学　过抛物线３７　一２ｐｙ（ｐ￣Ｏ）外一点Ｐ（ｚ。，３，。）引２　条切线，则切点弦所在的直线方程是ｚ。ｚ—Ｐ（Ｙ＋　化　竞争颇似打网球，与球艺胜过你的对手比赛，可以提高你的水平