北京市海淀区高三年级第一学期期末练习数学(理科)2010.01

数 学 （理科） 2010.1

一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.

11． 函数yx(x0)的值域为

xA．2, C．(0,)

B．(2,) D．,22,

2．如图，PAB、PC分别是圆O的割线和切线（C为切点），若PAAB3，则PC的长为

A．62 C．32

B．6 D．3

OCPAB2y23．已知双曲线x1，那么它的焦点到渐近线的距离为

3A．1

B．3

C．3

D．4

4．已知m,n为两条不同直线，,为两个不同平面，那么使m//成立的一个充分条件是

A．m//,// B．m,

C．mn,n,m

D．m上有不同的两个点到的距离相等

5．先后两次抛掷一枚骰子，在得到点数之和不大于6的条件下，先后出现的点数中有3的概率为

1112A． B． C． D．

65536．如图，向量ab等于

b A．2e14e2 C．e13e2

B．4e12e2 D．e13e2

e2e1a7．某校在高二年级开设选修课，其中数学选修课开三个班.选课结束后，有四名同学要求改修数学，但每班至多可再接收2名同学，那么不同的分配方案有 A．72种 B．54种 C．36种 D．18种

x28．点P在曲线C：y21上，若存在过P的直线交曲线C于A点，交直线l：x4

4 于B点，满足PAPB或PAAB，则称点P为“H点”，那么下列结论正确的是 A．曲线.C.上的所有点都是“H点” B．曲线C上仅有有限个点是“H点” C．曲线C上的所有点都不是“H点”

D．曲线C上有无穷多个点（但不是所有的点）是“H点”

第II卷（共110分）

二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在题中横线上.

x1t，9．若直线l的参数方程为，则直线l的斜率为_______________. （t为参数）y23t，10．阅读右图所示的程序框图，若运行该程序后输出的y值为则输入的实数x值为________________.

11．一个几何体的三视图如下图所示，则该几何

体的表面积为__________________.

俯视图221， 8开始 输入x 是 否 x > 0 33y2x1 21211211y 2x正视图侧视图输出y 结束

12．设关于x的不等式xx2nx(nN)的解集中整数的个数为an，数列{an}的前n项和为

2*Sn，则S100的值为_______________________.

13．在区间[0,2]上任取两个数a,b，那么函数f(x)x2axb2无零点的概率为_________. 14．考虑以下数列{an}，nN：

2① annn1；② an2n1；③ anln*n. n1其中满足性质“对任意正整数n，

an2anan1都成立”的数列有 （写出满足条2件的所有序号）；若数列{an}满足上述性质，且a11，a2058，则a10的最小值为 .

三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.

15．（本小题满分13分）

在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,C（Ⅰ）求a，c的值； （Ⅱ）求sin(A)的值.

616．（本小题满分13分）

某地区教研部门要对高三期中数学练习进行调研，考察试卷中某道填空题的得分情况.已知该题有两空，第一空答对得3分，答错或不答得0分；第二空答对得2分，答错或不答得0分.第一空答对与否与第二空答对与否是相互独立的.从所有试卷中随机抽取1000份试卷，其中该题的得分组成容量为1000的样本，统计结果如下表：

得分 人数 0 198 3 802 第一空得分情况

3，b5，ABC的面积为103.  得分 人数 第二空得分情况

0 698 2 302 （Ⅰ）求样本试卷中该题的平均分，并据此估计这个地区高三学生该题的平均分； （Ⅱ）这个地区的一名高三学生因故未参加考试，如果这名学生参加考试，以样本中各种得

分情况的频率（精确到0.1）作为该同学相应的各种得分情况的概率.试求该同学这道题第一空得分不低于第二空得分的概率.

17． （本小题满分13分）

已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形，PD⊥底面ABCD，E，F分别为棱BC，AD的中点. （Ⅰ）求证：DE∥平面PFB；

6（Ⅱ）已知二面角P-BF-C的余弦值为，求四棱锥P-ABCD的体积.

6P

DFABEC18.（本小题满分13分）

x2a 已知函数f(x)（其中aR）.

x1（Ⅰ）若函数f(x)在点(1,f(1))处的切线为y（Ⅱ）求函数f(x)的单调区间.

19．（本小题满分14分）

已知抛物线W:yax2经过点A(2,1)，过A作倾斜角互补的两条不同直线l1,l2. （Ⅰ）求抛物线W的方程及准线方程； （Ⅱ）当直线l1与抛物线W相切时，求直线l2与抛物线W所围成封闭区域的面积； （Ⅲ）设直线l1,l2分别交抛物线W于B，C两点（均不与A重合），若以线段BC为直径的圆

与抛物线的准线相切，求直线BC的方程.

20．（本小题满分14分）

给定项数为m(mN*,m3)的数列{an}，其中ai{0,1}(i1,2,,m).

若存在一个正整数k(2km1)，若数列{an}中存在连续的k项和该数列中另一个连续的k项恰好按次序对应相等，则称数列{an}是“k阶可重复数列”，

例如数列{an}

0,1,1,0,1,1,0.

1xb，求实数a,b的值； 2因为a1,a2,a3,a4与a4,a5,a6,a7按次序对应相等，所以数列{an}是“4阶可重复数列”. （Ⅰ）分别判断下列数列

①{bn}:0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 0. ②{cn}:1, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 1. 是否是“5阶可重复数列”？如果是，请写出重复的这5项；

（Ⅱ）若数为m的数列{an}一定是 “3阶可重复数列”，则m的最小值是多少？说明理由； （III）假设数列{an}不是“5阶可重复数列”，若在其最后一项am后再添加一项0或1，均可使

新数列是“5阶可重复数列”，且a41，求数列{an}的最后一项am的值.

海淀区高三年级第一学期期末练习

数 学 （理）

参考答案及评分标准 2010．1

说明： 合理答案均可酌情给分，但不得超过原题分数

第Ⅰ卷（选择题 共40分）

一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）

题号 答案 1 A 2 C 3 B 4 C 5 C 6 D 7 B 8 D 第Ⅱ卷（非选择题 共110分）

二、填空题（本大题共6小题,每小题5分, 有两空的小题，第一空3分，第二空2分，共30分） 9．3 10．

33 11．2412 12．10100 13． 14．②③;28 44三、解答题(本大题共6小题,共80分) 15．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）由已知，C3，b5，

1因为 SABCabsinC ，

21即 103 ， a5sin23

………………..1分 ………………..3分

49,

解得 a8 .

由余弦定理可得:c2642580cos3………………..5分

所以 c7. ………………..7分

4925641（Ⅱ）由（Ⅰ）有cosA………………..9分 ,

707由于A是三角形的内角， 易知 sinA1cos2A 所以 sinA(43, 7

Acos sin6………………..10分

6)sAincos6………………..11分

4331113 . ………………..13分 72721416．（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）设样本试卷中该题的平均分为x，则由表中数据可得: x01983802069823023.01 ，

1000 ……………….4分 ……………….5分

据此可估计这个地区高三学生该题的平均分为3.01分.

（Ⅱ）依题意，第一空答对的概率为0.8，第二空答对的概率为0.3，……………….7分 记“第一空答对”为事件A，“第二空答对”为事件B，则“第一空答错”为事件A， “第二空答错”为事件B.若要第一空得分不低于第二空得分，则A发生或A与B同时发生，

……………….9分 ……………….12分 ……………….13分

故有： P(A)P(AB)0.80.20.7 . 0. 94

答：该同学这道题第一空得分不低于第二空得分的概率为0.94.

17． （本小题满分13分） 解：（Ⅰ）因为E，F分别为正方形ABCD的两边BC，AD的中点，

所以BE∥FD,

所以，BEDF为平行四边形,

……………….2分

……………….3分 ……………….4分 ……………….5分

得ED//FB， 又因为FB平面PFB，且ED平面PFB,

所以DE∥平面PFB. （Ⅱ）如图，以D为原点，射线DA,DC,DP分

别为x,y,z轴建立空间直角坐标系.设PD=a, 可得如下点的坐标： P(0,0,a),F(1,0,0),B(2,2,0) 则有：

 PF(1,0,a),FB(1,2,0),

zP……………….6分

因为PD⊥底面ABCD，所以平面ABCD的

一个法向量为m(0,0,1)， ……………….7分 设平面PFB的一个法向量为n(x,y,z)，则可得

APFn0x  FBn=00xaz 即 

x+2y=0DFBECy1111 令x=1,得z,y，所以n(1,,).

a22a ……………….9分

由已知，二面角P-BF-C的余弦值为mn|m||n|1a514a26，所以得: 6 cos6, 6 ……………….10分

解得a =2. 因为PD是四棱锥P-ABCD的高，

18所以，其体积为VPABCD24.

33

18.（本小题满分13分）

x22xax2a解：由f(x)，可得f(x). 2(x1)x1

……………….11分 ……………….13分

……………….2分

（Ⅰ）因为函数f(x)在点(1,f(1))处的切线为y1f(1)2 

1f(1)b21xb，得: 2 ……………….4分

a1解得 1

b2 ……………….5分

（Ⅱ）令f(x)0，得x22xa0… ① ……………….6分

当44a0，即a1时，不等式①在定义域内恒成立，所以此时函数f(x)的单调递

增区间为(,1)和(1,). ……………….8分

当44a0，即a1时，不等式①的解为x11a或x11a，

……………….10分

又因为x1，所以此时函数f(x)的单调递增区间为(,11a)和(11a,)，单调递减区间为(11a,1)和(1,11a).

.……………….12分

所以，当a1时，函数f(x)的单调递增区间为(,1)和(1,)； 当a1时，函数f(x)的单调递增区间为(,11a)和(11a,)， 单调递减区间为(11a,1)和(1,11a).

.……………….13分

19．（本小题满分14分）

解：（Ⅰ）由于A(2,1)在抛物线yax2上， 所以 14a，即a 故所求抛物线的方程为y12x，其准线方程为y1. 4x21. ……………….2分 4 ……………….3分

（Ⅱ）当直线l1与抛物线相切时，由y1，可知直线l1的斜率为1，其倾斜角为45，所以直

线l2的倾斜角为135，故直线l2的斜率为1，所以l2的方程为yx3 …….4分 将其代入抛物线的方程y12, 0解得 x12,x26, …….5分 x，得 x24x124y所以直线l2与抛物线所围成封闭区域的面积为:



26(x3)dx2121xdx(x3x2)dx 64642 ……………….6分

1164(x23xx3)

212362……………….8分

OAx（Ⅲ）不妨设直线AB的方程为y1k(x2) (k0)，

……………….9分 y1k(x2) 由 12yx4 得x24kx8k40, ……………….10分

易知该方程有一个根为2，所以另一个根为4k2， 所以点B的坐标为(4k2,4k4k1), 同理可得C点坐标为(4k2,4k24k1),

2yCAOBxy1……………….11分

所以|BC|[(4k2)(4k2)]2[(4k24k1)(4k24k1)]2 (8k)2(8k)282k,

……………….12分

线段BC的中点为(2,4k21)，因为以BC为直径的圆与准线y1相切， 所以 4k21(1)由于k0， 解得 k4k,22. …………….13分 2 此时，点B的坐标为(222,322)，点C的坐标为(222,322)， 直线BC的斜率为(322)(322)(222)(222)1，

所以，BC的方程为y(322)[x(222)]，即xy10. …….14分 20．（本小题满分14分）

解：（Ⅰ）记数列①为bn，因为b2,b3,b4,b5,b6与b6,b7,b8,b9,b10按次序对应相等，所以数列①是“5阶可重复数列”，重复的这五项为0,0,1,1,0;

记数列②为cn，因为c1,c2,c3,c4,c5、c2,c3,c4,c5,c6、c3,c4,c5,c6,c7、c4,c5,c6,c7,c8、 c5,c6,c7,c8,c9、c6,c7,c8,c9,c10没有完全相同的，所以

cn不是“5阶可重复数列”.

……………….3分

（Ⅱ）因为数列{an}的每一项只可以是0或1，所以连续3项共有238种不同的情形.若m＝11，则数列{an}中有9组连续3项，则这其中至少有两组按次序对应相等，即项数为11的数列{an}一

10定是“3阶可重复数列”；若m＝10，数列0,0,1,0,1,1,1,0,0,0不是“3阶可重复数列”；则3m均存在不是“3阶可重复数列”的数列{an}.所以，要使数列{an}一定

是“3阶可重复数列”，则m的最小值是11. ……………….8分

时，

（III）由于数列an在其最后一项am后再添加一项0或1，均可使新数列是“5阶可重复数列”，即在数列an的末项am后再添加一项0或1，则存在ij，

使得ai,a与am3,am2,am1,am,0按次序对应相等，或aj,a与i1,ai2,ai3,ai4j1,aj2,aj3,aj4am3,am2,am1,am,1按次序对应相等，

如果a1,a2,a3,a4与am3,am2,am1,am不能按次序对应相等，那么必有2i,jm4，ij，使得ai,ai1,ai2,ai3、aj,aj1,aj2,aj3与am3,am2,am1,am按次序对应相等.

此时考虑ai1,aj1和am4，其中必有两个相同，这就导致数列an中有两个连续的五项恰按次序对应相等，从而数列an是“5阶可重复数列”，这和题设中数列an不是“5阶可重复数列”矛盾！所以a1,a2,a3,a4与am3,am2,am1,am按次序对应相等，从而ama41.

……………….14分

说明：其它正确解法按相应步骤给分.