数字信号处理简答题
1.一般模拟信号的DFT过程
连续时间信号的傅里叶变换所得信号的频谱函数是模拟角频率Ω的连续函数；而对连续时间信号进行时域采样所得序列的频谱是数字角频率ω的连续函数。而将采样序列截断为有限长序列后做离散傅里叶变换是对被截断后序列频谱函数的等间隔采样。由于DFT是一种时域和频域都离散化了的变换，因此适合
做数值运算，成为分析信号与系统的有力工具。
但是，用DFT对连续时间信号做频谱分析的过程中，做了两步工
作，第一是采样；第二是截断。因此，最后所得到的离散频谱函数和原连续信号的连续频谱肯定存在误差。下面我们就来分析这些误差究竟产生在哪些地方。
首先由傅里叶变换的理论可知，对于模拟信号来说，若信号持续时间有限长，则其频谱无限宽；若信号的频谱有限宽，则其持续时间无限长。所以严格来讲，持续时间有限的带限信号是不存在的。
实际中，对频谱很宽的信号，为防止时域采样后产生频谱混叠，先用采样
预滤波的方法滤除高频分量。那么必然会导致滤波后的信号持续时间无限长。
设前置滤波器的输出信号为x a(t)，其频谱函数X a(jΩ)，它们都是连续函数，其中x
a(t)为无限长，而X a(jΩ)为有限长。
首先对该信号作时域采样，采样周期为T，将得到离散的无限长的序列x(nT)。由于习惯上描述序列的频谱时用ω作为频率变量，因此必须探寻x(n)的频谱X(e jω)与x a(t)的频谱X a(jΩ)之间的关系。理论上已推得，X(e jω)就是X a(jΩ)以2π/T的周期延拓后再将频率轴Ω作T倍的伸缩后得到的图形再乘以一个常数1/T得到。
也就是
X(e jω)= X(e jΩT)=1/T*∑X a[j(Ω-k*2π/T)]
这一个过程中，只要采样频率足够大，即T足够小，理论上是可以保证无
混叠的，也就是能由序列的频谱X(e jω)完全恢复模拟信号的频谱X a(jΩ)。
但是，计算机只能处理有限长的离散信号，因此x(nT)是无法被数字计算机处理，必须对采样序列进行第二步处理，即截断成为有限长序列。截断即为加窗处理，我们假设用的是矩形窗，长度为N，理论上已推得，对序列作截断处理后，会造成X(e jω)频谱泄露，也就是过渡带出现拉长、拖尾现象；通带内出现起伏，可能出现混叠失真，因为泄露将会导致频谱的扩展，从而使最高频率有可能超过折叠频率（fs/2）。那么此时，序列被截断后，频谱已必然出现失真。但是只要N选得足够大，误差是可以接受的，但是N的增加会导致数据运算量和存
储量都增加。
数据被截断后，就可以被计算机做DFT处理了，而有限长序列的DFT就是序列的z
变换在单位圆上的等间隔采样。因此，我们通过DFT来显示的频谱是
被截断后序列傅里叶变换的采样值，这个频谱已不是原来连续信号的频谱了。但是，我们可以根据DFT的结果X(k)完整还原被截断后序列的傅里叶变换（频域抽样定理），然后再由有限长序列的傅里叶变换来近似表示无限长序列
x(nT)的频谱X(e jω)，然后再由X(e jω)还原x a(t)的频谱X a(jΩ)。
2.怎样理解采样过程中的“时域离散化，频域周期化”
由模拟信号傅里叶变换的性质可知，两个信号若在时域是相乘的关系，映射到频域则为卷积的关系，时域中的连续信号经单位冲激抽样后，在频域中产生周期性函数，其周期等于抽样角频率。
3.系统分析的思路
系统就是从输入信号到输出信号的一个映射，系统有两个性质最为重要，一为线性，二为时不变性。系统其实就是两个函数之间的关系，而描述两个函数关系的工具就是微分方程。然后利用傅里叶变换研究函数的性质。
4.线性卷积，圆周卷积，周期卷积三者之间的关系
圆周卷积是周期卷积的主值序列。
周期卷积是线性卷积的周期延拓。
圆周卷积的计算始终要记住一点：圆周卷积虽然是针对有限长序列的卷积运算，但它是由周期卷积推导而来的，故隐含了周期性。
5.如何利用DFT分析系统
离散傅里叶变换是有限长序列的傅里叶变换，它相当于把信号的傅里叶变换进行等频率间隔采样，并且有限长序列的离散傅里叶变换和周期序列的离散傅里叶级数本质是一样的。快速傅里叶变换（FFT）并不是一种新的变换，它是离散傅里叶变换的一种快速算法，并且主要是基于这样的思路而发展起来的：（1）把长度为N的序列的DFT逐次分解成长度较短的序列的DFT来计算。（2）利用WN(nk)的周期性和对称性，在DFT运算中适当的分类，以提高运算速度。（
对称性nk NnkNWWN 2
，r为任意，12 N NW;周期性nk N nk N nrNNkrNnN WWWW ) (
整数,1 nrN N W）
6.FFT的主要思路
①思想
快速傅里叶变换不是一种新的变换，它只是离散傅里叶变换的一种改进算法。它分析了离散傅里叶变换中重复的计算量，并尽最大的可能使之减少，从而达到快速计算的目的。
②表达式形式
211
(){()}()()x N N j
x
N
x x F F f x f x e
f x W πμμ----=====∑∑
矩阵表示形式：
00
0001121(1)1012(1)(1)(1)(0)(0)(1)(1)(1)(1)N N N N N W W
W W F f F f W W W W F N f N W W W W ??---?-
=--?????
③ 计算的思想（蝶形算法）的依据：
1）旋转因子的性质 1.周期性
()()k N m k m N km N N N
W W W ++==
2.对称性
2
N mk mk
N
N
W W +
=-
3. 可约性
mk nmk
N nN W W =//,
/mk mk n N N n W W N n =为整数 2）思路
将时域序列逐次分解为一组子序列，利用旋转因子的特性，由子序列的DFT 来实现整个序列的DFT 。
基2
基2频率抽取(Decimation in frequency)FFT 算法
7.数字滤波器的设计思路
按设计任务，确定滤波器性能要求，制定技术指标，用一个因果稳定的离散LSI 系统的系统函数H (z )逼近此性能指标，利用有限精度算法实现此系统函数：如运算结构、字
长的选择等。
实际技术实现：软件法、硬件法或DSP 芯片法。 8.冲激响应不变法
冲激响应不变法遵循的准则是：使数字滤波器的单位取样响应与所参照的模拟滤波器的冲激响应的取样值完全一样。即
)
()()(nT h t h n h a nT t a ===其中，T 为取样周期
实际上，由模拟滤波器转换成数字滤波器，就是要建立模拟系统函数与数字系统函数之间的关系。
[2]
[][21]X m X m X m ?→?
+?
若满足要求的模拟滤波器的系统函数已知，它通常是有理函数形式，并且分母的阶次高于分子的阶次，仅含单极点，则可以表示成部分分式形式：
∑=-=
N
k
k
k
a s s A s H 1
)(经过变换，得到
∑==
N
k
t s k a t u e A t h k
1
)()(
令t=nT 得
∑==
=N
k nT
s k a nT u e
A nT h n h k 1
)
()()(，通过z 变换，得到
∑=--=
N
k T s k
z e
A z H k 11
1)( 也就是
∑
=-=
N
k k
k
a s s A s H 1
)(∑=--=
N
k T s k
z e A z H k 1
1
1)
(
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