要计算函数 lnsinx 的定积分，我们可以使用分部积分法或换元法。
方法1：分部积分法
考虑积分 ∫lnsinxdx，我们可以将其写为 ∫u dv，其中 u = ln sinx 且 dv = dx。
对于 du 和 v，我们可以分别求得： du = 1/sinx * cosxdx， v = x。
应用分部积分公式 ∫u dv = uv - ∫v du，我们有： ∫lnsinxdx = xlnsinx - ∫xcosxdx。
现在，我们需要计算积分 ∫xcosxdx。这个积分可以通过再次应用分部积分法来解决。
令 u = x 且 dv = cosxdx。对于 du 和 v，我们可以分别求得： du = dx， v = sinx。
应用分部积分公式，我们有： ∫xcosxdx = xsinx - ∫sinxdx。
在这里，右侧的 ∫sinxdx 可以直接计算出来： ∫sinxdx = -cosx。 将结果代入原方程，我们有：
∫lnsinxdx = xlnsinx - (xsinx + cosx) + C，
其中 C 是常数项。 方法2：换元法
我们可以尝试通过换元法来计算 ∫lnsinxdx。 令 u = ln sinx，那么 du = 1/sinx * cosxdx。 因此，我们可以将原方程重新写成： ∫lnsinxdx = ∫udu。
现在，我们只需要计算 ∫udu。这是一个简单的积分，结果为： ∫udu = u^2/2 + C = (lnsinx)^2/2 + C， 其中 C 是常数项。
无论使用哪种方法，最终的结果都是 (lnsinx)^2/2 + xlnsinx - (xsinx + cosx) + C，其中 C 是常数项。
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