三元区一中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

一、选择题

1． 设集合S=|x|x＜﹣1或x＞5}，T={x|a＜x＜a+8}，且S∪T=R，则实数a的取值范围是（ ） A．﹣3＜a＜﹣1 B．﹣3≤a≤﹣1 2． 已知在△ABC中，a=

，b=

A．135° B．90° C．45° D．75° 3． 已知幂函数y=f（x）的图象过点（，A．

B．﹣

C．2

D．﹣2

D．（0，+∞） D．[0，]

），则f（2）的值为（ ）

C．a≤﹣3或a≥﹣1

D．a＜﹣3或a＞﹣1

，B=60°，那么角C等于（ ）

4． 函数f（x）=log2（3x﹣1）的定义域为（ ） A．[1，+∞） B．（1，+∞） C．[0，+∞）

5． 函数y=﹣lnx（1≤x≤e2） 的值域是（ ） A．[0，2]

B．[﹣2，0]

C．[﹣，0]

6． 已知m，n为不同的直线，α，β为不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A．m⊂α，n∥m⇒n∥α

B．m⊂α，n⊥m⇒n⊥α

C．m⊂α，n⊂β，m∥n⇒α∥β D．n⊂β，n⊥α⇒α⊥β

7． 如右图，在长方体

中，=11，=7，=12，一质点从顶点A射向次到第次反射点之间的线

点段记为

，遇长方体的面反射（反射服从光的反射原理），将

，

，将线段

竖直放置在同一水平线上，则大致的图形是（ ）

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AB

C第 2 页，共 17 页

D

8． 直线A．

的倾斜角是（ ） B．

C．

D．

9． 已知三个数a1，a1，a5成等比数列，其倒数重新排列后为递增的等比数列{an}的前三 项，则能使不等式a1a2an11a1a21成立的自然数的最大值为（ ） an3

展开式中x﹣的系数为（ ）

A．9 B．8 C.7 D．5 10．487被7除的余数为a（0≤a＜7），则A．4320 B．﹣4320 A．1

B．2

C．20

D．﹣20

11．已知向量与的夹角为60°，||=2，||=6，则2﹣在方向上的投影为（ ）

C．3

D．4

12．设f(x)是偶函数，且在(0,)上是增函数，又f(5)0，则使f(x)0的的取值范围是（ ） A．5x0或x5 B．x5或x5 C．5x5 D．x5或0x5

二、填空题

13．向区域

x＋y－5≤0

14．若x，y满足约束条件2x－y－1≥0，若z＝2x＋by（b＞0）的最小值为3，则b＝________．

x－2y＋1≤015．已知圆C的方程为xy2y30，过点P1,2的直线与圆C交于A,B两点，若使AB

22内随机投点，则该点与坐标原点连线的斜率大于1的概率为 ．

最小则直线的方程是 ．

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16．在ABC中，C90，BC2，M为BC的中点，sinBAM1，则AC的长为_________. 317．集合A={x|﹣1＜x＜3}，B={x|x＜1}，则A∩B= ．

18．在直角梯形ABCD,ABAD,DC//AB,ADDC1,AB2,E,F分别为AB,AC的中点，

点P在以A为圆心，AD为半径的圆弧DE上变动（如图所示）．若APEDAF，其中,R， 则2的取值范围是___________．

三、解答题

19．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，直线PA与圆O相切于点A，PBC是过点O的割线，APECPE，点H是线段ED的中 点.

（1）证明：A、E、F、D四点共圆； （2）证明：PFPBPC.

2

20．设函数f（x）=lg（ax﹣bx），且f（1）=lg2，f（2）=lg12

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（1）求a，b的值．

（2）当x∈[1，2]时，求f（x）的最大值．

xx

（3）m为何值时，函数g（x）=a的图象与h（x）=b﹣m的图象恒有两个交点．

21．已知f（x）=x3+3ax2+3bx+c在x=2处有极值，其图象在x=1处的切线与直线6x+2y+5=0平行． （1）求函数的单调区间；

（2）若x∈[1，3]时，f（x）＞1﹣4c2恒成立，求实数c的取值范围．

22．（本题满分12分）如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中， E、F分别是棱DD1 、C1D1的中点. （1）求直线BE和平面ABB1A1所成角的正弦值； （2）证明：B1F∥平面A1BE．

A1 B1

C1 A B 第 5 页，共 17 页

D1 F E D C

23．【常熟中学2018届高三10月阶段性抽测（一）】已知函数fxxaxlnxaR.

2（1）若函数fx是单调递减函数，求实数a的取值范围；

（2）若函数fx在区间0,3上既有极大值又有极小值，求实数a的取值范围.

24．【盐城中学2018届高三上第一次阶段性考试】已知函数f（x）=ax2+lnx（a∈R）． （1）当a=

1时，求f（x）在区间[1，e]上的最大值和最小值； 2（2）如果函数g（x），f1（x），f2（x），在公共定义域D上，满足f1（x）＜g（x）＜f2（x），那么就称g（x）为f（，f（的“活动函数”．已知函数fx1a1x）2x）

12122fxx2ax。.x2ax1-alnx,222若在区间（1，+∞）上，函数f（x）是f1（x），f2（x）的“活动函数”，求a的取值范围．

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三元区一中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案）

一、选择题

1． 【答案】A

【解析】解：∵S=|x|x＜﹣1或x＞5}，T={x|a＜x＜a+8}，且S∪T=R， ∴

，解得：﹣3＜a＜﹣1．

故选：A．

2． 【答案】D

【解析】解：由正弦定理知∴sinA=∵a＜b， ∴A＜B， ∴A=45°，

∴C=180°﹣A﹣B=75°， 故选：D．

3． 【答案】A

【解析】解：设幂函数y=f（x）=x，把点（，

α

=，

，

=×=

）代入可得=

α

，

∴α=，即f（x）=故f（2）=

=

，

，

故选：A．

4． 【答案】D

【解析】解：要使函数有意义， 则3x﹣1＞0， 即3x＞1， ∴x＞0． 故选：D．

即函数的定义域为（0，+∞），

【点评】本题主要考查函数定义域的求法，要求熟练掌握常见函数成立的条件，比较基础．

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5． 【答案】B

【解析】解：∵函数y=lnx在（0，+∞）上为增函数， 故函数y=﹣lnx在（0，+∞）上为减函数，

2

当1≤x≤e时，

若x=1，函数取最大值0， x=e2，函数取最小值﹣2， 故选：B

2

故函数y=﹣lnx（1≤x≤e） 的值域是[﹣2，0]，

【点评】本题考查的知识点是对数函数的值域与最值，熟练掌握对数函数的图象和性质，是解答的关键．

6． 【答案】D

【解析】解：在A选项中，可能有n⊂α，故A错误； 在B选项中，可能有n⊂α，故B错误； 在C选项中，两平面有可能相交，故C错误；

在D选项中，由平面与平面垂直的判定定理得D正确． 故选：D．

【点评】本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．

7． 【答案】C 【解析】根据题意有：

A的坐标为：（0，0，0），B的坐标为（11，0，0），C的坐标为（11，7，0），D的坐标为（0，7，0）； A1的坐标为：（0，0，12），B1的坐标为（11，0，12），C1的坐标为（11，7，12），D1的坐标为（0，7，12）；

E的坐标为（4，3，12） （1）l1长度计算 所以：l1=|AE|=（2）l2长度计算

将平面A1B1C1D1沿Z轴正向平移AA1个单位，得到平面A2B2C2D2；显然有：

A2的坐标为：（0，0，24），B2的坐标为（11，0，24），C2的坐标为（11，7，24），D2的坐标为（0，7，24）；

显然平面A2B2C2D2和平面ABCD关于平面A1B1C1D1对称。 设AE与的延长线与平面A2B2C2D2相交于：E2（xE2，yE2，24）

=13。

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根据相识三角形易知： xE2=2xE=2×4=8， yE2=2yE=2×3=6， 即：E2（8，6，24）

根据坐标可知，E2在长方形A2B2C2D2内。 8． 【答案】A

，

【解析】解：设倾斜角为α， ∵直线∴tanα=

，

的斜率为

∵0°＜α＜180°， ∴α=30° 故选A．

【点评】本题考查了直线的倾斜角与斜率之间的关系，属于基础题，应当掌握．

9． 【答案】C 【解析】

2试题分析：因为三个数a1,a1,a5等比数列，所以a1a1a5,a3，倒数重新排列后恰

11111,,好为递增的等比数列{an}的前三项，为，公比为，数列是以为首项，为公比的等比数列，则8422an不等式a1a2an11a1a211n811212n8，整理，得等价为1an12122n27,1n7,nN，故选C. 1

考点：1、等比数列的性质；2、等比数列前项和公式. 10．【答案】B

解析：解：487=（49﹣1）7=∵487被7除的余数为a（0≤a＜7）， ∴a=6， ∴

展开式的通项为Tr+1=

，

﹣

+…+

﹣1，

令6﹣3r=﹣3，可得r=3， ∴

展开式中x﹣的系数为

3

=﹣4320，

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故选：B．. 11．【答案】A

【解析】解：∵向量与的夹角为60°，||=2，||=6， ∴（2﹣）•=2

﹣

=2×22﹣6×2×cos60°=2，

=

．

∴2﹣在方向上的投影为故选：A．

【点评】本题考查了平面向量数量积的定义与投影的计算问题，是基础题目．

12．【答案】B

考

点：函数的奇偶性与单调性．

【思路点晴】本题主要考查函数的单调性、函数的奇偶性，数形结合的数学思想方法.由于函数是偶函数，所以定义域关于原点对称，图象关于y轴对称，单调性在y轴两侧相反，即在x0时单调递增，当x0时，函数单调递减.结合f(5)0和对称性，可知f(5)0，再结合函数的单调性，结合图象就可以求得最后的解集.1

二、填空题

13．【答案】

【解析】解：不等式组

的可行域为：

．

由题意，A（1，1），∴区域

=（x3）

由

=，

的面积为

，可得可行域的面积为：1=，

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∴坐标原点与点（1，1）的连线的斜率大于1，坐标原点与 与坐标原点连线的斜率大于1的概率为： = 故答案为：．

【点评】本题考查线性规划的应用，几何概型，考查定积分知识的运用，解题的关键是利用定积分求面积．

14．【答案】 【解析】

约束条件表示的区域如图， ＝3，∴b＝1. 答案：1

15．【答案】xy30 【解析】

当直线l：z＝2x＋by（b＞0）经过直线2x－y－1＝0与x－2y＋1＝0的交点A（1，1）时，zmin＝2＋b，∴2＋b

试题分析：由圆C的方程为xy2y30，表示圆心在C(0,1)，半径为的圆，点P1,2到圆心的距

22离等于2，小于圆的半径，所以点P1,2在圆内，所以当ABCP时，AB最小，此时

kCP1,k11，由点斜式方程可得，直线的方程为y2x1，即xy30.

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考点：直线与圆的位置关系的应用. 16．【答案】2 【解析】

考点：1、正弦定理及勾股定理；2诱导公式及直角三角形的性质.

【方法点睛】本题主要考查正弦定理及勾股定理、诱导公式及直角三角形的性质，属于难题，高考三角函数的考查主要以三角恒等变形，三角函数的图象和性质，利用正弦定理、余弦定理解三角形为主，难度中等，因此只要掌握基本的解题方法与技巧即可， 对于三角函数与解三角形相结合的题目，要注意通过正余弦定理以及面积公式实现边角互化，求出相关的边和角的大小，有时也要考虑特殊三角形的特殊性质（如正三角形，直角三角形等）.

17．【答案】 {x|﹣1＜x＜1} ．

【解析】解：∵A={x|﹣1＜x＜3}，B={x|x＜1}， ∴A∩B={x|﹣1＜x＜1}， 故答案为：{x|﹣1＜x＜1}

【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．

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18．【答案】1,1 【解析】

考

点：向量运算．

【思路点晴】本题主要考查向量运算的坐标法. 平面向量的数量积计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用. 利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决．

三、解答题

19．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【

解

析

】

11

11]

试题解析：解：（1）∵PA是切线，AB是弦，∴BAPC，APDCPE， ∴BAPAPDCCPE，

∵ADEBAPAPD,AEDCCPE

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∴ADEAED，即ADE是等腰三角形

又点H是线段ED的中点，∴ AH是线段ED垂直平分线，即AHED

又由APECPE可知PH是线段AF的垂直平分线，∴AF与ED互相垂直且平分， ∴四边形AEFD是正方形，则A、E、F、D四点共圆. （5分） （2由割线定理得PAPBPC，由（1）知PH是线段AF的垂直平分线，

22∴PAPF，从而PFPBPC （10分）

考点：与圆有关的比例线段． 20．【答案】

xx

【解析】解：（1）∵f（x）=lg（a﹣b），且f（1）=lg2，f（2）=lg12， 22

∴a﹣b=2，a﹣b=12，

解得：a=4，b=2；

xx

（2）由（1）得：函数f（x）=lg（4﹣2）， xx

当x∈[1，2]时，4﹣2∈[2，12]，

故当x=2时，函数f（x）取最大值lg12，

xxx

则4﹣2=m有两个解，令t=2，则t＞0， 2

则t﹣t=m有两个正解；

xx

（3）若函数g（x）=a的图象与h（x）=b﹣m的图象恒有两个交点．

则，

解得：m∈（﹣，0）

【点评】本题考查的知识点是对数函数的图象和性质，熟练掌握对数函数的图象和性质，是解答的关键．

21．【答案】

【解析】解：（1）由题意：f′（x）=3x2+6ax+3b 直线6x+2y+5=0的斜率为﹣3； 由已知

所以

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）

所以由f′（x）=3x2﹣6x＞0得心x＜0或x＞2； 所以当x∈（0，2）时，函数单调递减；

当x∈（﹣∞，0），（2，+∞）时，函数单调递增．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分） （2）由（1）知，函数在x∈（1，2）时单调递减，在x∈（2，3）时单调递增； 所以函数在区间[1，3]有最小值f（2）=c﹣4要使x∈[1，3]，f（x）＞1﹣4c2恒成立 只需1﹣4c2＜c﹣4恒成立，所以c＜

或c＞1．

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故c的取值范围是{c|c或c＞1}﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）

【点评】本题主要考查函数在某点取得极值的条件和导数的几何意义，以及利用导数解决函数在闭区间上的最值问题和函数恒成立问题，综合性较强，属于中档题．

22．【答案】解：（1）设G是AA1的中点，连接GE，BG．∵E为DD1的中点，ABCD—A1B1C1D1为正方体，∴GE∥AD，又∵AD⊥平面ABB1A1，∴GE⊥平面ABB1A1，且斜线BE在平面ABB1A1内的射影为BG，∴Rt△BEG中的∠EBG是直线BE和平面ABB1A1所成角，即∠EBG=．设正方体的棱长为a，∴GEa，

BG53a，BEBG2GE2a， 22GE2；……6分 BE3∴直线BE和平面ABB1A1所成角的正弦值为：sin（2）证明：连接EF、AB1、C1D，记AB1与A1B的交点为H，连接EH． ∵H为AB1的中点，且B1H=

11C1D，B1H∥C1D，而EF=C1D，EF∥C1D， 22∴B1H∥EF且B1H=EF，四边形B1FEH为平行四边形，即B1F∥EH， 又∵B1F平面A1BE且EH平面A1BE，∴B1F∥平面A1BE． ……12分 23．【答案】（1）a22；（2）22a【解析】试题分析：

（1）原问题等价于fx0对0,恒成立，即a2x得a22；

19. 31对0,恒成立，结合均值不等式的结论可x2x2ax10在0,3上有两个相异实根，结合二次函数根的分布可得实数a的（2）由题意可知fxx19取值范围是22a.

3试题解析：

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（2）∵函数fx在0,3上既有极大值又有极小值，

2x2ax10在0,3上有两个相异实根， ∴fxx2即2xax10在0,3上有两个相异实根，

a22或a22a0320a12 ， ，得{记gx2xax1，则{4g0019ag30319即22a.

3e211124．【答案】（1）fxmax1,fxmin. （2）a的范围是, .

22241x2112'xx0，∴f（x）在区间[1，e]上为【解析】试题分析：（1）由题意得 f（x）=x+lnx，f2xx增函数，即可求出函数的最值．

0试题解析：

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（1）当 时，，；

对于x∈[1，e]，有f'（x）＞0，∴f（x）在区间[1，e]上为增函数， ∴

，

．

（2）在区间（1，+∞）上，函数f（x）是f1（x），f2（x）的“活动函数”，则f1（x）＜f（x）＜f2（x）令

＜0，对x∈（1，+∞）恒成立，

且h（x）=f1（x）﹣f（x）=∵若

，令p′（x）=0，得极值点x1=1，

，

＜0对x∈（1，+∞）恒成立，

当x2＞x1=1，即 时，在（x2，+∞）上有p′（x）＞0，

此时p（x）在区间（x2，+∞）上是增函数，并且在该区间上有p（x）∈（p（x2），+∞），不合题意； 当x2＜x1=1，即a≥1时，同理可知，p（x）在区间（1，+∞）上，有p（x）∈（p（1），+∞），也不合题意； 若

，则有2a﹣1≤0，此时在区间（1，+∞）上恒有p′（x）＜0，

从而p（x）在区间（1，+∞）上是减函数； 要使p（x）＜0在此区间上恒成立，只须满足 所以

≤a≤．

=

＜0，h（x）在（1，+∞）上为减函数，

，

又因为h′（x）=﹣x+2a﹣h（x）＜h（1）=

+2a≤0，所以a≤

，]．

综合可知a的范围是[

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