全参数方程与极坐标(精华版)

参数方程与极坐标

参数方程知识回顾：

一、定义：在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x、y都是某个参数t的函数，

xf(t)yf(t)，其中，t为参数，并且对于t每一个允许值，由方程组所确定的点M（x，即 y）都在这条曲线上，那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系x、y之间关系的变数t叫做参变数，简称参数． 二、二次曲线的参数方程 1、圆的参数方程：

中心在（x0，y0），半径等于r的圆：

xx0rcosyy0rsin （为参数，的几何意义为圆心角）

，

xrcos特殊地，当圆心是原点时，

yrsin注意：参数方程没有直接体现曲线上点的横纵坐标之间的关系，而是分别体现了点的横纵坐标与参数间的关系。

Eg1：已知点P（x，y）是圆x+y-6x-4y+12=0上的动点，求：

（1）x+y的最值；（2）x+y的最值；（3）点P到直线x+y-1=0的距离d的最值。 Eg2：将下列参数方程化为普通方程

（1） x=2+3cos （2） x=sin （3） x=t+ y=3sin y=cos y=t+

2

2

2

2

2

1t1 2t总结：参数方程化为普通方程步骤：（1）消参（2）求定义域 2、椭圆的参数方程：

中心在原点，焦点在x轴上的椭圆：

xacosybsin （为参数，的几何意义是离心角，如图角AON是离心角）

注意：离心率和离心角没关系，如图，分别以椭圆的长轴和短轴为半径画两个同心圆，M点的轨迹是椭圆，中心在（x0，y0）椭圆的参数方程：

xx0acos

yy0bsin文档

实用标准文案

x2y2Eg：求椭圆=1上的点到M（2,0）的最小值。 36203、双曲线的参数方程：

中心在原点，焦点在x轴上的双曲线：

xasecybtan （为参数，代表离心角），中心在

（x0，y0），焦点在x轴上的双曲线： 4、抛物线的参数方程：

xx0asecyy0btan

顶点在原点，焦点在x轴正半轴上的抛物线：

x2pt2y2pt （t为参数，p＞0，t的几何意义为过圆点的直线的斜率的倒数）

直线方程与抛物线方程联立即可得到。 三、一次曲线（直线）的参数方程

过定点P0（x0，y0），倾角为的直线， P是直线上任意一点，设P0P=t，P0P叫点P到定点

xx0tcosP0的有向距离，在P0两侧t的符号相反，直线的参数方程 t的几何意义为有向距离）

说明：①t的符号相对于点P0，正负在P0点两侧

②｜P0P｜=｜t｜ 直线参数方程的变式：yy0tsin （t为参数，

xx0atyy0bt，但此时t的几何意义不是有向距离，只有当t前面系

文档

实用标准文案

数的平方和是1时，几何意义才是有向距离，所以，将上式进行整理，得

xx0 aa2b2ba2b2(a2b2t)，让a2b2t作为t，则此时t的几何意义是有向距

yy0离。

(a2b2t)Eg：求直线 x=-1+3t y=2-4t，求其倾斜角. 极坐标知识回顾：

一、定义：在平面内取一个定点O，叫做极点，引一条射线Ox，叫做极轴，再选一个长度单位和角度的正方向（通常取逆时针方向）。对于平面内的任意一点M，用ρ表示线段OM的长度，θ表示从Ox到OM的角，ρ叫做点M的极径，θ叫做点M的极角，有序数对(ρ, θ)就叫做点M的极坐标。这样建立的坐标系叫做极坐标系。

M

O图1x

练习:在同一直角坐标系中，画出以下四个点 A（1，

3）B（2，）C（3，-）

244思考：上述点关于极轴以及极点的对称点

说明：（1）极坐标有四个要素：①极点；②极轴；③长度单位,即极径；④角度单位及它的方向，即极角．

（2）在极坐标系下，一对有序实数、对应唯一点P(，)，但平面内任一个点P的极坐标不唯一，因为具有周期.

（3）如无特殊要求，则极径取正值.

直角坐标与极坐标的互化： 直角坐标（x，y）极坐标（，）

文档

实用标准文案

=x2y2

tan=

y x 极坐标（，）直角坐标（x，y） x=cos

练习1：将下列直角坐标化为极坐标

A（1，-1） B（1，π）

练习2：将下列极坐标化为直角坐标

A（2，

y=sin

2） B（1，2） 3练习3：分别求下列条件中AB中点的极坐标 （1）（4，

22）（6，-）；（2）（4，）（6，） 3333

二、直线的极坐标方程

⑴0或0+π ⑵aa ⑶ coscosM M （ ， ）M   xaO O 图1 a

0cos

0aO图2图3acos⑷ Oa a M O图5 aa sinaa ⑸ sinsinM图4

sin三、圆的极坐标方程

文档

实用标准文案

⑴a ⑵2acos ⑶2acos

MMM a aOx OxaO 图1 ax图22acos图32acos⑷2asin ⑸ 2asin

M xO a  O 图4

 2asinMxa图52asin四、圆锥曲线统一方程（椭圆、抛物线、双曲线）

设OA =P

MOMNe，

epe

pcos1ecos其中，当01为双曲线

考点一：直线参数方程中参数的意义． 1．已知直线l经过点P(1,1),倾斜角6，

22（1）写出直线l的参数方程。（2）设l与圆xy4相交与两点A,B，求点P到A,B两点的距离之积。

文档

实用标准文案

3x1tcosx1t62 解：（1）直线的参数方程为，即y1tsiny11t62

3x1t2代入x2y24得 （2）把直线y11t2(1321t)(1t)24,t2(31)t20 22t1t22，则点P到A,B两点的距离之积为2

2．过点P(10,0)作倾斜角为的直线与曲线x212y21交于点M,N，求PMPN2的值及相应的的值。

10tcosx解：设直线为(t为参数)，代入曲线并整理得2ytsin30 2322sin1则PMPNt1t2所以当时，即，PMPN的最221sin3小值为，此时。

24(1sin2)t2(10cos)t3．直线x12t(t为参数)被圆x2y29截得的弦长为 . y2t2x12t5，把直线代入 1y2t5x15tx12t【解析】： y2ty15tx2y29得(12t)2(2t)29,5t28t40

8161212t1t2(t1t2)24t1t2()2，弦长为5t1t25 5555文档

实用标准文案

1x1t24．直线(t为参数)和圆x2y216交于A,B两点，则AB的中点坐标

y333t2为________ 解： (11232ttt)(33t)16，得t28t80，t1t28,124 2221x14x32 中点为 y3y33342

考点二：用极坐标方程、参数方程研究有关的位置关系的判定 1．直线xtcosx42cos与圆相切，则_______________。

ytsiny2sin2．在极坐标系中，已知圆2cos与直线3cos4sina0相切，求实数a的值。

考点三：用极坐标方程、参数方程研究有关的交点问题

1．在极坐标系,,02中，曲线2sin 与cos1 的交点的极坐标为______．

52xtx5cos2.已知两曲线参数方程分别为(0≤＜)和4(tR)，它们的交点

ysinyt极坐标为 .

考点四：用极坐标方程、参数方程研究有关的距离问题

一、

x1t(t为参数)和直线l2:xy230的交点P的坐标，及点P1．求直线l1:y53t与Q(1,5)的距离。

2．已知直线l1:x13t(t为参数)与直线l2:2x4y5相交于点B，又点A(1,2)，则

y24tAB_______。

文档

实用标准文案

1x2t2(t为参数)被圆x2y24截得的弦长为______________。 3．直线y11t2二、距离最大最小问题

x2y21上找一点，使这一点到直线x2y120的距离的最小值。 4．在椭圆

16124cos43sin12x4cos解：设椭圆的参数方程为，d

5y23sin 4545cos3sin32cos()3 553 当cos(3)1时，dmin45，此时所求点为(2,3)。 5x2y21上，求点P到直线3x4y24的最大距离和最小距离。 5．点P在椭圆

169122cos()2412cos12sin244解：设P(4cos,3sin)，则d即d，

55当cos(4)1时，dmax12(22)；当cos()1时，54dmin12(22)。 5考点五：极坐标方程与参数方程混合

2x3t,21． 在直角坐标系xoy中，直线l的参数方程为（t为参数）。在极坐标系（与y52t2直角坐标系xoy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为25sin。

（Ⅰ）求圆C的直角坐标方程；（Ⅱ）设圆C与直线l交于点A、B，若点P的坐标为(3,5)，求|PA|+|PB|。

2222【解析】（Ⅰ）由25sin得xy25y0,即x(y5)5.

文档

实用标准文案

（Ⅱ）将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得(32222t)(t)5， 2222即t32t40,由于(32)4420，故可设t1,t2是上述方程的两实根，

tt32所以12,又直线l过点P(3,5),故由上式及t的几何意义得：

t1t24|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=t1+t2=32。

2． 在直角坐标系xoy中，曲线C1的参数方程为x2cos，M为C1上的(为参数）

y22sin动点，P点满足OP2OM，点P的轨迹为曲线C2．

（I）求C2的方程；

（II）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求|AB|．

解：（I）设P(x，y)，则由条件知M(

3与C1的异于极

XY

,).由于M点在C1上，所以 22

x2cos,x4cos2 即 

yy44sin22sin2从而C2的参数方程为

x4cos（为参数）

y44sin

（Ⅱ）曲线C1的极坐标方程为4sin，曲线C2的极坐标方程为8sin。 射线3与C1的交点A的极径为14sin与C2的交点B的极径为28sin3， 。

射线33所以|AB||21|23. x＝1＋tcosα，

3.已知直线C1：

y＝tsinα，

x＝cosθ

(t为参数)，圆C2：

y＝sinθ，

(θ为参数)．

(1)当α＝

π

时，求C1与C2的交点坐标； 3

文档

实用标准文案

(2)过坐标原点O作C1的垂线，垂足为A，P为OA的中点．当α变化时，求P点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．

解：(1)当α＝

π22

时，C1的普通方程为y＝3(x－1)，C2的普通方程为x＋y＝1. 3

，

y＝3x－1

联立方程组

x2＋y2＝1，

13

解得C1与C2的交点为(1,0)，(，－)．

22

2

(2)C1的普通方程为xsinα－ycosα－sinα＝0.A点坐标为(sinα，－cosαsinα)， 故当α变化时，P点轨迹的参数方程为 1

x＝sinα，21y＝－2sinαcosα，

2

1

4

(α为参数)．

P点轨迹的普通方程为(x－)2＋y2＝.故P点轨迹是圆心为(，0)，半径为的圆．

1161414

文档